I tóm tắt lý thuyết

CHỦ ĐỀ 2: QUAN HỆ SONG SONG VẤN ĐỀ HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG Vị trí tương đối hai đường thẳng phân biệt Định nghĩa: - Hai đường thẳng gọi đồng phẳng chúng nằm mặt phẳng - Hai đường thẳng gọi chéo chúng không đồng phẳng - Hai đường thẳng gọi song song chúng đồng phẳng khơng có điểm chung Như vậy: Hai đường thẳng a b song song với xác định mặt phẳng ký hiệu mp(a;b) Hai đường thẳng song song ■ Tính chất 1: Trong khơng gian, qua điểm nằm ngồi đường thẳng cho trước, có đường thẳng song song với đường thẳng cho ■ Tính chất 2: Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba song song với nhau: ■ Định lý: Nếu ba mặt phẳng đôi cắt theo ba giao tuyến ba giao tuyến đồng quy đơi song song với => Hệ quả: Hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song giao tuyến (nếu có) hai mặt phẳng nói song song với hai đường thẳng trùng với hai đường thẳng d d1 d Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng song song với Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy hình thang với đáy lớn AB Gọi M, N trung điểm SA SB a) Chứng minh: MN//CD b) Tìm giao điểm P SC với (AND) Kéo dài AN DP cắt I Chứng minh SI//AB//CD Tứ giác SIBA hình gì? Vì sao? Lời giải a) Ta có MN đường trung bình tam giác SAB nên MN//AB mặt khác AB//CD => MN//CD b) Gọi O AC  CD E SO  ND SE cắt SC P Xét mặt phẳng (SAB);(SCD) (ABCD) có giao tuyến chung SI, AB CD song song đồng quy Do AB//CD nên SI//AB//CD Ta có: SI / /AB  NS NI SI   1 NB NA AB SI / /AB  SIBA hình bình hành Khi đó:  SI AB Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P, Q, R, S trung điểm AB, CD, BC, AD, AC, BD a) Chứng minh MNPQ hình bình hành b) Từ suy ba đoạn MN, PQ, RS cắt trung điểm đoạn Lời giải  MQ / /BD  a) Vì MQ đường trung bình tam giác ABCD nên ta có   MQ  BD  NP / /BD  Tương tự ta có:   NP  BD Do MQNP hình bình hành từ suy MN PQ cắt trung điểm I đường b) Tương tự chứng minh ta có tứ giác RNSM hình bình hành có  RN / /MS  suy RS MN cắt trung điểm I MN  RN  MS  AD  Vậy ba đoạn MN, PQ, RS cắt trung điểm I đoạn Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành, gọi M, N, P, Q nằm BC, SC, SD, AD cho MN//SB, NP//CD, MQ//CD a) Chứng minh rằng: PQ//SA b) Gọi K giao điểm MN PQ Chứng minh rằng: SK//AD//BC Lời giải a) Ta có: MN / /SB  Lại có: NP / /CD  CN CM DQ    1 SC CB AD CN DP   2 CS DS (Định lý Ta-let) Từ (l) (2) suy DP DQ   SA / /PQ DS AD b) Xét mặt phẳng (SAD); (SBC) (ABCD) cắt theo giao tuyến SK,AD,BC Suy SK, AD, BC song song đồng quy Mặt khác AD / /BC  SK / /AD / /BC Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành a) Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng (SAD) (SBC); (SAB) (SCD) b) Lấy M thuộc SC Tìm giao điểm N SD (ABM) Tứ giác ABMN hình gì? Lời giải a) Trong (SAD) dựng đường thẳng d di qua S song song với AD Ta có: d / /AD, AD / /BC  d / /BC Suy d thuộc (SBC) Nên d giao tuyến (SAD) (SBC) Tương tự, (SAB) dựng đường thẳng d1 qua S, song song với AB d1 giao tuyến (SAB) với (SCD) b) Giả sử SD   ABM  N   ABM    SCD  MN Xét ba mặt phẳng (ABM); (ABCD); (SCD) cắt theo giao tuyến AB, MN,CD nên chúng song song đồng quy Mà AB / /CD  AB / /CD / /MN  ABMN hình thang Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình thang (AB đáy lớn) Gọi I, J, K trung điểm AD, BC, SB a) Tìm giao tuyến (SAB) (SCD); (SCD) (IJK) b) Tìm giao điểm M SD (IJK) c) Tìm giao điểm N SA (IJK) d) Xác định thiết diện hình chóp (IJK) Thiết diện hình gì? Lời giải a) Do AB / /CD  giao tuyến (SAB) (SCD) qua điểm S song song với AB CD Giả sử  IJK    SAB  KP với P  SA Ba mặt phẳng (ABC); (IJK) (SAB) cắt theo giao tuyến IJ, AB PK nên chúng song song đồng quy Mặt khác AB / / IJ  PK / /AB / /IJ b) Do PK / /AB mà KS KB  P trung điểm SA Khi PI đường trung bình tam giác SAD suy PI / /SD  SD không cắt (IJKP) c) Chứng minh câu b, ta có N trùng với P tức N trung điểm SA d) Ta có thiết diện hình chóp với mặt phẳng (IJK) tứ giác IPKJ Có KP / /IJ (chứng minh trên) suy thiết diện IPKJ hình thang Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD, đáy bình hành Gọi M, N, P trung điểm SB, BC, SD a) Tìm giao tuyến (SCD) (MNP) b) Tìm giao điểm CD (MNP) c) Tìm giao điểm AB (MNP) d) Tìm giao tuyến (SAC) (MNP) suy thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNP) Lời giải a) Do MN / /SC (tính chất đường trung bình) nên giao tuyến (SCD) (MNP) phải d / / MN/ / SC Do d qua P song song với SC nên d đường trung bình tam giác SCD Gọi Q trung điểm CD PQ giao tuyến cần tìm b) Ta có Q  CD, Q   MNP  Suy Q giao điểm CD (MNP) c) Trong mp(ABCD), gọi K giao điểm NQ AB Ta có K  AB, K  NQ   MNPQ   K   MNP  Vậy K giao điểm AB với (MNP) d) Gọi I giao điểm AC BD Trong mp(SCD) có MP đường trung bình tam giác SBD Gọi E MP  SI   SAC    MNP  EF Trong mp(SAC), gọi R EF  SA  thiết diện mặt phẳng (MNP) với khối chóp ngũ giác MNQPR Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình thang với cạnh đáy AB CD Gọi I, J trung điểm AD BC G trọng tâm tam giác SAB a) Tìm giao tuyến (SAB) (IJG) b) Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng (IJG) Thiết diện hình gì? Tìm điều kiện AB CD để thiết diện hình bình hành Lời giải a) Giả sử  SAB    IJG  MN với M  SB N  SA Ba mặt phẳng (SAB); (IJG) (ABCD) cắt theo ba giao tuyến đường thẳng MN, AB IJ nên chúng song song đồng quy Mặt khác AB / /IJ  MN / /AB / /IJ Do  SAB   IJG  MN với MN đường thẳng qua G song song với AB b) Thiết diện hình chóp với mặt phẳng (IJG) tứ giác MNIJ Ta có: MNIJ hình bình hành MN IJ Lại có: MN SN SG 2 AB  CD     MN  AB; IJ  AB SA SK 3 Do MN IJ  2AB AB  CD   AB 3CD Vậy AB 3CD thiết diện hình bình hành VẤN ĐỀ ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG ■ Định nghĩa: Một đường thẳng gọi song song với mặt phẳng chúng khơng có điểm chung Hình bên ta có: a / /    ■ Định lý : Nếu đường thẳng a không nằm mặt phẳng    song song với đường thẳng b nằm    a song song với   ■ Định lý 2: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng    Khi mặt phẳng    chứa a cắt    theo giao tuyến b a song song với b  Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng       song song với đường thẳng b giao tuyến (nếu có) chúng song song với b ■ Định lý 3: Với hai đường thẳng a b chéo cho trước, có mặt phẳng    chứa a song song với b Với hai đường thẳng phân biệt a b không song song với nhau, điểm O cho trước, có mặt phẳng    qua O song song với (hoặc chứa) a b Phương pháp giải toán: Để chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) ta chứng minh đường thẳng d không nằm (P) đồng thời song song với đtrờng thẳng nằm mặt phẳng (P) Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình bình hành Gọi M, N trung điểm cạnh AB, CD a) Chứng minh MN song song với mặt phẳng (SBC), (SAD) b) Gọi P trung điểm SA Chứng minh SB,SC song song với (MNP) c) Gọi G1 , G trọng tâm tam giác ABC, SBC Chứng minh rằng: G1G / /  SAC  Lời giải a) Vì M, N trung điểm AB, CD nên MN / /AD / /BC  AD   SAD    MN / /  SAD  Ta có:  MN / /AD  MN  SAD     BC   SBC    MN / /  SBC  Tương tự ta có:  MN / /BC  MN  SBC     MP / /SB b) Vì P trung điểm SA nên   NP / /SC  MP   MNP    SB / /  MNP  Ta có: SB / /MP SB  MNP     NP   MNP    SC / /  MNP  Tương tự chứng minh ta có: SC / /NP SC  MNP    G1  AI IG1 IG    G1G / /SA  G1G / /  SAC  c) Gọi I trung điểm BC   IA IS G  BC Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD G trọng tâm ABD , M điểm cạnh BC cho MB 2MC Chứng minh rằng: MG / /  ACD  Lời giải Gọi N trung điểm AD Vì G trọng tâm tam giác ABC nên BG 2GN Mà MB 2MC nên BG MB   MG / /NC GN MB  NC   ACD    MG / /  ACD  Ta có:  MG / /NC  MG  ACD    Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm cạnh AB, CD G trung điểm đoạn MN a) Tìm giao điểm A đường thẳng AG với mp(BCD) b) Qua M kẻ đường thẳng Mx song song với AA Mx cắt (BCD) M Chứng minh B, M , A thẳng hàng B M MA A N c) Chứng minh rằng: GA 3G A Lời giải a)Trong mp(ABN): Gọi A AG  BN  A AG   BCD  b) Xét mp(ABN): Kẻ MM/ /A A cắt BN M  M BN Do M trung điểm AB nên MM đường trung bình AB A  M B MA Do G trung điểm MN mà GA/ /M M nên GA đường trung bình MNM suy A trung điểm MN hay MA NA Suy BM MA AN  MM BM    AA BA  c) Ta có:    GA A N     MM MN  AA 2MM   MM 2GA  AA 2MM 4GA   AG 3GA Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Gọi M, N, P trung điểm AB, CD, SA a) Chứng minh MN / /  SBC  , MN / /  SAD  b) Chứng minh SB / /  MNP  ,SC / /  MNP  c) Gọi I, J trọng tâm tam giác ABC SBC Chứng minh rằng: IJ / /  SAB  , IJ / /  SAD  IJ / /  SAC  Lời giải a) Ta có: ABCD hình bình hành M, N trung điểm AB CD nên MN / /AD / /BC Do MN / /  SBC  MN / /  SAD  b) Trong tam giác SAB có M, P trung điểm AB SA nên MP đường trung bình suy MP / /SP  SP / /  MNP  Dễ thấy AMCN hình bình hành nên giao điểm O chúng trung điểm AC MN  O   MNP  Trong mặt phẳng (SAC) có PO đường trung bình SAC nên PO / / SC  SC/ /  MNP   AI  AK  c) Gọi K trung điểm BC   (tính chất trọng tâm tam giác)  SJ   SK Do IJ / /SA  IJ / /  SAB  , IJ / /  SAD  IJ / /  SAC  Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành tâm O Gọi I, J trung điểm BC, SC, K điểm SD cho cho SK  KD a) Chứng minh OJ / /  SAC  OJ / /  SAB  b) Chứng minh OI / /  SCD  IJ / /  SBD  c) Gọi M giao điểm AI BD Chứng minh MK / /  SBC  Lời giải a) Do ABCD hình bình hành nên O trung điểm AC BD Ta có: OJ đường trung bình tam giác SAC nên OJ / /SA suy OJ / /  SAC  OJ / /  SAB  b) OI đường trung bình OI / /AB  OI / /CD  OI / /  SCD  tam giác ABC nên Tương tự IJ đường trung bình tam giác SBC nên IJ / /SB  IJ / /  SBD  c) Do M AI  BO nên M trọng tâm ABC BD  BM  BO  3 1 SK  Lại có: SK  KD  SK  SD hay 2 SD Do SK BM    MK/ / SB  MK/ /  SBC  SD BD Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi tâm O Gọi M N, P trung điểm SB, SO, OD a) Chứng minh MN / /  ABCD  , MO / /  SCD  b) Chứng minh NP / /  SAC  , tứ giác NPOM hình gì? c) Gọi I điểm thuộc SD cho SD 4ID Chứng minh PI / /  SBC  , PI / /  SAC  Lời giải a) Do M, N trung điểm SB,SO Do MN đường trung bình tam giác SBO nên MN / /BO  MN / /  ABCD  Tương tự MO đường trung bình tam giác SBD nên MO / /SD  MO / /  SCD  b) NP đường trung bình tam giác SOD nên NP / /SD  NP / /  SAD  Tứ giác NPOM hình bình hành MN / /OP MN OP  OB c) Ta có SD BD  4  IP / /SB  IP / /  SBC  ID PD Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD M, N hai điểm AB, CD Mặt phẳng (P) qua MN song song với SA a) Tìm giao tuyến (P) với (SAB) (SAC) b) Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng (P) c) Tìm điều kiện MN để thiết diện hình thang Lời giải a) Trong mặt phẳng (SAB), qua M kẻ đường thẳng song song với SA, cắt SB P Trong mặt phẳng (ABCD) gọi I MN  AC Trong mặt phẳng (SAC) kẻ đường thẳng song song với SA, cắt SC Q, ta có  SAC    P  IQ  SAB    Q  MP b) Thiết diện tứ giác MNQP c) Thiết diện hình thang QP / /MN Mặt khác ba mặt phẳng (SBC); (ABCD); (MNP) cắt theo giao tuyến PQ, MN BC nên chúng song song đồng quy Để QP / /MN  MN / /BC / /PQ Vậy MN / /BC thiết diện hình thang · Ví dụ 8: Trong mặt phẳng (P), cho tam giác ABC vuông A, ABC 60 , AB a Gọi O trung điểm BC Lấy điểm S (P) cho SB a SB  OA Gọi M điểm cạnh AB Mặt phẳng (Q) qua M song song với SB OA, cắt BC, SC, SA N, P, Q Đặt x BM   x  a  a) Chứng minh MNPQ hình thang vng b*) Tính diện tích hình thang Tìm x để diện tích lớn Lời giải a) Trong mặt phẳng (SAB), từ M kẻ đường thẳng song song với SB, cắt SB Q Trong mặt (ABC), từ M kẻ đường thẳng song song với AO, cắt BC N Trong mặt phẳng (SBC), từ N kẻ đường thẳng song song với SB, cắt SC P Thiết diện tứ giác MNPQ  MN / /AO  Ta có:  MQ / /SB  MN  MQ  thiết diện hình thang vuông M SB  OA  N b) Áp dụng định lý Talet ta có: BM x  MA a  x  MQ MQ MA a  x     MQ a  x SB a AB a MN MN BM x BC 2a  OA  BC a      MN x OA a AB a BN MN NP NP NC 2a  x 2a  x   BN MN x  NC 2a  x      NP  BO OA SB a BC 2a 1  2a  x  x  4a  3x  SMNPQ  MN  MQ  NP   x  a  x   2    uv Do áp dụng bất đẳng thức uv   ta có:   SMNPQ x  4a  3x  3x  4a  3x   3x  4a  3x      a 12 12.4 Dấu đẳng thức xảy 3x 4a  3x  6x 4a  x  2a Ví dụ 9: Cho hình chóp S.ABCD Gọi M, N hai điểm SB, CD Mặt phẳng (P) qua MN song song với SC a) Tìm giao tuyến (P) với mặt phẳng (SBC), (SCD), (SAC) b) Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng (P) Lời giải a) Trong mặt phẳng (SBC), từ M kẻ đường thẳng song song với SC cắt BC Q Trong mặt phẳng (SCD), từ N kẻ đường thẳng song song với SC cắt SD P Khi giao tuyến (P) với (SBC) (SCD) MQ NP Gọi I AC  NQ Từ I kẻ đường thẳng song song với SC cắt SA H Khi  P    SAC  IH b) Thiết diện mặt phẳng (P) với khối chóp ngũ giác MQNPH Ví dụ 10: Cho tứ diện ABCD Gọi I, J trung điểm AB CD Mặt phẳng (P) qua điểm M đoạn IJ song song với AB CD a) Tìm giao tuyến (P) với (ICD) b) Xác định thiết diện tứ diện ABCD với (P) Lời giải a) Mặt phẳng (P) qua M song song với CD nên giao tuyến (P) (ICD) song song với CD Trong mặt phẳng (ICD), qua M kẻ đường thẳng d / /CD cắt IC ID R S giao tuyến (P) với (ICD) RS b) Qua R (S) kẻ đường thẳng song song với SA cắt cạnh bên AC, BC, BD, AD E, P, N, F thiết diện tứ diện ABCD với (P) tứ giác EFNP VẤN ĐỀ HAI MẶT PHẲNG SONG SONG ■ Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi song song chúng khơng có điểm chung ■ Định lý: Nếu mặt phẳng    chứa hai đường thẳng a b cắt song song với       song song với    ■ Tính chất 1: Qua điểm A nằm mặt phẳng    cho trước, có mặt phẳng    song song với     Hệ quả: Cho điểm A không nằm mặt phẳng    Khi đường thẳng qua A song song với    nằm mặt phẳng   qua A song song với    ■ Tính chất 2: Cho hai mặt phắng       song song với Khi mặt phẳng cắt       theo giao tuyến a, b a song song với b Phương pháp giải tốn: Để chứng minh hai mặt phẳng (P) (Q) song song với ta chứng minh hai đường thẳng a b cắt nằm mặt phẳng (P) song song với hai đường thẳng a  b cắt nằm mặt phẳng (Q) Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy hình bình hành tâm O Gọi M, N trung điểm SA, SD a) Chứng minh  OMN  / /  SBC  b) Gọi P, Q trung điểm AB, ON Chứng minh PQ / /  SBC  Lời giải a) Ta có MO đường trung bình tam giác SAC  MO / /AC Mặt khác N O trung điểm SD BD nên NO đường trung bình SBD  NO / /SB  MO / /SC  NO / /SB    OMN  / /  SBC  Ta có:   MO  NO O SC  SB S b) Do P O trung điểm AB AC nên OP / /AD / /BC  OP / /  SBC  Lại có ON / /SB  OQ / /  SBC  Do  OPQ  / /  SBC   PQ / /  SBC  Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy hình bình hành tâm O Gọi M, N trung điểm SA CD a) Chứng minh  OMN  / /  SBC  b) Gọi I trung điểm SD, J điểm (ABCD) cách AB, CD Chứng minh IJ / /  SAB  Lời giải a) Ta có N O trung điểm CD AC nên NO đường trung bình BCD  NO / /BC Tương tự MO đường trung bình tam giác SAC nên MO / /SC  NO / /BC  MO / /SC    OMN  / /  SBC  Lại có:  OM  ON  O   BC  SC S b) Ta có P Q trung điểm BC AD PQ đường thẳng cách AB CD điểm J  PQ Do IQ đường trung bình SAD nên IQ / /SA Ta có: PQ / /  SAB  ; IQ / /  SAB    IPQ  / /  SAB  Mặt khác IJ   IPQ   IJ / /  SAB  Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Gọi M, N, P, Q trung điểm BC, AB, SB AD a) Chứng minh rằng:  MNP  / /  SAC  b) Chứng rằng: PQ / /  SCD  c) Gọi I giao điểm AM BD; J điểm thuộc SA cho AJ 2JS Chứng minh IJ / /  SBC  Lời giải a) Ta có PN đường trung bình SAB Suy PN / /SA Tương tự ta có: MP / /SC   MNP  / /  SAC  (hai mặt phẳng có cặp cạnh song song cắt nhau) MQ / /CD   MPQ  / /  SCD  b) Ta có:  MP / /SC Lại có PQ   MNQ   PQ / /  SCD   I AM  BD c) Do   BM / /AD Theo định lý Talet ta có: Mặt khác: MI BM   IA AD SJ MI SJ     IJ / /SM JA IA JA Do SM   SBC  suy IJ / /  SBC  Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành tâm O Gọi M, N trung điểm SA, CD a) Chứng minh  OMN  / /  SBC  b) Tìm giao điểm I ON (SAB) c) Gọi G SI  BM , H trọng tâm SCD Chứng minh GH / /  SAD  d) Gọi J trung điểm AD, E  MJ Chứng minh OE / /  SCD  Lời giải a) Ta có: OM đường trung bình tam giác SAC suy OM / /SC Lại có: ON đường trung bình tam giác BCD nên ON / /BC Do  OMN  / /  SBC  b) Trong mặt phẳng (ABCD), gọi I ON  AB I giao điểm ON (SAB) c) Dễ thấy G, H trọng tâm tam giác SAB SCD SG SH   SI SN  GH / /IN / /AD  GH / /  SAD  d) Do O J trung điểm AC AD nên OJ / /CD (tính chất đường trung bình) Mặt khác O M trung điểm AC SA nên OM / /SC Do  OMJ  / /  SCD   OE / /  SCD  Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành tâm O Gọi M, N trung điểm SB, SC; lấy điểm P  SA a) Tìm giao tuyến (SAB) (SCD) b) Tìm giao điểm SD (MNP) c) Tìm thiết diện hình chóp mặt phẳng (MNP) Thiết diện hình gì? d) Gọi J  MN Chứng minh OJ / /  SAD  Lời giải a) Do AB song song với CD nên giao tuyến (SAB) (SCD) đường thẳng d qua S song song với AB CD b) Trong mặt phẳng (SAB), kéo dài PM cắt AB Q, mặt phẳng (PMQR), kéo dài QN cắt SD R, giao điểm SD (MNP) R c) Thiết diện hình chóp mặt phẳng (MNP) tứ giác MPRN Do mặt phẳng (MNP); (ABC); (SAD) cắt theo giao tuyến PR; MN;AD nên chúng song song đồng quy Mặt khác MN / /AD  MN / /AD / /PR  MPRN hình thang d) Ta có: OM đường trung bình tam giác SBD  OM / /SD Tương tự ta có: ON / /SA   OMN  / /  SAD  Mặt khác OJ   OMN   OJ / /  SAD  (điều phải chứng minh) Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Gọi I, J, G, P, Q trung điểm DC, AB, SB, BG, BI a) Chứng minh  IJG  / /  SAD  b) Chứng minh PQ / /  SAD  c) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAC) (IJG) d) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (ACG) (SAD) Lời giải a) Ta có IJ đường trung bình hình bình hành ABCD nên IJ / /AD  l  Lại có JG đường trung bình tam giác SAB  JG / /SA   Từ (l) (2) suy  IJG  / /  SAD  b) Gọi E trung điểm JB BE BP    EP / /AS BA BS Mặt khác EQ đường trung bình cùa tam giác BIJ nên EQ / /IJ  EQ / /AD EP / /SA   EPQ  / /  SAD  Ta có:  EQ / /AD c) Trong mặt phẳng (ABC) gọi O IJ  AC Ta có: SA / / J G nên giao tuyến hai mặt phẳng (SAC) (IJG) song song với SA Khi giao tuyến hai mặt phẳng (SAC) (IJG) đường thẳng qua O song song với SA d) Gọi K trung điểm SA GK / /AB (tính chất đường trung bình) Suy GK / /CD  G, K, C, D đồng phẳng M   ACG  Trong mặt phẳng (GKCD) gọi M DK  CG   M   SAD  Do giao tuyến hai mặt phẳng (ACG) (SAD) AM Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành tâm O Gọi M, N, P trung điểm BC, CD, SC a) Chứng minh  MNP  / /  SBD  b) Tìm giao tuyến (SAB) (SCD) c) Tìm giao tuyến (MNP) (SAD) Suy giao điểm SA (MNP) d) Gọi I AP  SO, J AM  BD Chứng minh IJ / /  MNP  Lời giải a) Ta có MN đường trung bình tam giác BCD nên MN / /BD Tương tự NP đường trung bình tam giác SCD nên NP / /SD Do  MNP  / /  SBD  b) Do AB / /CD nên giao tuyến (SAB) (SCD) qua S song song với AB CD c) Gọi E MN  AD Do NP / /SD nên giao tuyến  (MNP) (SAD) qua E song song với SD Trong mặt phẳng (SAD) gọi F   SA  F SA   MNP  d) Ta có: J AM  BO; J SO  AP I, J trọng tâm tam giác SAC ABC Khi AI AJ    IJ / / MP  IJ / /  MNP  AP AM