Iii lời giải bài tập tự luyện

LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Gọi N trung điểm CD  MN / /SC · Do ·AM;SC  ·AM; MN  AMN Tam giác SAD vng A, có AM  SD 2a  a 2 Tam giác ADN vng D, có AN  AD  ND2  Tam giác SAC vng A, có SC a  MN  ·  cos AMN  AM  MN  AN  2.AM.MN a a a2  Chọn A a 2a · Câu 2: Gọi E trung điểm CD    NE / /BD  ·MN; BD ·MN; NE  MNE a Dễ thấy NE  BD  ; Gọi O tâm hình vng ABCD  MO   ABCD 2 a a Suy tam giác MNO vng O, có MN  MO  NO  a      2 Tam giác MNE có MN ME  a a , NE  2 MN  NE  ME 10 ·  cos MNE   Chọn B 2.MN.NE 10 uuu r uuu r uuu r uuu r AB.CD AB.CD · r uuu r  Câu 3: Ta có cos  AB;CD   uuu AB CD AB.CD uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r Mặt khác AB.CD AB AD  AC AB.AD  AB.AC   uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r  AB AD cos  AB.AD   AB AC cos  AB.AC  AB.AD.cos 60  AB.AC.cos 60 1 AB.AD  AB AD  AB.AD  AB.CD 2 4 AB.CD Do Chọn D · cos  AB;CD    AB.CD  · · Câu 4: CD / /AB  ·AM;CD  ·AM; AB  MAB MBA AB ·  cos ·AM;CD  cos MBA  SB 1 Theo VS.ABCD  SA.SABCD  SA.3 9  SA 3 3  SB  SA  AB2 6  cos ·AM;CD   AB  SB Chọn A uuur uur uuu r uur uuu r uur Câu 5: Ta có AM  AS  AB SD AD  AS uuur uur uur uuu r uuu r uur 27  AM.SD  AS  AB AD  AS  SA  2      1 AM  SB  SA  AB2 3 ; SD  SA  AD 6 2 uuur uur AM.SD  cos ·AM;SD    Chọn C AM.SD Câu 6: Gọi H trung điểm cạnh BC  AH   ABC   · AA;  ABC    A· AH 45  HAA vuông cân H  HA AH 2 Cạnh BC  AB  AC 6  HA AH  BC 3  AA AH 3 Ta có:  2  AC  AH  HC 3 · C  cos ·BB; AC  cos ·AA; AC   cos AA  AA  AC  AC  Chọn D 2AA.AC · Câu 7: Ta có CD / /AB  ·AM;CD  ·AM; AB  MAB AM  AB2  BM ·  cos ·AM;CD  cos MAB  2AM.AB 1 a 2 Cạnh BM  SB  SA  AB  3 uuu r uuur uuur uur uuu r uuur Ta có SM 2MB  AM  AS 2 AB  AM   uuur uur uuu r  3AM AS  2AB  9AM AS2  4AB2 6a  AM  a 6  cos ·AM;CD   Chọn B 3 Câu 8: Cạnh AB  SA  AB2 a Kẻ SH  AB  H  AB   SH   ABCD  Cạnh AH  SA a   AH  AB AB 3 uur uuu r uur uuu r uuu r uur uuu r uuu r uur +) SO HO  HS AO  AH  HS  AC  AB  HS r uuu r uuu r uur uuu r uuu r uur uuu  AB  AD  AB  HS  AB  AD  HS uuu r uuu r uur uuu r 1 2 +) CD  AB  SO.CD  AB  a   uur uuu r uuu r uur AB2 AD uur +) SO  AB  AD  HS  SO    HS 36 1    SH a  SO a SH SA SB uur uuu r uur uuu r uuu r uur Câu 9: Ta có SC AC  AS AB  AD  AS uuur uur uuu r uur uur +) MN SN  SM  SB  SD r uur uuu r uur uuu r uuu r uuu  AB  AS  AD  AS  AB  AD  3 uur uuur 1  SC.MN  AB2  AD  SA  a 2 +)     uur uuu r SO.CD 2  cos ·SO;CD    Chọn D SO.CD uur AS +) SC  SA  AC  2a  2a 2a uuur uuu r uuu r uur +) MN  AB  AD  AS uuur uur MN.SC a 7 Chọn A  MN  AB2  AD  SA  MN   cos ·MN;SC    36 MN.SC 28 Câu 10: Gọi O giao điểm AC BD ta có H trọng tâm tam giác ABD +) Đặt SH x ta có: AC 3a  AH  AC a 3a 3a +) DM  AD  AM  9a      2 +) DH  DM a suy SA h  2a , SD h  5a , AD 9a +) Do ta có: SA  SD AD  h a Ta dựng HK / /SC đó: ·DM;SC  ·DH; HK  +) Ta có: SC  SH  HC2  a  8a 3a  HK a, DH a 5,  2a  22 Mặt khác: DK  SD  SK  6a    a      2 DH  HK  DK 2 ·   cos ·DM;SC   Chọn B Do cos DHK  2.DH.DK 5 Câu 11: Dựng GE / /AD  CE 2ED Khi GE  CD 2a · Mặt khác SG  CD  SEG 60 ; GE  AD  3 Suy SG GE tan 60  2a h +) Trong mp(SAC) dựng GK / / S A 4a  a  a 14 +) SA  SG  GA        2 2a 14 a2 a ; BG  a   GK  SA   BO  AC  BO  OK  BK  BO  OK Nhận xét  BO  SG +) SC  SG  GC  4a 8a 2a 4a a    CK  SC  , OC  3 GC 97 89 · · +) cosSCG    OK OC  CK  2OC.CK cos GCK  a  BK  a SC 162 81 ·  +) Do cos KGB GB2  GK  BK  cos  SA; BG  Chọn A 2GBGK 70 Câu 12: Kẻ ME P ND , với E  AD ·  ND P SMN   ·SM; ND  SME ME AE  AM  ME  AE  AM  Do SA  SB2 AB2  SAB vuông S  SM  AB 2a  a 2 a Kẻ SH  AB  SH   ABCD   SH  AD mà AB  AD  AD   SAB   SA  AD  SE  SA  AE  +) Xét SME với ME  a a a , SE  , SM a , ta có 2 SM  ME  SE · cosSME   2.SM.ME a2  a 5 Chọn D 2.a Câu 13: Ta có: SA   ABCD   SA  AB Mặt khác AB  AD  AB   SAD  · Do góc SB (SAD) góc BSA Chọn B  AC  AB  AC   ABD  Câu 14: Do   AC  AD · Khi góc CD (ABD) góc CDA · Tương tự AD   ABC   góc CD (ABC) DCA · AC   ABC   góc AC (ABD) góc CAB 90 Khẳng định B sai (kẻ AH   BCD   góc AC (BCD) góc · Chọn D ACH Câu 15: Ta có ABCD hình thoi nên: AO  BD Mặt khác SA   ABCD   SA  BD Do BD   SOA  AH  SO  AH   SBD  Dựng AH  SO   AH  BD · · Khi góc SA (SBD) ASH Chọn C ASO Câu 16: Do tam giác ABC SBC nên SH  BC ; AH  BC SH AH  a · Do SH   ABC   góc SA (ABC) SAH ·  Mà tan SAH SH · 1  SAH 45 Chọn C AH Câu 17: Do SA   ABCD   SA  BC Mặt khác ABCD hình chữ nhật nên BC  AB · Suy BC   SAB   góc SC (SAB) CSB Chọn B Câu 18: Gọi H hình chiếu vng góc điểm S mặt phẳng (ABC) · · · Theo giả thiết ta có: SAH ABH SCH Khi SAH SBH SCH  HA HB HC Vậy H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chọn B Câu 19: Gọi S.ABC hình chóp tam giác hình chiếu vng góc đỉnh S lên mặt đáy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC trọng tâm tam giác ABC Gọi H trọng tâm tam giác ABC M trung điểm AC 2 AB AB Khi BH  AM   3 a AB a · Lại có: SBH 60  BH SBcos 60     AB  a  chu vi đáy P hình chóp P 3AB  3a Chọn C · Câu 20: SA   ABCD   · SC;  ABCD   SCA Do ABCD hình vng cạnh a  AC a Tam giác SAC vuông S nên SC  SA  AC 2a Khi cos   AC  Chọn D SC Câu 21: Gọi H trung điểm BC SH   ABC  AH  BC a  2 a a Lại có: HB   SH  SB2  HB2  2 SH · ·   Góc SA (ABC) SAH , tan SAH HA · Do SAH 60 Chọn C Câu 22: Do SAB tam giác nên H trung điểm cạnh AB Ta có: SH  AD mà ABCD hình vng nên AD  AB  AD   SBA  Trong tam giác SAB dựng đường cao BK  K trung điểm SA · Lại có: AD  BK  BK   SAD    BDK Đặt AB a  BD a 2; BK  Do sin   a BK a Chọn D  :a  BD  BD  AC  BD   SAC  Câu 23: Do   BD  SA Do góc BD (SAC) 90  IK / /SA Mặt khác  (tính chất đường trung bình)  KJ / / SC Suy  IJK  / /  SAC   BD   IJK  Vậy góc BD (IJK) 60  C sai Chọn C  BC  SA  BC   SAH  Câu 24: Ta có   BC  AH  BC  SA  BC   SAK   điểm S, A, H, K đồng phẳng Tương tự   BC  SK BH  SA  BH   SAC   BH  SC Lại có:  BH  AC BH  SC  SC   BHK   SC  HK Khi  BK  SC Mặt khác HK  BC  HK   SBC   Số đo góc HK (SBC) 90 Chọn B CC   ABCD   Câu 25: Do góc AC (ABCD) góc · AC  tan   CC  Chọn B C AC Câu 26: Do SA   ABCD   SA  BC Mặt khác ABCD hình chữ nhật nên BC  AB · Suy BC   SAB   góc SC (SAB)  CSB Khi tan   BC BC a    Chọn C SB SA  AB2 a Câu 27: Gọi O tâm hình vng ABCD SO   ABCD  Gọi H trung điểm OC Do M, H trung điểm SA, OC  MH đường trung bình SAO  MH / /SO ·  MH   ABCD   MNH 45 Lại có: AC  a 3a a  HC  AC  ;CN  Do đó: HN  HC2  CN  2CH.CN.cos 45  MHN vuông cân H  HM HN   SO 2MH  a 10 a 10 a 10 Chọn C  BC  SA  BC   SAH  Câu 28: Ta có   BC  AH  BC  SA  BC   SAK   điểm S, A, H, K đồng phẳng Tương tự   BC  SK BH  SA  BH   SAC   BH  SC Lại có:  BH  AC  BH  SC  SC   BHK    90 Chọn D Khi   BK  SC Câu 29: Ta có SM   ABCD  Dựng NK  MC  NK  SM  NK   SMC  Khi   NK  CM Lại có: SM  a a ; MN  BD  2  SN  SM  MN  a Mặt khác CM  BM  CB2  a ;SABCD a a2 a2 3a SAMN  AM.AN  ;SBMC SDNC   SNMC SABCD  SAMN  SMBC  SNCD  8 Khi NK  2SNMC NK   sin    Chọn D CM 10 SN Câu 30: Gọi H trung điểm AB  SH   ABCD   BC  SH  BC   SAB  Khi   BC  AB Dựng AK  SB  AK   SBC  Do AD / /BC  AD / /  SBC   d  D;  SBC   d  A;  SBC   AK  a SD  SH  HD  SH  AH  AD a Khi sin ·SD;  SAB    d  D;  SBC   SD  Chọn D  BC  SA  BC  AP Câu 31: Ta có   BC  AB Lại có: AP  SB  AP   SBC   AP  SC Tương tự AQ  SC  SC   APQ  Dựng AN  SC · Gọi I CM  NQ  CN   APQ  ; · CM;  APQ   CIN · Ta có cos NCI  SC2  CM  SM 2.SC.CM Trong SC a 5;SM a CM  SC  CD SD 10 ·  a  cos NCI  10 · · ·  sin NCI   cos NCI  cos CIN cos  Chọn A 10 · Câu 32: Do d1     , d         ;     d· ;d Chọn B     Câu 33: Ta có SA   ABC   SA  BC  BC   SBA   Mặt khác BC  AB    BC   SBC    ABC  góc mặt phẳng · (SBC) mặt phẳng (ABC) góc SBA Chọn B Câu 34: Dựng AK  BC , tam giác ABC nên AK  AB a SA  BC  Lại có:   AK  BC  BC   SKA   góc tạo hai mặt phẳng   BC   SBC    ABC  · (SBC) (ABC) góc SKA ·  Mặt khác tan SKA SA ·   SKA 49, 6 Chọn B AK Câu 35: ABCD hình thoi nên AC  BD O BD   SOA  Do SA   ABCD   BD  SA   BD  SBD    ABC  Suy SA a · ·  tan SOA   1  SBD  ;  ABCD   SOA · AO a · Vậy · 45 Chọn C  SBD  ;  ABCD   SOA Câu 36: Ta có cơng thức: S Scos  Trong  góc mặt phẳng (P) (ABC) Do đó: SABC SABC cos  Chọn B Câu 37: Do SA   ABC   ABC hình chiếu SBC mặt phẳng · (ABC) Mặt khác    SBC  ;  ABC    Ta có cơng thức: SABC SSBC cos  Chọn A Câu 38: ABCD hình vng nên AC  BD O Lại có SA   ABCD   BD  SA  BD   SOA  · Do · Chọn A  SBD  ;  ABCD   SOA Câu 39: Gọi d  SAB    SCD  Do AB / /CD  d / /AB / /CD Ta có: SA   ABCD   SA  AB Lại có: AD  AB  AB   SAD  Vì d / /AB  d   SAD   góc hai mặt phẳng (SAB) (SCD) góc SA SD Chọn A Câu 40: SA   ABCD   SA  AB Lại có: AB  AD  AB   SAD    SAB    SAD  Do góc hai mặt phẳng (SAB) (SAD) 90 Chọn C Câu 41: SA   ABCD   SA  CD Mặt khác CD  AD  CD   SDA  · Mà CD  SCD    ABCD   ·  SCD  ;  ABCD   SDA ·  Lại có: tan SDA SA ·   SAD 60 Chọn B AD Câu 42: SA   ABCD   SA  CD Mặt khác CD  AD  CD   SDA    SCD    SAD   góc hai mặt phẳng (SCD) (SAD) 90 Chọn A Câu 43: ABCD hình vng nên BD  AC Mặt khác SA   ABCD   SA  BD Do BD   SAC   BD  SC Lại có: OH  SC  SC   BHD  Mà SC  SBC    SCD   góc hai mặt phẳng (SBC) (SCD) góc BH DH Chọn D · Câu 44: Ta có ·  , SBC nên  SBC  ;  ABCD   SMO SM  a Lại có: AM  a AM a  OM   SO SM  OM  tan    2 Chọn A OM OM Câu 45: Gọi O tâm hình vng ABCD  SO   ABCD   SO  CD Dựng OK  CD  CD   SKO   góc mặt bên (SCD) mặt · phẳng đáy chóp SKO SCD cạnh a  SK  · Do tan SKO  a AD a ;OK   2 SO SK  OK   Chọn C OK OK Câu 46: Tam giác ABC vuông cân B nên AC AB Suy AB a Mặt khác SA   ABCD   SA  BC mà AB  BC · · Do BC   SBA    SBC  ;  ABC  SBA   ·  Lại có: tan SBA SA a ·    SBA 60 Chọn A AB a SA   BAD  ·  · SAB  ;  SAD  BAD Câu 47:  SA  SAB  SAD        · Do AB AD BD 2a  ABD nên BAD 60 Vậy ·  SAB  ;  SAD   60 Chọn A Câu 48: Do  ABCD  / /  ABCD Do  ·ABD ;  ABC   ·ABD  ;  ABC    Gọi O tâm hình vng ABCD  AO  BD Mặt khác BD  AA  BD   AAO  · OA Do  A AA a AA a tan     Đặt AB a   OA a a suy OA    tan     54 44 Chọn A · Câu 49: SA   CAB   ·  SAC  ;  SAB   CAB · Do tam giác ABC nên CAB 60 Chọn C Câu 50: Do ABCD hình thoi nên AC  BD Mặt khác SC   ABCD   SC  BD Do BD   SAC    SBD    SAC  Vậy góc hai mặt phẳng (SAC) (SBD) 90 Chọn C Câu 51: Gọi O tâm hình vng ABCD  SO   ABCD   SO  CD Dựng OK  CD  CD   SKO   góc mặt bên (SCD) mặt phẳng · đáy chóp SKO  Đặt AB AD a  SC 2a Ta có: OK  AD a a  ;CK  2  SK  SC  CK  Khi cos   a 15 OK    75 2 Chọn A SK 15 Câu 52: Dựng MK  CD , SM   ABCD   SM  CD CD  SCD    ABCD  Khi ta có:  CD   SKM  ·  · SCD  ;  ABCD  SKM    Do SAB nên SM   tan   a , MK AD a AM    40 53 Chọn C MK SOBC SSBC cos   Câu 53: Ta có SOAB SSAB cos  với  30 góc tạo mặt bên mặt S  OAC SSAC cos  đáy Do diện tích đáy Sđ Sxq cos  90.cos 30 78cm Chọn D Câu 54: Gọi O tâm hình vng ABCD  SO   ABCD   SO  BD Mặt khác BD  AC  BD   SAC    MBD    SAC  nên góc hai mặt phẳng (MBD) (SAC) 90 Chọn C Câu 55: Ta có BD  SBD    ABCD  Dựng AH  BD , mặt khác SA   ABCD   SA  BD · · Do BD   SHA    SBD  ;  ABCD  SHA   Lại có: AH  AB.AD AB  AD  2a SA ·  tan SHA   AH Chọn A Câu 56: Ta có  ABC  / /  ABC  · ABC  ;  ABC  · ABC  ;  ABC       BC   AAB  Lại có AB  BC mà AA  BC   Khi  ·ABC ;  ABC   ·AB; AB A· BA · BA  Tam giác AAB vuông A, có cos A AB · BA 60   A AB Vậy  60 Chọn D Câu 57: Gọi H trung điểm AB  SH  AB  SH   ABC  Gọi M, N trung điểm BC, BM Ta có AM  BC mà HN / /AM  HN  BC · · Lại có SH  BC  BC   SHN    SBC  ;  ABC  SNH   Tam giác SHN vng H, có · tan SNH  SH AM a a · SH :  : 2  SNH 63 26 HN 2 Vậy  63 26 Chọn D Câu 58: Gọi O tâm hình vng ABCD Ta có MA  BD ; AC  BD  BD   MAO  Khi ·  ·MBD ;  ABCD   ·MO;OA  MOA Tam giác MAO vng A, có · tan MOA  MA AA ·    MOA 35 15 Chọn A OA AC Câu 59: Gọi M trung điểm AB  ADCM hình vng Khi AC a ; AM  AB AB 2a  AC  BC · · Mà SA  BC  BC   SAC    SBC  ;  ABCD  SCA   · Tam giác SAC vng S, có tan SCA  Vậy tan ·  SBC  ;  ABCD    SA  AC 2 Chọn B Câu 60: Ta có SA đường cao  SA   ABC   SAB    ABC  AB Lại có  SAB    SAC  SA;   SAC    ABC  AC Suy ·  ·SAB ;  SAC   ·AB; AC  BAC ·  Tam giác ABC vng B, có tan BAC BC  AB ·  BAC 30    · SAB  ;  SAC  30 Chọn D   Câu 61: Ta có SA  BC mà AB  BC  BC   SAB   SBC    SAB  SB Lại có  SBC    ABCD  BC ;   ABCD    SAB  AB · Suy ·  SBC  ;  ABCD   ·SB; AB  SBA ·  Tam giác SAB vng A, có tan SBA SA  AB ·  SBA 60    · SBC  ;  ABCD  60 Chọn B   Câu 62: Gọi M trung điểm BC  ABC cân A    AM  BC (1)  BCD cân D    DM  BC (2) · · Từ (1), (2) suy BC   ADM    ABC  ;  BCD  AMD   Tam giác ABM vuông M  AM  AB2  BM  a 2 Tam giác BDM vuông M  DM  BD  BM  a 2 Xét tam giác ADM có AM DM  · Suy cos AMD  Vậy a a ; AD  2 AM  DM  AD ·   AMD 120 2.AM.DM  ·ABC ;  BCD  180  120 60 Chọn B Câu 63: Kẻ AH  BD  H  BD  mà SA  BD  BD   SAH   SAH    SBD  SH ·  · SBD  ;  ABCD  SHA Ta có   SAH    ABCD  AH   Tam giác ABD vng A, có AH  AB.AD AB2  AD ·  Tam giác SAH vuông A, có tan SHA  a SA 2 Chọn C AH Câu 64: Chọn  60 Gọi O tâm hình vng ABCD ·  ABCD  ·SA; AO  SAO ·  SO   ABCD   SA; 60   · Tam giác SAO vng O, có tan SAO  SO a  SO  OA  AB   SMO  Gọi M trung điểm AB   Suy ·   ·SAB ;  ABCD   ·SM;OM  SMO ·  Tam giác SMO vng O, có tan SMO SO  OM  tan   tan  Chọn B  AB 1 Câu 65: Chọn AA 4AB 2AD 4  AA 4;   AD 2 Kẻ AH  BD  H  BD  mà AA  BD  BD   AAH   AAH    ABD  AH · AH  ·  ABD  ;  ABCD   A Ta có   AAH    ABCD  AH Tam giác ABD vng A, có AH  AB.AD AB2  AD ·  Tam giác AAH vuông A, có tan SHA  5 AA 2 Chọn A AH Câu 66: Gấp miếng bìa ta hình hộp chữ nhật ABCD.ABCD Theo giả thiết, ta có AA 30 , ABCD hình vng cạnh 10 Ta có AD  AB ; AA  AB  AB   ADDA · AD  · ABCD ;  ABCD  ·DA; AD  D   · AD  Tam giác DAD vng D, có tan D DD 3 AD · AD arctan 71 33 Vậy  71 33 Chọn D Suy D Câu 67: Đặt SA SB SC a ·  Tam giác SAB có ASB 120    AB  ·  Tam giác SBC có BSC 90    BC  ·  Tam giác SCA có CSA 60    AC 1 Suy AC2  BC2 AB2  ABC vuông C Do đó, hình chiếu H S (ABC) trung điểm AB Gọi M trung điểm BC  HM / /AC  HM  BC · · Mà SH  BC  BC   SHM    SBC  ;  ABC  SMH  ·  Tam giác SHM vng H, có tan SMH  SH 1 HM · Vậy SMH 45    ·  SBC  ;  ABC   45 Chọn C Câu 68: Đặt SA SB SC a ·  Tam giác SAB có ASB 120    AB  ·  Tam giác SBC có BSC 90    BC  ·  Tam giác SCA có CSA 60    AC 1 Suy AC2  BC2 AB2  ABC vng C Do đó, hình chiếu H S (ABC) trung điểm AB Gọi M trung điểm AC  HM / /BC  HM  AC · · Mà SH  AC  AC   SHM    SAC  ;  ABC  SMH   ·  Tam giác SHM vuông H, có tan SMH SH  HM · Vậy tan  SBC  ;  ABC   Chọn A   Câu 69: Kẻ OH  SC  H  SC  mà BD  SC  SC   HBD  Ta có  HBD    SCD  HD ;  HBD    SBC  HB Suy  60 ·   ·SBC ;  SCD  ·BH; DH  BHD  180  60 120 ·  TH1 BHD 60 mà BH DH  HBD  BH a Tam giác SAB vuông A    SB2 SA  AB2 x  a Tam giác SBC vuông B   a 2  1  2 BH SB BC2 1    vô nghiệm (loại) x a a a ·  TH2 BHD 120 mà BH DH  BH a :  Tam giác SAB vuông A    SB2 SA  AB2 x  a Tam giác SBC vuông B 1 1  2  2 BH SB BC a   · · 45 Câu 70: SA   AMN    SAM  ;  SAN  MAN   · · · · · Lại có BAM  MAN  NAD 90  BAM  NAD 45 · · tan BAM  tan NAD · ·  NAD  Khi tan 45 tan BAM · ·  tan BAM.tan NAD    1   x a Chọn A x a a BM ND  a x a y a x a y   AB AD     BM ND a a a a 1 AB AD  a   a  x   a  y  a  2a  x  y   2a  xy 2a  x  y  Chọn A