I tóm tắt lý thuyết

CHỦ ĐỀ 9: BÀI TỐN TÌM ĐIỂM TRÊN ĐỒ THỊ  Dạng 1: Tìm điểm M liên quan đến yếu tố độ dài, khoảng cách Điểm M thuộc đồ thị hàm số y  f  x   M  x0 ; f  x0    Khoảng cách từ điểm M đến trục Ox bằng: d  M ; Ox   f  x0   Khoảng cách từ điểm M đến trục Oy bằng: d  M ; Oy   x0  Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng  : ax  by  c 0 là: d  M ;     Khoảng cách hai điểm MN Ví dụ 1: Cho hàm số: y  y  x  xM  ax0  b f  x0   C a2  b2 xN    yM  y N  x2  C  Tìm điểm M thuộc  C  cho khoảng cách từ M đến đường thẳng x Lời giải  a2 Gọi M  a;    C  ,  a 1  a 1 Khoảng cách từ M đến đường thẳng y  x là:  a  2a  0   a  2a 0   a  2a 0 a d a2 a   a  2 a   a 0  M  0;     a   M   2;0  Vậy tọa độ điểm M cần tìm M  0;   M   2;0  Ví dụ 2: Cho hàm số y  x 1  C  Gọi M điểm nằm đồ thị  C  H , K tương ứng hình chiếu x vng góc M trục Ox Oy Có điểm M thỏa mãn tứ giác MHOK có diện tích A B C Lời giải D  2a   Gọi M  a;    C   a 1 Tứ giác MHOK hình chữ nhật  a  Ta có: S MHOK MH MK d  M ; Ox  d  M ; Oy  a  2a  a a  2  a a  2a  a 2a     2a  a  2a  1  Vậy M  ;  M   :1 Chọn C 2   2a  a  0    2a  3a  0   a 2   a  Ví dụ 3: Cho hàm số y   : y 2 x   x  C  Có điểm M   C  để khoảng cách từ M đến đường thẳng x A B C Lời giải D a 1 2a  1   a  1 Gọi M  a; a    C   a 1 Ta có:  : x  y  0  d  M ;      a  5  2a  2a  3a   2a  5a  0  2a  2a  3 a       2a  2a   3a   2a  a  0   a 2   a  Vậy có điểm M thỏa mãn yêu cầu tốn Chọn C Ví dụ 4: Cho hàm số y  x  x  Tìm tất điểm M thuộc đồ thị hàm số cho khoảng cách từ M đến trục tung A M  1;0  M   1;  B M  0;1 M  2;  1 C M  1;0  D M  2;  1 Lời giải  xM 1  yM 0  Khoảng cách từ M đến trục tung 1, suy   xM   yM 2  M  1;0    M   1;  Chọn A Ví dụ 5: Cho hàm số y  x  x có đồ thị  C  điểm K  1;  3 Biết điểm M  x; y   C  thỏa mãn xM  độ dài KM nhỏ Tìm phương trình đường thẳng OM A y 2 x B y  x C y  3x Lời giải D y  x Điểm M  x; y    C   M  x; x  3x  với x  Ta có KM  x  1; x  3x  3  KM   x  1 2 2   x  3x  3 Đặt f  x   x  1   x  3x  3 Xét hàm số f  x  đoạn   1;  , ta có f  x  2  x  1   x  1  x  3x  3 ; x  f  x  0   x  1    x  1  x  3x  3  0  x 1 Phương trình g  x  0; x            g  x Giá trị nhỏ f  x  Dấu " " xảy x 1  M  1;     OM  : y  x Chọn D Ví dụ 6: Cho hàm số y  2x   C  Tổng khoảng cách từ điểm M  C  đến hai đường tiệm cận x 1 đạt giá trị nhỏ bao nhiêu? A B C Lời giải D  2a   Gọi điểm M  a;    C  Hai đường tiệm cận  C  x  y 2  a 1   d1 d  M , x  1  a   Suy khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận  d  d M , y      a 1  Khi tổng khoảng cách d d1  d  a   3 2 a  2 a 1 a 1 Chọn A Ví dụ 7: Tìm tất điểm thuộc trục hoành cách hai điểm cực trị đồ thị hàm số y x3  3x  A M   1;0  B M  1;0  C M  2;0  Lời giải D M  1;0   x 0  y 2  A  0;  ; B  2;   Gọi M  t ;0  Ta có: y 3 x  x 0    x 2  y  2 Khi MA2 MB  t   t     t 1  M  1;0  Chọn D Ví dụ 8: Có điểm M thuộc đồ thị hàm số y  x2 mà khoảng cách từ M đến trục Oy hai x lần khoảng cách từ M đến trục Ox ? A B C Lời giải D  a2 Gọi M  a;   a 1  đồ thị hàm số cho  a 1 Ta có: d  M ; Oy   a ; d  M ; Ox   a2 a  a2  a  2a a2 2 a    Theo giả thiết ta có: a  a   2a  a   2a  3a  0  a 2; a   2   2a  a  0   Vậy có điểm A  2;  B   ;  1 Chọn C   Ví dụ 9: Tìm đồ thị hàm số y  x 1 điểm M cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng x ba lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang đồ thị 7  A M   4;  M  2;5  5  B M  4;3 M   2;1 7  D M   4;  M   2;1 5  Lời giải C M  4;3 M  2;5   2a   Tiệm cận đứng: x 1 Tiệm cận ngang y 2 Gọi M  a;   a  Khi đó: d  M ; TCN   2a  2 , d  M ; TCD   a  a a Theo ta có: a  3   a  1 9  a  a 4  M  4;3   a   M   2;1 Chọn B Ví dụ 10: Giả sử đường thẳng d : x a, a  cắt đồ thị hàm số y  x 1 điểm nhất, biết x khoảng cách từ điểm đến tiệm cận đứng đồ thị hàm số 1; ký hiệu  x0 ; y0  tọa độ điểm Tìm y0 A y0  B y0 5 C y0 1 Lời giải D y0 2  2a   Gọi M  a;   a   điểm cần tìm TCĐ đồ thị hàm số cho là: x 1  a  a 0 Khi d  M ; x 1 1  a  1    a 2  y0  2a  5 a Chọn B Ví dụ 11: Cho hàm số y  x 1  C  Gọi M điểm thuộc  C  cho tích khoảng cách từ điểm M đến x trục Ox đến đường tiệm cận ngang Tổng hoành độ điểm M thỏa mãn yêu cầu toán A  B C D Lời giải  a 1  Gọi M  a;   a 2  TCĐ: x 2 TCN: y 1  a 2 a) Ta có: d  M ; Ox   a 1 a 1 1 d d1 ; d  M ; TCN : y 1  a a a  a 1 2  a     a  1 6    Theo ta có: d1d   a 1 a        a    2a  9a  0    2a  a  0  a 1  M  1;     a   M  ;3     2  7  Vậy M  1;   M  ;3  điểm cần tìm Chọn B 2   Dạng 2: Tìm điểm liên quan đến yếu tố đối xứng, yếu tố khoảng cách  Tìm điểm đối xứng: Gọi A  a; f  a   B  b; f  b    a b  hai điểm thuộc đồ thị hàm số y  f  x  a  b 2  Hai điểm A, B đối xứng qua I  ;      f  a   f  b  2 a  b  Hai điểm A, B đối xứng qua trục tung    f  a  f  b  Tìm điểm A, B thuộc nhánh đồ thị cho độ dài AB ngắn Bài toán: Cho hàm số y  ax  b  C  Tìm điểm thuộc nhánh đồ thị  C  cho ABmin cx  d a k d Cách giải: Ta phân tích: y   y  tiệm cận đứng (C) c cx  d c Gọi A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2  điểm thuộc nhánh  C  ta có: x1   d  x2 c a k  y1    d d 2  c c.  AB  x1  x2    y1  y2  Đặt x1   , x2    ,      c c  y a  k  c c.  k2 k2  1                   c  .   c       Do     4  k k2 k2  2 2 2 c  .  c  .  c .   k 8k   Do AB 4..2 Dấu xảy   k c . c  c  1  Ví dụ 1: Cho hàm số y  x  x  x   C  a) Tìm điểm A B đối xứng qua gốc tọa độ O b) Tìm tọa độ điểm A B đối xứng qua trục Oy Lời giải a) Gọi A  a; b  B   a;  b  điểm đối xứng qua gốc tọa độ O  0;0  b a  3a  4a  Vì A, B thuộc đồ thị  C  nên ta có:    b   a     a     a   b a3  3a  4a     b  a  3a  4a  b a  3a  4a    0  6a   a 1; b   a  1; b 3  Vậy điểm A, B cần tìm là: A  1;  3 : B   1;3 ngược lại b) Gọi A  a; b  B   a; b  điểm đối xứng qua trục Oy b a  3a  4a  Vì A, B thuộc đồ thị  C  nên ta có:  b   a     a     a   b a3  3a  4a  b a  3a  4a      3 b  a  3a  4a  0 2a  8a  a b 0  A B  loai    a 2; b   a  2; b  Vậy điểm A, B cần tìm là: A  2;   ; B   2;   ngược lại Ví dụ 2: Tìm đồ thị hàm số hai điểm A, B thuộc hai nhánh đồ thị hàm số y  x cho AB 2x  ngắn Lời giải 2x  2  x 2 1 Ta có: y    2x  2x  2 x Đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số x 1 Gọi A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2  điểm thuộc nhánh  C  ta có: x1   x2 1   y1   a 2  AB  x1  x2    y1  y2  Đặt x1 1  a, x2 1  b  a, b      y 1   2 b    1  a  b       a  b       ab    a b    a  b  4ab  Ta có:  1  AB 4ab ab 8  AB 2 1  2 2 2  ab ab  ab a b 1   3   a b 1  A  0;  , B  2;   Dấu " " xảy   2  2   ab 1 Ví dụ 3: Tìm đồ thị hàm số y  x  x  hai điểm mà chúng đối xứng qua tâm I   1;3 A  0;    2;  B   1;0    1;6  C  1;    3;  Lời giải D Không tồn 3 Gọi A  a;  a  3a   ; B  b;  b  3b    a b  điểm thuộc đồ thị hàm số cho đối xứng qua điểm I   1;3  a  b 2 x1   Ta có:  3   a  3a   b  3b  2 y1 6 a  b   3  a  b   a  b   3    a  b    a  b  2 a  b     a  b   3ab  a  b    a  b    ab 0  a 0; b    a  2; b 0 Vậy  0;    2;  cặp điểm cần tìm Chọn A Ví dụ 4: Tìm đồ thị hàm số y  x3 11 hai điểm phân biệt mà chúng đối xứng qua  x  3x  3 trục tung 16  16    A  3;     3;   3 3   16   16   B  3;    3;  3  3   16   16  C  ;3    ;3      D Không tồn Lời giải   a3   b3 11  11   a  3a   B  b;  b  3b    a b  điểm thuộc đồ thị chúng đối Gọi A  a; 3 3   xứng qua trục tung a  b  Khi đó:   a 11  b3 11   a  3a    b  3b   3  a  b     2a   a    a  b   a 11 a 11  a  3a    a  3a   3   a  b    a 0   a 3  Với a 0  b 0  A B (loại) 16   16   Với a 3  b 3  A  3;  ; B   3;  Chọn B 3  3  Ví dụ 5: Tìm đồ thị hàm số y  x  x  hai điểm phân biệt mà chúng đối xứng với qua trục tung A Không tồn C A   1;  1 B  1;  1 B A  2;  B   2;  D A  3;  13 B   3;  13 Lời giải  x  xB  A  x A ; y A    A  x A 0 Gọi hai điểm thỏa mãn đề   y A  yB  B  xB ; yB  Khi ta có  x A2  x A     x A     xA    xA  xA  xA 0  L  Suy không tồn hai điểm thỏa mãn đề Chọn A Ví dụ 6: Tìm nhánh đồ thị  C  : y  3x  điểm A, B để độ dài AB đạt giá trị nhỏ nhất, x 1 giá trị nhỏ bằng: A Ta có: y  B 2 C Lời giải D 3 x   x  1  3  3  x 1 x 1 x 1 Đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số x  Gọi A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2  điểm thuộc nhánh  C  ta có: x1    x2   y1 3  a 2  AB  x1  x2    y1  y2  Đặt x1   a, x2   b  a, b      y 3   b   2  1  a  b       a  b       ab    a b    a  b  4ab  Ta có:  9  AB 4ab ab 24  AB 2 1  2 2 2  ab ab  ab a b   a b 3 Chọn C Dấu xảy    ab 1  Dạng 3: Bài tốn tìm điểm kết hợp tốn tương giao tiếp tuyến  Bài tốn 1: Tìm hai điểm A  a; f  a   B  b; f  b    a b  thuộc đồ thị hàm số y  f  x   C  cho tiếp tuyến A B  C  song song với A, B thỏa mãn điều kiện K Cách giải: Giải hệ phương trình f  a   f  b  điều kiện K  Bài tốn 2: Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số y  f  x   C  cho AB   (hoặc AB / / ) A, B thỏa mãn điều kiện K Cách giải:  Dựa vào giả thiết AB   AB / / ta viết phương trình đường thẳng AB theo tham số m  Viết phương trình hồnh độ giao điểm AB đồ thị  C   Dựa vào điều kiện K để tìm giá trị tham số m Ví dụ 1: Tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x  x  x  điểm A   3;   cắt đồ thị điểm thứ hai B Điểm B có tọa độ A B  1;10  B B   2;1 C B  2;33 Lời giải D B   1;0  Ta có: y 3 x  x   y  3 7 PTTT điểm A   3;   là: y 7  x  3  7 x  19 (d) Phương trình hồnh độ tiếp điểm đồ thị tiếp tuyến d là: x  x  x  7 x  19   x  3  x   y  Vậy B  2;33 Chọn C  x 2  y 33  x   0   Ví dụ 2: Tiếp tuyến đồ thị hàm số y x  x  x  điểm A cắt đồ thị điểm thứ hai B   1;   Điểm A có tọa độ A A  2;5  B A   1;   C A  0;1 Lời giải D A  1;  Ta có: y 3 x  x  , gọi A  a; a  a  a  1 Phương trình tiếp tuyến A là: y  3a  2a  1  x  a   a  a  a  Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị tiếp tuyến là: x3  x  x   3a  2a  1  x  a   a  a  a    x  a   x  xa  a    x  a   x  a    x  a   3a  2a  1  x  a    x  a   x  xa  a  x  a   3a  2a  1 0   x  a   x  xa  2a  x  a  0   x  a  x a  A  x  2a   x  2a  1 0   Do xB    2a    a 1  A  1;  Chọn D Ví dụ 3: Điểm M thuộc đồ thị hàm số  C  : y  x  x  mà tiếp tuyến  C  có hệ số góc lớn nhất, có tọa độ A M  0;  B M   1;6  C M  1;  Lời giải Ta có: k  y  x  x   x  1  3 Tiếp tuyến  C  có hệ số góc lớn hoành độ tiếp điểm x 1 Khi M  1;  Chọn C D M  2;6  Ví dụ 4: Cho hàm số y  2x   C  Gọi A, B điểm phân biệt  C  cho tiếp tuyến A B x song song với AB 4 Tính T OA  OB A T 5 B T 6 C T 7 Lời giải D T 8     Gọi A  a;   , B  b;    a, b 1, a b  Do tiếp tuyến A, B song song với nên ta có: a  1  b  1  y a   y b    a  1 2 Ta có: AB  a  b     b  1  a  b   l    a  b 2  a  1  b    16  2  a  b   a  b         2    a  1  b  1    ab  a  b  1    ab  1  16  a  b    16  16    a  b   4ab    4   ab     2     ab  1  ab          16  16  Đặt t 1  ab ta có: 4t    32  t  8  t 4  ab   t  t  a  b 2  ab   a   b 3   a 3  b 4 Vậy A   1;0  , B  3;  ngược lại suy T OA  OB 6 Chọn B Ví dụ 6: Cho hàm số y   x2  C  Gọi A, B điểm phân biệt  C  cho tiếp tuyến A B x song song với tam giác OAB vuông O Tính độ dài AB A AB 4 B AB 2 C AB 2 Lời giải D AB    a2   b2 Gọi A  a;  , B  b;  Do tiếp tuyến A, B song song với nên ta có: a   b   y a   y b   1  a  1  1  b  1  a  b    a  b 2  a  1  b Mặt khác OAB vuông O nên: OA.OB ab   ab    a    b  a  1  b  1   a  b   ab ab 0  ab  0  ab 0  ab   a  b   ab  0  a 0, b 2  a 2, b 0  Vậy điểm cần tìm A  2;0  , B  0;    AB 2 Chọn C Ví dụ 7: Cho hàm số y  x  x   C  Gọi A, B điểm phân biệt  C  cho tiếp tuyến A B có hệ số góc đường thẳng qua A, B vng góc với đường thẳng d : x  y  0 Tính độ dài AB A AB 8 B AB 12 3 Gọi A  a; a  4a  3 , B  b; b  4b   C AB 6 Lời giải D AB 6 26  a b   a b  l  2 Ta có: y a   y b   3a 3b    a  b   3 2 +) Ta có: AB  b  a; b  a   b  a    b  a;  b  a   b  ba  a   , ud   5;1 2 2 Do chọn u AB  1; b  ab  a    u AB ud 0    b  ab  a  0   a  b   ab 9  a 3, b   a 9    a  3; b 3 Vậy A  3;18  , B   3;  12  ngược lại suy AB 6 26 Chọn D Ví dụ 8: Cho hàm số y  x  x có đồ thị  C  Xét điểm M thuộc  C  Tiếp tuyến  C  M cắt C điểm thứ hai N  M  N  thỏa mãn xM  xN  Hoành độ điểm M A B  C Lời giải D  3  y m  3m2  Vì M   C   M  m; m  3m  Ta có y 3 x    Phương trình tiếp tuyến  C  M y  y  m   y m   x  m   y  m3  3m  3m2  3  x  m   y  3m  3  x  m   m3  3m (d) 3 Hoành độ giao điểm  d   C  nghiệm phương trình x  3x  3m  3  x  m   m  3m  x3  m3   x  m   3m2  3  x  m    x  m   x  mx  m2    x  m   3m  3  x  m   x  m 0   2  x  mx  m  3m   x m  x m   x  m x  2m 0   x  mx  2m      x m  x  2m   xM m   xM  xN m  2m  m   m 3 Suy   xN  2m Vậy xM 3 Chọn A Ví dụ 9: Cho hàm số y  2x   C  Gọi A, B điểm phân biệt  C  cho A, B đối xứng x qua đường thẳng d : x  y  11 0 Tính tổng tung độ y A  yB A y A  yB 3 B y A  yB 2 Viết lại phương trình đường thẳng d : y  C y A  yB  Lời giải 11 x 5 D y A  yB 4 Vì AB   d  nên phương trình đường thẳng AB có dạng: y 5 x  m Phương trình hồnh độ giao điểm AB  C  là: 2x  5 x  m  x  x 1   g  x  5 x   m   x  m  0 Để AB cắt  C  điểm phân biệt  g  x  0 có nghiệm phân biệt khác  g  1 0 I      0 (*)   m    12  m  3  7 m   x1  x2  Khi gọi A  x1 ;5 x1  m  , B  x2 ;5 x2  m  Theo định lý Viet ta có:  x x  m    x  x  x1  x2    7 m m7   m  hay I  ; Trung điểm I AB : I  ;   d  2   10     m 5m  35  11  m  10 Với m   tm   A  0;   , B  2;7   y A  y B 4 Chọn D Ví dụ 10: Cho hàm số y  x  C  điểm C , D thuộc đường thẳng d : y x  Gọi điểm A, B x2 hai điểm phân biệt nằm  C  cho tứ giác ABCD hình chữ nhật có đường chéo Độ dài AB thỏa mãn B  AB  A AB  C  AB  2 D AB  Lời giải Do AB / / CD nên phương trình đường thẳng AB : y  x  m  m 4  PT hoành độ giao điểm AB  C  là: x x  m  x2  x    g  x   x   m  1 x  2m  0  g    0 3 0    m  6m      x1  x2  m   x1 x2 2m  Khi gọi A  x1; x1  m  , B  x2 ; x2  m  ta có:  2   2 Ta có: AB 2  x1  x2  2   x1  x2   x1 x2  2 m  6m  , AD d  AB; CD   m4 2 2 AB  AD  AC 2  x1  x2  m  8m  16 2   2  x1  x2   x1x2 2  m  6m  3     m  25  m  8m      m  21  loai  2   x1 1  A  1;0  , B   1;   Với m     x1   A   1;   , B  1;0  Kết luận: Vậy điểm thỏa mãn ycbt là:  1;0  ,   1;    AB 2 Chọn D Ví dụ 11: [Đề thị THPT Quốc gia 2018] Cho hàm số y  x có đồ thị  C  Gọi I giao điểm x2 hai tiệm cận  C  Xét tam giác ABI có hai đỉnh A, B thuộc  C  , đoạn thẳng AB có độ dài A B C 2 Lời giải D Giao điểm đường tiệm cận I   2;1 tâm đối xứng đồ thị hàm số Hàm số cho hàm đồng biến, có trục đối xứng đường phân giác đường tiệm cận có phương trình y  x y  x Do tính chất đối xứng nên AB  d : y  x  AB : y  x  m Phương trình hồnh độ giao điểm  C  AB là: x x  m  x2  x    g  x   x   m  1 x  2m  0   m  1   2m    Điều kiện để AB cắt  C  điểm phân biệt là:   g    0  x1  x2  m   x1 x2 2m  Khi gọi A  x1; x1  m  ; B  x2 ; x2  m  , theo Viet ta có:  Tam giác ABC ln cân I suy IH   m  3 AB  d  I ; AB   AB 2 2 2  x1  x2    m  3 3   x1  x2   x1 x2  3  m  2m   8m      m  6m 15  AB   m  6m   4 Chọn B  Dạng 4: Tìm điểm cố định điểm có tọa độ nguyên thuộc đồ thị hàm số  Tìm điểm cố định: Gọi M  x0 ; y0  điểm cố định mà đồ thị hàm số y  f  x  ln qua Khi y0  f  x0  biến đổi phương trình dạng m  g  x0 ; y0    h  x0 ; y0  0  g  x0 ; y0  0  Tọa độ điểm M h x ; y     0 Giải hệ phương trình   Tìm điểm có tọa độ nguyên:  y  f  x  Điểm M  x; y    C  : y  f  x  có tọa độ nguyên tọa độ điểm M  x; y  thỏa mãn  x   y   Ví dụ 1: Cho hàm số  C  : y  x  mx  m  Tọa độ điểm cố định thuộc đồ thị  C  A   1;0   1;0  B  1;0   0;1 C   2;1   2;3 Lời giải D  2;1  0;1 Gọi M  x0 ; y  tọa độ điểm cố định  C  ta có: y0  x0  mx0  m   m     x02  0  x0 1  m  x  1  x  y  0  m         2  x0  y0  0  y0 0  x0  1; y0 0  x 1; y 0  Vậy tọa độ điểm cố định thuộc đồ thị  C    1;0   1;0  Chọn A Ví dụ 2: Gọi điểm M , N điểm cố định mà đồ thị hàm số y  x  3mx  3mx  1 C  ln qua Tính độ dài MN A MN 1 B MN  C MN 2 Lời giải D MN 4 Gọi M  x0 ; y0  tọa độ điểm cố định thuộc  C  ta có: y0  x0  3mx0  3mx0  1 m     x02  x0 0  3m  x  x0   y0   x 0  m        y0   x0  x0 1; y0 0  x 0; y   Vậy M  1;0  , N  0;  1  MN  Chọn B Ví dụ 3: Cho hàm số y mx  3mx   m  1 x   C  Phương trình đường thẳng qua điểm cố định đồ thị hàm số cho A y  x  B y 2 x  C y  x  Lời giải D y  x  Gọi M  x0 ; y0  tọa độ điểm cố định thuộc  C  ta có: y0 mx0  3mx0   m  1 x0   m     x03  3x02  x0 0  m  x  3x  x0   x0   y0 0  m       *  y0  x0  Như đồ thị hàm số qua điểm cố định nghiệm hệ phương trình (*) điểm thuộc đường thẳng y  x  Chọn A Ví dụ 4: Biết đồ thị hàm số y  x  mx  m  qua hai điểm cố định A B Tính độ dài đoạn thẳng AB B AB 2 A AB 2 C AB 1 Lời giải D AB 4 Gọi M  x0 ; y0  tọa độ điểm cố định thuộc  C  ta có: y0  x0  mx0  m   m     x02  0  m  x  1  x   y0 0  m       x   y  0   x0 1, y0 0  x  1, y 0  Khi A  1;0  , B   1;0   AB 2 Chọn B Ví dụ 5: Có thuộc đồ thị hàm số  C  : y  A Ta có: y  B 2x  mà tọa độ số nguyên? x 1 C Lời giải D x  2  x  1  4  2  x 1 x 1 x 1 Điểm có tọa độ nguyên x   x  Ư    1; 2; 4 Khi có điểm có tọa độ nguyên thuộc  C  : y  2x  Chọn D x 1 Ví dụ 6: Gọi M , N hai điểm thuộc đồ thị hàm số y  3x   C  cho tọa độ chúng số x 1 nguyên Tính độ dài MN A MN 2 Ta có: y  B MN  C MN 2 Lời giải D MN 4 x   x  1  1  3  x 1 x 1 x 1  x    Điểm có tọa độ nguyên x   x  Ư  1  1    x  1 Khi có điểm có tọa độ nguyên thuộc  C  : y   x   x 0  2x  M   2;  , N  0;  x 1 Khi MN 2 Chọn A Ví dụ 7: Có thuộc đồ thị hàm số  C  : y  A Ta có: y  B x  x  15 mà tọa độ số nguyên? x 3 C Lời giải x  x  15 x  x  x   9  x   x 3 x 3 x 3 D  x   x    x  Điểm có tọa độ nguyên x   x  Ư    1; 3; 9    x 0  x  12   x 6 Từ suy có điểm có tọa độ số nguyên thuộc  C  Chọn A Ví dụ 8: Có thuộc đồ thị hàm số y  A Ta có: y  B 3x  mà tọa độ số nguyên? 2x  C Lời giải D 3x  x  14  x  1  17 17  2y   3  2x  2x  2x  2x  Điểm có tọa độ nguyên x   x  Ư  17   1; 17  x   17  x    Suy   x  1   x  17  x   y 1  x 0  y    Có điểm có tọa độ số nguyên Chọn D  x 1  y 10   x 9  y 2