I tóm tắt lý thuyết

CHỦ ĐỀ 6: BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH Vấn đề 1: KHOẢNG CÁCH TỪ ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG  Dạng 1: Khoảng cách từ điểm mặt phẳng đáy tới mặt phẳng chứa đường cao Xét tốn: Cho hình chóp có đỉnh S có hình chiếu vng góc lên mặt đáy H Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt bên  SHB  Kẻ AH  HB ta có:  AK  HB  AK   SHB    AK  SH Suy d  A;  SHB    AK Cách tính: Ta có: d  A;  SHB    AK  S AHB HB   AB sin ABK  AH sin AHK Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC có AB 3a, BC 2a, ABC 60 Biết SA   ABC  a) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng  SAB  b) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng  SAC  Lời giải CH  AB  CH   SAB  a) Dựng CH  AB ta có:  CH  SA Do d  C ;  SAB   CH CB sin ABH 2a sin 60 a b) Dựng CK  AC  CK   SAC  Ta có: d  B;  SAC   CH  S ABC AB.BC sin ABC  AC AC  Trong AC  AB  BC  BA.BC cos B  AC a  d  B;  SAC    3a.2a.sin 60 3a 21  a Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật với B a, AD a Tam giác SAB cân S thuộc mặt phẳng vng góc với đáy Gọi H trung tâm AB a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SHD  b) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng  SHC  Lời giải a) Do tam giác SAB cân S nên SH  AB a Ta có: HA HD  Mặt khác  SAB    ABCD   SH   ABCD  Dựng AE  DH  AE   SHD   d  A;  SHD    AE Mặt khác AE  AH AD AH  AD  a 39 13 b) Dựng DK  CH  d  D;  SHC   DK Ta có: CH  HB  BC  Do d  D;  SHC    a 13 1 a2 , S HCD  CD.d  H ; CD   a.a  2 2 S HCD 2a 39  CH 13 Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A B có AD 3a , AB BC 2a Biết SA   ABCD  a) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng  SAD  b) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng  SAC  Lời giải a) Dựng CE  AD  CE   SAD  Khi d  C ;  SAD   CE , ABCE hình vng cạnh 2a nên CE  AE 2a  d  C ;  SAD   2a b) Dựng DH  AC  DH   SAC  Khi d  D;  SAC   DH  Ta có: ABCE hình vng nên CAD 45 Do DH ADsin 45 3a 3a  2 Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 5a Hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng  ABCD  trùng với trọng tâm H tam giác ABD a) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng  SAC  b) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng  SHD  Lời giải a) Do H trọng tâm tam giác ABD  H  AC Gọi O tâm hình vng ABCD  BO  AC Mặt khác BO  SH  BO   SAC  Khi d  B;  SAC   BO  5a b) Dựng CK  HD  CK   SHD   d  C ;  SHD   CK Gọi I trung điểm AB H DI  AO S ABCD S ICD 25a 2 CK     Khi đó: DI DI DA2  AI 25a  5a  25a      2a Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD nửa lục giác cạnh a , với AB 2a Biết SA   ABCD  mặt phẳng  SBC  tạo với đáy góc 60 a) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng  SAB  b) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng  SAC  Lời giải a) Tứ giác ABCD nửa lục giác cạnh a nên nội tiếp đường trịn đường kính AB 2a Dựng CH  AB  CH   SAB   d  C ;  SAB   CH a Mặt khác ABC 60  CH BC sin 60  Vậy d  C ;  SAB    a b) Dựng DK  AC  DK   SAC   d  D;  SAC   DK a   120 , ACB 90  ACD 30  DK CD sin DCK a sin 30  Do DCB Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành có diện tích 2, AB  2, BC 2 Gọi M trung điểm CD, hai mặt phẳng  SBD   SAM  vng góc với đáy Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng  SAM  Lời giải Ta có S ABCD 2S ABC 2SMAB 2  SABC S MAB 1 1  SABC  AB.BC.sin ABC 1  sin ABC  2 Do ABC 45  ADM 45 Áp dụng định lý Cosin tam giác ADM, ta có: 10 AM  AD  DM  AD.DM cos ADM  Gọi H giao điểm AM BD  SH   ABCD  Kẻ BK vng góc với AM, K  AM  BK  AM  1 Ta có  SAM    SBD  SH  SH   ABCD   SH  BK  2 Từ  1 ,    BK   SAM   d  B;  SAM   BK 2.S 10  Mặt khác S MAB  BK AM  BK  MAB  AM 10 Ví dụ 7: Cho hình lăng trụ ABCD A ' B ' C ' D ' có đáy hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo AC BD 2a Tam giác A’BD vuông cân A’ nằm mặt phẳng vng góc với đáy Mặt phẳng  A ' AB  tạo với đáy góc 60 Tính khoảng cách d  B ';  A ' BD   Lời giải Gọi H tâm hình chữ nhật ABCD  HA HC  A ' H  BD (Do A ' BD cân A’) Do  A ' BD    ABCD   A ' H   ABCD  Ta có: A ' H  BD a (trong tam giác vuông đường trung tuyến ứng cạnh huyền nửa cạnh ấy)  ' MH 60 Dựng HM  AB  AB   A ' HM   A +) Khi đó: HM tan 60  A ' H  HM   AD 2 HM  a 2a  AB 2a 3 Do: A ' D / / B ' C  B ' C / /  A ' BD   d  B ';  A ' BD   d  C ;  A ' BD   Ta có: CE  CD.CB 2a 2a Vậy d  B ';  A ' BD     BD 3  Dạng 2: Khoảng cách từ chân đường cao đến mặt phẳng bên Xét tốn: Cho hình chóp có đỉnh S có hình chiếu vng góc lên mặt đáy H Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt bên  SAB  Dựng HE  AB,  E  AB  ta có:  AB  SH  AB   SHE   1   AB  HE Dựng HF  SE ,  F  SE  Từ  1 HF  AB Do HF   SAB   d  H ;  SAB   HF Cách tính: Xét tam giác SHE vng H có đường cao HF ta có: Hay HF  HE.SH HE  SH 1   2 HF HE SH Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng B có AB a, BC a Biết SA 2a SA   ABC  a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  b) Gọi M trung điểm AC Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBM  Lời giải a) Ta có : AB  BC , mặt khác BC  SA  BC   SAB   AH  SB  AH   SBC  Dựng AH  SB    AH  BC Khi d  A;  SBC    AH  SA AB SA2  AB  2a b) Dựng AE  BM , AF  SE ta có:  AE  BM  BM   SAE   BM  AF   AE  BM  AF  SE  AF   SBM  Khi đó:   AF  BM Ta có: AB a, AC  AB  AC 2a Do BM đường trung tuyến ứng với cạnh huyền nên a BM  AC  AM  AB a  ABM cạnh a  AE  2 Khi d  A;  SBM    AE.SA AE  SA2  2a 57 19 Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh 2a , SA   ABC  Đường thẳng SB tạo với đáy góc 60 a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SCM  , với M trung điểm cạnh AB Lời giải  a) Do SA   ABC   SB;  ABC   SBA 60 Do SA  AB tan 60 2a AB Dựng AE  BC , ABC nên a  BC  SA  BC  AF Dựng AF  SE , mặt khác   BC  AE  AF   SBC   d  A;  SBC    AF  SA AE SA2  AE  2a 21 b) Do M trung điểm AB nên CM  AB Mặt khác CM  SA  CM   SAM  Dựng AH  SM  AH   SMC  Khi d  A;  SMC    SA AM SA2  AM  2a Ví dụ 3: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với Biết OA a, OB b, OC c Tính khoảng cách d từ O đến mặt phẳng  ABC  Lời giải OC  OA  OC   OAB   AB  OC Do  OC  OB Dựng OE  AB, OF  CE suy OF  BC Khi OF   ABC   d  O;  ABC   OF Mặt khác: Do 1 1 1    2 2 OF OC OE OE OA OB 1 1  2 2 d  O;  ABC   a b c Vậy d  abc 2 a b  b 2c  c a Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B cạnh bên SB vng góc với mặt phẳng đáy Cho biết SB 3a, AB 4a, BC 2a Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng  SAC  A 12a 61 61 B 4a 12a 29 29 Lời giải C D 3a 14 14 Ta có: BS, BA, BC đơi vng góc với nên ta có: 1 1 1 61  2   2   2 AB AC 9a 16a 4a 144a d  B;  SAC   SB 12a 61 Do d  B;  SAC    Chọn A 61 Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vuông B AB a, BC a Hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng đáy trung điểm H cạnh AC Biết SH a , tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng  SAB   SAC  Lời giải Dựng HE  AB HF  SE ta có d  H ;  SAB   HF Mặt khác HE đường trung bình tam giác ABC nên HE  BC a  2 Khi d  H ;  SAB   HF  HE.SH HE  SH  a 21 Tương tự dựng HM  BC , HN  SM  d  H ;  SBC   HN Mặt khác HM  AB a SH HM a   HN   2 2 SH  HM Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có AB a, AD 2a , SA vng góc với đáy SA a a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SCD   SBC  b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBD  Lời giải  BC  SA  BC  AN a) Dựng AN  SB Do   BC  AB AN   SBC   d  A;  SBC    AN  Vậy  A;  SBC    a SA AB SA2  AB Tương tự d  A;  SCD    AM  SA AD SA2  AD  2a b) Dựng AE  BD, AF  SE Ta chứng minh d  A;  SBD   d  AF Vì AS  AB  AD  1 1 2a  2  2 d 2 d AB AD SA Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh 2a Hình chiếu vng góc đỉnh S lên mặt đáy trùng với trung điểm H AB Biết SD 3a a) Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng  SCD  b) Tính khoảng cách từ điểm H đến mặt phẳng  SBD  Lời giải a) Ta có: HD  AH  AD a Mặt khác SH  SD  DH 2a Dựng HM  CD, HN  SM  d  H ;  SCD   HN Do AHMD hình chữ nhật nên AD HM 2a Khi d  H ;  SCD    SH HM SH  HM a b) Dựng HE  BD; HF  SE d  H ;  SBD   HF Ta có: AC 2a  OA a  HE  Do OA a  2 1 2a 2a  2  HF   d  H ;  SBD   HF  2 HF SH HE 3 Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi có tam giác ABC cạnh a Gọi H trung điểm AB Biết SH vng góc với mặt đáy, mặt phẳng  SCD  tạo với đáy góc 60 Tính a) Khoảng cách từ H đến mặt phẳng  SCD  b) Khoảng cách từ H đến mặt phẳng  SBC  Lời giải a) Do ABC nên CH  AB  CH  CD a  CH   SHC   SCH 60 , CH  Ta có: SH CH tan 60  HK  BC , HK  Mặt khác: HF  3a a ; HF  SK  HF   SBC  HK SH HK  SH Khi d  H ;  SBC     42a 14 a 42 14 b) Dựng HE  SC ta có: HE   SCD  Ta có: HE  HC.SH HC  SH  3a 3a  d  H ;  SCD   HE  4 Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B có AB BC  AD Mặt phẳng  SAB   SAD  vng góc với mặt đáy Biết SA 2a đường thẳng SD tạo với mặt phẳng  SAC  góc 30 tính a) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SCD  b) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  Lời giải  SAB    ABCD   SA   ABCD  a) Do   SAD    ABCD  Đặt AB BC  AD  x , gọi E trung điểm AC ta có: CE  AB  AD  ACD vng C (tính chất trung tuyến ứng cạnh huyền tam giác vng) +) Khi ta có: SC  x  4a , CD x CD  SA  CD   SAC  +) Mặt khác:  CD  AC Do DC  30  tan 30   SD;  SAC   DSC SC x 2 x  4a Dựng AK  SC  AK   SCD   d  A;  SCD    AK    x 4a  x a SA AC SA2  AC  2a  BC  SA  BC  AH b) Dựng AH  SB , ta có:   BC  AB Mặt khác: AH  SB  AH   SBC  Do AH  AB.SA AB  SA2  2a 2a  d  A;  SBC    AH  5 Ví dụ 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, tam giác SAD tam giác vng cân S thuộc mặt phẳng vng góc với đáy Biết SA a SB tạo với đáy góc 30 Gọi H trung điểm AD Tính khoảng cách sau: a) d  H ;  SBC   b) d  H ;  SAC   Lời giải a) Gọi H trung điểm AD ta có: SH  AD Lại có:  SAD    ABCD   SH   ABCD  Mặt khác: AD SA 2a  SH  AD a  SBH 30  HB tan 30 SH a  HB a Khi đó: AB  HB  AH a  HE  BC Dựng  ta có: BC  HF từ suy HF   SBC   d  H ;  SBC   HF  HE  SE Ta có: 1 a  2  HF  d  H ;  SBC   2 HF SH HE b) Dựng HN  AC  AC   SHN  , dựng HI  SN  HI   SAC  Dựng DM  AC  DM  2a a HN SH a  HN   HI   2 HN  SH Do d  H ;  SAC   HI  a Ví dụ 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang cân AB BC CD a, AD 2a , SA vng góc với đáy Biết mặt phẳng  ABCD  góc 60 Tính cách khoảng cách sau: a) d  A;  SCD    SCD   AD / / BC  có tạo với mặt phẳng