CHỦ ĐỀ 3: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa: Vectơ không gian đoạn thằng có hướng Kí hiệu AB vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B Vectơ cịn kí hiệu a , b , c ,… Các quy tắc vectơ Quy tắc điểm: AC AB BC AC BC BA Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ACBD ta có: AC AB AD Quy tắc trung điểm: Nếu M trung điểm AB MA MB 0 Quy tắc trung tuyến: Nếu AP trung tuyến tam 1 giác ABC AP AB AC BA BC 2 BN Tương tự hình bên ta có: CB CA 2CM Quy tắc trọng tâm: Nếu G trọng tâm tam giác ABC GA GB GC 0 Khi với điểm M ta có: MA MB MC 3MG Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ AB AD AA ' AC ' Chứng minh: Ta có: ACC’A’ hình bình hành nên AC ' AC AA ' Tương tự: AC AB AD suy AC ' AB AD AA ' Chú ý: Nếu G tâm tứ diện ABCD, ta có: GA GB GC GD 0 Sự đồng phẳng vectơ, điều kiện để va vectơ đồng phẳng Định nghĩa: Ba vectơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Định lí 1: Điều kiện cần đủ để ba vectơ a , b , c đồng phẳng a b phương tồn số m, n cho c m.a n.b Định lí 2: Nếu a , b , c ba vectơ khơng đồng phẳng với vectơ d khơng gian, ta tìm số m, n, p cho Tích vơ hướng vectơ Góc vectơ a b khác định nghĩa góc AOB với OA a ; OB b Nếu a b ta quy ước góc chúng nhận giá trị tùy ý Tích vơ hướng vectơ a b số, kí hiệu a.b xác định a.b a b cos a; b từ suy cosin góc vectơ a b a.b cos a; b a.b Đặc biệt a b cos a; b 0 a.b 0 Tính chất: Cho vectơ a , b , c số thực k Khi ta có: i) a.b b.a a b c a.b a.c ii) 2 ka b k a.b a kb iii) a a iv) Vectơ phương đường thằng: Vectơ a 0 gọi vectơ phương đường thằng d giá vectơ a song song trùng với đường thẳng d Một đường thẳng d khơng gian hồn tồn xác định biết điểm A thuộc d vectơ phương a đường thẳng d Ứng dụng tích vơ hướng Tính độ dài đoạn thẳng AB: AB AB AB a.b Xác định góc hai vectơ: cos a; b a.b II CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Chứng minh đằng thức vectơ, chứng minh vectơ đồng phẳng Phương pháp giải: Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta chứng cách: Chứng minh giá ba vectơ song song với mặt phẳng Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: tồn tai số m n cho c m.a n.b vectơ a , b , c đồng phẳng Để biểu diễn vectơ x theo vectơ a , b , c khơng đồng phẳng ta tìm số m, n, p cho x m.a n.b p.c Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD Gọi I J trung điểm AB CD a) Hãy biểu diễn vectơ IJ theo vectơ AB , AC , AD b) Gọi G trọng tâm tam giác BCD Hãy biểu diễn vectơ AG theo vectơ AB , AC , AD Lời giải 1 a) Ta có: IJ IA AJ , mặt khác IA AI AB 1 AJ AC AD (tính chất trung điểm) 1 1 Do IJ AB AC AD 2 AB AG GB b) Ta có: AC AG GC cộng vế theo vế ta được: AD AG GD 3AG GB GC GD AB AC AD AB AC AD Mặt khác GB GC GD 0 (do G trọng tâm tam giác BCD) Do AG Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD Lấy điểm M N thuộc AD BC cho AM 3MD , Biết , NB 3NC AB a CD b a) Hãy biểu diễn vectơ MN theo a b b) Gọi P Q trun điểm AD BC Chứng minh ba vectơ MN , DC , PQ đồng phẳng c) Gọi G trung điểm PQ, chứng minh G trọng tâm tứ diện ABCD Lời giải a) Ta có: MN MD DC CN 1 Lại có: MN MA AB BN Lấy 1 ta MN AB 3DC Do MN a b 4 MN MP PQ QN MN PQ DC b) Ta có: MN MD DC CN 1 Suy MN PQ DC ba vectơ MN , DC , PQ đồng phẳng GA GD 2GP GA GB GC GD 2 GP GQ c) Theo tính chất trung điểm ta có: GB GC 2GQ Mặt khác GP GQ 0 GA GB GC GD 0 G trọng tâm tứ diện ABCD Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’ B’C' có AA ' a , AB b , AC c Gọi I J trung điểm BB' A'C', điểm K thuộc B'C cho KC ' KB ' a) Hãy biểu thị vectơ B ' C ; CI BJ qua vectơ a , b , c b) Biểu thị vectơ AK theo vectơ AI AJ từ suy vectơ AK , AI , AJ đồng phẳng Lời giải a) Ta có: B ' C B ' C ' B ' B (theoquy tắc hình bình hành) Suy B ' C BC A ' A AC AB AA ' c b a 1 Lại có: CI CB BI AB AC BB ' b c a 2 Mặtkhác: c BJ BA AA ' A ' J AB A 'C' b a AC b a 2 b) Ta có: AK AI IB ' B ' K 1 AK AJ JC ' C ' K Lấy 1 ta được: AK 2 AI AJ IB ' JC ' 2 B' K C ' K 2 AI AJ BB ' A ' J 2 AI AJ AJ 2 AK AI AJ Vậy Ví dụ 4: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Đặt BA a , BB ' b , BC c Gọi M N hai điểm nằm AC DC’ cho MN//BD’ Tính tỷ số MN BD ' Lời giải Giả sử: MC n AC , C ' N mC ' D Ta có: BD ' BD DD ' BA BC DD ' a b c Lại có: MN MC CC ' C 'N n AC b mC ' D n BC BA b m C ' C CD n c a b m b a m n a m b nc Khi MN / / BD ' MN k BD ' m m n 1 m n MN k k 1 B'D' n 1 Ví dụ 5: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Gọi I giao điểm hai đường chéo hình bình hành ABB'A' K giao điểm hai đường chéo hình bình hành BCC'A Biểu thị vectơ BD theo vectơ IK C ' B ' từ suy ba vectơ BD , IK , C ' B ' đồng phẳng Lời giải Ta có: BD BC CD C ' B AD AC (vì C ' B ' B ' C ' IK AC 2 IK ) Suy BD 2C ' B ' IK Do ba vectơ BD , IK , C ' B ' đồng phẳng Ví dụ 6: Trong khơng gian cho tam giác ABC Chứng minh có điểm O khơng gian cho OM xOA yOB zOC , đồng thời , x y z 1 điểm M thuộc mặt phẳng ABC Lời giải Ta có: OM xOA yOB zOC x y z OM xOA yOB zOC xMA yMB zMC 0 Nếu x 0 yMB zMC 0 M, B, C thẳng hàng nên A, B, C, M đồng phẳng y z Nếu x 0 MA MB MC A, B, C, M đồng phẳng x x Ví dụ 7: Cho tứ diện ABCD Gọi P P trung điểm cạnh AB CD Trên cạnh AB AM BN k k CD lấy điểm M, N cho Chứng minh vectơ PQ , PM , AC BD PN đồng phẳng Lời giải 1 1 Ta có: PQ PC PD AC AP BD BP 2 AM BN AC BD AP BP 2 k AM AP PM 1 PM PN Lại có: nên PQ 2k BN BP PN (Do AP BP 0 ) 1 PQ PM PN M, N, P, Q đồng phẳng Do 2k Dạng 2: Tính độ dài đoạn thẳng, góc hai vectơ, chứng minh đường thẳng vng góc Phương pháp giải: Để tính độ dài đoạn thằng AB ta sử dụng công thức: AB AB AB , để tính độ dài vectơ u ta 2 sử dung công thức u u a.b Để tính góc vectơ ta sử dụng cơng thức: cos a; b a.b Để chứng minh đường thẳng AB CD vng góc với ta chứng minh: AB.CD 0 Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a BC a Tính góc hai vectơ AB SC Lời giải Do SB = SC = a; BC a SBC vuông cân S Lấy điểm S làm điểm gốc ta phân tích: AB SB SA Ta có: AB.SC SB SA SC SB.SC SA.SC a cos 900 a cos 600 a2 a2 AB.SC Do cos AB; SC AB.SC a.a AB; SC 1200 Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD a) Chứng minh rằng: AB.CD AC.DB AD.BC 0 b) Từ đẳng thức suy tứ diện ABCD có AB CD AC DB AD BC Lời giải a) Lấy điểm A làm điểm gốc Ta có: AB.CD AC.DB AD.BC AB AD AC AC AB AD AD AC AB 0 b) Do AB.CD AC.DB AD.BC 0 CD 0 AB CD AB AD.BC 0 Mặt khác: AC DB AC.DB 0 Do AD BC Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD góc BAC = 600, góc BAD = 600, góc CAD = 900 Chứng minh rằng: a) AB CD b) Nếu I J trung điểm AB CD IJ AB Lời giải a) Lấy điểm A điểm gốc ta có AB.CD AB AD AC AB AD AB AC a cos 600 a cos 600 0 AB CD 1 b) Ta có: IJ IA AJ AB AC AD 2 Do IJ AB AB AC AD AB AB AC AB AD AB 2 a a cos 600 a cos 600 0 IJ AB Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC ASB = BSC = CSA Chứng minh SA BC , SB AC SC AB Lời giải Giả sử ASB BSC CSA SA = SB = SC = a Lấy điểm S làm điểm gốc ta có: SA.BC SA SC SB SA.SC SA.SB a cos a cos 0 Tương tự chứng ta có SB AC SC AB Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD Gọi P Q trung điểm AB CD Biết AB AC , AB BD Chứng minh AB PQ vng góc với Lời giải AB AC 0 Ta có: AB AC , AB BD AB.BD 0 1 Lại có: PQ PA AQ AB AC AD 2 1 Do AB.PQ AB AB AC AD AB AB AB AD AB AD AB BD 0 2 2 Do AB PQ Ví dụ 6: Trong khơng gian cho vectơ a b tạo với góc 1200 Biết a 3 b 5 Tính a b a b Lời giải 2 2 2 Ta có: a b a b a 2a.b b a a b cos a; b b 32 2.3.5.cos120 52 19 Do a b 19 2 2 2 Lại có: a b a b a 2a.b b a a b cos a; b b 32 2.3.5.cos1200 52 49 Do a b 7 Ví dụ 7: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' Tính góc hai vectơ AC DA' Lời giải Ta có: AC AB AD DA ' DA DD ' AD AA ' Đặt AB a AC a DA ' 2 Mặt khác AC '.DA ' AB AD AD ' AA ' AD a a2 1 Suy cos AC; DA ' AC ; DA ' 1200 2a