1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

I tóm tắt lý thuyết

8 2 0
Tài liệu đã được kiểm tra trùng lặp

Đang tải... (xem toàn văn)

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 8
Dung lượng 845,5 KB

Nội dung

CHỦ ĐỀ 3: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa:  Vectơ không gian đoạn thằng có hướng Kí hiệu AB vectơ có điểm đầu A, điểm    cuối B Vectơ cịn kí hiệu a , b , c ,… Các quy tắc vectơ        Quy tắc điểm: AC  AB  BC AC BC  BA  Quy tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ACBD ta    có: AC  AB  AD  Quy tắc trung điểm: Nếu M trung điểm AB    MA  MB 0  Quy tắc trung tuyến: Nếu AP trung tuyến tam  1  giác ABC AP  AB  AC     BA  BC 2 BN Tương tự hình bên ta có:     CB  CA 2CM   Quy tắc trọng tâm: Nếu G trọng tâm tam giác ABC     GA  GB  GC 0     Khi với điểm M ta có: MA  MB  MC 3MG   Quy tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’     AB  AD  AA '  AC ' Chứng minh:    Ta có: ACC’A’ hình bình hành nên AC '  AC  AA '        Tương tự: AC  AB  AD suy AC '  AB  AD  AA ' Chú ý: Nếu G tâm tứ diện ABCD, ta có:      GA  GB  GC  GD 0 Sự đồng phẳng vectơ, điều kiện để va vectơ đồng phẳng Định nghĩa: Ba vectơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng:       Định lí 1: Điều kiện cần đủ để ba vectơ a , b , c đồng phẳng a b phương    tồn số m, n cho c m.a  n.b      Định lí 2: Nếu a , b , c ba vectơ khơng đồng phẳng với vectơ d khơng gian, ta tìm số m, n, p cho Tích vơ hướng vectơ    Góc vectơ a b khác định nghĩa     góc AOB với OA a ; OB b    Nếu a b ta quy ước góc chúng nhận giá trị tùy ý   Tích vơ hướng vectơ a b số, kí        hiệu a.b xác định a.b  a b cos a; b từ suy cosin góc vectơ a b     a.b cos a; b    a.b       Đặc biệt a  b  cos a; b 0  a.b 0    Tính chất: Cho vectơ a , b , c số thực k Khi ta có:        i) a.b b.a a b  c a.b  a.c ii)       2 ka b k a.b  a kb iii) a a iv)           Vectơ phương đường thằng:    Vectơ a 0 gọi vectơ phương đường thằng d giá vectơ a song song trùng với đường thẳng d Một đường thẳng d khơng gian hồn tồn xác định biết điểm A thuộc d vectơ  phương a đường thẳng d Ứng dụng tích vơ hướng   Tính độ dài đoạn thẳng AB: AB  AB  AB   a.b Xác định góc hai vectơ: cos a; b    a.b   II CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng 1: Chứng minh đằng thức vectơ, chứng minh vectơ đồng phẳng Phương pháp giải: Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta chứng cách:  Chứng minh giá ba vectơ song song với mặt phẳng    Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: tồn tai số m n cho c m.a  n.b    vectơ a , b , c đồng phẳng      Để biểu diễn vectơ x theo vectơ a , b , c khơng đồng phẳng ta tìm số m, n, p     cho x m.a  n.b  p.c Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD Gọi I J trung điểm AB CD     a) Hãy biểu diễn vectơ IJ theo vectơ AB , AC , AD     b) Gọi G trọng tâm tam giác BCD Hãy biểu diễn vectơ AG theo vectơ AB , AC , AD Lời giải      1 a) Ta có: IJ  IA  AJ , mặt khác IA  AI  AB  1  AJ  AC  AD (tính chất trung điểm)  1  1 Do IJ  AB  AC  AD 2     AB  AG  GB     b) Ta có:  AC  AG  GC cộng vế theo vế ta được:     AD  AG  GD        3AG  GB  GC  GD  AB  AC  AD         AB  AC  AD Mặt khác GB  GC  GD 0 (do G trọng tâm tam giác BCD) Do AG        Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD Lấy điểm M N thuộc AD BC cho AM 3MD ,       Biết , NB  3NC AB a CD b    a) Hãy biểu diễn vectơ MN theo a b    b) Gọi P Q trun điểm AD BC Chứng minh ba vectơ MN , DC , PQ đồng phẳng c) Gọi G trung điểm PQ, chứng minh G trọng tâm tứ diện ABCD Lời giải     a) Ta có: MN MD  DC  CN  1     Lại có: MN MA  AB  BN      Lấy     1 ta MN  AB  3DC    Do MN  a  b 4         MN MP  PQ  QN      MN PQ  DC b) Ta có:   MN MD  DC  CN  1     Suy MN  PQ  DC  ba vectơ MN , DC , PQ đồng phẳng          GA  GD 2GP     GA  GB  GC  GD 2 GP  GQ c) Theo tính chất trung điểm ta có:  GB  GC 2GQ         Mặt khác GP  GQ 0  GA  GB  GC  GD 0  G trọng tâm tứ diện ABCD           Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’ B’C' có AA ' a , AB b , AC c   Gọi I J trung điểm BB' A'C', điểm K thuộc B'C cho KC '  KB '       a) Hãy biểu thị vectơ B ' C ; CI BJ qua vectơ a , b , c       b) Biểu thị vectơ AK theo vectơ AI AJ từ suy vectơ AK , AI , AJ đồng phẳng Lời giải    a) Ta có: B ' C B ' C '  B ' B (theoquy tắc hình bình hành)         Suy B ' C BC  A ' A  AC  AB  AA ' c  b  a          1 Lại có: CI CB  BI  AB  AC  BB ' b  c  a 2   Mặtkhác:            c BJ BA  AA '  A ' J  AB  A 'C'  b  a  AC  b  a  2     b) Ta có: AK  AI  IB '  B ' K  1     AK  AJ  JC '  C ' K   Lấy  1    ta được:               AK 2 AI  AJ  IB '  JC '  2 B' K C ' K 2 AI  AJ  BB '  A ' J 2 AI  AJ  AJ  2  AK  AI  AJ Vậy         Ví dụ 4: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Đặt BA a , BB ' b , BC c Gọi M N hai điểm nằm AC DC’ cho MN//BD’ Tính tỷ số MN BD ' Lời giải     Giả sử: MC n AC , C ' N mC ' D          Ta có: BD ' BD  DD ' BA  BC  DD ' a  b  c        Lại có: MN MC  CC '  C 'N n AC  b  mC ' D     n BC  BA  b  m C ' C  CD            n  c  a   b  m   b  a   m  n  a    m  b  nc   Khi MN / / BD '  MN k BD '  m  m  n 1 m n MN    k    k  1 B'D'  n 1  Ví dụ 5: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Gọi I giao điểm hai đường chéo hình bình hành  ABB'A' K giao điểm hai đường chéo hình bình hành BCC'A Biểu thị vectơ BD theo vectơ      IK C ' B ' từ suy ba vectơ BD , IK , C ' B ' đồng phẳng Lời giải       Ta có: BD BC  CD  C ' B  AD  AC      (vì  C ' B '  B ' C '  IK AC 2 IK )    Suy BD  2C ' B '  IK    Do ba vectơ BD , IK , C ' B ' đồng phẳng   Ví dụ 6: Trong khơng gian cho tam giác ABC Chứng minh có điểm O khơng gian     cho OM  xOA  yOB  zOC , đồng thời , x  y  z 1 điểm M thuộc mặt phẳng  ABC  Lời giải         Ta có: OM  xOA  yOB  zOC   x  y  z  OM xOA  yOB  zOC      xMA  yMB  zMC 0    Nếu x 0   yMB  zMC 0  M, B, C thẳng hàng nên A, B, C, M đồng phẳng   y  z Nếu x 0  MA  MB  MC  A, B, C, M đồng phẳng x x Ví dụ 7: Cho tứ diện ABCD Gọi P P trung điểm cạnh AB CD Trên cạnh AB   AM BN   k k  CD lấy điểm M, N cho   Chứng minh vectơ PQ , PM , AC BD  PN đồng phẳng Lời giải   1   1   Ta có: PQ  PC  PD   AC  AP  BD  BP  2       AM  BN  AC  BD  AP  BP     2 k      AM  AP  PM 1  PM  PN Lại có:     nên PQ  2k  BN BP  PN    (Do AP  BP 0 )  1  PQ  PM  PN  M, N, P, Q đồng phẳng Do 2k             Dạng 2: Tính độ dài đoạn thẳng, góc hai vectơ, chứng minh đường thẳng vng góc Phương pháp giải:     Để tính độ dài đoạn thằng AB ta sử dụng công thức: AB  AB  AB , để tính độ dài vectơ u ta  2 sử dung công thức u  u     a.b Để tính góc vectơ ta sử dụng cơng thức: cos a; b    a.b    Để chứng minh đường thẳng AB CD vng góc với ta chứng minh: AB.CD 0 Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a BC a Tính góc hai   vectơ AB SC Lời giải Do SB = SC = a; BC a  SBC vuông cân S    Lấy điểm S làm điểm gốc ta phân tích: AB SB  SA       Ta có: AB.SC  SB  SA SC SB.SC  SA.SC   a cos 900  a cos 600  a2 a2     AB.SC Do cos AB; SC    AB.SC a.a  AB; SC 1200     Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD    a) Chứng minh rằng: AB.CD  AC.DB  AD.BC 0 b) Từ đẳng thức suy tứ diện ABCD có AB  CD AC  DB AD  BC Lời giải a) Lấy điểm A làm điểm gốc    Ta có: AB.CD  AC.DB  AD.BC          AB AD  AC  AC AB  AD  AD AC  AB 0    b) Do AB.CD  AC.DB  AD.BC 0   CD 0  AB  CD  AB    AD.BC 0 Mặt khác:   AC  DB  AC.DB 0       Do AD  BC Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD góc BAC = 600, góc BAD = 600, góc CAD = 900 Chứng minh rằng: a) AB  CD b) Nếu I J trung điểm AB CD IJ  AB Lời giải     a) Lấy điểm A điểm gốc ta có AB.CD  AB AD  AC    AB AD  AB AC a cos 600  a cos 600 0  AB  CD      1 b) Ta có: IJ  IA  AJ  AB  AC  AD 2      Do IJ AB   AB  AC  AD AB             AB  AC AB  AD AB 2   a  a cos 600  a cos 600 0  IJ  AB      Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC ASB = BSC = CSA Chứng minh SA  BC , SB  AC SC  AB Lời giải Giả sử ASB BSC CSA  SA = SB = SC = a     Lấy điểm S làm điểm gốc ta có: SA.BC SA SC  SB   SA.SC  SA.SB a cos   a cos  0   Tương tự chứng ta có SB  AC SC  AB Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD Gọi P Q trung điểm AB CD Biết AB  AC , AB  BD Chứng minh AB PQ vng góc với Lời giải   AB AC 0 Ta có: AB  AC , AB  BD      AB.BD 0     1  Lại có: PQ PA  AQ  AB  AC  AD 2     1   Do AB.PQ  AB   AB  AC  AD            AB AB AB AD AB      AD  AB  BD 0 2 2   Do AB  PQ     Ví dụ 6: Trong khơng gian cho vectơ a b tạo với góc 1200 Biết a 3 b 5     Tính a  b a  b Lời giải  2   2   2      Ta có: a  b  a  b a  2a.b  b  a  a b cos a; b  b 32  2.3.5.cos120  52 19       Do a  b  19  2   2   2      Lại có: a  b  a  b a  2a.b  b  a  a b cos a; b  b 32  2.3.5.cos1200  52 49       Do a  b 7 Ví dụ 7: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' Tính góc hai vectơ AC DA' Lời giải         Ta có: AC  AB  AD DA ' DA  DD '  AD  AA ' Đặt AB a  AC a DA '      2 Mặt khác AC '.DA '  AB  AD  AD '  AA '  AD  a      a2 1  Suy cos AC; DA '    AC ; DA '  1200 2a    

Ngày đăng: 12/10/2023, 22:48

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

  • Đang cập nhật ...

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w