I tóm tắt lý thuyết

CHỦ ĐỀ 5: BÀI TỐN VỀ GĨC Vấn đề 1: GĨC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG Định nghĩa góc hai đường thẳng Trong không gian cho đường thẳng a, b Từ điểm O ta vẽ đường thẳng a  , b song song với a b Ta nhận thấy điểm O thay đổi góc đường thẳng a  b không thay đổi Do ta có định nghĩa: Định nghĩa: Góc đường thẳng a b khơng gian góc đường thẳng a  b qua điểm song song với a b Cách xác định góc hai đường thẳng Để xác định góc đường thẳng a b ta lấy điểm O thuộc hai đường thẳng vẽ đường thẳng qua O song song với đường thẳng lại r r r r Nếu u vecto phương đường thẳng a v vecto phương đường thẳng b u; v    góc đường thẳng a b   90 180   90   180 Nếu đường thẳng a b song song trùng góc chúng 0 Góc đường thẳng góc có số đo  90 Phương pháp tính góc hai đường thẳng Để tính góc hai đường thẳng khơng gian cần nhớ công thức sau: · ■ Định lý hàm số cosin tam giác ABC: cos BAC  · Tương tự ta có: cos ABC  AB2  AC2  BC2 2.AB.AC BA  BC2  AC2 CA  CB2  AB2 · cos ACB  2.BA.BC 2.CA.CB uuu r uuu r ·   AB2  AC2  BC  Chú ý: AB.AC AB.AC cos BAC uuu r uuu r ■ Tính góc hai đường thẳng AB CD ta tính góc hai vectơ AB CD dựa vào công thức uuu r uuu r uuu r uuu r AB.CD uuu r uuu r AB.CD cos AB;CD  uuu r uuu r  cos  AB;CD   uuu r uuu r từ suy góc hai đường thẳng AB CD AB CD AB CD   Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác cạnh a, SA   ABC  SA a Gọi M, N trung điểm AB SC Tính cosin góc hai đường thẳng AN CM Lời giải a Cách 1: Dựng hình bình hành AMCE suy AM CE  · · AE   AN; Khi AE / /CM  AE;CM     Mặt khác SC  SA  AC2 2a  AN  độ dài đường trung tuyến AN SC a a.AE CM  2 Do ABC nên CM  AM  AMCE hình chữ nhật Khi CE  AE mà CE  SA  CE   SAE   CE  SE SEC vng E có đường trung tuyến EN  SC a AN  AE  NE 3    cos   2.AN.AE 4 uuu r uur uuu r uuur uuur uuu r uuu r uuu r Cách 2: Ta có: AN  AS  AC ;CM AM  AC  AB  AC 2 · Ta có: cos NAE    uuu r uuur uur uuu r  uuu r uuu r  uuu r uuu r 1 a  3a 2  Khi AN.CM  AS  AC  AB  AC   AB.AC  AC  a cos 60  2 2   Lại có: AN    3a SC a 3 a;CM   cos    2 a a Bình luận: Dựa vào hai cách làm ta thấy rằng, số trường hợp, việc sử dụng công cụ vectơ để tính góc hai đường thẳng giúp tốn trở nên dễ ràng nhiều! Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC AB a; AC a BC a Tính cosin góc hai đường thẳng SC AB Lời giải Cách 1: Gọi M, N, P trung điểm SA, SB AC Khi  MP / /SC · AB  MP; · MN  SC;  N / /AB   Ta có: MN     AB a SC a  ; MP   2 2 Mặt khác SAC vuông S  SP  BP  AC a  2 BA  BC2 AC a   a  BP  2 Suy PN  PS2  PB2 SB2 3a a    NP  4 MN  MP  NP · · AB 60   NMP 120    SC; 2.M N.MP uuu r uur uur uuu r uur uur uur uur uur uur uur uur Cách 2: Ta có: AB SB  SA  AB.SC  SB  SA SC SB.SC  SA.SC · Khi cos NMP      1 a2 2 2 2   SB  SC  AC    SA  SC  AB   2  a Suy cos  SC; AB      SC; AB  60 a.a Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD có AB x1 , CD x ; AC y1 , BD y , BC z1 , AD z Tính góc hai đường thẳng BC AD Lời giải uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uur uuu r uur uuu r Ta có: BC.DA  BC DC  CD CB.CD  CB.CD   1 CB2  CD2  BD2    CB2  CA  AB2    AB2  CD2  BD  CA   2 uuu r uuur BC.DA x  x  y  y 2 Khi cos  BC; DA    BC.DA 2z1z  · AD   BC;   · Đặc biệt: Nếu AB CD x; AC BD y BC AD z ta đặt   AB;CD ta có:  · BD    AC;        y  z x  y z  z cos   ;cos   ;cos   z2 x2 y2 Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông ABCD cạnh 2a, SA   ABCD  SB a Gọi M trung điểm AB N trung điểm BC Tính cosin góc đường thẳng SM DN Lời giải ■ Cách 1: Do SA   ABCD  Ta có: SA  SB2  AB2 a Gọi E trung điểm AD I trung điểm AE Dễ thấy BNDE hình bình hành MI đường trung bình tam giác ABE Khi DN / /BE / /MI Tacó: AM a; AI  AE a  2 Mặt khác: SM SA  AM 2a ;SI  5a 5a SM  MI  SI 10 · · DN) Do MI AI  AM  cosSMI   cos(SM; 2.SM.MI uuu r uuur uuu r uur uur uuu r uur uuu r uur ■ Cách 2: Ta có: SM.DN  SM SN  SD SM.SN  SM.SD 2  =  1 SM  SN  MN    SM  SD2  MD2   2 2 2 2 Mặt khác: SN SA  AN SA  AB  BN 6a , MN  AC  a 2,SD 5a , MD 5a uuu r uuur 2a 2a 10 Do SM.DN 2a  cos  SM; DN     SM.DN a 2.a 5 Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có AB a; AD a 2, SA   ABCD  SA=2a a) Tính cosin góc hai đường thẳng BC SD b) Gọi I trung điểm CD Tính cosin góc hai đường thẳng SB AI Lời giải · BC) (SD; · AD) SDA · a) Do BC / /AD  (SD; AD AD ·   SAD vuông A  cosSDA  2 SD AD  SA b) Gọi M, K trung điểm AB SA MK đường trung bình tam giác SAB Khi MK / /SB , mặt khác MC / /AI · AI) (MK;CM) · Suy (SB; Ta có: MK  SB SA  AB2 a MC  MB2  BC  3a ; ; KC  KA  AC 2a   2 2 KM + MC2  KC · · AI     cos SB; Khi cosKMC 2.KM.MC 5 uur uu r uur ur uur uur ur uur uur Cách khác: Ta có: SB.AI SB SI  SA SB.SI  SB.SA      1 SB2  SI  IB2    SB2  SA  AB2   2 Do SB2 5a ;SI SA  AD  DI  25a 3a ; AI  AD  DI  IB uur uur SB.AI a2 uur uur a   Suy SB.AI   cos  SB; AI   3a SB.AI a 5 2 · Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a, ABC 60 Tam giác SAB cân S thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy Biết SC tạo với đáy góc 30 Tính cosin góc a) SD BC b) DH SC, với H chân đường cao hạ từ S xuống mặt đáy (ABCD) Lời giải · a) Do AB BC a , ABC 60  ABC cạnh a Gọi H trung điểm AB, tam giác SAB cân S nên SH  AB  SAB    ABCD   SH   ABC  Mặt khác   AB  SAB    ABCD  ABC nên CH  a · · , SC;  ABC   SCH 30   a Ta có: SH HC tan 30  a · · Do ABC 60  BAD 120  HD  AH  AD  2AH.AD cos120  Suy SA  SH  HA  a , SD  SH  HD a DS2  DA  SA · · ·  AD;SD Mặt khác AD / /BC  BC;SD , cosSDA   2.DS.DA     · Do cos BC;SD  uur uuur uur uur uur uur uur uur uur b) Ta có SC.DH SC SH  SD  SC.SH  SC.SD      1 3a 2 2 2 SH  SC  HC  SC  SD  CD    2  uur uuur SC; DH 3a 2   Mặt khác: SC  SH  HC a  cos  SC; DH   SC.DH 14 a a DH / /BI  Cách khác: Gọi I trung điểm CD   a , gọi M trung điểm SD DH BI   MI/ / SC  a   SC a Lại có: BD a ; SB  SH  HB2  MI   Do BM  BD  BS2 SD 5a MI2  IB2  MB2 17 ·    cos MIB   4 2.IM.IB 14 17 · Suy cos DH;SC  14   Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A B có AD 2AB 2CD 2a SA   ABCD  Biết SC tạo với đáy góc 60 Tính cosin góc giữa: a) BC SD b) AI SD với I trung điểm CD Lời giải a) Ta có: AC  AB2  BC2 a · ·  60 Do SA   ABCD   SC;  ABC  SCA   Khi SA AC tan 60 a · ·  AD;SD Do AD / /BC  BC;SD    · Mặt khác cos ADS   2a 6a  4a  AD AD  SD SA  AD 10 cos·BC;SD   b) Gọi E trung điểm AD  AE DE BC a  ABCE hình vng cạnh a Do CE  AD  ACD vuông C a uu r uur ur uur uur ur uur uur uur 2 2 2 Lại có: AI.SD  SI  SA SD SI.SD  SA.SD   SI  SD  DI    SA  SD  AD  2 Ta có: CD  CE  ED a  ID    Trong AI AC  CI  5a 17a  SI SA  AI  2 uu r uur 3a 3a   Do AI.SD 3a  cos  AI;SD   AI.SD a 10 MI / /SD a 10 SC  Cách khác: Gọi M trung điểm SC   SD a 10 , AI  , AM  a  MI   2 IM  IA  AM · Khi MIA   2.IM.IA Ví dụ 8: Cho hình lăng trụ ABC.ABC có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu điểm A xuống mặt đáy (ABC) trung với trung điểm BC Biết cạnh bên tạo với mặt đáy góc 60 a) Tính tan góc tạo BC AC b) Cosin góc tạo CC AB Lời giải a) Gọi H trung điểm BC · C; AC  BC; · AC A · CH Ta có: BC/ / BC  B     · · H 60 Mặt khác AH   ABC   AA;  ABC  AA  AH   a 3a  AH AH tan 60  2 · CH  Xét tam giác vng AHC ta có: tan A AH 3 HC · ; AC 3 Vậy BC   b) Do CC / /AA  ·CC; AB  ·AA; AB  Ta có: AA  AH  HA a AB  AH  HB  Vậy cos  CC; AB   2 a 10 · AB  AA  AB  AB   cos A 2.AA.AB Vấn đề 2: GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG ■ Định nghĩa: Nếu đường thẳng a vng góc với mặt phẳng (P) ta nói góc đường thẳng a mặt phẳng (P) 90 (hình 1) Nếu đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng (P) góc a hình chiếu a  (P) gọi góc đường thẳng a mặt phẳng (P) (hình 2) Chú ý: Góc đường thẳng mặt phẳng khơng vượt q 90 ■ Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa góc đường thẳng mặt phẳng Cách tìm hình chiếu a  a mặt phẳng (P) ta làm sau: Tìm giao điểm M a   P  Tìm điểm A tùy ý đường thẳng a  A M  xác định hình chiếu vng góc H A mặt · phẳng (P) Khi đó, a  đường thẳng qua hai điểm A M Ta có:  ·a;  P   AMH  HM cos   AM  AH  Xét tam giác vuông AMH ta có:  tan   (trong d  A;  P   khoảng cách từ điểm A MH   AH d  A;  P    sin    AM AM đến mặt phẳng (P))  Dạng 1: Góc cạnh bên mặt đáy Tìm góc cạnh bên SA mặt đáy (ABC) Gọi H hình chiếu vng góc S mặt phẳng đáy (ABC) Như HA hình chiếu vng góc SA (ABC) · · · H Vậy SA;  ABC   SA; HA  SA   Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, có AB a; BC a Biết SA   ABC  , SB tạo với đáy góc 60 M trung điểm BC a) Tính cosin góc SC mặt phẳng (ABC) b) Tính cosin góc SM mặt phẳng (ABC) Lời giải · · 60 a) Do SA   ABC   SB;  ABC  SBA   · Do SA AB tan SBA a tan 60 a · Ta có: AC  AB2  BC2 2a; ·SC;  ABC   SCA AC AC 2a ·    Khi đó: cosSCA  2 2 SC SA  AC 3a  4a · b) Do SA   ABC   · SM;  ABC   SMA  a 3 a Ta có: AM  AB  BM  a        Khi cos   2 AM AM 133   2 SM 19 SA  AM Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình chữ nhật có AB 2 a; AD a Tam giác (SAB) thuộc mặt phẳng vng góc với đáy a) Tính góc SB, SC mặt phẳng (ABCD) b) Gọi I trung điểm BC Tính tan góc SI mặt phẳng (ABCD) Lời giải a) Gọi H trung điểm AB ta có: SH  AB  SAB    ABCD   SH   ABCD  Mặt khác   AB  SAB    ABCD  Tam giác SAB cạnh 2a nên SH a 3, HC  HB2  BC a · · 60 Do SH   ABCD   SB;  ABCD  SBH   SH ·  ABCD  SCH ·    SC;  · tan SCH HC 2 a a b) Ta có: HI  HB2  BI  a      2 SH a 15 · · · Mặt khác SI;  ABCD  SIH SIH  a :  SI   Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy nửa lục giác cạnh a, AD 2 a Biết SA   ABCD  đường thẳng SB tạo với đáy góc 45 a) Tính cosin góc tạo cạnh SC, SD mặt đáy (ABCD) b) Gọi I trung điểm CD, tính tan góc tạo SI mặt phẳng (ABCD) Lời giải a) Gọi O trung điểm AD  OABC hình thoi cạnh a  CO a  AD  ACD vuông C · Do SA   ABCD   · SB;  ABCD   SBA 45 Do SA AB tan 45 a · AC  AD  CD a  cos ·SC;  ABC   cosSCA  AC AC a 3    SC SA  AC2 a  3a ·  ABCD  cosSDA · cos SD;    AD SA  AD2  a a 13 b) Ta có: AI  AC  CI  3a      2 SA · ·   Do tan  SI;  ABCD   tan SIA AI 13  Dạng 2: Góc cạnh bên mặt phẳng chứa đường cao Tìm góc cạnh bên SB mặt phẳng (SHA) với  SHA    ABH  Dựng BK  AH , có BK  SH  BK   SHA  Suy K hình chiếu vng góc B mặt phẳng (SAH) · Vậy ·SB;  SAH   ·SB;SK  BSK Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật có AB a, AD a 3,SA   ABCD  Biết SC tạo với đáy góc 60 Tính cosin góc tạo bởi: a) SC mặt phẳng (SAB); SC mặt phẳng (SAD) b) SD mặt phẳng (SAC) Lời giải · Do SA   ABCD   · SC;  ABCD   SCA 60 Lại có: AC  AB2  AD 2a  SA AC tan 60 2a SB  SA  AB2 a 13   2 Khi SD  SA  AD a 15  2 SC  SA  AC 4a CB  SA ·  CB   SAB   ·SC;  SAB   CSB Do  CB  AB · Mặt khác cos CSB  SB 13  SC SD 15 · · Tương tự CD   SAD   ·SC;  SAD   CSD cosSCD   SC Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O cạnh a, BD a 3,SA   ABCD  Biết SC tạo với đáy góc 60 Tính tan góc tạo bởi: a) SC mặt phẳng (SAB) b) SD mặt phẳng (SAC) Lời giải a) Ta có: AC  BD O Khi OA OC, OB OD Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ ABCD.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có AB 2a, AD 2a , hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng (ABCD) trùng với tâm O hình chữ nhật ABCD, biết cạnh bên AA tạo với đáy góc 60 Tính cosin góc tạo với AC mặt phẳng  ABD  Lời giải Ta có: AC  AB2  BC2 4a  OA 2a OC · AO 60 Do AO   ABCD   · AO;  ABCD   A  AO OA tan 60 2a Dựng CH  BD  CH   ABD  · H  · AC;  ABD   CA Ta có: CH  BC.CD BC  CD a AC  OA2  OC  12a  4a 4a · H  Suy cos CA AH AC  HC2 16a  3a 13    AC AC 4a Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy tam giác cạnh a Tính góc tạo AC mặt a phẳng  ABBA biết AA  Lời giải Dựng CH  AB  CH  a CH  AB · H  CH   ABBA  · AC;  ABBA  CA Do   CH  AA  Lại có: AH  AA2  AH  · H  Do tan CA a2  a  a      2 CH · H 45 1  CA AH · H 45 Vậy · AC;  ABBA  CA  Dạng 3: Góc đường cao mặt bên Tìm góc đường cao SH mặt phẳng (SAB) Dựng HE  AB, HF  SE Ta có: AB  SH  AB   SHE   AB  HF Mặt khác HF  SE  HF   SAB   F hình chiếu vng góc H mặt phẳng (SAB) · Vậy ·SH;SAB  ·HF;SF  HSF Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC, có đáy ABC tam giác cạnh 2a Cạnh bên SA a vuông góc với đáy Tính góc SA mặt phẳng (SBC) Lời giải Từ A kẻ AK vng góc với BC K Ta có : SA  BC AK  BC  BC   SAK  Kẻ AH  SK, H  SK Mà BC  AH · · Suy AH   SBC   ·SA;  SBC   ASH ASK Tam giác SAK vng A, có SA AK a  tam giác SAK vuông cân A nên ASK 45 Vậy ·SA;  SBC   45 Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật có AB a, AD 2a,SA 2a SA   ABCD  Tính tan góc SA mặt phẳng (SBC), (SBD) (SCD) Lời giải  BC  AB  BC   SAB  Do   BC  SA Dựng AM  SB  AM   SBC   M hình chiếu vng góc A (SBC) · · Khi đó: ·SA;  SBC   ASM ASB  Do tan   AB  SA AD · 1 Tương tự ta có: ·SA;  SCD   ASD  tan   SA BD  AE  BD   SAE   BD  AF Dựng AE  BD, AF  SE ta có:  BD  SA · · Mặt khác AF  SE  AF   SBD   ·SA;  SBD   ASF ASE ·  Khi tan ASE AB.AD 2a AE AE ·   tan ASE   , AE  SA 5 SA AB2  AD Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A B có AD 2AB 2CD 2a SA   ABCD  Biết SC tạo với đáy góc 60 Tính tan góc SA mặt phẳng (SBC), (SCD) (SBD) Lời giải Ta có: AC  AB2  BC2 a · Do SA   ABCD   · SC;  ABCD   SCA 60 Suy SA AC tan 60 a  BC  SA  BC  AM Dựng AM  SB có   BC  AB Do AM   SBC   M hình chiếu A mặt phẳng (SBC) · · Suy ·SA;  SBC   ASM ASB ·  Ta có: tan ASB AB a   SA a 6 Gọi I trung điểm AD  ABCI hình vng cạnh a  CI  AD a  ACD vuông C Khi CD  SA  CD   SAC   CD  AC AC a · · ·    Dựng AN  SC  ·SA;  SCD   ASN Ta có: tan ASC ASC SA a  AE  BD · · ·   SA;  SBD   ASF ASE Dựng  AF  SE  Mặt khác AE  AB.AD AB  AD  2a AE 30 ·  tan ASE   SA 15 Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy nửa lục giác cạnh a, AD 2a Biết SA   ABCD  đường thẳng SB tạo với đáy góc 60° a) Tính tan góc tạo SA (SBC) b) Tính góc tạo SA (SCD) Lời giải a) Gọi O trung điểm AD  OABC hình thoi cạnh a  CO a  AD  ACD vuông C · Do SA   ABCD   · SB;  ABCD   SBA 60  SA AB tan 60 a , AC  AD  CD a · · Dựng AE  BC , AF  SE  ·SA;  SBC   ASF ASE · · Do ABE 120  ABE 60 a · Mặt khác AE ABsin ABE ABsin 60  AE · ·   Suy tan  SA;  SBC   tan ASE SA CD  SA  CD   SAC  Dựng AK  SC  AK   SCD  b) Do  CD  AC · · Khi ·SA;  SCD   ASK ASC  Ta có: tan   AC a  1   45 Vậy ·SA;  SCD   45 SA a Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ ABC.ABC có đáy tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc B lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H cạnh AB, đường cao BH  3a Tính cosin góc đường thẳng BH mặt phẳng  BCCB Lời giải Dựng HE  BC, HF  BE ta có:  BC  BH   BC  HE suy BC  HF  HF   BBCC  · BH;  BCCB  · F HB · E HB a a · Ta có: HE HBsin HBE  sin 60  · E  Do cos HB BH BH   BE BH  HE  Dạng 4: Góc cạnh bên mặt bên Tính góc cạnh bên SC mặt phẳng (SAB) Đặt ·SC;  SAB     0  90  Ta có cơng thức: sin   d  C;  SAB   SC Từ suy giá trị cos  tan  đề u cầu Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có AD 2a, AB a Tam giác SAD cân S thuộc mặt phẳng vng góc với đáy Đường thẳng SB tạo với đáy góc 30 Tính sin góc tạo bởi: a) SA mặt phẳng (SBC) b) SD mặt phẳng (SAC) Lời giải Gọi H trung điểm AD ta có: SH  AD Lại có:  SAD    ABCD   SH   ABCD  Ta có: HA a; HB  HA  AB2 a · Do SH   ABCD   · SB;  ABCD   SBH 30 Suy SH HB tan 30 a a) Do AD / /BC  AD / /  SBC  Do d  A;  SBC   d  H;  SBC    HE  BC Dựng  tacó: BC  HF từ suy HF   SBC   HF  SE  d  H;  SBC   HF d  A;  SBC   Ta có: SA  SH  SA a SD Mặt khác: 1 a ·SA; SBC  d  A;  SBC       HF   sin    HF2 SH HE SA b) Dựng HN  AC  AC   SHN  , dựng HI  SN  HI   SAC  Do d  D;  SAC   DA 2   d  D;  SAC   2d  H;  SAC   2HI HA d  H;  SAC   Dựng DM  AC  DM  Ta có: sin ·SD;  SAC    2a a HN.SH a  HN   HI    d  D;  SAC   a HN  SH 2 d  D;  SAC   SD  a a  Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật ABCD có AB a 3; AD a , tam giác SBD tam giác vuông cân đỉnh S nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính sin góc tạo SA mặt phẳng (SBC) Lời giải Gọi O trung điểm BD ta có: SO  BC  SBD    ABC   SO   ABC  2 Ta có: BD  AB  AD 2a  SO  BD a Dựng OE  BC, OF  SE  OF   SBC  d  D;  SBC   2d  O;  SBC   2HF a Ta có: HE  AB  2 mặt khác  OF  SH.OE SH  OE a Suy d  A;  SBC    a 21  7 2a 21 Mặt khác SA  SO  OA a Do sin ·SA;  SBC    d  A;  SBC   SA  42 Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ ABC.ABC có đáy tam giác vuông A với AB a; AC a , hình chiếu vng góc A lên mặt đáy trùng với trung điểm H BC Biết AH a Tính cosin góc tạo AB với mặt phẳng  ACCA Lời giải Dựng HE  AC HF  AE  AC  AH  AC  HF  HF   AAC  Ta có:  AC  HE  Khi d  H;  AAC   HF Lại có BC 2HC nên d  B;  AAC   2d  H;  AAC   Mặt khác ME đường trung bình tam giác ABC nên ME  AB a HE.AM a  Khi đó: HF   2 HE  AM Suy d  B;  AAC    2a ; BC  AB2  AC 2a Lại có AB  AH  HB2 a Suy sin · AB;  AAC   sin   d  B;  AAC   BA  57  cos    sin   9 Vấn đề 3: GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG ■ Định nghĩa: Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng ■ Cách xác định góc hai mặt phẳng Tìm giao tuyến d hai mặt phẳng (P); (Q) Lấy A  mp  Q  , dựng AB  mp  P   B P  Vẽ BH vng góc với d AH vng góc d · Vậy AHB      90  góc hai mặt phẳng (P) (Q) ■ Định lý: Gọi S diện tích đa giác H mặt phẳng (P) S diện tích hình chiếu H H mặt phẳng  P S Scos  ,  góc hai mặt phẳng (P)  P  Dạng 1: Góc mặt bên mặt đáy Phương pháp giải: Tính góc mặt phẳng (SAB) mặt phẳng đáy (ABC) Dựng đường cao SH   ABC  , dựng HE  AB · Khi AB   SEH   ·  SAB  ;  ABC   SEH Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có SA   ABCD  , đáy hình chữ nhật ABCD với AB a; AD a Biết mặt phẳng (SCD) tạo với đáy góc 60 a) Tính cosin góc tạo mặt phẳng (SBC) mặt đáy (ABCD) b) Tính tan góc mặt phẳng (SBD) mặt đáy (ABCD) Lời giải CD  SA ·  CD   SDA  góc mặt phẳng (SCD) đáy SDA a) Do  60 CD  D  Suy SA AD tan 60 3a  BC  SA ·  BC   SBA   ·  SBC  ;  ABC   SBA Do  BC  AB  AB AB a ·    Mặt khác cosSBA  SB 10 SA  AB2 9a  a · Vậy cos   SBC  ;  ABC    10  b) Dựng AH  BD  BD   SHA     ABD  ;  ABC   SHA Lại có: AH  AB.AD AB  AD  a SA · ·  2 Suy tan   SBD  ;  ABCD   tan SHA AH Ví dụ 2: Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B có AB a 3; BC a , tam giác SAC tam giác cân S thuộc mặt phẳng vng góc với đáy Biết đường thẳng SB tạo với đáy góc 60 Tính góc ·  SBC  ;  ABC   Lời giải Gọi H trung điểm AC, tam giác SAC cân nên ta có: SH  AC Mặt khác  SAC    ABCD  nên SH   ABC  · Khi đó: ·SB;  ABC   SBH 60 2 Ta có: AC  AB  BC 2a  BH  AC a Khi đó: SH a tan 60 a Dựng HK  BC  BC   SHK  AB a ·  SKH ·  SBC  ;  ABC   , ta có: HK   ; 2 · SH a  cosSKH  Vậy ·  SBC  ;  ABC    với cos   · Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi, có AB 2a góc BAD 120 Hình chiếu a vng góc S xuống mặt phẳng đáy (ABCD) trùng với giao điểm I hai đường chéo SI  Tính góc tạo mặt phẳng (SAB) mặt phẳng (ABCD) Lời giải Gọi  góc hai mặt phẳng (SAB) mặt phẳng (ABCD) Gọi H hình chiếu vng góc I AB  AB  HI  AB   SHI  Ta có:   AB  SI · Do  ·SH; IH  SHI Do · · BAD 120  BAI 60  ABC a · IA a  IH IA sin IAB IA sin 60  cạnh 2a nên Do tan   SI    30 IH Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B có AD 2a AB BC a Hai mặt phẳng (SAB) (SAD) vng góc với đáy Biết mặt phẳng (SBC) tạo với đáy (ABCD) góc 60° Tính tan góc tạo mặt phẳng (SCD) (SBD) với mặt phẳng (ABCD) Lời giải  BC  AB  BC   SBA  Ta có:   BC  SA · Khi đó: · 60  SBC  ;  ABCD   SBA  SA AB tan 60 a Gọi I trung điểm AD  ABCI hình vng cạnh a  CI a  AD  ACD vuông C CD  AC  CD   SCA  Ta có:  CD  SA SA a 3 · ·     Do · tan SCA  SCD  ;  ABCD   ·SC; AC  SCA AC 2 AB2  BC2 · Dựng AE  BD , lại có BD  SA  BD   SEA   ·  SBD  ;  ABCD   SEA Ta có: AE  AB.AD AB2  AD  2a SA 15 ·  tan SEA   AE Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ ABC.ABC có đáy tam giác cạnh 2a Hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh AB, góc đường thẳng AC mặt đáy (ABC) 60 Tính cosin góc mặt phẳng  AAC  mặt đáy (ABC) Lời giải Gọi H trung điểm cạnh AB ta có: AH   ABC  · CH 60 Lại có: CH ACsin 60 a Do A  AH CH tan 60 3a Dựng HK  AC ta có AH  AC   AHK   AC Khi đó: HK HA sin 60  · Ta có: cos AKH  a HK HK  AH   13