Iii lời giải bài tập tự luyện

LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN BC  AH  BC  (HAD)  BC  AK Câu 1: Kẻ AH  BC, AK  DH ta có  BC  DA Mà AK  DH  AK  (BCD) Ta có 1 1 1    2  2 2 AK AH AD AB AC AD2 1 1    Chọn A d a b c Do 1 AB2.AC2 AB.AC    d   d Câu 2: Ta có Chọn A 2 2 d AB AC AB  AC AB2  AC2 Câu 3: Do MN // (α) nên d1 = d2 Chọn A Câu 4: Khẳng định sai d((), ()) MN Chọn D Câu 5: Khoảng cách từ D đến mặt phẳng (ABC) khoảng cách từ D đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Mà tam giác ABC nên trọng tâm tâm đường tròn ngoại tiếp Do A, B, C Chọn D Câu 6: 1 1 1 61 12 61  2   2 2 2  d(A, (BCD))  2 d(A, (BCD)) AB AC AD 144 61 Chọn A Câu 7: Khoảng cách lớn đỉnh đường chéo a Chọn A uuuur uuuu r uuu r uur uuu r uuu r uur d1 IM  2 Chọn D Câu 8: Ta có 3MI 2MN  3MI 2(IN  IM)  IM  2IN 0 Ta có d IN Câu 9: Ta có d1 IM   Chọn A d IN Câu 10: Gọi N trung điểm BC d(A, (A ' BC)) NA  3 d(A, (A 'BC)) 3d(O, (A ' BC)) d(O, (A ' BC)) NO Do đáp án D sai Chọn D Câu 11: Ta có d(A,(DA’C’) = d(D’,(DA’C’)) Kẻ D ' E  A 'C ', D 'F '  DE A 'C '  DD '  A 'C '  (DD 'E)  A 'C '  D'F Ta có  A 'C '  D 'E Mà D'F  DE  D 'F  (DA'C') Ta có  1 1 1      2 2 D'F DD ' D 'E DD ' D 'A' D 'C'2 1 a 2b  b2c2  c2a abc  2 2  D 'F  2 2 2 a b c abc a b  b 2c  c 2a Chọn A Câu 12: Kẻ AE  BC, AF  SE  BC  AE  BC  (SAE)  BC  AF Ta có   BC  SA a Mà AF  SE  AF  (SBC) Ta có AE  1 1 3a  4h ah       AF  2 2 2 3a AF SA AE h 3a h 3a  4h Chọn B Câu 13: Ta có d(A, CC') AC a Chọn B Câu 14: Gọi O trung điểm A’C’ B’D’ B 'D '  A 'C '  B 'D'  (AA 'C ')  B' D '  AO Ta có  B 'D '  AA '  a 2 a d(A, B'D') AO  AA '  A 'O  a       2 Chọn A Câu 15: Gọi H tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC  SH  (ABC) Gọi M trung điểm BC 2 3a Ta có AH  AM  a 3 d(S, (ABC)) SH  SA  AH   a 7   a 3 2a Chọn B AB  BC  AB  (SBC)  d(A, (SBC)) AB Câu 16:  AB  SC Chọn B 1 Câu 17: Ta có d(K, (ABCD))  d(S, (ABCD))  SC a Chọn A 2 Câu 18: Có vơ số đường thẳng cắt ∆1 M cắt ∆2 N Ta có d(∆1,∆2) ≤ MN, dấu xảy  MN đoạn vng góc chung ∆1 ∆2 Chọn A Câu 19: Theo giả thiết tốn ta có: d(1, ()) d( 2, ()) d( 1,  2) d((), ()) Mặt khác : d((),()) MN, M  1, N   Do khẳng định C sai Chọn C Câu 20: Do 1 / /() , mặt phẳng () chứa 1 cắt () theo giao tuyến   1 / /  Mặt phẳng ( 1;  2) ()  () nên d( 1,  2) d(1, ()) Chọn A Câu 21: Do  song song với mặt phẳng () nên khoảng cách từ  đến () khoảng cách từ điểm  đến () Bằng khoảng cách từ mặt phẳng () đến () với () mặt phẳng chứa  song song với () khoảng cách từ mặt phẳng () đến () với () mặt phẳng chứa  song song với () Các khẳng định A, C D Khẳng định B sai Chọn B Câu 22: Các khẳng định A, B C Khẳng định sai D Chọn D Câu 23: d khoảng cách đường thẳng  nằm () đến hình chiếu vng góc  lên () suy khẳng định C D sai Chọn D Câu 24: Ta có AB / /CD  AB / /(CDD 'C ') : nên d(A, (CDD 'C ')) d(B, (CDD 'C '))  A Do (ABCD) / /(A ' B'C ' D ') nên d((ABCD), (A 'B'C 'D ')) d(B, (A 'B 'C 'D ')) d((ABCD), (A 'B'C 'D ')) d(AC, (A ' B'C ' D '))  B,D Khẳng định sai C Chọn C Câu 25: Ta có: AB / /CD  AB / /(SCD)  d(A, (SCD)) d(B, (SCD))  A Tương tự CD / /(SAB)  d(C, (SAB)) d(D, (SAB)) Do AC BD O OA = OC  d(A;(SBD)) d(C;(SBD)) suy B C Khẳng định sai D Chọn D Câu 26: Dễ thấy AB'/ /C ' D  AB'/ /(C DD 'C ') nên d(AB ', (C DD 'C ')) d(A;(C DD 'C ')) d Mặt khác ABCD.A’B’C’D’ hình lập phương nên AD  (C DD 'C ')  d AD a Chọn A Câu 27: Ta có d((ABCD), (A 'B 'C 'D ')) AA ' CC ' c d(BB', (ACC ' A ')) d(B;(ACC'A') Dựng BH  AC , mặt khác BH  AA '  BH  (ACC'A') Khi d(BB ', (ACC ' A ')) BH  AB.BC BA  BC2  ab a  b2 Dễ thấy AB'/ /C ' D  AB'/ /(CDD 'C ') nên d(AB', (CDD 'C ')) d(A;(CDD 'C ')) AD BC b Khẳng định sai D Chọn D  A ' B'/ /CD '  (BA 'C ') / /(ACD ') Câu 28: Dễ thấy   BC '/ /AD ' Do d((BA 'C ');(ACD ')) d(B;(ACD ')) Mặt khác BD cắt AC trung điểm O BD suy d((BA 'C ');(ACD ')) d(B;(ACD '))  AC  DO  AC  DE Dựng DE  D'O , mặt khác   AC  DD' Do DE  (D ' AC)  d d(D;(D ' AC) DE  Trong DO  DO.DD ' DO2  DD '2 DB a a  ; DD ' a  d  Chọn A 2 Câu 29: Ta có: SA  (ABCD)  SA  AD Mặt khác AD  AB  SA  (SAB) Do CD / /(SAB)  d(CD, (SAB)) d(D;(SAB)) DA a Chọn A Câu 30: Do AB / /CD  AB / /(SCD) Khi d(AB, (SCD)) d(A;(SCD)) Dựng AH  SD , ta có SA  (ABCD)  SA  CD CD  SA  CD  (SAH)  CD  AH Do  CD  AD Lại có AH  SD  AH  (SCD) Suy d(A : (SCD)) AH  Chọn C SA.AD SA  AD  a 2 Câu 31: Gọi O tâm hình thoi ABCD OA = OC suy OM đường trung bình ∆SAC  OM//SA  OM  (ABCD)  OM  OA Do ABCD hình thoi nên OA  BD  OA  (MBD) Khi d(SA;(MBD)) d(A;(MBD)) AO ) ) Mặt khác: ABC 120o  BAD 60o  VABD cạnh a Nên AO ABsin 60o  a a Chọn C  d 2 Câu 32: Do AB / / CD  AB/ /(SCD) Suy d(B;(SCD)) d(A;(SCD)) d CD  SA  CD  (SAD) Ta có:  CD  AD Dựng AH  SD  AH  (SCD) Khi d d(A;(SBC)) AH  SA.AD SA  AD  a Chọn A Câu 33: Do AD / / BC  AD/ /(A'BC) Suy d(B;(A'BC)) d(A;(A'BC)) Dựng AH  A 'B , lại có BC  (A'AB)  BC  AH Do AH  (A 'BC)  d(A;(A'BC)) AH Lại có: AH  AA '.AB AA '2 AB2  a 2 Vậy d(D;(A' BC)) d(A;(A'BC))  a Chọn C Câu 34: Ta có: G trọng tâm tam giác SAC  SG = 3MG Mặt khác MG  (SBC) S  d M MS   d G GS 2 2a a Suy d G  d M  Chọn B  3 Câu 35: Do S.ABCD hình chóp có O tâm đáy nên đáy hình vng tâm O SO  (ABCD) Dựng OE  BC , mặt khác SO  BC  BC  (SOE) Dựng OF  SE  OF  (SBC)  d(O;(SBC)) OF Ta có: OE   OF  AB a  ;SO AB a 2 SO.OE SO  OE  a 5 Mặt khác DB 2OB  d(D;(SBC)) 2d(O;(SBC))  2a Chọn C Câu 36: Gọi H, M trung điểm AB, CD Ta có SH  AB  SH  (ABCD), HM  CD  CD  (SHM) Kẻ HK  SM(K  SM) mà HK  CD  HK  (SCD) Tam giác SHM vng H, có HK  SH.HM SH  HM  a 21 Mặt khác AB / /CD  AB / /(SCD) a 21 Chọn B ) ) ) Câu 37: Ta có  SC;(ABCD)   SC; A C  SCA 60o ) Tam giác SAC vng A, có SA AC.tan SCA 2a  d  d;(SCD) d  H;(SCD)   Kẻ AH  SB(H  SB) mà BC  (SAB)  AH  (S BC) Tam giác SAB vuông A, có AH  SA.AB SA  AB  2a 39 13 Vì G trọng tâm VABC  d  G;(SBC)   d  A;(SBC)  Vậy khoảng cách cần tìm d  2a 39 Chọn B 39 Câu 38: Gọi H trung điểm AC  BH  AC Mà SA  BH  BH  (SAC)  d  B;(SAC)  BH  Tam giác SAB vng A, có AI  SA.AB SA  AB 2 Tam giác SAI vng I, có SI  SA  AI   3a a a Suy IS 3 3a   d  I;(SAC)   d  B;(SBC)   SB 4 Chọn C ) Câu 39: ABCD nửa lục giác  ABC 120o ; AC  CD Kẻ AH  SC(H  SC) mà CD  AH  AH  (SCD) ) Tam giác ABC có AB BC a; ABC 120o  AC a Tam giác SAC vng A, có AH  SA.AC SA  AC  a a Vậy d  B;(SCD)   d  A;(SCD)   Chọn C ) ) Câu 40: Ta có BAD 120o  ABC 60o  VABC Gọi M trung điểm BC  AM  BC  BC  (SAM) ) ) ) Suy  (SBC);(ABCD)   SM; AM  SMA 30o Kẻ AK  SM(K  SM) mà BC  AK  AK  (SBC) Tam giác AKM vuông K, có AK AM.sin 30o  a Lại có AD / /BC  AD / /(SBC)  d  D;(SBC)  d  A;(SBC)   a Chọn D Câu 41: Gọi O trọng tâm ∆ABC, M trung điểm BC Suy SO  (ABC), OM  BC  BC  (SMO) Kẻ OH  SM(H  SM) mà BC  OH  OH  (SBC) Ta có AM  3a a AB   OA  AM a;OM  AM  2 3 Tam giác SAO vng O, có SO  SA  OA a Tam giác SMO vng O, có OH  Lại có SO.OM SO  OM  a AM 3a 3 d  A;(SBC)  3d  O;(SBC)  3OH  OM 3a Mặt khác E trung điểm AB  d  E;(SBC)   d  A;(SBC)   10 Chọn C ) ) SA  AB  AB  (SAC)  SB;(SAC) BSA 45o Câu 42:  AC  AB   Suy tam giác SAB vuông cân A → SA = AB = a Xét hình chóp S.ABC, ta 1 1 a 21  2   d  A;(SBC)   2 d  A;(SBC)  SA AB AC Lại có SA 2a 2a 21 a :   d  M;(SBC)   d  A;(SBC)   MS 3 21 Chọn A Câu 43: Kẻ AH  BD(H  BD) mà A 'O  BD  AH  (A ' BD)  d  A;(A ' BD)  AH Tam giác ABD vng A, có AH  Vậy d  A;(A ' BD) d  B';(A ' BD)   AB.AD a  BD a Chọn D Câu 44: Gọi O tâm hình vng ABCD, M trung điểm BC Suy SO  (ABCD), OM  BC  BC  (SMO) ) ) ) Khi (SBC);(ABCD) (SM;OM) SMO 60o Kẻ OH  SM(H  SM)  OH  (SBC) ) OH a Tam giác OHM vng H, có sin HMO   OH  OM Vì G trọng tâm tam giác ABC  GC  OC 4 4a a Chọn B  d  G;(SBC)   d  O;(SBC)   OH   3 Câu 45: Gọi H, K trung điểm AC, BC Ta có SH  AC  SH  (ABC) HK / /AB  HK  BC BC  HE  HE  (SBC) Kẻ HE  SK(E  SK)   SK  HE Tam giác ABC vuông B, có AC  AB ) 2a  SH a cosBAC Tam giác SHK vng H, có HE  SH.HK SH  HK Lại có G trung điểm SA, H trung điểm AC  a 39 13 a 39 Chọn C HK d  G;(SBC)   d  A;(SBC)   13 Câu 46: Gọi E trung điểm AD  ABCE hình vng  AC  CD mà SA  CD  CD  (SAC) Kẻ AK  SC(K  SC)  AK  (SCD) SA.AC Tam giác SAC vng A, có AK  SA  AC2 a a Do d  B;(SCD)   d  A;(SCD)   2 Mà H hình chiếu A SB  HS  SB 2a a Suy d  H;(SCD)   d  B;(SCD)    Chọn C 32 Câu 47: Kẻ HK  SB(K  SB)  HK  (SBC) Vì HB 3HA  HA a, HB 3a  HC  BH  BC 5a ) ) ) Ta có SC;(AB CD)  SC; HC  SCH 45o  SH HC 5a Tam giác SBH vng B, có ) ) ) SC;(AB CD)  SC; HC  SCH 45o  SH HC 5a Khi d  H;(SBC)  BH 10a 34    d  A;(SBC)   d  A;(SBC)  AB 17 1 10a 34 5a 34 Vậy d  O;(SBC)  d  A; (SBC)    2 17 17 Chọn B Câu 48: Kẻ SH  AB(H  AB)  SH  (ABCD) Kẻ HK  BD(K  BD)  BD  (SBD) ) ) ) Do (SBD);(ABCD)  SK; HK  SKH 60o Kẻ HE  SK(E  SK)  HE  (SBD) Ta có SA 2 SB2 AB2  VSAB vuông S Suy SH  SA.SB a 3 BH   BH  SB2  SH    AB 2 AB ) HE a Tam giác SHE vng E, có sin HSK   HE  SH Khi d  H;(SBD)  AB 4a a    d  A;(SBD)    d  A;(SBD)  BH 3 Vậy d  C;(SBD)   a Chọn A Câu 49: Do SA  (ABC) SC tạo với (ABC) góc 45° ) nên SCA 45o Ta có: AC  AB2  BC2 2a  SA AC tan 45o 2a Gọi M, N trung điểm AB AC G1G / /MN / /BC  d(G1G 2;(SBC)) d(G 1;(SBC)) d 2 Mặt khác G1S  MS  d G1  d M mà MB  AB 3  d M  d(A;(SBC)) Suy d G1  d(A;(SBC))  BC  AB  BC  (SAB)  BC  AH Dựng AH  SB ,   BC  SA Mặt khác AH  SB  AH  (SBC)  d(A;(SBC)) AH  Suy d  SA.AB SA  AB2  2a 2a Chọn C Câu 50: Ta có: A’B cắt AB’ trung điểm I đường Do d(BC, (AB'C')) d(B;(AB'C ')) d(A ';(AB'C ')) d  B'C '  A 'B' Dựng A ' F  AB' ta có:   B'C '  AA '  A'F  AB'  B 'C '  (A ' B' A) Lại có   A ' F  (AB'C ')  A'F  BC Khi đó: d A ' F  AB'.AA ' AB'2 AA '2 ) Trong AB’ tạo với mặt phẳng đáy góc 60° nên A ' BA 60o  AA ' A 'Bsin 60o 2a sin 60o a Mặt khác AB AB'co s60o a Suy d A ' F  AB'.AA ' 2 AB'  AA '  a Chọn C Câu 51: Dựng AE  BD; AF  A'E ) ) a Do ABC 120o  BAD 60o  VABD tam giác cạnh a  AE   BD  AE  BD  (A 'AE)  BD  AF Do   BD  AA ' Mặt khác AF  A ' E  AF  (A 'BD) Do A’B tạo với mặt phẳng đáy góc 60° )  A ' BA 60o  A 'A AB tan 60o a Khi d(A;(A ' BD) AF  AA '.AE AA '2 AE  a 15 Do B ' D / /BD  d(B 'D';(A'BD)) d(B';(A'BD)) d Mà A ' B  AB' I trung điểm AB’  d d(A;(A 'BD)) AF  a 15 Chọn D Câu 52: Dễ thấy A’.ABC hình chóp tam giác nên hình chiếu A’ xuống mặt đáy trùng với trọng tâm tam giác ABC MN đường trung bình tam giác BA’C nên MN//A’C Khi d(A'C, (AMN)) d(A';(AMN)) d(B;(AMN) d Gọi H hình chiếu N mặt phẳng (ABC)  NH/ / A'G'  H trung điểm BG Dựng HE  AM; HF  NE  d(H;(AMN)) HF Mặt khác HE  BM BC a A 'G   , NH  4 Trong BG  a a  A 'G  A 'B2  BG  3 Do NH  a NH NE a  HF   22 NH  NE Suy d d(B;(AMN)) 2d(H;(AMN))  2a a 22  Chọn A 11 22 Câu 53: Gọi O giao điểm AC BD OA  SA  OA đoạn vng góc chung SA BD Ta có  OA  BD a Ta có AC  AB2  BC2 a  OA  AC  2 Ta có d(SA, BD) OA  a Chọn D  AB  SA  AB đoạn vng góc chung SA BC Câu 54: Ta có   AB  BC Ta có AB  BC ∆ABC cân nên ∆ABC vng cân B Do AB = BC = a Ta có d(SA,BC) = AB = a Chọn B Câu 55: Ta có JA = JB  IJ  AB Ta có IC = ID  IJ  CD Do IJ đoạn vng góc chung AB CD Do d(AB,CD)=IJ Chọn B Câu 56: Gọi O giao điểm AC BD  SO  (ABCD) Kẻ OH  SC  BD  AC  BD  (SAC)  BD  OH  BD  SO  OH  SC  OH đoạn vuông góc chung BD SC  OH  BD  a a OC  AC  ,SO  SC  OC  2  1 a a  2   OH   d(BD,SC)  2 OH OS OC a 2 Chọn B Câu 57: Gọi M giao điểm AB’ A’B, N giao điểm CD’ C’D  MN  AB'  MN đoạn vng góc chung AB’ CD’   MN  CD '  MN BC  AC2  AB2 a  d(AB ', CD ') MN a Chọn A CD  AD  CD  (SAD)  CD  SD Câu 58: Ta có  CD  SA CD  SD  CD đoạn vng góc chung SD BC  CD  BC  CD  AC2  AD2 a  d(SD, BC) CD a Chọn D Câu 59: Kẻ BH  SM, AK  SM  BH AK  BC  AB  BC  (SAB)  BC  BH   BC  SA  BH  BC  BH đoạn vng góc BC SM   BH  SM  1 a a  2   AK   BH  2 AK SA AM 2a 3  d(BC,SM) BH  a Chọn A Câu 60: Gọi N trung điểm BC Ta có A ' B '/ /MN  d(A 'B', C ' M) d(A ' B', (C ' MN)) d(B ', (B'MN)) 2d(C,(B ' MN)) MN  BC  MN  (BCC ')  MN  HC Kẻ CH  C ' N   MN  CC ' Mà HC  C ' N  HC  (C 'MN) Lại có 1 1     HC a 2 2 HC NC CC ' 2a  d(C, (B'MN)) a  d(A ' B', C 'M) 2a Chọn B  BC  AB  BC  (SAB)  BC  SB Câu 61: Ta có   BC  SA  BC  SB  BC đoạn vng góc chung SB CD   BC  CD  d(SB, CD) BC a Chọn A Câu 62: Gọi J trung điểm OB  IJ//OC, kẻ OH  AJ  IJ / /OC  d(AI, OC) d(OC, (AIJ)) d(O,(AIJ))  IJ  OB  IJ  (OAB)  IJ  OH   IJ  OA Mà OH  AJ  OH  (AIJ)  1 a     OH  2 OH OA OJ a Do d(AI, OC)  a Chọn B Câu 63: Kẻ OH  SA, CK  SA BD  AC  BD  (SAC)  BD  OH  BD  SA OH  SA  OH đoạn vng góc chung SA BD  OH  BD Ta có AC a 1 1 a  2   CK a  OH  2 CK CS CA a a  d(SA, BD) OH  Chọn A Câu 64: Ta có AA'//CC'  d(AB',CC') =d(CC',(ABB'A'))=d(C,(ABB'A')) CH  AB  CH  (ABB'A') Kẻ CH  AB ta có  CH  AA ' Ta có d(AB',CC')=CH= a Chọn A CD  AD  CD  (SAD)  CD  SD Câu 65: Ta có  CH  SA CD  SD  CD đoạn vng góc chung SD BC  CD  BC  CD= AC2  AD a  d(SD, BC) CD a Chọn D Câu 66: Ta có BD / /B'D '  d(AD ', BD) d(BD, (AB'D ')) d(B, (AB'D')) d(A', (AB'D')) Gọi O’ giao điểm A’C’ B’D’, kẻ A'H  O'A  B 'D'  A 'O '  B' D '  (AA 'O)  B' D '  O ' A Ta có   B 'D '  AA ' Mà A ' H  AO '  A ' H  (AB ' D ') 1 a    Ta có A'O'  A 'C '  Ta có 2 A 'H A 'O' AA ' a 2  A 'H  a a Chọn B  d(AD ', BD)  3 Câu 67: Kẻ AH  SB AD  AB  AD  (SAB)  AD  AH  AD  SA  AH  SB  AH đoạn vuông góc chung SB AD   AH  AD Ta có 1 a  2   AH  2 AH AS AB a Ta có d(SB, AD) AH  a Chọn C