I tóm tắt lý thuyết

CHỦ ĐỀ 4: TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM ▪ Định nghĩa 1: Cho hàm số y  f  x  xác định khoảng vô hạn (là khoảng dạng  a;   ;   ;b    ;   ) Đường thẳng y  y0 đường tiệm cận ngang (hay tiệm cận ngang) đồ thị y  y0 ; lim y  y0 hàm số y  f  x  điều kiện sau thỏa mãn: xlim   x   ▪ Định nghĩa 2: Đường thẳng x x0 đường tiệm cận đứng (hay tiệm cận đứng) đồ thị hàm số y  f  x  điều kiện sau thỏa mãn: lim y ; x  x0 lim y ; x  x0 lim y  ; x  x0 lim y   x  x0 II CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP  Dạng 1: Tìm tiệm cận đồ thị hàm số khơng chứa tham số Phương pháp giải: Để tìm tiệm cận đồ thị hàm số y  f  x  ta thực bước sau: ▪ Bước 1: Tìm miền xác định (tập xác định) hàm số y  f  x  ▪ Bước 2: Tìm giới hạn f  x  x tiến đến biên miền xác định ▪ Bước 3: Từ giới hạn định nghĩa tiệm cận suy phương trình đường tiệm cận Đặc biệt: Để tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số y  f  x ta làm sau: g  x - Bước 1: Tìm tập xác định D - Bước 2: y; lim y kết luận tiệm cận ngang +) Tìm tiệm cận ngang: Ta tính giới hạn: xlim   x   +) Tìm tiệm cận đứng: Sử dụng phương pháp nhân liên hợp phân tính nhân tử để đơn giản biểu thức f  x dạng tối giản từ kết luận tiệm cận đứng g  x Chú ý: - Nếu bậc f  x  nhỏ bậc g  x  đồ thị hàm số có tiệm cận ngang - Nếu bậc f  x  lớn bậc g  x  đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang Ví dụ 1: Tìm tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số sau: 2 x a) y  C  x2 b) y  Lời giải x2  5x 1 C x2  5x   2 2 x x D   \  1;1 lim y  lim  lim   Ta có: x  x  x  x 0  y 0 tiệm cận ngang đồ a) TXĐ: 1 x x2  thị hàm số y  nên x 1 x  đường tiệm cận đồ thị hàm số y  xlim Mặt khác lim    1 x b) TXĐ: D  \  1; 4 y lim Ta có: xlim  1 x x2  5x 1 x  5x 1   (hoặc lim y lim  ) nên đường thẳng x 1 x x   x  1  x    x  1  x   tiệm cận đứng (C) Tương tự đường thẳng x 4 tiệm cận đứng đồ thị hàm số cho 2  2 x2  5x 1 x x 2 nên đường thẳng y 2 tiệm cận ngang đồ y  lim  lim Lại có: xlim   x   x  x  x   1  x x thị hàm số cho Ví dụ 2: Tìm tiệm cận đứng tiệm cận ngang đồ thị hàm số sau x   2x a) y  x2  b) y  x2  x  x2   Lời giải a) TXĐ: D   3;   \  1 Ta có: lim y  lim x   x   x   2x 0  y 0 tiệm cận ngang đồ thị hàm số x2  1  x   4x x   4x2 Mặt khác lim y lim x lim  x x x   2x lim x   x lim x   x  1  x  1 x x2   4x  x  1  x   2x Ta có: lim y  lim x    1 x    1   x   2x x   1  x  1  x 1 không tiệm cận đứng đồ thị hàm số x   2x   x  tiệm cận đứng đồ thị hàm số x2  y  lim b) TXĐ: D  Ta có: xlim   x    x  1  x  3 Lại có: y  x   16   x2  x  x2      Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang x    x  1  x  3  x    x  3 x 7 4 Khi đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x     x    x  1 x 3 f  x    lim f  x    Khẳng định sau khẳng Ví dụ 3: Cho hàm số y  f  x  có xlim  0 x định đúng? A Đồ thị hàm số cho khơng có tiệm cận đứng B Đồ thị hàm số cho có tiệm cận đứng C Đồ thị hàm số cho có hai tiệm cận đứng đường thẳng y 0 y 2 D Đồ thị hàm số cho có hai tiệm cận đứng đường thẳng x 0 x 2 Lời giải f  x     đồ thị hàm số cho có TCĐ x 0 Ta có xlim  0 f  x     đồ thị hàm số cho có TCĐ x 2 Chọn D Lại có xlim  2 Ví dụ 4: Tìm đường tiệm cận đứng đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y  A x  1, y  B x  1, y 2 C x 1, y  2x  x 1 D x  , y  Lời giải TXĐ: D  \   1 y   x  tiệm cận đứng đồ thị hàm số Ta có: xlim    1 2x  2  y 2 tiệm cận ngang đồ thị hàm số Chọn B x  x  Mặt khác lim y lim x  Ví dụ 5: Trong hàm số nêu phương án A, B, C, D đồ thị hàm số nhận đường thẳng x 2 y 1 đường tiệm cận? A y  2x  x B y  x x C y  x  x 2 D y  x 1 x Lời giải Đồ thị hàm số y  ax  b d a với ad  bc 0 nhận x  tiệm cận đứng y  tiệm cận ngang cx  d c c Chọn D Ví dụ 6: Cho hàm số y  x  3x  Khẳng định sau sai? x2  2x  A Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y  B Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y 2 C Đồ thị hàm số có ba đường tiệm cận D Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  1; x 3 Lời giải TXĐ: D  \   1;3  2 x  3x  x x 2  y 2 y lim lim Ta có lim tiệm cận ngang đồ thị hàm số x  x  x  x  x  1  x x 2 y , lim y  x  1; x 3 tiệm cận đứng đồ thị hàm số Chọn A Lại có: xlim    1 x   3 Ví dụ 7: Đồ thị sau khơng có tiệm cận ngang? A y  x2  x B y  x x2  C y  x x2 D y  x 1 Lời giải x 1 x lim x   y lim lim Ta có lim đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang Chọn A x  x  x  x  x  1 x x Ví dụ 8: [Đề thi THPT QG 2017] Tìm số tiệm cận đứng đồ thị hàm số y  A B TXĐ: D  \  4 Khi đó: y  C Lời giải x  3x  x  16 D x  x   x  1  x   x 1   x  16  x  4  x  4 x  Suy đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x  Chọn D Ví dụ 9: [Đề thi THPT QG 2017] Tìm số tiệm cận đồ thị hàm số y  A B x2  5x  x2  C Lời giải x  x   x    x  1 x     TXĐ: D  \  1 Khi y  x2   x  1  x  1 x  D y 1 lim  x   lim y   x    1 Suy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  tiệm cận ngang y 1 Chọn A Ví dụ 10: [Đề thi THPT QG 2017] Số tiệm cận đứng đồ thị hàm số y  A B C Lời giải x 9 3 là: x2  x D TXĐ: D   9;   \  0;  1 x 9  Khi đó: y  x    x    x2  x x  x  1  x  1 y  lim Suy xlim    1 x    1  x  1  x 9 3   x 9 3   Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x  Chọn D Ví dụ 11: Đường thẳng tiệm cận ngang đồ thị hàm số y  A y 2 B x 1 C y  y 0 Lời giải x2  x   x x D y 1  1    x  x   x x x  lim y  lim  lim 0 x   x   x   x  1  x  Đồ thị hàm số có hai đường tiệm Ta có    1    x2  x   x x x y  lim  lim   xlim  x   x   x  1  x cận ngang y 2 y 0 Chọn C Ví dụ 12: [Đề thi tham khảo năm 2018] Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng? A y  x  3x  x B y  x2 x2  C y  x  D y  x x 1 Lời giải Phân tích đáp án: Đáp án A Ta có y  x  x   x  1  x     x  nên hàm số khơng có tiệm cận đứng x x Đáp án B Phương trình x  0 vơ nghiệm nên hàm số khơng có tiệm cận đứng Đáp án C Đồ thị hàm số y  x  khơng có tiệm cận đứng Đáp án D Đồ thị hàm số y  Ví dụ 13: Cho hàm số y  A x có tiệm cận đứng x  Chọn D x 1 x2  Đồ thị hàm số có đường tiệm cận? x B C D Lời giải Tập xác định hàm số D   ; 2   2;   Ta thấy x 1  D  đồ thị hàm số khơng có đường tiệm cận đứng y 1  xlim x x    x y lim lim lim    y 1; y   đồ thị hàm số có Và lim x  x  x   x  x lim y  x    x   x 1   x  x 1 hai đường tiệm cận ngang Chọn C x2  x  có tiệm cận? x Ví dụ 14: Đồ thị hàm số y  A B C Lời giải D TXĐ: D  \  0 lim y lim x  x  x  x 1 lim x  x Và lim y lim x x 1  y   xlim x x2     đồ thị hàm số có hai tiệm cận ngang lim y  x  x   x 1 x2  x    x 0 tiệm cận đứng đồ thị hàm số Chọn A x x4 Ví dụ 15: Đồ thị hàm số y  A x2  B có tiệm cận? C Lời giải D TXĐ: D  \  2  y  lim  xlim x      Ta có:   lim y  lim x    x   x4 x2  x4 x2  1  Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y 1  lim y   Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x 2 x  2 Vậy đồ thị hàm số cho có đường tiệm cận Chọn D Ví dụ 16: Đồ thị hàm số y  A 2 x  có đường tiệm cận đứng? x  x  x  3 B C Lời giải D Hàm số có tập xác định: D   ; 2 \  0;1 Khi y  2 x  x  x  x  3 Suy x  x  3   1 x x  x  1  x  3    x 1  x  x  3    x 1   x  0  x 0 Suy đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng Chọn D Ví dụ 17: Tìm tất tiệm cận đứng đồ thị hàm số y  A x  3; x  2x   x2  x  x2  5x  C x 3; x 2 Lời giải B x  D x 3 Hàm số có tập xác định D  \  2;3 Ta có: y   x  1   x  x  3 x  5x   3x  x   x    x  3  x   x2  x     3x 1  x  3  x   x2  x  Do có đường thẳng x 3 tiệm cận đứng đồ thị hàm số cho Chọn D Ví dụ 18: Tìm tất đường tiệm cận đồ thị hàm số y  A x 1, y 0 B x 1, y 1 x2   x2  C y 0 Lời giải D x 1 Hàm số có tập xác định D  \  1 x2    Ta có y  x2  y lim Khi lim x  x   x2     x2    x    x  1 x2    x2    x    x  1  x 3  0  Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y 0 Chọn C Ví dụ 19: Số đường tiệm cận đứng đường tiệm cận ngang đồ thị y  A 2 B C Lời giải x   3x  x2  x D 1 1   Tập xác định hàm số D   ;     ;   \  1 2     x   3x  lim y  lim 3  x    x  x2  x  Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y 3 Khi  2 x   3x   y  lim 3  xlim  x   x2  x  y   Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x 1 Lại có: lim x Suy đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận Chọn A Ví dụ 20: Tìm tất đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y  A x  B x  x 3 3x   x  x2  2x  C x 1 x  Lời giải D x 3 Hàm số có tập xác định D   3;   \  1 x  1   x  3  3x   x  x2  x    Khi y  x  2x   x  x  3 x   x   x  x  3 x   x    y    9x   x  3  x   x 3    Ta thấy  x  3 x   x  0  x   Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x  Chọn A 2x   2x  Hãy chọn mệnh đề x2  x  Ví dụ 21: Cho hàm số y  A Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y 1 y 3 B Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng y 1 y 3 C Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng đường thẳng x 1 D Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x 1 x 3 Lời giải   Ta có: D   ;   \  1;3   x    x  3 Khi y   2x   2x   x2  4x  1 2x   x   x   x  1    x   x  3 x   x  3  x  1  x  3 y  nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x 1 Suy lim x y 0 nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y 0 Lại có: xlim   Ví dụ 22: Cho hàm số y  A 2x  x  2x  B Đồ thị hàm số có tiệm cận? C Lời giải D x 3 Hàm số xác định x  x     x1 3  x 2  y 2  xlim 2x  x    y lim lim    đồ thị hàm số có hai TCN Ta có lim x  x  y   xlim x  x  x  x    x x2  x  x  0  Số tiệm cận đứng đồ thị hàm số số nghiệm hệ phương trình   x  0  x 3  x    đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng Vậy đồ thị hàm số cho có bốn đường tiệm cận Chọn C Ví dụ 23: Tìm tất đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y  A x 2 B x  C x  x  Lời giải  x  1 TXĐ: D  \   2;1 Khi đó:  D x 2 x 1   x2  x  2 x 1  x2  x  x 1  x2  x  y  x2  x   x  1  x   x  x 1  x 1  x  x  x2  x   x  x   x  1  x     x    x 1  x2  x   y   x  tiệm cận đứng đồ thị hàm số cho Chọn B Ta có: xlim    2 Ví dụ 24: Đồ thị hàm số f  x   3x   x  x  có tiệm cận đứng tiệm cận ngang x  3x  A Tiệm cận đứng x 2, x 1 ; tiệm cận ngang y 2 B Tiệm cận đứng x 2 ; tiệm cận ngang y 2 C Tiệm cận đứng x 2, x 1 ; tiệm cận ngang y 2, y 3 D Tiệm cận đứng x 2 ; tiệm cận ngang y 2, y 3 Lời giải TXĐ: D  \  1; 2 3x   x  x  2  Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y 2 x  x  3x  Ta có lim f  x  lim x    3x   x  x  3x   x  x  3x   x  x   Mặt khác f  x   x  3x   x  3x   3x   x  x      f  x   f  x  8x4  x  x   3x   3x    x  1  x3  x  x  1  x  x    x  1  x    x   x  x   x3  x  x   x    3x   x4  x   f  x    Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x 2 Chọn B Suy lim x  Dạng 2: Tìm tiệm cận đồ thị hàm số dựa vào bảng biến thiên Phương pháp giải: ▪ Bước 1: Dựa vào bảng biến thiên tìm tập xác định hàm số ▪ Bước 2: Quan sát bảng biến thiên để suy giới hạn x đến beien miền xác định ▪ Bước 3: Kết luận Chú ý: Đồ thị hàm số y  f  x nhận đường thẳng x a tiệm cận đứng hàm số xác định x a g  x n f  x   x  a  h  x   y  m  n h  x  , k  x  khơng có nghiệm x a g  x   x  a  m k  x  (Tức số lần lặp lại nghiệm x a g  x  nhiều số lần lặp lại nghiệm x a f  x  ) Ví dụ 1: [Đề thi tham khảo năm 2019] Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên sau: x    f(x) Tổng số tiệm cận ngang số tiệm cận đứng đồ thị hàm số cho A B C Lời giải D  lim f  x  2  TCN : y 2  x    f  x  5  TCN : y 5  Chọn C Ta có  xlim    f  x    TC§ : x 1  lim x  1 Ví dụ 2: Cho hàm số y  f  x  hàm số xác định  \  1 , liên tục khoảng xác định có bảng biến thiên sau Mệnh đề đúng?  x  y’ + y   +  x y’ 2 + B +  Số đường tiệm cận đồ thị hàm số y  f  x  là: A   y  C Lời giải D y   x  tiệm cận đứng đồ thị hàm số Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: x lim   2  y 5  y 5 tiệm cận ngang đồ thị hàm số Lại có: xlim  Do đồ thị hàm số có đường tiệm cận Chọn A Ví dụ 6: Cho hàm số y  f  x  liên tục  \  1 có bảng biến thiên hình vẽ Tổng số đường tiệm cận đứng đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y  f  x   x y’  1 + + y 1    A  B C D Lời giải f  x    x 1 tiệm cận đứng đồ thị hàm số Ta có: lim x f  x   1, lim f  x  1  y 1 tiệm cận ngang đồ thị hàm số Lại có xlim   x   Do đồ thị hàm số có đường tiệm cận Chọn D Ví dụ 7: Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên hình vẽ  x y’ y 1 + Số đường tiệm cận đồ thị hàm số y  A +  B 0   là: f  x  C Lời giải D Ta có phương trình f  x   có nghiệm phân biệt suy đồ thị hàm số y  tiệm cận đứng Khi x    y    y 4 đường tiệm cận ngang  32 có đường f  x  Khi x     y  4   y  đường tiệm cận ngang 1 3 Do đồ thị hàm số y  có đường tiệm cận Chọn C f  x  Ví dụ 8: Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên hình vẽ  x y’ 1  +  +   y Số đường tiệm cận đồ thị hàm số y  là: f  x   2018 A B C Lời giải D Ta có phương trình f  x  2018 có nghiệm phân biệt Suy đồ thị hàm số y  có đường tiệm cận đứng f  x   2018 Khi x     f  x    y  Khi x    f  x    Vậy đồ thị hàm số y  2  f  x   2018  2013 2  f  x   2018  2013 có tiệm cận ngang Chọn D f  x   2018 Ví dụ 9: Cho hàm số y  f  x  xác định  \  1 có bảng biến thiên hình vẽ x y’ y   +   +   x Số đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y  là: f  x  f  x  A B C Lời giải D  f  x  4 Ta có: f  x   f  x      f  x  1 Phương trình f  x  4 có nghiệm phân biệt khác 2 Phương trình f  x  1 có nghiệm kép x 2 (do mẫu số có dạng  x   ) nên x 2 TCĐ đồ thị hàm số Suy đồ thị hàm số y  x có đường tiệm cận đứng Chọn B f  x  f  x  Ví dụ 10: Cho hàm số y  f  x  xác định  \   1; 2 có bảng biến thiên hình vẽ x y’ y  1 0  + 2   + 3  Biết số đường tiệm cận đồ thị hàm số y  f  x  y  m n Khi tổng m  n f  x  1 A B C Lời giải D y 2  đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang Tiệm cận đồ thị y  f  x  : Ta có: lim x  lim  y   đồ thị hàm số có tiệm cận đứng  m 2 x    1 Mặt khác f  x   có nghiệm phân biệt lim x  1   đồ thị hàm số y  có f  x  1 f  x  1 đường tiệm cận ngang đường tiệm cận đứng Vậy m 2; n 3  m  n 5 Chọn D  Dạng 3: Tìm tiệm cận đồ thị hàm số dựa vào đồ thị hàm số Phương pháp giải: ▪ Dựa vào đồ thị hàm số để xác định nghiệm mẫu số tử số từ suy đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y để tìm đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số ▪ Tìm giới hạn xlim   Ví dụ 1: Cho đồ thị hàm số y  f  x  hình vẽ bên Số đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y  x là: f  x  A B C D Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy phương trình f  x   0  f  x   có nghiệm kép x 2 nghiệm x a  x x x  Đồ thị hàm số y  Do y  f x   có đường tiệm cận đứng   f  x  k  x  a   x  2 x a x 2 Chọn B Ví dụ 2: Cho đồ thị hàm số y ax3  bx  cx  d hình vẽ bên Tổng số đường tiệm cận đứng ngang đồ thị hàm số y  A B C D x2  2x f  x  Lời giải Dựa vào đồ thị dễ thấy hàm số y ax3  bx  cx  d có a 0 Ta có: lim x  x2  0  y 0 tiệm cận ngang đồ thị hàm số f  x  Phương trình f  x   có nghiệm kép x  nghiệm x  x2  2x  x  2 Phương trình x  x 0   đồ thị hàm số y  có đường tiệm cận đứng f  x   x 0 Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận Chọn C Ví dụ 3: Cho hàm số y  ax  có đồ thị (C) hình vẽ bên cx  b Tính tổng T a  2b  3c A T 0 B T  C T 3 D T 2 Lời giải Từ hình vẽ, ta có nhận xét sau: Đường thẳng x 2 tiệm cận đứng đồ thị  C   x  b 2  b  2c c a Đường thẳng y 1 tiệm cận ngang đồ thị  C   x  1  a c c Điểm M  0;  1   C  suy y       b  b a 1 b    b   T a  2b  3c 1      0 Chọn A Suy  b  2c  2a c 1  Ví dụ 4: Cho hàm số bậc có đồ thị hình vẽ bên Số tiệm cận x2  x đứng đồ thị hàm số y  là: f  x  f  x  A B C D Lời giải  f  x   0 x  x  1 Ta có: y  Điều kiện:   f  x   1  f  x     f  x   0 Phương trình f  x   0 có nghiệm kép x 1 x x1   Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x 1, x  x1 Phương trình f  x   0 có nghiệm x 0 x x2  0; x  x3  suy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x x2 x x3 Do đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng Chọn B Ví dụ 5: Cho hàm số bậc có đồ thị hình vẽ bên Số tiệm cận đứng đồ thị hàm số y  x  1 x  x x  f  x   f  x   là: A B C D Lời giải  x   Điều kiện:  x   f x  f x 0      Ta có: y  x  1 x  x x  f  x   f  x    x   x  1  x  1 x f  x   f  x    Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x 0 Phương trình f  x  0 có nghiệm kép x 1 x x1   suy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x 1 x x1  x2   Phương trình f  x   0 có nghiệm phân biệt  x3    1;0  đồ thị hàm số có tiệm cận  x 1  đứng x x4 Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng Chọn B Ví dụ 6: Cho hàm số bậc có đồ thị hình vẽ bên Số tiệm cận đứng đồ thị hàm số x y  3x   x  x f  x  f  x là: A B C D Lời giải  x 1   x  1  x   x  x  1 Điều kiện:  x 0 y  f  x   f  x   1  f x  f x 0      Phương trình f  x  0 có nghiệm x 0 nghiệm kép x 2 nên đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x 0, x 2  x  x1   0;1  Phương trình f  x   0 có nghiệm đơn  x 1 suy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x x2  x  x2   Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng Chọn A  Dạng 4: Các toán tiệm cận đồ thị hàm số chứa tham số Một số mẫu toán thường gặp:  Mẫu 1: Biện luận số tiệm cận đứng đồ thị hàm số y  - Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng ad  bc 0 ax  b với c 0 cx  d  Mẫu 2: Biện luận số tiệm cận đứng đồ thị hàm số y  ax  bx  c với a 0 x  x0 - Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng g  x  ax  bx  c 0 khơng có nghiệm x x0  g  x0  0 - Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng g  x  ax  bx  c 0 có nghiệm x x0  g  x0  0  Mẫu 3: Biện luận số tiệm cận đứng đồ thị hàm số y  x  x0  C  với a 0 ax  bx  c 2 - Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng g  x  ax  bx  c 0 có hai nghiệm phân biệt khác   x0    g  x0  0 - Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng g  x  0 có nghiệm kép   0 - Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng g  x  0 vô nghiệm     Mẫu 4: Biện luận số tiệm cận đứng đồ thị hàm số y  ax  bx  c  x  x1   x  x2  C với a 0, x1  x2 - Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng phương trình g  x  ax  bx  c 0 không nhận x1 , x2  g  x1  0 nghiệm    g  x2  0 - Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng phương trình g  x  ax  bx  c 0 có nghiệm x x1  g  x1  0 x x2   (Chú ý hai điều kiện không đồng thời xảy ra)  g  x2  0 - Đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng g  x  ax  bx  c 0 nhận x x1 x x2 nghiệm  g  x1  0   g  x2  0  Mẫu 5: Biện luận số tiệm cận ngang đồ thị hàm số y  f  x g  x - Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang bậc mẫu số lớn bậc mẫu số phải tồn giới y lim y hạn xlim   x   Ví dụ 1: [Đề thi minh họa Bộ GD&ĐT năm 2017]: Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số: y  x 1 mx  có tiệm cận ngang A Khơng có giá trị thực m thỏa mãn yêu cầu đề B m  C m 0 D m  Lời giải  Với m  ta có: xlim   lim x   x 1 mx  x 1 mx  1  lim x   x m x2  1  y tiệm cận ngang m m 1  1 x  x  1  y 1 tiệm cận ngang m m mx  m x x  1  lim x   Khi đồ thị hàm số có tiệm cận  Với m 0 suy y  x 1 đồ thị hàm số khơng có hai tiệm cận ngang y Chọn D  Với m  đồ thị hàm số khơng có tiệm cận ngang khơng tồn lim x  Ví dụ 2: Tập hợp giá trị thực m để hàm số y  A   1;1 B   ;  1   1;   2x  có đường tiệm cận x  4mx  C   ;  1   1;   Lời giải D   1;1 Dễ thấy đồ thị hàm số ln có tiệm cậ ngang y 0 Để đồ thị hàm số có tiệm cận đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng Khi phương trình x  4mx  0 vô nghiệm     4m  4m     m   m    1;1 Chọn D Ví dụ 3: Tìm tất giá trị thực tham số m cho đồ thị hàm số y  x  3x  m khơng có tiệm x m cận đứng A m  B m 0 C m 1 Lời giải D m 1 m 0 Để đồ thị hàm số khơng có tiệm cận đứng x m nghiệm p  x  2 x  x  m  m 0  2m  3m  m 0  2m  2m 0  2m  m  1 0   Chọn D  m 1 Ví dụ 4: Tìm tất giá trị thực m để đồ thị hàm số y  A m 0 x có tiệm cận đứng x  mx  m C m   0; 4 Lời giải B m 0 D m 4 Xét phương trình g  x  x  mx  m 0 Đồ thị hàm số có đường tiệm cận  g  x  0 có nghiệm phân biệt có nghiệm   m  4m     g  1 0 g  x  0 có nghiệm kép khác      m  4m 0   g  1 0    m 4  m 0 Chọn C  Ví dụ 5: Tìm tất giá trị tham số thực m để đồ thị hàm số y   m 1 A   m  Ta có y  m   B   m 8 x2  x  có hai tiệm cận đứng x2  x  m  m 1 C   m  Lời giải m  D   m   x  1  x   x2  x   2 x  2x  m x  2x  m Đồ thị hàm số có hai tiệm cận đứng PT f  x  x  x  m 0 có hai nghiệm phân biệt     x 1   f  1 0  thỏa mãn   x    f    0 1  m   m  0  m  0  m  Chọn D   m  Ví dụ 6: Tìm tập hợp tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  x m có hai đường x tiệm cận A   ;   \  1 B   ;   \   1;0 C   ;   Lời giải Ta có: D  0;   Khi lim y  lim x   x   x m 0 nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang y 0 x D   ;   \  0