I tóm tắt lý thuyết

CHỦ ĐỀ 4: QUAN HỆ VNG GĨC Vấn đề 1: ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC VỚI MẶT PHẲNG I Định nghĩa: Đường thẳng d gọi vng góc với mặt phẳng (P) d vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng (P) Định lý: Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt a b nằm mặt phẳng (P) đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (P) II Các tính chất  Tính chất 1: Có mặt phẳng (P) qua điểm O cho trước vng góc với đường thẳng a cho trước  Tính chất 2: Có đường thẳng ∆ qua điểm O cho trước vuông góc với mặt phẳng (P) cho trước  Tính chất 3: a) Mặt phẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng lại b) Hai đường thẳng phân biệt vng góc với mặt phẳng song song với Tính chất viết gọn là: a / /b  (P)  b  (P)  a    a  (P)  b  (P)  a / /b a b   Tính chất 4: a) Đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng song song vng góc với mặt phẳng lại b) Hai mặt phẳng phân biệt vng góc với đường thẳng song song với Tính chất viết gọn là: (P) / /(Q)  a  (Q)  a  (P)    a  (P)  b  (P)  (P) / /(Q) (P) (Q)   Tính chất 5: a) Cho đường thẳng a mặt phẳng (P) song song với Đường thẳng vng góc với (P) song song với a b) Nếu đường thẳng mặt phẳng (không chứa đường thẳng đó) vng góc với đường thẳng chúng song song với Tính chất viết gọn là: a / /(P)  a b  b  (P)    a  (P)  a  b  a / /(P) (P)  b  III Định lý ba đường vng góc Định lý ba đường vng góc: Cho đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng (P) đường thẳng b nằm mặt phẳng (P) Khi đó, điều kiện cần đủ để b vng góc với a b vng góc với hình chiếu a’ a (P) IV Góc đường thẳng mặt phẳng Định nghĩa: Nếu đường thẳng a vng góc với mặt phẳng (P) ta nói góc đường thẳng a mặt phẳng (P) 90° (hình 1) Nếu đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng (P) góc a hình chiếu a’ (P) gọi góc đường thẳng a mặt phẳng (P) (hình 2) Chú ý: Góc đường thẳng mặt phẳng không vượt 90°  Dạng 1: Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng Phương pháp giải: Để chứng minh đường thẳng a vng góc với mặt phẳng (P) ta chứng minh:  a vng góc với hai đường thẳng cắt nằm (P)  a song song với đường thẳng b mà b vng góc với (P) Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC BCD hai tam giác cân có chung đáy BC Điểm I trung điểm cạnh BC a) Chứng minh BC  (ADI) b) Gọi AH đường cao tam giác ADI Chứng minh AH  (BCD) Lời giải a) Do tam giác ABC BCD hai tam giác cân nên A D AI  BC  ta có: DI  BC (trong tam giác cân đường trung tuyến đồng thời đường cao) Do BC  (ADI) b) Do AH đường cao tam giác ADI nên AH  DI Mặt khác BC  (ADI)  BC  AH Do AH  (BCD) Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông cạnh a SA  (ABCD) Gọi M N hình chiếu điểm A đường thẳng SB SD a) Chứng minh BC  (SAB), CD  (SAD) b) Chứng minh AM  (SBC); AN  (SCD) c) Chứng minh SC  (AMN) MN//BD d) Gọi K giao điểm SC với mặt phẳng (AMN) Chứng minh tứ giác AMKN có hai đường chéo vng góc Lời giải a) Do SA  (ABCD)  SA  BC Mặt khác ABCD hình vng nên BC  AB  BC  AB  BC  (SAB)  Khi  BC  SA Tương tự chứng minh ta có: CD  (SAD) b) Do BC  (SAB)  BC  AM Mặt khác AM  SB  AM  (SBC) Tương tự ta có: AN  (SCD)  AM  (SBC)   AN  (SCD) c) Do  AM  SC  SC  (AMN)  AN  SC  Hai tam giác vuông SAB SAD có đường cao tương ứng AM AN nên CM = DN Mặt khác tam giác SBD cân đỉnh S nên MN//BD d) Do ABCD hình vng nên AC  BD , mặt khác SA  BD  BD  (SAC) Do MN / /BD  MN  (SAC)  MN  AK Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD có ba cạnh AB, AC, AD đơi vng góc a) Chứng minh hình chiếu vng góc đỉnh A lên mặt phẳng (BCD) trùng với trực tâm tam giác BCD 1 1  2  2 AB AC AD b) Chứng minh AH c) Chứng minh tam giác BCD có góc nhọn Lời giải a) Gọi H hình chiếu vng góc điểm A mặt phẳng (BCD) AH  (BCD) AD  AB  AD  (ABC)  AD  BC  Ta có AD  AC Mặt khác AH  BC  BC  (ADH)  BC  DH Tương tự chứng minh ta có: BH  CD Do H trực tâm tam giác BCD b) Gọi E DH  BC , BC  (ADH)  BC  AE 1  2 AB AC2 Xét ∆ ABC vuông A có đường cao AE ta có: AE 1 1 1    2  2 2 AD AE AB AC AD (đpcm) Lại có: AH BC  x  y   2 BD  x  z  2 CD  y  z c) Đặt AB = x; AC = y; AD = z Ta có: Khi cosB= BC  BD  CD x2    ·CBD  90o 2.BC.BD BC.BD Tương tự chứng minh ta có ·BDC  90o   o · BCD  90 tam giác BCD có góc nhọn Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có SA  (ABC) , tam giác ABC SBC tam giác nhọn Gọi H K trực tâm tam giác ABC SBC Chứng minh rằng: a) AH, SK, BC đồng quy b) SC  (BHK) c) HK  (SBC) Lời giải a) Giả sử AH  BC M BC  AM  BC  (SAM)  BC  SM  BC  SA  Ta có: Mặt khác SK  BC  S, K, M thẳng hàng AH, SK, BC đồng quy điểm M b) Do H trực tâm tam giác ABC nên BH  AC Mặt khác BH  SA  BH  (SAC)  BH  SC Lại có: BK  SC  SC  (BHK) c) Do SC  (BHK)  SC  HK , mặt khác BC  (SAM)  BC  HK Do HK  (SBC) Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O có SA = SC, SB = SD a) Chứng minh SO  (ABCD) b) Gọi I, K trung điểm BA BC Chứng minh IK  (SBD) IK  SD Lời giải a) Do SA = SC  ∆ SAC cân S có trung tuyến SO đồng thời đường cao suy SO  AC Tương tự ta có: SO  BD  SO  (ABCD) b) Do ABCD hình thoi nên AC  BD Mặt khác SO  (ABCD)  AC  SO Do AC  (SBD) IK đường trung bình tam giác BAC nên IK / /AC mà AC  (SBD)  IK  (SBD) Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a Mặt bên SAB tam giác đều, SCD tam giác vuông cân đỉnh S Gọi I, J trung điểm AB CD a) Tính cạnh tam giác SIJ, suy tam giác SIJ vuông b) Chứng minh SI  (SCD);SJ  (SAB) c) Gọi H hình chiếu S lên IJ, chứng minh SH  (ABCD) Lời giải a) Ta có: ∆SAB cạnh a nên SI  a Tứ giác IBCJ hình chữ nhật nên IJ = BC = a ∆SCD tam giác vuông cân đỉnh S  SJ  CD a  2 2 2 Do SJ  SI IJ a  VSIJ vuông S b) Do ∆SCD cân S nên SJ  CD Do AB / /CD  SJ  AB Mặt khác SJ  SI  SJ  (SAB) Chứng minh tương tự ta có: SI  (SCD) c) Do SI  (SCD)  SI  CD Mặt khác CD  IJ  CD  (SIJ)  CD  SH Do SH  IJ  SH  (ABCD) Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cân A, điểm I H trung điểm AB BC Trên đoạn CI SA lấy hai điểm M, N cho MC = 2MI, NA = 2NS Biết SH  (ABC) , chứng minh MN  (ABC) Lời giải Do điểm M thuộc đường trung tuyến CI MC = 2MI  M trọng tâm tam giác ABC  M AH  CI NA MA  2 MN / /SH Ta có : NS MH Mặt khác SH  (ABC)  MN  (ABC)  Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vng góc cách chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng chứa đường thẳng Phương pháp giải:  Muốn chứng minh đường thẳng a vng góc với đường thẳng b, ta tìm mặt phẳng (β) chứa đường) chứa đường thẳng b cho việc chứng minh a  (β) chứa đường) dễ thực  Sử dụng định lý ba đường vng góc Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD Chứng minh cặp cạnh đối diện tứ diện vng góc với đôi Lời giải Gọi M trung điểm AB Tứ diện ABCD nên ∆ABD ∆ABC tam giác suy  DM  AB  AB  (MCD)  CM  AB Do AB  CD Chứng minh tương tự ta có BC  AD, AC  BD Ví dụ 2: Hình chóp S.ABCD có cạnh SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) đáy ABCD hình thang vng A D với AD CD  AB a) Gọi I trung điểm đoạn AB, chứng minh CI  AB DI  SC b) Chứng minh mặt bên hình chóp S.ABCD tam giác vuông Lời giải a) Đặt AB = 2a  AD = CD = a Do AB = 2CD  AI = AD = CD = CI = a Khi AICD hình vng cạnh a Do CI  AB AC  DI  DI  (SAC)  DI  SC  DI  SA  Mặt khác b) Do SA  (ABCD)  SAD, SAB vuông S CD  AD  CD  (SAD)  CD  SD  CD  SA  Mặt khác nên ∆SDC vng D Xét ∆ACD có trung tuyến CI  AB  ACD vuông C  BC  AC Mặt khác BC  SA  BC  (SAC)  BC  SC  SCB vng C Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a Cạnh bên CC’ vuông góc với đáy CC’ = a a) Gọi I trung điểm BC Chứng minh AI  BC ' b) Gọi M trung điểm BB’ Chứng minh BC '  AM c) Gọi K điểm đoạn A’B’ cho B' K  a J trung điểm B’C’ Chứng minh rằng: AM  MK AM  KJ Lời giải a) Do ∆ABC tam giác I trung điểm BC nên AI  BC Mặt khác AI  CC '  AI  (BCC ' B')  AI  BC ' b) Dễ thấy BCC’B’ hình vuông nên B 'C  BC ' Mặt khác MI đường trung bình tam giác B’BC nên MI//B’C suy MI  BC ' Lại có: AI  BC '  BC '  (AIM)  BC '  AM KB' AB tan·KMB'   ; tan·AMB  2 MB' BM c) Ta có: o · · · · Suy tan KMB ' cot AMB  KMB '  AMB 90 o · Do AMK 90  AM  MK AM  BC '  AM  MJ  MJ / /BC '  Mặt khác Suy AM  (MKJ)  AM  KJ Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng, gọi E điểm đối xứng D qua trung điểm SA Gọi M, N trung điểm AE BC Chứng minh MN  BD Lời giải Gọi I, P trung điểm AB SA, O giao điểm AC BD IN/ / AC  BD  IN  AC  BD Ta có:  (1) IM/ / BE  IM  PO  BE  PO  Mặt khác (*) Mà PO  BD (**) (Do ∆BPD tam giác cân P có đường trung tuyến PO) Từ (*) (**) ta có: BD  IM (2) Từ (1) (2) ta có: BD  (IMN)  BD  MN Vấn đề 2: HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC I Góc hai mặt phẳng  Định nghĩa: Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng  Cách xác định góc hai mặt phẳng: Tìm giao tuyến d hai mặt phẳng (P) ; (Q) Lấy A  mp(Q), dựng AB  mp(P)(B  (P)) Vẽ BH vng góc với d AH vng góc d · Vậy AHB  (0 < α ≤ 90°) góc hai mặt phẳng (P) (Q)  Định lý : Gọi S diện tích đa giác H mặt phẳng (P) S’ diện tích hình chiếu H’ H mặt phẳng (P’) S’ = S cosφφ, φ góc hai mặt phẳng (P) (P’) II Hai mặt phẳng vng góc  Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi vng góc với góc chúng 90°  Định lý 1: Nếu mặt phẳng chứa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng khác hai mặt phẳng vng góc với  Định lý 2: Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với đường thẳng a nằm (P), vng góc với giao tuyến (P) (Q) vng góc với mặt phẳng (Q) - Hệ 1: Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với A điểm nẳm (P) đường thẳng a qua điểm A vng góc với (Q) nằm (P) Hệ viết gọn là: (P)  (Q)  A  (P)   a  (P)  a  (Q)  A  a - Hệ 2: Nếu hai mặt phẳng cắt vng góc với mặt phẳng thứ giao tuyến chúng vng góc với mặt phẳng thứ ba Hệ viết gọn là: (P)  (Q) a   a  (R) (P)  (R) (Q)  (R)  - Hệ 3: Qua đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng (P) có mặt phẳng (Q) vng góc với mặt phẳng (P)  Hình lăng trụ đứng: Là hình lăng trụ có tất cạnh bên vng  Hình lăng trụ đều: Là hình lăng trụ đứng có đáy đa giác  Hình hộp đứng: Là hình lăng trụ đứng có đáy hình bình hành  Hình hộp chữ nhật: Là hình lăng trụ đứng có đáy hình chữ nhật  Hình lập phương: Là hình lăng trụ đứng có đáy hình vng mặt bên hình vng  Hình chóp đều: Một hình chóp gọi hình chóp đáy đa giác cạnh bên Dưới hình vẽ hình chóp tam giác đều, tứ giác hình chóp lục giác  Dạng 1: Chứng minh hai mặt phẳng vng góc Phương pháp giải: Để chứng minh hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với ta chứng minh  Một đường thẳng d nằm mặt phẳng (P) vng góc với mặt phẳng (Q) ngược lại, đường thằng nằm mặt phẳng (Q) vng góc với mặt phẳng (P)  Góc hai mặt phẳng (P) (Q) 90° Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vuông B SA  (ABC) a) Chứng minh (SBC)  (SAB) b) Gọi AH AK đường cao tam giác SAB SAC Chứng minh (SBC)  (AKH) c) Gọi D giao điểm HK BC Chứng minh (SAD)  (SAC) Lời giải a) Do SA  (ABC)  SA  BC Tam giác ABC vuông B nên AB  BC Do BC  (SAB)  (SBC)  (SAB) b) Ta có: BC  (SAB)  BC  AH Mặt khác AH  SC  AH  (SBC)  (AHK)  (SBC) c) Ta có: AH  (SBC)  AH  SC Mặt khác AK  SC  SC  (AHK) hay SC  (AKD) Suy AD  SC mà SA  AD  AD  (SAC) Do (SAD)  (SAC) Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có cạnh AB vng góc với mặt phẳng (BCD) Trong tam giác BCD vẽ đường cao BE DF cắt O Trong mặt phẳng (ACD) vẽ DK vng góc với AC K Gọi H trực tâm tam giác ACD a) Chứng minh mặt phẳng (ADC) vng góc với mặt phẳng (ABE) mặt phẳng (ADC) vng góc với mặt phẳng (DFK) b) Chứng minh OH vng góc với mặt phẳng (ACD) Lời giải  BE  CD  CD  (ABE)  AB  CD  a) Ta có: mà CD   ADC    ADC    ABE  DF  BC  DF  (ABC)  DF  AC  DF  AB Lại có:  Mặt khác DK  AC  AC  (DKF)  (ACD)  (DFK) b) Do CD  (ABE)  CD  AE Ta có : (ACD)  (ABE)   OH  (ACD) (ACD)  (DFK) OH (ABE)  (DFK)  Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O cạnh a BD = a Biết cạnh SA  a vng góc với mặt phẳng (ABCD) Chứng minh rằng: a) (SAC)  (SBD) b) (SCD)  (SBC) Lời giải a) Do SA  (ABCD)  SA  BD Mặt khác ABCD hình thoi nên AC  BD Do BD  (SAC)  (SBD)  (SAC) b) Dựng OH  SC Do BD  (SAC)  BD  SC Suy SC  (DHB) · Như DHB góc hai mặt phẳng (SCD) (SBC) Tam giác ABD cạnh a nên AK  SC  AK  Dựng AO  a  AC a SA.OC SA  OC a  OH  AK a  2 a HO  BD   DHB o · 2 Tam giác DHB có đường trung tuyến vng H hay DHB 90 Do (SCD)  (SBC) Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, biết AB = a, AD a , SA = a SA  (ABCD) Gọi M trung điểm AD, I giao điểm BM AC Chứng minh (SAC)  (SMB) Lời giải tan ·CAD  Ta có: CD a   AD a 2 tan·AMB  Mặt khác AB a   AM a 2 o · · · · Do tan CAD cot AMB  CAD  AMB 90 o · Suy AIM 90  AC  BM I Mặt khác SA  (ABCD)  SA  BM Do BM  (SAC)  (SMB)  (SAC) Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi H trung điểm AB Biết SA SB a a) Chứng minh SH   ABCD  b) Chứng minh tam giác SBC vuông c) Chứng minh (SAD)  (SAB); (SAD)  (SBC) Lời giải a) Do ∆SAB cân S nên đường trung tuyến đồng thời đường cao suy SH  AB (SAB)  (ABCD)  SH  (ABCD)  AB  (SAB)  (ABCD)  Mặt khác b) Do SH  (ABCD)  SH  BC Mặt khác BC  AB  BC  (SAB)  SBC vuông B c) Tương tự câu b ta chứng minh AD  (SAB) suy (SAD)  (SAB) 2 2 Mặt khác SA  SB AB 4a  SAB vng S  SA  SB Lại có: AD  (SAB)  AD  SB  SB  (SAD)  (SBC)  (SAD) Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Mặt bên SAD tam giác cân S nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi M, N, P trung điểm SB, BC CD a) Chứng minh (SAD)  (SAB) b) Chứng minh AM  BP (SBP)  (AMN) Lời giải a) Gọi H trung điểm AD Do ∆SAD cân S nên đường trung tuyến đồng thời đường cao suy SH  AD (SAD)  (ABCD)  SH  (ABCD)  AD  (SAD)  (ABCD)  Mặt khác SH  AB  AB  (SAD)  (SAB)  (SAD)  AB  AD  Khi MN / /SC  (AMN) / /(SHC)  AN / /HC  b) Ta có: tan ·BPC 2; tan ·HCD   ·BPC ·HCD 90o  HC  BP Dễ thấy Mặt khác SH  BP  BP  (SHC) (SBP)  (AMN) (AMN) / /(SHC)  BP  (AMN)   BP  AM Mà Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, SA  (ABCD) a) Chứng minh (SAC)  (SBD) b) Chứng minh (SAD)  (SCD) c) Gọi BE DF đường cao tam giác SBD Chứng minh (ACF)  (SBC); (AEF)  (SAC) Lời giải a) Ta có: ABCD hình vng nên AC  BD Mặt khác SA  (ABCD)  SA  BD Do BD  (SAC)  (SBD)  (SAC)  AD  AB  AD  (SAB)  AD  SA  b) Ta có : Do (SAD)  (SAB) c) Ta có : AD  (SAB)  AD  SB Mặt khác DF  SB  (ADF)  SB  AF  SB BC  AB  BC  (SAB)  BC  AF  Lại có : BC  SA Do AF  (SBC)  (ACF)  (SBC) Dễ thấy tam giác SBD cân S có đường cao BE DF nên EF//BD Mặt khác BD  (SAC) (Chứng minh câu a) suy EF  (SAC)  (AEF)  (SAC) Cách khác: Ta có AF  (SBC)  AF  SC Chứng minh tương tự ta có: AE  SC suy SC  (AEF)  (SAC)  (AEF) Ví dụ 8: Cho tam giác ABC vuông A Vẽ BB’ CC’ vng góc với (ABC) a) Chứng minh (ABB')  (ACC ') b) Gọi AH, AK đường cao ∆ABC ∆AB’C’ Chứng minh (BCC’B’) (AB’C’) vng góc với (AHK) Lời giải a) Ta có: CC'  (ABC)  CC '  AB Mặt khác AB  AC  AB  (ACC')  (ABB')  (ACC ') b) Do AH  BC, BB'  (ABC)  BB'  AH Suy AH  (BCC ' B ')  (AHK)  (BCC ' B') Mặt khác AH  (BCC ' B')  AH  B'C ' Lại có: AK  B'C '  B'C '  (AHK)  (AHK)  (AB 'C ') Ví dụ 9: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông B với AB = a; BC = a 3, cạnh bên CC’ = 2a Điểm M trung điểm cạnh AA’ a) Chứng minh (ABB' A ')  (BCC ' B') BM  C ' M b) Tính cosin góc mặt phẳng (BMC’) mặt đáy (ABC) Lời giải a) Ta có: ABC.A’B’C’ lăng trụ đứng nên BB '  AB Mặt khác ∆ABC tam giác vuông B nên AB  BC Do AB  (BCC 'B ')  (ABB' A ')  (BCC ' B') BM  AB2  AM a 2; BC '  BC  CC '2 a 7; C ' M  A 'C '2  A ' M a 2 Do C ' M  MB BC '  BMC ' vuông M hay BM  C ' M b) Diện tích tam giác ABC SABC  a2 a 10 SMBC'  MB.MC '  2 Diện tích tam giác MBC’: Gọi φ góc mặt phẳng (BMC’) mặt đáy (ABC) Do ∆ABC hình chiếu vng góc tam giác MB’C’ mặt phẳng (ABC) nên: SABC SMBC'cos  cos  SABC  SMBC' 10  Dạng 2: Bài tốn dựng thiết diện có yếu tố vng góc Ví dụ 1: Cho tứ diện SABC có đáy tam giác ABC cạnh a, SA  (ABC) SA = a Tìm thiết diện tứ diện SABC với (α) tính diện tích thiết diện trường hợp sau:) tính diện tích thiết diện trường hợp sau: a) (α) tính diện tích thiết diện trường hợp sau:) qua S vng góc với BC b) (α) tính diện tích thiết diện trường hợp sau:) qua A vng góc với trung tuyến SI ∆SBC Lời giải a) Gọi I trung điểm BC AI  BC Mặt khác SA  (ABC)  SA  BC  BC  (SAI) Thiết diện khối chóp qua S vng góc với BC tam giác SAI vng A có SA a; AI  a a2 SSAI  SA.AI  Do b) Dựng AK  SI , lại có BC  (SAI)  BC  AK Suy AK  (SBC)  AK  SI Qua K dựng đường thẳng vng góc với SI cắt SB, SC E F  thiết diện tam giác AEF AK  Ta có: SA.AI SA  AI  a 21 Tam giác SAI vng A có đường cao AH nên: SA SK.SI  SA SK EF SA     2 SI SI BC SA  AI 2a 21 EF  a  SAEF  AK.E F  49 Do a Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, cạnh bên Mặt phẳng (α) tính diện tích thiết diện trường hợp sau:) qua A, song song với BC vng góc với mặt phẳng (SBC), xác định thiết diện mặt phẳng (α) tính diện tích thiết diện trường hợp sau:) với hình chóp tính diện tích thiết diện Lời giải Gọi O trọng tâm tam giác ABC SO  (ABC) (Do S.ABC khối chóp đều) Gọi I trung điểm BC AI  BC mà BC  SO suy BC  (SAI) Dựng AH  SI , lại có BC  (SAI)  BC  AH Suy AH  (SBC) Qua K dựng đường thẳng song song với BC cắt SB, SC N M  thiết diện tam giác AMN Ta có: SA AI  a  H trung điểm SI a a a MN  BC  SI  SB2  IB2   HI  2 Lại có: Suy Khi AH  AI2  HI  a 10 a 10  SAMN  AH.MN  16 Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình thang vng A B với AB = BC = a, AD = 2a, SA  (ABCD) SA = 2a Gọi M điểm cạnh AB, (α) tính diện tích thiết diện trường hợp sau:) mặt phẳng qua M vng góc với AB Đặt x = AM (0 < x < a) a) Tìm thiết diện hình chóp với (α) tính diện tích thiết diện trường hợp sau:) Thiết diện hình gì? b) Tính diện tích thiết diện theo a x Lời giải a) Trong mặt phẳng (ABCD), qua M dựng đường thẳng vng góc với AB cắt CD Q Trong mặt phẳng (SAB), qua M dựng đường thẳng vng góc với AB cắt SB N Do MQ  AB  MQ / /BC Do (α) tính diện tích thiết diện trường hợp sau:) cắt (SBC) theo giao tuyến NP (P  SC) NP//BC Do MN//SA  MN  MQ Vậy thiết diện hình thang MNPQ vng M N Trong mp (ABCD), dựng CE  AD cắt MQ F b) Ta có: MF AE BC a  DE a; FQ CF BM a  x     FQ a  x ED CE BA a AM SN NP x NP      NP x a a Suy MQ 2a  x , mặt khác AB SB BC MN BM a  x    MN 2a  2x a Lại có: SA BA Diện tích thiết diện là: SMNPQ  MQ  NP MN 2a(a  x) Ví dụ 4: Cho tứ diện SABC có đáy ABC tam giác vuông cân đỉnh B, AB = a, SA  (ABC) SA a Điểm M điểm tùy ý cạnh AB, đặt AM = x (0< x < a) Gọi (α) tính diện tích thiết diện trường hợp sau:) mặt phẳng qua M vng góc với AB a) Tìm thiết diện tứ diện SABC với (α) tính diện tích thiết diện trường hợp sau:) b) Tính diện tích thiết diện theo a x Tìm x để diện tích có giá trị lớn Lời giải a) Trong mặt phẳng (ABCD), qua M dựng đường thẳng vng góc với AB cắt AC Q Trong mặt phẳng (SAB), qua M dựng đường thẳng vng góc với AB cắt SB N Do MQ  AB  MQ / /BC Do (α) tính diện tích thiết diện trường hợp sau:) cắt (SBC) theo giao tuyến NP (P  SC) NP//BC Lại có: MN//SA  (α) tính diện tích thiết diện trường hợp sau:) cắt (SAC) theo giao tuyến PQ  PQ//SA//MN  MNPQ hình bình hành Do MN / /SA  MN  (ABC)  MN  AB Vậy thiết diện chóp với (α) tính diện tích thiết diện trường hợp sau:) hình chữ nhật MNPQ Ta có: AB BC a  BC a AM MQ x MN BM a  x    MQ x,    MN  3(a  x) SA BA a Mặt khác AB BC a Diện tích thiết diện SMNPQ MN.MQ  3x(a  x)  a b   x a  x  a.b  SMNPQ MN.MQ  3.x.(a  x)        ta có:  Áp dụng bất đẳng thức: Suy SMNPQ  a a x a  x  x  đạt Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA  (ABCD) Gọi (α) tính diện tích thiết diện trường hợp sau:) mặt phẳng chứa AB vng góc với mặt phẳng (SCD) a) (α) tính diện tích thiết diện trường hợp sau:) cắt khối chóp S.ABCD theo thiết diện hình gì? b) Biết SA = a Tính thiết diện tìm câu a Lời giải a) Trong mặt phẳng (SAD) dựng AH  SD H Ta có: CD  AD  CD  (SAD)  CD  AH  SA  CD  AH  CD  AH  (SCD)  AH  SD  (α) tính diện tích thiết diện trường hợp sau:) mặt phẳng chứa AB đồng thời chứa AH vuông góc với mặt phẳng (SCD) Vậy ()  (SCD) () (AB, AH) Ta có: AB//CD nên CD//(α) tính diện tích thiết diện trường hợp sau:) H điểm chung (α) tính diện tích thiết diện trường hợp sau:) (SCD) nên giao tuyến (α) tính diện tích thiết diện trường hợp sau:) (SCD) đường thẳng qua H song song với CD cắt SC E Ta có thiết diện (α) tính diện tích thiết diện trường hợp sau:) hình chóp S.ABCD hình thang vng AHEB vng A H AB  (SAD) b) Do SA = AD = a  H trung điểm AD Diện tích hình thang vng AHEB là: SAHEB  AH  AD a CD a  ; EH   2 2 a a AB  EH a  3a  AH  2 Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng ABCD tâm O có SA  (ABCD) Giả sử (α) tính diện tích thiết diện trường hợp sau:) mặt phẳng qua A vng góc với SC, (α) tính diện tích thiết diện trường hợp sau:) cắt SC I a) Xác định giao điểm K SO với mặt phẳng (α) tính diện tích thiết diện trường hợp sau:) b) Chứng minh mặt phẳng (SBD) vng góc với mặt phẳng (SAC) BD//(α) tính diện tích thiết diện trường hợp sau:) c) Xác định giao tuyến d mặt phẳng (SBD) mặt phẳng (α) tính diện tích thiết diện trường hợp sau:) Tìm thiết diện cắt hình chóp S.ABCD mặt phẳng (α) tính diện tích thiết diện trường hợp sau:) d) Biết AB = a; SA a Tính diện tích thiết diện tìm câu c Lời giải a) Gọi I ()  SC Ta có: ()  SC, AI  ()  SC  AI Vậy AI đường cao tam giác vuông SAC Trong mặt phẳng (SAC), đường cao AI cắt SO K AI  () nên K giao điểm SO với (α) tính diện tích thiết diện trường hợp sau:) BD  AC  BD  (SAC)  BD  SC  b) Ta có: BD  SA Mặt khác BD  (SBD) nên (SBD)  (SAC) Do BD  SC ()  SC BD không chứa (α) tính diện tích thiết diện trường hợp sau:) nên BD// (α) c) Ta có: K SO     SO thuộc mặt phẳng (SBD) nên K điểm chung (α) tính diện tích thiết diện trường hợp sau:) (SBD) Mặt phẳng (SBD) chứa BD//(α) nên cắt (α) tính diện tích thiết diện trường hợp sau:) theo giao tuyến d//BD Giao tuyến qua K điểm chung (α) tính diện tích thiết diện trường hợp sau:) (SBD) Gọi M N giao điểm d với SB SD Thiết diện tứ giác AMIN có AI  SC  MN / /BD d) Ta có: BD  (SAC)  BD  AI mà BD / /MN  AI  MN SAMIN  AI.MN Tứ giác AMIN có hai đường chéo vng góc với nên Ta có : AC a nên tam giác SAC cân A suy AI đường cao đồng thời đường trung tuyến Khi K AI  SO trọng tâm tam giác SAC SK MN 2 2a SC a AI      MN  BD  3 Mặt khác 2 Lại có : SO BD a2 SAMIN  AI.MN  Do Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng ABCD vng A D, có AB = 2a, AD = DC = a, có SA  (ABCD) , SA = a a) Chứng minh (SAD)  (SCD), (SAC)  (SBC) b) Gọi (α) tính diện tích thiết diện trường hợp sau:) mặt phẳng chứa SD vng góc với mặt phẳng (SAC) Xác định thiết diện hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (α) tính diện tích thiết diện trường hợp sau:) tính diện tích thiết diện Lời giải CD  AD  CD  (SAD)  CD  SA a) Ta có:  Suy (SCD)  (SAD) Gọi I trung điểm đoạn AB Ta có: AICD hình vng IBCD hình bình hành Do DI//BC DI  AC  AC  CB Do CB  (SAC) Vậy (SBC)  (SAC) DI  AC  DI  (SAC)  DI  SA  c) Ta có: Vậy mặt phẳng (α) tính diện tích thiết diện trường hợp sau:) chứa SD vng góc với mặt phẳng (SAC) mặt phẳng (SDI) Do thiết diện hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (α) tính diện tích thiết diện trường hợp sau:) tam giác SDI có SD DI AI a Diện tích tam giác SDI là: SSDI  SD2 (a 2)2 a   4