I tóm tắt lý thuyết

CHỦ ĐỀ 8: BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến điểm Phương pháp giải: Cho hàm số y  f  x   C  Khi phương trình tiếp tuyến điểm A  x0 ; f  x0     C  y  f  x0   x  x0   f  x0  Trong x0 gọi hồnh độ tiếp điểm: y0  f  x0  tung độ tiếp điểm k  f  x0  hệ số góc tiếp tuyến Điểm A  x0 ; y0  gọi tiếp điểm Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y x  3x  C  tại: a) Điểm A  1;  b) Điểm có hồnh độ x0  c) Điểm có tung độ y0 14 d) Giao điểm  C  với đường thẳng d : y 3 x  Lời giải a) Ta có: f  x  3x   f  1 6 Do phương trình tiếp tuyến A  1;  y 6  x  1  6x  b) Với x x0   f  x0    f  x0  6 Do phương trình tiếp tuyến y 6  x  1  6 x  c) Với y0 14  x  3x 14  x0 2; f   15 Do phương trình tiếp tuyến là: y 15  x    14 15 x  16 d) Hoành độ giao điểm  C  d x  3x 3 x   x  Với x   y  14  f    15 Do phương trình tiếp tuyến y 15  x    14 15 x  16 Ví dụ 2: Cho hàm số y  x C x 1 a) Viết phương trình tiếp tuyến  C  điểm có tung độ y0 3 b) Viết phương trình tiếp tuyến  C  giao điểm  C  với đường thẳng d : y x  Lời giải Ta có: y   x  1 a) Ta có: y0 3  x 3  5x   x0   y   1 5 x 1 Do phương trình tiếp tuyến là: y 5  x  1  hay y 5 x  b) Phương trình hồnh độ giao điểm d  C  là: Với x0 2  y0 0; y     x 2 x x    x 1  x 0 1 suy phương trình tiếp tuyến là: y   x   5 Với x0 0  y0  2; y   5 suy phương trình tiếp tuyến là: y 5 x  Ví dụ 3: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y x  x  điểm có hồnh độ là: A y  x  C y  x Lời giải B y  x  D y  x  Ta có x0 1  y0  1; f  x  3x   f  1  Do PTTT là: y   x  1   x Chọn C Ví dụ 4: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  A y  x  B y  x   C   Oy  A  0;  1 Lại có y  3  x  1 2 x 1  C  giao điểm  C  với trục tung là: x C y  x Lời giải D y  x   y   Do phương trình tiếp tuyến là: y  x  Chọn A Ví dụ 5: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x   3 A y  x  B y  x  Với x 2  y 1 Lại có f  x    x điểm có hồnh độ x  là: 3 C y  x  Lời giải D y  x  2 1   f    x 2 3 x Do phương trình tiếp tuyến là: y  3  x     x  Chọn B 4 Ví dụ 6: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y x  x  điểm x0 thỏa mãn f  x0  4 là: A y  x  B y  x  C y 4 x  Lời giải D y  x  Ta có: f  x  3x  x  f  x  6 x  Giải f  x  4  x0 2  y0  7; f    Do phương trình tiếp tuyến là: y   x     x  Chọn D Ví dụ 7: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y x  x  điểm x0  là: A y 4 x  B y  x  C y 4 x  Lời giải Ta có: x0   y0  Mặt khác y 4 x  x  y  1 4 D y 4 x  Khi phương trình tiếp tuyến là: y 4  x  1  4 x  Chọn D Ví dụ 8: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  A y   x  2 B y   x  2 25 x  C  giao điểm  C  với trục hoành là: x 1 C y   x  2 D y  3  x  2 25 Lời giải Ta có:  C   Ox  A  2;0  Mặt khác f  x    x  1 Do phương trình tiếp tuyến điểm A  2;0  là: y   f     x   Chọn A Ví dụ 9: Tiếp tuyến đồ thị hàm số y 2 x  x  1 C  điểm có hồnh độ x 1 cắt đồ thị  C  điểm thứ có hồnh độ là: A B  C Lời giải D  Ta có: x 1  y 0; f  x  6 x   f  1 3 Phương trình tiếp tuyến là: y 3  x  1  d   x 1 Xét d   C   x  x  3  x  1   Chọn B  x  Ví dụ 10: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  A y 3x  Giải 2x    x2 B y 5  x  1 2x  điểm có tung độ  là: x2 C y 3 x  Lời giải D y 5 x   x   f   1 5  x  Lại có f  x    x  2 x   x     Phương trình tiếp tuyến là: y 5  x  1  5 x  Chọn D Ví dụ 11: Tiếp tuyến đồ thị hàm số y x  thời điểm có hồnh độ x  cắt trục hồnh điểm A A  0;  1   B A   ;0      C A   ;0    Lời giải   D A   ;0    Ta có: x  1; y 3; y   1  Do phương trình tiếp tuyến là: y   x  1   x  1 d  1  Do d  Ox  A  ;0  Chọn D   Ví dụ 12: Cho hàm số y 2 x  x  1 C  Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến tiếp tuyến  C  điểm có hồnh độ x 1 là: A d  B d  5 C d  D d 2 Lời giải Ta có x 1  y 0; f  1 8  2 Do phương trình tiếp tuyến y 2  x  1  d  Do d : x  y  0 suy d  0; d   2 Chọn A Chú ý: Bài toán yêu cầu em ghi nhớ công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Khoảng cách từ điểm M  x0 ; y0  đến đường thẳng d : ax  by  c 0 là: d  ax0  by0  c a2  b2 Ví dụ 13: Cho hàm số y  x  mx  C  Tìm giá trị tham số m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến tiếp tuyến điểm có hồnh độ x 1  C   m  A   m   m  B   m  là:  m  C   m  Lời giải  m  D   m 0 Với x0 1  y0 1  m; f  1 3  m Phương trình tiếp tuyến là: y  m  3  x  1  m  1 d  d  O; d    m     m  3  2   Chọn C  m   m  3   m   m 1 Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến biết hệ số góc Phương pháp giải: Để viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x   C  biết hệ số góc k  x  x01  x x 02  y  xi   Phương trình tiếp tuyến Giải phương trình k  f  x       x  xi Chú ý: Cho đường thẳng d1 : y k1 x  b1 d : y k2 x  b2 Khi k1 , k2 hệ số góc đường thẳng d1 d k1 k2 ▪ Nếu d1 / / d   b1 b2 ▪ Nếu d1  d  k1.k  ▪ Đường thẳng d : y kx  b tạo với trục hoành góc α k tan  Ví dụ 1: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  a) Tiếp tuyến có hệ số góc k  b) Tiếp tuyến song song với đường thẳng y  x  x biết: x c) Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y 9 x  Lời giải Ta có: y  1  x  2 a) Do tiếp tuyến có hệ số góc k  nên ta có: 1  x  2  x 3     x 1 Với x0 3  y0 2  phương trình tiếp tuyến là: y  1 x  3   x  Với x0 1  y0 0  phương trình tiếp tuyến là: y   x  1  x  b) Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y  x   ku     x  2 1  x  2   x     x 3  5  Với x0   y0 3  phương trình tiếp tuyến là: y   x     x  13 2  3  Với x0   y0   phương trình tiếp tuyến là: y   x     x  (loại trùng với đường 2  thẳng cho) Vậy phương trình tiếp tuyến y  x  13 c) Do tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y 9 x  suy ku kd   1  x  2  1 1  kd  x 5   x   9    x  4  17 Với x0 5  y0   phương trình tiếp tuyến là: y   x     x  9 2 1 Với x0   y0   phương trình tiếp tuyến y   x  1   x  9 Ví dụ 2: Cho hàm số: y  x C x 1 a) Viết phương trình tiếp tuyến  C  biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : x  y  0 b) Viết phương trình tiếp tuyến  C  biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d1 : x  y  0 Lời giải Gọi M  x0 ; y0    C  tiếp điểm a) Ta có: d : y  1 1 2  x   kd   ku 2 Khi y x0   2 2  x0  1  x0 0  x   Với x0 0  y0   Phương trình tiếp tuyến là: y 2 x  Với x0   y0 3  Phương trình tiếp tuyến là: y 2  x    2 x  1 b) Ta có: d1 : y  x  2 Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y 20 x   kn  y x0   Với x0 1  y0 0  Phương trình tiếp tuyến là: y   x0  1  x0 1    x0   x  1 d (loại) Với x0   y0 2  Phương trình tiếp tuyến là: y  1  x  3   x  2 Ví dụ 3: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y x  x  có hệ số góc k  là: A y  x  B y  x  C y  x Lời giải D y  x  Ta có: y 3 x  x Giải 3x  x    x  1 0  x 1 Với x 1  y 0  Phương trình tiếp tuyến: y   x  1 Chọn A Ví dụ 4: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x 1 biết tiếp tuyến song song với đường thẳng x d : x  y  0 là: A y  x  B y  x  Ta có: d : y  x  7; y   2  x  1 C y  x  Lời giải D y  x   x 2     x 0 Với x 2  y 3  Phương trình tiếp tuyến: y   x     x  d (loại) Với x 0  y   Phương trình tiếp tuyến: y  x  Chọn D Ví dụ 5: Tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x  x  mà vng góc với đường thẳng x  y  1999 0 là: A y 6 x  Ta có: y  B y 6 x  C y  x  Lời giải D y  x  1  1999 x  d  Do tiếp tuyến vng góc với d nên kd ku   ku  k 6 6 d Giải y 6  x  x 6  x 1  y   Phương trình tiếp tuyến là: y 6  x  1  6 x  Chọn A Ví dụ 6: Tiếp tuyến đồ thị hàm số y  2x  điểm có hồnh độ x  có hệ số góc là: 2 x A B C D Lời giải Ta có: y    x  y  1  k Chọn C Ví dụ 7: Tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x m điểm có hồnh độ x  có hệ số góc k 3 Giá trị x 1 tham số m là: A m 4 Ta có: y  B m  1 m  x  1 C m  Lời giải D m 2  y   1  m 3  m 2 Chọn D Ví dụ 8: Tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x  4mx  x  điểm có hồnh độ x 1 có hệ số góc k  Giá trị tham số m là: A m 1 B m  C m  Lời giải D m 2 Ta có: y 1 3  8m    m 1 Chọn A Ví dụ 9: Cho hàm số y  x  x  Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y 24 x  A y 24 x  48 B y 24 x  21 C y 24 x  45 Lời giải D y 24 x  43 Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y 24 x  suy kn 24 Khi y 4 x  x 24  x 2  y 5 Phương trình tiếp tuyến là: y 24  x    24 x  43 Chọn D Ví dụ 10: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y x  x  biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y  A y 9 x  x 1 B y 9 x  24 C y 9 x  10 Lời giải Do tiếp tuyến vng góc với y  1 x  nên ku  9 kd  x 1 Giải y 3 x  x 9    x  Với x 1  y 1  Phương trình tiếp tuyến là: y 9  x  1  9 x   y 9 x  D   y 9 x  24 Với x   y   Phương trình tiếp tuyến là: y 9  x  3  9 x  24 Vậy có phương trình tiếp tuyến y 9 x  8; y 9 x  24 Chọn D Ví dụ 11: Viết phương trình tiếp tuyến  C  : y  3x  biết tiếp tuyến song song với đường thẳng x x  y  0 A y  x  B y  x  18 Ta có: d : y  x   ku  Giải y  C y  x  10 Lời giải 5  x  1 D y  x  12  x 0     x 2 Với x 0  y   Phương trình tiếp tuyến là: y  x  (loại) Với x 2  y 8  Phương trình tiếp tuyến là: y   x     x  18 Chọn B Ví dụ 12: Cho hàm số y  x  2mx   C  Tìm giá trị tham số m biết tiếp tuyến  C  điểm có hồnh độ x  vng góc với đường thẳng y  x  A m  B 5 C D Lời giải 5 Ta có: ku  y  1 3  2m Từ gt    2m     2m   m  Chọn B 2 Ví dụ 13: Cho hàm số y  x  2mx  n  C  Tìm tổng m  n biết tiếp tuyến  C  điểm A  1;3 có hệ số góc k 1 A B C Lời giải D Ta có: y  3x  4mx  y 1   4m 1  m 1 Mặt khác điểm A  1;3   C  nên   2m  n n   n 2 Vậy m  n 3 Chọn B Ví dụ 14: Cho hàm số y  xm  C  Biết tiếp tuyến  C  điểm A  2;   song song với đường xn thẳng y  x  2017 Vậy giá trị 2m  n là: A B m2    n    Giải hệ  n m  y      n  2 Chọn D C Lời giải m  4n  10   5n  10     n  2  m  4n  10     n   D n   2m  n 7  m 2 Ví dụ 15: Cho hàm số y  mx  n  C  Biết  C  qua điểm A  1;  3 tiếp tuyến  C  điểm có x hồnh độ x 3 có hệ số góc k  Giá trị biểu thức m  n bằng: A B 10 mn       Giải hệ   2m  n  y        2 C 13 Lời giải  m  n 3    2m  n 5 D 25 m 2  m  n 5  n   Chọn A Ví dụ 16: Cho hàm số y  x  mx  nx  C  Tìm giá trị m  n để đồ thị hàm số qua điểm A   1;5  tiếp tuyến điểm có hồnh độ x 1 vng góc với đường thẳng y  A B 10 5   m  n   Giải hệ  1  y     C 20 Lời giải 1 x2 D 25  m 2 m  n 6   m  n 20 Chọn C    2m  n  3  n  Ví dụ 17: Tìm tất giá trị tham số m để có tiếp tuyến đồ thị hàm số y x  3mx  có hệ số góc k  A   m  B  m 1  m 1 C  m   Lời giải D m 1 Để có tiếp tuyến phải có tiếp điểm phân biệt Giả sử hoành độ tiếp điểm x a 2 Khi ta có: y a  3a  6ma   a  2ma  0  m 1 Đk có tiếp tuyến có hệ số góc k  là:   1 m     Chọn C m  Ví dụ 18: Gọi d tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ đồ thị hàm số y  x  x  x  11 Đường thẳng d qua điểm đây? 2  A M   5;  3  2  B P  5;   3  5  C N  2;   3  Lời giải 5  D Q   2;  3   y 2 x  x  9, x  ¡ Ta có y  x  x  x  11   Hệ số góc tiếp tuyến d đồ thị hàm số M  x0 ; y0  k  y x0  2 x0  x0  2 Mặt khác x0  x0  2  x0  x0    2  x0    1  kmin 1 Dấu xảy  x0   0  x0 2  y0  Vậy phương trình d y  11 11 17 2  x   y x   P  5;    d Chọn B 3 3  Ví dụ 19: Cho hàm số y  ax  b  C  có bảng biến thiên hình vẽ Biết tiếp tuyến  C  giao cx  điểm  C  với trục tung song song với đường thẳng y 2 x  2018 x  y  + + 3  y 3 T  a  b  c Giá trị biể thức là: A T 3 B T 1  C T 3 Lời giải D T 2 Do đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x 1 tiệm cận ngang y   3x  b 3 b  y  3  b Do hàm số có dạng: y  x   y   x  1 Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y 2 x  2018   b 2  b 1 Vậy a  3; b 1; c 1  T 2 Chọn D Ví dụ 20: Cho hàm số y  x4  C  Điểm M  x0 ; y0  (với y0  ) thuộc  C  cho tiếp tuyến M cắt x trục Ox, Oy A B cho AB 5.OA Giá trị x0  y0 là: A 16 B 17 C 18 Lời giải D 19 OB AB  OA2 · Ta có: OAB vng O ta có: tan BAO   7 OA OA Gọi k hệ số góc tiếp tuyến ta có: k 7  x0   7 7   x0  3 1  Gọi M  x0 ;   y x0   x0    x0  3   x0 4  x 2  Suy M  4;8   T 16 Chọn A Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến qua điểm Phương pháp giải: Cách viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp tuyến qua B   ;   Gọi A  x0 ; f  x0     C  Khi phương trình tiếp tuyến điểm A  C  y  f  x0   x  x0   f  x0   d  Mặt khác d qua B   ;   nên   f  x0     x0   f  x0  từ giải phương trình tìm x0 Ví dụ 1: Cho hàm số: y  Ta có: y  3  x0  1 Do  x 3  x0  1 x2  C  Viết phương trình tiếp tuyến  C  biết tiếp tuyến qua A  1;7  x Lời giải x0     x0   x0  A 1;7 x0  Tiếp tuyến qua   x0  x0     x0  1  x0   x0 2 x0  x0  Phương trình tiếp tuyến là: y   x    hay y  x  10 Ví dụ 2: Cho hàm số y  x  x   C  Viết phương trình tiếp tuyến  C  biết tiếp tuyến qua gốc tọa độ A y 4 x y  x B y  x y 2 x C y 8 x y  x D y 4 x  y 4 x  Lời giải 4 Phương trình tiếp tuyến điểm M  x0 ; x0  x0  y  x0  x0   x  x0   x0  x0   d   x0 1  phương trình tiếp tuyến: Do O  0;0   d nên  x0  x0     x0   y 8 x  y  x Chọn C  Ví dụ 3: Cho hàm số y  x 1  C  Viết phương trình tiếp tuyến kẻ từ điểm A  2;  8 đến đồ thị  C  x A y  x  B y  x  C y  x  Lời giải D y  x  x 1 5  2x 1   x  x0    d  Phương trình tiếp tuyến điểm M  x0 ;  y  x0   x0   x0    Do A  2;    d nên ta có:      x0   x0    x0  x0    x0 1 x0  x0  Do phương trình tiếp tuyến là: y   x  1   x  Chọn A Ví dụ 4: Cho hàm số y  x  x  C  Viết phương trình tiếp tuyến  C  biết tiếp tuyến qua điểm A  2;  A y 9 x  16 B y 2 C y 2 y 9 x  16 D y 9 x  18 Lời giải 3 Gọi M  x0 ; x0  x0  tiếp điểm Phương trình tiếp tuyến y  x0  3  x  x0   x0  3x0  x0   y0 2 Do tiếp tuyến qua A  2;  nên  x0  3   x0   x0  x0    x0 2  y0 2  y 2 Do phương trình tiếp tuyến là:  Chọn C  y 9  x    9 x  16 Ví dụ 5: Cho hàm số y 4 x  x  1 C  Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết tiếp tuyến qua điểm M   1;   15 21 B y  x  4 A y 24 x  15 15 21 C y 24 x  15 y  x  4 15 21 D y  x  y 24 x  11 4 Lời giải Phương trình tiếp tuyến điểm A  x0 ; x0  x0  1 là: y  12 x02  12 x0   x  x0   x03  x02  1 d   x0   Cho M   1;    d ta có:   12 x  12 x0     x0   x  x     x0  Với x0   Phương trình tiếp tuyến là: y 24 x  15 Với x0  5 15 21  Phương trình tiếp tuyến là: y  x  Chọn C 4 Ví dụ 6: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y x  x  1 C  biết tiếp tuyến qua điểm A   2;1 là: A y  x  y 8 x  17 C y  x  y  x  17 B y  x  y 8 x  17 D y  x  y 8 x  17 Lời giải 3 Phương trình tiếp tuyến điểm M  x0 ; x0  x0  1 là: y  x0    x  x0   x0  x0  Cho tiếp tuyến qua A   2;1 ta có:  x0 1  3x02      x0   x03  x0    x03  x02  0    x0  Do có phương trình tiếp tuyến là: y  x  , y 8 x  17 Chọn D Ví dụ 7: Cho hàm số y  x  x   C  Phương trình tiếp tuyến điểm x 2  C  qua điểm A  a; a   Giá trị a là: A a 1 B a  C a 3 Lời giải D a  Ta có: x 2; y 3; f   2 Tiếp tuyến điểm M  2;3 là: y 2  x    2 x  1 d  Do A  d nên a  2a   a 3 Chọn C Ví dụ 8: Cho đồ thị  C  : y x  x Có số nguyên b    10;10  để có tiếp tuyến C qua điểm B  0; b  ? A 15 B C 16 Lời giải D 17 2 Phương trình tiếp tuyến  C  M  x0 ; x0  x0  có dạng: y  x0  x0   x  x0   x0  3x0 3 Do tiếp tuyến qua điểm  0; b   b  3x0  x0    x0   x0  3x0  x0  3x0 Để có tiếp tuyến  C  qua B  0; b  phương trình b  x0  x0 có  x 0  y 0 2 nghiệm Xét hàm số y  x  3x  y  x  x 0    x 1  y 1  b 1 Dựa vào đồ thị hàm số suy PT có nghiệm  b  Vậy b    10;10  có 17 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu toán Chọn D Ví dụ 9: Cho hàm số y   x2 có đồ thị  C  điểm A  a;1 Gọi S tập hợp giá trị thực a để x có tiếp tuyến  C  kẻ qua A Tổng giá trị phần tử S là: A B C Lời giải   x 2 Phương trình tiếp tuyến  C  điểm M  x0 ;  là: x0    y  f  x0   x  x0   x0   x 2  x  x0    x0   x0  1 x0  Do tiếp tuyến qua điểm A  a;1 nên  x0  a    x0   x0  1  x0  1   x0  1  x02  x0   a  x02  x0   a 0  * D Để có tiếp tuyến qua A (*) có nghiệm kép (*) có nghiệm phân biệt có   3  2a 0  nghiệm x0 1    3  2a    2.1    a 0   a  Chọn C   a 1 Ví dụ 10: Cho hàm số y  f  x   x  x  có đồ thị  C  điểm M  m;  Gọi S tập hợp giá trị thực m để qua M có hai tiếp tuyến với đồ thị  C  Tổng phần tử S A 20 13 B C 12 D 16 Lời giải Gọi A  a;  a  6a     C  Phương trình tiếp tuyến  C  A là: y   3a  12a   x  a   a  6a  2 Do tiếp tuyến qua M  m;  nên   3a  12a   x  a   a  6a   a 0    3a  12   m  a  a  6a      3a  12   m  a  a  6a  *  *   3ma  12a 12m  3a a  6a  g  a   2a   m   a  12m 0 Để qua M có hai tiếp tuyến với đồ thị  C  ta có trường hợp  g    12m 0  TH1: g  a  0 có nghiệm kép khác    9  m    96m 0   m 3   m 6 TH2: g  a  0 có nghiệm phân biệt nghiệm (vô nghiệm) Vậy m  ; m 6  20 m  Ví dụ 11: Cho hàm số y  Chọn A x 1 có đồ thị  C  điểm A  0; m  Gọi S tập hơp tất giá trị thực x m để có tiếp tuyến từ  C  qua A Tổng tất giá trị phần từ S A B  C D  Lời giải 2 a 1  a 1  Gọi M  a;    C  , phương trình tiếp tuyến M là: y  a   x  a   a     a  1 Tiếp tuyến qua điểm A  0; m   m  2a  a  1  a 1 a 1 a 1   2 m  a  1 2a  a  a 1  *   g  a   m  1 a   m  1 a  m  0 Để có tiếp tuyến từ  C  qua A ta xét trường hợp sau: TH1: Với m 1   4a  0  a  TH2: Do g  1  nên để có tiếp tuyến từ  C  qua A g  a  có nghiệm kép m 1   m  Vậy   m  1   m  1  m  1 0  m 0 Chọn C Ví dụ 12: Cho hàm số y  x  12 x  12 có đồ thị  C  điểm A  m;   Gọi S tập hợp tất giá trị thực m nguyên thuộc khoảng  2;5  để từ A kẻ ba tiếp tuyến với đồ thị  C  Tổng tất phần tử nguyên tập S A B C Lời giải D Gọi M  a; a  12a  12    C  , phương trình tiếp tuyến M là: y  3a  12   x  a   a  12a  12 Tiếp tuyến qua điểm A  m;     3a  12   m  a   a  12a  12  a3  12a  16   a    a    m  a  0   a     a    a     3a    m  a   0   a     2a  2a  3ma  6a   6m  0  a 2   g  a   2a   3m   a  6m  0 Để từ A kẻ ba tiếp tuyến với đồ thị  C  g  a  0 có nghiệm phân biệt khác  g     6m   6m  0     m   m        Ví dụ 13: Cho y    m   m¢ ;m 2;5  m 3;   m4     m 2  m 7 Chọn A x 3 có đồ thị  C  Gọi A điểm d : y 2 x  có hồnh độ a mà từ A kẻ x hai tiếp tuyến tới  C  Khẳng định sau đúng? A a    1;  \  0;1 B a    1;  \  0  x 3 Gọi A  a; 2a  1 , gọi M  x0 ;   C x0    C a    2;  \  1 Lời giải D a    2;  \  0 Phương trình tiếp tuyến M là: y  4  x0  1  x x0   Do tiếp tuyến qua điểm A  a; 2a  1 nên 2a    x0 1   2  2a  1  x0  1  4a  x0  x0  x0  x0  x0  4  x0  1 a x0   x0  x0   x0 1   g  x0  ax0   a   x0  3a  0 Để từ A kẻ hai tiếp tuyến tới  C  phương trình g  x0  0 có nghiệm phân biệt khác a 0   a 0; a 1   g  1  4a  0   a    1;  \  0;1 Chọn A  a  a     2   a    3a  2a  Dạng 4: Tiếp tuyến với toán tương giao Phương pháp giải: Viết phương trình hồnh độ đồ thị hàm số y  f  x   C  đường thẳng d : y ax  b Gọi A  xi ; axi  b  tọa độ giao điểm ki  f  xi  hệ số góc tiếp tuyến  C  điểm A Ví dụ 1: Cho hàm số y   x 1  C  Chứng minh với m đường thẳng d : y x  m cắt đồ 2x  thị  C  hai điểm phân biệt A, B Gọi k1 , k2 hệ số góc tiếp tuyến với  C  A B Tìm m để tổng k1  k2 đạt giá trị lớn Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm là:  x 1  x  m   x  m   x  1  x  (Do x  2x  2 nghiệm)  x  x  m  0  * Ta có:  m  2m    x  ¡   d cắt  C  điểm phân biệt  x1  x2   Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình (*) theo định lý Vi-ét ta có:   m  x1 x2  Khi k1  x2  1  x1  1   x2  1   x1  x2   x1 x2   x1  x2    x1 x2   x1  x2   1 2  4m2  8m    m  1   Do k1  k2 đạt giá trị lớn  m  Ví dụ 2: Cho hàm số y  x  x   C  Viết phương trình đường thẳng d qua A  0;3 cắt  C  điểm phân biệt A, B, C cho tiếp tuyến B, C vng góc với Lời giải Phương trình đường thẳng d là: y kx   x3 0  A  0;3 Phương trình hồnh độ giao điểm là: x  x  kx     g  x   x  x  k 0 Để d cắt  C  điểm phân biệt  g  x  0 có nghiệm phân biệt khác  4  k    k   k 0 2 Khi gọi, B  x1 ; kx1  3 , C  x2 ; kx2  3  k1  y x1  3x1  x1 , k2 3 x2  x2 Để tiếp tuyến B, C vng góc với  k1.k2   x1.x2  3x1    3x2     x1.x2  x1 x2  24  x1  x2   64     k   9k  32    9k  32k  0  k  Vậy k   16  247 (thỏa mãn)  16  247  16  247  d:y x 3 9 Ví dụ 3: Gọi k1 k2 hệ số góc tiếp tuyến giao điểm  C  : y  x đường x thẳng d : y 2 x  Giá trị k1  k2 là: A B 10 Phương trình hồnh độ giao điểm Mặt khác ta có: y  1  x  2 C 20 Lời giải x 2 x   x D 30  x 2 2  x  2 2 x  x  0  2   2   k1  k2  y   y   20 Chọn C     Ví dụ 4: Tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm số y x  2mx cắt đường thẳng y  điểm phân biệt A, B cho tổng hệ số góc tiếp tuyến  C  A B A m 2 B m  C m  Lời giải D m 3 Phương trình hồnh độ giao điểm x  2mx  0  x1  x2 2m Đk cắt điểm phân biệt là:  m   Khi x1 ; x2 hồnh độ giao điểm   x1 x2 1 Lại có y 2 x   y x1   y  x2  2 x1   x2  4m  4  m 2 Chọn A Ví dụ 5: Cho hàm số y x   m  1 x  3mx   C  Số giá trị m để  C  cắt trục Ox điểm phân biệt A  1;0  , B, C cho tiếp tuyến B C  C  song song với A B C Lời giải D 3 Phương trình hồnh độ giao điểm là: x   m  1 x  3mx  0  x 1   x  1  x   3m   x   0    g  x   x   3m   x  0 +) Để  C  cắt Ox điểm phân biệt  g  x  0 có nghiệm phân biệt khác   3m       * g  m       x1  x2 3m   x1 x2  Khi gọi, B  x1 ;0  , C  x2 ;0     x1 x2  2 Ta có: k1  y x1  3x1   m  1 x1  3m, k2  y  x2  3x2   m  1 x2  3m 2 Do tiếp tuyến B C song song nên ta có: k1 k2  x1   m  1 x1 x2   m  1 x2   x1  x2   x1  x2  2m   0  x1  x2 2m   3m  2m   m 0 (t/m) Chọn A Ví dụ [Đề thi THPT QG năm 2018]: Cho hàm số y  x  x có đồ thị  C  Có điểm A   C  cho tiếp tuyến  C  A cắt  C  hai điểm phân biệt M  x1 ; y1  , N  x2 ; y2  (M, N khác A) thỏa mãn y1  y2 6  x1  x2  ? A B C Lời giải D  Từ giả thiết ta đường thẳng MN có vectơ phương u  1;6  Suy hệ số góc đường thẳng MN Gọi A  x0 ; y0   x0 3  ta có: f  x0  6  x  x0 6   x0   x0  Ta phương trình tiếp tuyến tương ứng y 6 x  117 11 , y 6 x  , y 6 x  4 Kiểm tra điều kiện cắt điểm Ta xét phương trình 7 x  x 6 x  m  g  x   x  x  x m  * 4  x 3  Khi g  x  0  x  x  0   x  Ta bảng biến thiên sau:  x  x 2  y x   1 +   + 11   y  x  117 11 Dựa vào BBT suy m  , m 2 phương trình (*) có ba nghiệm Vậy có hai điểm A thỏa mãn u cầu tốn Chọn B Ví dụ 7: Cho hàm số y  x  3mx  x  C  Biết tiếp tuyến  C  điểm có hồnh độ x1 x2 có 2 hệ số góc k 5 Biết x1  x2 10 giá trị m là: A m 1 B m  C m 2 Lời giải D m   3x12  6mx1  5   y x  y x    2 Ta có   Khi x1 ; x2 nghiệm phương trình   3x2  6mx1  5  x1  x2  2m 2 3x  6mx  5 hay x  2mx  0  m    Theo Vi-ét ta có:   x1 x2  Lại có x12  x22  x1  x2   x1 x2 4m2  10  m  Chọn B Ví dụ 8: Cho hàm số y x  3mx   m  1 x  C  Số giá trị nguyên m để  C  tồn điểm M  x1 ; y1  , N  x2 ; y2  phân biệt cho tiếp tuyến M N vng góc với đường thẳng d : x  y  0 x1  x2 2 A B C Lời giải D 2 Viết lại d : y  x  y 3 x  6mx   m  1 3 1 Ta có: y x1   , y x2   nên x1 ; x2 nghiệm PT: x  2mx  m   3  x  2mx  m  0  1 Để tồn điểm M, N thỏa mãn yêu cầu toán phương trình (1) có nghiệm phân biệt dương  m  m      2m   m  m     x1  x2 2m  Khi ta có:   x1 x2 m   x1  x2  x1  x2  x1 x2 2m  m  20 m  10   m 7 (tm) Chọn A m   10  m  Dạng 5: Tiếp tuyến hàm số hợp Ví dụ 1: Cho hàm số y  f  x   C  xác định ℝ thỏa mãn thỏa mãn f   x   f   x   x  Viết phương trình tiếp tuyến  C  giao điểm  C  với trục tung A y x  B y  x 1 C y x  D y  x  Lời giải Ta có:  C   Oy điểm có hồnh độ x 0  f   a 3 Đặt  , thay x 1 vào giả thiết ta có: f    f   2  a  a 2  a 1  f   b 2 Đạo hàm vế biểu thức f   x   f   x   x  ta được:  f   x  f   x   x f   x  1 * a 1 Thay x 1 vào biểu thức (*) ta có:  3a b  2b 1    3b  2b 1  b  Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y  x  Chọn B Ví dụ 2: Cho hàm số y  f  x   C  xác định ℝ thỏa mãn thỏa mãn f   x   x 3  3x f  x  Viết phương trình tiếp tuyến  C  điểm có hồnh độ x 1   y 3 x  A   y  x   3   y 3 x  B   y  x   3   y 3 x  C   y  x   3 Lời giải  f  1 a 3 Đặt  , thay x 1 vào giả thiết ta có: a  3  3a  a  3a  0   f  1 b Đạo hàm vế biểu thức f   x   x 3  3x f  x  ta được:  f   x  f   x   3 f  x   x f  x   * Thay x 1 vào biểu thức (*) ta có:  3a 2b  3a  3b   y 3 x  D   y  x   3  a   a 2 