I tóm tắt lý thuyết

CHỦ ĐỀ 5: NHẬN DẠNG ĐỒ THỊ HÀM SỐ I HÀM SỐ BẬC BA: y ax3  bx  cx  d  a 0  Giới hạn, đạo hàm cực trị Giới hạn: y  lim y   - Với a  xlim   x   y   lim y  - Với a  xlim   x   Đạo hàm cực trị: y 3ax  2bx  c Khi đó: - Hàm số có hai điểm cực trị y 0 có hai nghiệm phân biệt  y   2b   x1  x2  3a hai tọa độ điểm cực trị theo định lý Viet ta có:  x x  c  3a Gọi A  x1 ; y1  B  x2 ; y2  - Hàm số khơng có cực trị y 0 vơ nghiệm có nghiệm kép  y 0 Chú ý: Đối với hàm số bậc ba ta ln có yCĐ  yCT và: - Nếu a  xCĐ  xCT - Nếu a  xCĐ  xCT Bảng biến thiên TH1: Hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2 x  y y  x1 CÑ  x2  x  y y    Hệ số a    CT  x1 CT  Hệ số a  x y y    Hệ số a      Hệ số a  Đồ thị hàm số a 0    TH2: Hàm số điểm cực trị x y y x2 CĐ a0 y  xCÑ  xCT xCÑ  xCT y 0 Phương pháp giải toán Để nhận diện đồ thị hàm số bậc ba: y ax3  bx  cx  d  a 0  ta làm sau: Ta có y 3ax  2bx  c y để xác định hệ số a : Dựa vào xlim   - Nếu a  nhánh cuối đồ thị lên x; y tiến vơ - Nếu a  nhánh cuối đồ thị xuống x   y    Dựa vào giao điểm với trục tung  0; d  suy tính chất hệ số d Dựa vào số điểm cực trị đồ thị hàm số suy số nghiệm phương trình y 0 Dựa vào vị trí điểm cực trị, tọa độ điểm cực trị điểm mà đề cho thuộc đồ thị hàm số  2b   x1  x2  3a Trong trường hợp đồ thị hàm số có điểm cực trị x1 ; x2 ta có:  (định lý Viet) c x x   3a Khi dựa vào x1  x2   2b c suy tính chất b; dựa vào x1 x2  suy tính chất c 3a 3a II CÁC DẠNG TOÁN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Ví dụ 1: [Đề THPT QG năm 2017] Đường cong hình bên đồ thị hàm số bốn hàm số đây? A y x  x  B y x  x  C y x  x  D y  x3  x  Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy Hàm số cho có điểm cực trị nên ta loại đáp án B C y  nên hệ số Chọn A Mặt khác xlim   Ví dụ 2: Cho hàm số y  f  x  liên tục  có bảng biến thiên hình vẽ Hàm số y  f  x  hàm số hàm số sau: A y x  x  B y  x3  x  C y  x3  x  Lời giải Dựa vào bảng biến thiên ta thấy lim y   Hệ số a  loại B C x   Mặt khác hàm số đạt cực trị x 0, x 2 nên loại D Chọn A Ví dụ 3: Đường cong hình bên đồ thị hàm số bốn hàm số đây? A y x  x  B y  x  x  C y x  x  D y  x3  x  Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy Đồ thị hàm số cắt trục tung điểm  0; d   d  nên ta loại đáp án C lim y   a  nên ta loại đáp án D x   D y x  x  Mặt khác hàm số đạt cực trị hai điểm x1 , x2 dựa vào hình vẽ ta thấy x1 , x2 trái dấu nên đáp án ta loại đáp án B Chọn A Ví dụ 4: Đường cong hình bên đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số hàm số nào? A y  x3  x  B y  x3  x  C y x  x  D y  x3  x  Lời giải y   nên loại đáp án C Hàm số có hệ số a  xlim   Hàm số có điểm cực trị x1   x2 nên y 0 có nghiệm phân biệt trái dấu  x 0 2 Xét đáp án A y  x  3x   y  3x  x 0   (loại)  x 2 Xét đáp án D y  x  3x   y  x  3x   x    (loại) Chọn B Ví dụ 5: Đường cong hình bên đồ thị hàm số y ax3  bx  cx  d Khẳng định sau đúng? A a  0, b  0, c  0, d  B a  0, b  0, c  0, d  C a  0, b  0, c  0, d  D a  0, b  0, c  0, d  Lời giải y   a  ; đồ thị hàm số qua điểm  0; d   d  Dựa vào đồ thị ta thấy: xlim   Hàm số đạt cực trị hai điểm x1 , x2 dựa vào hình vẽ ta thấy x1  0, x2   2b  0 x1  x2    a  b0   3a  y  ax  bx  c  Mặt khác: Chọn A  0  x x  c   a  c0  3a Ví dụ 6: Đường cong hình bên đồ thị hàm số y ax3  bx  cx  d Khẳng định sau đúng? A a  0, b  0, c  0, d  B a  0, b  0, c  0, d  C a  0, b  0, c  0, d  D a  0, b  0, c  0, d  Lời giải y   a  ; đồ thị hàm số qua điểm  0; d   d  Dựa vào đồ thị ta thấy: xlim   Hàm số đạt cực trị hai điểm x1 , x2 dựa vào hình vẽ ta thấy x1  0, x2  x1  x2   2b  0 x1  x2    a  b0   3a  y  ax  bx  c  Mặt khác: Chọn B  0  x x  c   a  c0  3a Ví dụ 7: Đường cong hình bên đồ thị hàm số y ax3  bx  cx  d Khẳng định sau đúng? A a  0, b  0, c  0, d  B a  0, b  0, c  0, d  C a  0, b  0, c  0, d  D a  0, b  0, c  0, d  Lời giải y    a  ; đồ thị hàm số qua điểm  0; d   d  Dựa vào đồ thị ta thấy: xlim   Hàm số đạt cực trị hai điểm x1 , x2 dựa vào hình vẽ ta thấy x1  0, x2   2b  0 x1  x2    a  b0   a Mặt khác: y 3ax  2bx  c   Chọn D c a  x x      c   3a Ví dụ 8: Đường cong hình bên đồ thị hàm số y ax3  bx  cx  d Khẳng định sau đúng? A a  0, b 0, c  0, d  B a  0, b 0, c  0, d  C a  0, b  0, c 0, d  D a  0, b  0, c 0, d  Lời giải y    a  (loại đáp án A) Dựa vào đồ thị ta thấy: xlim   Đồ thị hàm số cắt trục tung điểm  0; d   d   x1 0 Hàm số có điểm cực trị  nên y 0 có nghiệm thỏa mãn x    x1 0   x2  Ta có: y 3ax  2bx  c  y  0  c 0  x2   2b   b  Chọn C 3a Ví dụ 9: Cho hàm số y ax3  bx  cx  d có điểm cực trị thỏa mãn x1    1;0  , x2   1;  Biết hàm số đồng biến khoảng  x1 ; x2  đồng thời đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ âm Mệnh đề đúng? A a  0, b  0, c  0, d  B a  0, b  0, c  0, d  C a  0, b  0, c  0, d  D a  0, b  0, c  0, d  Lời giải Dựa vào giả thiết, ta có nhận xét sau: - Đồ thị hàm số y  f  x  cắt trục tung điểm có tung độ âm  f   d  - Hàm số y  f  x  đồng biến khoảng  x1 ; x2   f  x1   f  x2   x1 điểm cực tiểu x2 điểm cực đại  xCT  xCÑ  hệ số a  - Ta có f  x  3ax  2bx  c có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn tổng x1  x2  nghiệm x1.x2   2b   b  tích hai 3a    x1   x1  x2  c     c   Chọn D 3a 1  x2   x1.x2  II HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG: y ax  bx  c  a 0  Giới hạn, đạo hàm cực trị Giới hạn y  - Với a  xlim   y   - Với a  xlim    x 0 Đạo hàm cực trị: y 4ax  2bx 2 x  2ax  b  nên y 0    x  b 2a  2 - Với ab 0 hàm số có điểm cực trị x 0 - Với ab  hàm số có điểm cực trị x 0, x  Bảng biến thiên –


b 2a –


a  0, b 0 x  y' y  a  0, b 0 x1   CÑ CT  x2  x  y' y  CT a  0, b   x1 CÑ    x2 CÑ CT  a  0, b  Đồ thị hàm số ab 0 ab  a 0 a0 Đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng Phương pháp giải toán Để nhận diện đồ thị hàm số bậc trùng phương: y ax  bx  c  a 0  y để xác định hệ số a : Dựa vào xlim   Dựa vào giao điểm với trục tung  0; d  suy tính chất hệ số d ta làm sau:    Dựa vào số điểm cực trị đồ thị hàm số hệ số a để xác định hệ số b - Với ab 0 hàm số có cực trị - Với ab  hàm số có cực trị II CÁC DẠNG TỐN TRỌNG TÂM VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Ví dụ 1: [Đề THPT QG năm 2018] Đường cong hình vẽ đồ thị hàm số đây? A y x  x  B y x  x  C y  x3  x  D y  x  x  Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: lim y   Hệ số a  nên ta loại đáp án A B x   Mặt khác hàm số có điểm cực trị nên loại đáp án C Chọn D Ví dụ 2: Đường cong hình vẽ đồ thị hàm số đây? A y x  x  B y  x  x  C y x  x  D y  x3  x  Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy: lim y   Hệ số a  loại đáp án B D x   Mặt khác hàm số có điểm cực trị nên loại đáp án C Chọn A Ví dụ 3: Cho hàm số y  x  bx  c có bảng biến thiên hình vẽ Tính giá trị biểu thức T b  2c A T  B T 1 C T  Lời giải Do y   2  c   y  x  bx  Mặt khác f  1     b  c   b  c   b 2 D T  Suy b  2c 2   Chọn A Ví dụ 4: Cho hàm số y ax  bx  c có đồ thị hình Mệnh đề sau đúng? A a  0, b  0, c  B a  0, b  0, c  C a  0, b  0, c  D a  0, b  0, c  Lời giải Dựa vào đồ thị ta thấy lim y    a  ; đồ thị hàm số qua điểm  0; d   d  x  0 Hàm số có ba cực trị suy ab   a  b0 Đồ thị hàm số qua điểm có tọa độ  0; c   c  Chọn C Ví dụ 5: Cho hàm số y ax  bx  c có đồ thị hình vẽ Khẳng định sau đúng? A a  0, b  0, c  B a  0, b  0, c  C a  0, b  0, c  D a  0, b  0, c  Lời giải y   a  ; đồ thị hàm số qua điểm  0; d   d  Dựa vào đồ thị ta thấy: lim x  0 Hàm số có ba cực trị suy ab   a  b0 Đồ thị hàm số qua điểm có tọa độ  0; c   c  Chọn D Ví dụ 6: Cho hàm số y ax  bx  c có đồ thị hình vẽ Khẳng định sau đúng? A a  0, b  0, c  0; b 4ac B a  0, b  0, c  0; b 4ac C a  0, b  0, c  0; b  4ac D a  0, b  0, c  0; b  4ac Lời giải y  nên a  ; đồ thị hàm số cắt trục Oy điểm  0;c   c  Ta có: xlim   vẽ Hàm số có ba cực trị suy ab   b  Giá trị cực trị hàm số yCT  b b2 b  y    c 0  b 4ac Chọn B  a  2a  4a 2a  Ví dụ 7: Cho hàm số y ax  bx  c cắt trục hoành điểm phân biệt A, B, C, D hình vẽ bên Biết AB BC CD , mệnh đề sau đúng? A a  0, b  0, c  0,100b 9ac B a  0, b  0, c  0,9b 100ac C a  0, b  0, c  0,9b 100ac D a  0, b  0, c  0,100b 9ac Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy lim y  lim  ax  bx  c    a  x   x    b   a  b    - Đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm hình  Gọi x1 , x2 nghiệm c c    0  a b  x  x   1  a  c  phương trình ax  bx  c 0 suy  x1 x2  a    2  x A xD  x1  2  xB xC x2 Ta có AB BC CD  x A  xC 2 xB  x1  x2  x2  x1 3 x2  x1 9 x2 (3) b  x  x   9b a   x1   c c 9b   10a x x      9b 100ac Từ (1), (2), (3) suy   a a 100a   x  b  x1 9 x2 10a    Suy a  0, b  0, c  0,9b 100ac Chọn C III HÀM SỐ PHÂN THỨC: y  Đạo hàm ax  b với c 0, ad  bc 0 cx  d  d Tập xác định D  \     c Đạo hàm y  ad  bc d , x  suy ra: cx  d c - Nếu ad  bc   hàm số đồng biến khoảng xác định - Nếu ad  bc   hàm số nghịch biến khoảng xác định Giới hạn, tiệm cận - lim y lim x  x  ax  b a a   y  tiệm cận ngang đồ thị hàm số cx  d c c ax  b d - limd y  limd cx  d   y  c tiệm cận đứng đồ thị hàm số x  x  c c Bảng biến thiên ++
++
ad  bc  Đồ thị hàm số ad  bc  ad  bc  ad  bc   d a Đồ thị hàm số nhận I   ;  giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng  c c Phương pháp giải toán Để nhận diện hàm số phân thức bậc nhất: y  Dựa vào đường tiệm cận đứng x  ax  b cx  d  c 0  ta làm sau: d a tiệm cận ngang y  c c b  Dựa vào giao điểm đồ thị hàm số với trục hoành điểm  ;0  giao điểm đồ thị hàm số với  a   b trục tung điểm  0;   d Chú ý: Với toán xác định dấu a, b, c, d ta chọn a  (vì y  ax  b  ax  b  ) từ cx  d  cx  d suy dấu b, c, d Ví dụ 1: Đường cong hình bên đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số hàm số nào? A y  x 1 x B y  x x C y  2x  x D y  x x Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x 1 tiệm cận ngang y 1 ta loại hai đáp án C D x 1 2  nên hàm số nghịch biến Chọn B Xét đáp án A có y  x   y    x  1 Cách 2: Dựa vào giao điểm đồ thị hàm số với trục tọa độ để loại đáp án A Ví dụ 2: Đường cong hình bên đồ thị hàm số bốn hàm số liệt kê bốn phương án A, B, C, D Hỏi hàm số hàm số nào? A y  2x x 1 B y  2x  x 1 C y  x2 x 1 D y  x 1 x 1 Lời giải Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x  y 2 đường tiệm cận nên loại đáp án C Hàm số cho đồng biến khoảng xác định Mặt khác với y  1 2x  0 có y   x  1 x 1 Loại đáp án B Đồ thị hàm số không qua gốc tọa độ nên loại A Chọn D Ví dụ 3: Cho hàm số y  A y  x x ax  b có bảng biến thiên hình vẽ bên Hỏi hàm số cho hàm số nào? cx  d B y  x 3 x C y  x x2 D y   x 3 x2 Lời giải Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x 2 tiệm cận ngang y 1 (loại đáp án C D) Hàm số cho nghịch biến khoảng xác định x  Hàm số đồng biến khoảng xác định nên ta loại đáp án Xét hàm số y  x   y   x  2 A Chọn B Ví dụ 4: Cho hàm số y  ax  b có bảng biến thiên hình vẽ bên Hỏi hàm số cho hàm số nào? cx  d ++
++
A y  x 1 x B y  2 x x 3 C y  2x  x 3 D y  2x  x 3 Lời giải Dựa vào bảng biến thiên ta thấy: Đồ thị hàm số nhận đường thẳng x  tiệm cận ngang y 1 (loại đáp án A B) Hàm số cho đồng biến khoảng xác định 2x  1   x  3  Hàm số đồng biến khoảng xác định nên Xét hàm số y  x   y   x  3 ta loại đáp án C Chọn D Ví dụ 5: Cho hàm số y  ax  b có đồ thị hình vẽ bên Khẳng định cx  d sau đúng? A a  0, b  0, c  0, d  B a  0, b  0, c  0, d  C a  0, b  0, c  0, d  D a  0, b  0, c  0, d  Lời giải  d   c  d a  Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng: x  tiệm cận ngang: y  ta có:  c c a   c  b 0 b   d   a  Đồ thị cắt Ox  ;0  , cắt Oy  0;     a   d  b   d Với a   b  0; c  0; d  Với a   b  0; c  0; d  Do a  0, b  0, c  0, d  Chọn B ab   bd  cd   ac  Ví dụ 6: Cho hàm số y  ax  b có đồ thị hình vẽ bên Khẳng định sau đúng? cx  d A ab  0, bc  0, ad  B ab  0, bc  0, ad  C ab  0, bc  0, ad  D ab  0, bc  0, ad  Lời giải  d   c  cd  d a   Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng: x  tiệm cận ngang: y  ta có:  a c c ac   0  c  b 0 b   b   a  Đồ thị cắt Ox  ;0  , cắt Oy  0;     a   d  b   d Chọn a   b  0, c  0, d  (vì y  Ví dụ 7: Cho hàm số y  ab   bd  ax  b  ax  b  ) suy ab  0, bc  0, ad  Chọn C cx  d  cx  d ax  b có đồ thị hình vẽ bên Khẳng định sau đúng? cx  d  ad  A  bc   ad  B  bc   ad  C  bc   ad  D  bc  Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy: Đồ thị hàm số cắt trục Ox điểm có hồnh độ dương nên x  Đồ thị hàm số cắt trục Oy điểm có tung độ âm nên y  b  a b 0 d Đồ thị hàm số nhận x  d a  làm tiệm cận đứng y   làm tiệm cậm ngang c c ad  Chọn a  suy b  0, c  0, d    Chọn C bc  Ví dụ 8: Tìm a, b, c để hàm số y  có đồ thị hình cx  b vẽ: A a 2, b 2, c  B a 1, b 1, c  C a 1, b 2, c 1 D a 1, b  2, c 1 Lời giải Dựa vào đồ thị hàm số cho ta thấy:  b  2  x 2  a    Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng tiệm cận ngang   y 1  a 1  c b  2a  a c 2   Đồ thị hàm số cắt trục tọa độ điểm  0;  1 ,   2;0    b   2a  0 Suy a 1, b  2, c 1 Chọn D IV ĐỒ THỊ HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Mẫu 1: Từ đồ thị hàm số y  f  x   C  suy đồ thị hàm số y  f  x   C   f  x  f  x  0 Ta có: y  f  x   Do đồ thị hàm số y  f  x   C  gồm hai phần:  f  x  f  x   - Phần 1: Là phần đồ thị hàm số  C  nằm phía bên trục hoành - Phần 2: Lấy đối xứng phần  C  nằm Ox qua Ox Đồ thị hàm số y  f  x   C  Đồ thị hàm số y  f  x   C  Mẫu 2: Từ đồ thị hàm số y  f  x   C  suy đồ thị hàm số y  f  x   C1   f  x  f  x  0 Ta có: y  f  x   Do đồ thị hàm số y  f  x   C1  gồm hai phần:  f   x  f  x   - Phần 1: Là phần đồ thị hàm số  C  nằm bên phải trục tung - Phần 2: Lấy đối xứng phần qua trục tung (vì hàm số y  f  x  hàm chẵn nên nhận trục tung làm trục đối xứng) Đồ thị hàm số y  f  x   C  Đồ thị hàm số y  f  x   C1  Mẫu 3: Từ đồ thị hàm số y u  x  v  x   C  suy đồ thị hàm số y  u  x  v  x   C1  u  x  v  x  u  x  0 Ta có: y  u  x  v  x   Do đồ thị hàm số y  u  x  v  x   C1  gồm hai   u  x  v  x  u  x   phần: - Phần 1: Là phần  C  ứng với miền u  x  0 - Phần 2: Lấy đối xứng phần  C  ứng với miền u  x   qua trục Ox Ví dụ 1: Hình đồ thị hàm số y  x  x  Đồ thị hình đồ thị hàm số hàm số sau A y  x  x  B y  x  x  C y  x  x  D y  x  3x  Lời giải Đồ thị hình gồm phần: - Phần 1: Là phần đồ thị hình nằm phía bên trục Ox - Phần 2: Lấy đối xứng phần đồ thị hình nằm Ox qua Ox Do đồ thị hình đồ thị hàm số y  f  x   x  3x  Chọn B Ví dụ 2: Hình đồ thị hàm số y  x  x  x  Đồ thị hình đồ thị hàm số hàm số sau A y  x  x  x  B y  x  x  x  C y  x x  x  x  D y  x  x  x  Lời giải Đồ thị hình gồm phần: - Phần 1: Là phần đồ thị hình nằm bên phải trục Oy - Phần 2: Lấy đối xứng phần qua Oy Do đồ thị hình đồ thị hàm số y  f  x   x x  x  x  Chọn C Ví dụ 3: [Đề thi tham khảo Bộ GD&ĐT năm 2017] Hàm số y  x    x  1 có đồ thị hình vẽ bên Hình đồ thị hàm số y  x   x  1 ? A Hình B Hình C Hình Lời giải D Hình Đồ thị hàm số y  x    x  1 cắt trục hoành điểm x 1, x 2  x    x  1 x 2  Áp dụng quy tắc phá giá trị tuyệt đối y  x   x  1    x    x  1 x  2 Đồ thị hàm số y  x   x  1 gồm phần: - Phần 1: Là phần đồ thị hàm số y  x    x  1 với miền x 2 - Phần 2: Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số y  x    x  1 ứng với miền x  qua trục hồnh Từ suy đồ thị hàm số có dạng hình Chọn A Ví dụ 4: Hàm số y  x  x có đồ thị hình vẽ bên Hình đồ thị hàm số y  x   x2  2x  ? A Hình B Hình C Hình Lời giải D Hình  x - x x 2 Ta có: y  x   x  x     x - x  x  2 Do đồ thị hàm số y  x   x  x  gồm phần: - Phần 1: Là phần đồ thị  C  : y x  x ứng với x 2 - Phần 2: Lấy đối xứng phần  C  : y x  x ứng với miền x  qua Ox Suy đồ thị hàm số y  x   x  x  hình Chọn A Ví dụ 5: Hình đồ thị hàm số y  x  x  Đồ thị hình đồ thị hàm số hàm số sau A y  x  x  B y  x  x  C y  x  x  D y  x  x  Lời giải Từ đồ thị hàm số y  x  x  ta suy đồ thị hàm số y  x  x  hình vẽ sau