Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 23 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Nội dung
CHỦ ĐỀ 3: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ NHỎ NHẤT Định nghĩa Cho hàm số xác định D Số M gọi giá trị lớn (GTLN) hàm số y f ( x ) D f ( x) M ; x D f ( x) , ta kí hiệu M max xD x D : f ( x ) M o o f ( x) Chú ý: Nếu f ( x ) M ; x D ta chưa thể suy M max xD Số m gọi giá trị nhỏ (GTNN) hàm số y f (x) D f ( x) M ; x D f ( x) , ta kí hiệu M min xD xo D : f ( xo ) M f ( x) Chú ý: Nếu f ( x ) M ; x D ta chưa thể suy M min xD Các phương pháp tìm GTLN, GTNN hàm số Phương pháp chung: Để tìm GTLN, GTNN hàm số y f ( x ) D, ta tính y’, tìm điểm mà đạo hàm triệt tiêu khơng tồn lập bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta suy ta GTLN, GTNN hàm số Chú ý: Nếu hàm số y f ( x ) tăng giảm [a;b] f ( x) f (a); f (b) f ( x) f (a ); f (b) Thì ta có max [a ;b ] [a ;b ] Nếu hàm số y f ( x ) liên tục [a;b] ln có GTLN, GTNN đoạn để tìm GTLN, GTNN ta làm sau: - Tính y’ tìm điểm x1 , x2 , , xn mà y’ triệt tiêu khơng tồn - Tính giá trị f ( x1 ), f ( x2 ), f ( x3 ), , f ( xn ) Khi f ( x) f ( x1 ); f ( x2 ); f ( xn ); f (a); f (b) +) max [a ;b ] f ( x) f ( x1 ); f ( x2 ); f ( xn ); f (a); f (b) +) [a ;b ] Nếu hàm số y f ( x ) tuần hoàn chu kỳ T để tìm GTLN, GTNN D ta cần tìm GTLN, GTNN đoạn thuộc D có độ dài T Cho hàm số y f ( x ) xác định D Khi đặt ẩn phụ t u ( x), ta tìm t E với x D , ta có y g (t ) Max, Min hàm f D Max, Min hàm g E Khi tốn u cầu tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ mà khơng nói tập ta hiểu tìm GTLN, GTNN tập xác định hàm số Ngoài phương pháp khảo sát để tìm Max, Min ta dùng phương pháp miền giá trị bất đẳng thức để tìm Max, Min Ta cần phân biệt hai khái niệm - Giá trị lớn hàm số y f ( x ) D với cực đại hàm số - Giá trị nhỏ hàm số y f ( x ) D với cực tiểu hàm số Tìm tập giá trị hàm số Phương pháp chung: Việc tìm tập giá trị hàm số việc tìm giá trị nhỏ nhất, kí hiệu m giá trị lớn nhất, kí hiệu M Khi đó, tập giá trị hàm số T [m; M ] Phương pháp tìm GTLN, GTNN hàm số hai biến (bài toán cực trị) Các toán hai biến (yêu cầu: tìm GTLN, GTNN tìm tập giá trị) Sử dụng phương pháp y h( x) từ giả thiết vào biểu thức P cần tìm cực trị, P f ( x) với x [a; b] đưa tìm GTLN, GTNN toán biến Sử dụng bất đẳng thức (có thể dùng để giải toán biến) Bất đẳng thức AM – GM cho hai số thực không âm a b 2 ab 4ab (a b) (a b) 0 Bất đẳng thức Bunhiacopxki cho số thực a, b, c, d ax by a b x y Dấu “=” xảy a b x y Một số bổ đề dùng toán hai biến xy x y x3 y x2 y2 x y x2 y x xy y ( x y ) ( x y )3 xy ( x y ) Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz dạng phân số 1 x y x y DẠNG 1: TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ Ví dụ 1: Giá trị nhỏ hàm số A y x x đoạn [0;2] B C Lời giải D Đáp án: Chọn B Xét hàm số f ( x ) x x [0;2], có f '( x) 3x 0 x 2 x 1 Phương trình f '( x) 0 3 x 0 f ( x) f (1) 3 Tính f (0) 5; f (1) 3; f (2) 7 Vậy [0;2] Ví dụ 2: Giá trị lớn hàm số f ( x) x x đoạn [0;2] A 64 B C Lời giải D Đáp án: Chọn D Xét hàm số f ( x) x x [0;2], có f '( x) 4 x x 0 x 2 x 0 Phương trình f '( x ) 0 x 1 4 x x 0 f ( x) f (2) 9 Tính f (0) 1; f (1) 0; f (2) 9 Vậy max [0;2] Ví dụ 3: Giá trị nhỏ hàm số f ( x) A B x2 đoạn [2;4] x C Lời giải Đáp án: Chọn B Cần nhớ công thức đạo hàm: 19 D 13 ' u u ' v uv ' v2 v x2 2x x2 Cách 1: Xét hàm số f ( x ) [2;4], có f '( x ) ( x 1) x 2 x 4 x 3 Phương trình f '( x ) 0 x x 0 19 f ( x) f (3) 6 Tính f (2) 7; f (3) 6; f (4) Vậy [2;4] Cách 2: Sử dụng công cụ TABLE (MODE 7) Bước 1: Bấm tổ hợp phím MODE Bước 2: Nhập f ( X ) X 3 X1 Star 2 Sau ấn phím = (nếu có g ( X ) ấn tiếp phím =) sau nhập End 4 Step 0.2 (Chú ý: Thường ta chọn Step End Start ) 10 Bước 3: Tra bảng nhận tìm GTNN: f ( x) f (3) 6 Dựa vào bảng giá trị trên, ta thấy [2;4] Ví dụ 4: Gọi M, m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số f ( x) 3x đoạn [0;2] x Giá trị 3M + m A B – C – Lời giải Đáp án: Chọn C Xét hàm số f ( x ) 3x 0 [0;2] có f '( x ) ( x 3) x f ( x) f (2) min [0;2] Suy f ( x) hàm số nghịch biến (0;2) f ( x) f (0) max [0;2] D 1 Vậy M 3M 3; m 3M m Ví dụ 5: Giá trị lớn hàm số y x x x A B C Lời giải D Đáp án: Chọn B Cần nhớ công thức đạo hàm: u 2u 'u ' Điều kiện xác định: x x 0 x 1 Xét hàm số f ( x ) x x [-3;1], có f '( x ) 2x 2x x x 1 x x2 ; x x Phương trình f '( x ) 0 x 0 f ( x) f ( 1) 2 Tính f ( 3) 0; f ( 1) 2; f (1) 0 Vậy max [ 3;1] Ví dụ 6: Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y x x Giá trị M – 2m A B C D Lời giải Đáp án: Chọn D Điều kiện xác định: x 0 x 1 Xét hàm số f ( x ) x x [-1;1], có f '( x) x x2 x2 2x2 x2 2 x x ; Phương trình f '( x ) 0 2 1 x 0 2 2 Tính f ( 1) f (1) 0; f ; f f ( x) m min [ 1;1] M 2m Vậy 2 M max f ( x) [ 1;1] Ví dụ 7: Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y x x Giá trị M 2m2 A – B C Lời giải D – Đáp án: Chọn A 1 x 0 x 1 Điều kiện xác định: x 0 Xét hàm số f ( x ) x x [-1;1], có f '( x) Phương trình 1 ; 1 x 1 x x f '( x ) 0 x 0 Tính f ( 1) f (1) 2; f (0) 2 x x m min f ( x) [ 1;1] M 2m2 2 2.2 Vậy f ( x) 2 M max [ 1;1] Ví dụ 8: Giá trị lớn hàm số y x x x x A B C D D Lời giải Đáp án: Chọn C x 0 x 3 Điều kiện xác định: 3 x 0 Đặt t x x , ta có t ' x 1 ; t ' 0 x 2 3 x Tính t (1) t (3) 2; t (2) 2 t 2 Khi t 2 ( x 1)(3 x) 2 x x x x t Do y f (t ) t (t 2) t t max f (t ) Vậy max y Xét f (t ) t t 2; [1;3] [ ;2] Ví dụ 9: Giá trị nhỏ hàm số A – B y 2 cos3 x cos x 3cos x 2 C Lời giải Đáp án: Chọn B Đặt t cos x [ 1;1], y f (t ) 2t Xét hàm số f (t ) 2t t 3t 2 t 3t [-1;1], có f '(t ) 8t 9t 0, t 2 f (t ) f ( 1) 1 Suy f (t ) hàm số đồng biến ( 1;1) [ 1;1] Ví dụ 10: Giá trị lớn hàm số y sin x cos x sin x A B C D 112 27 Lời giải Đáp án: Chọn D Cần nhớ công thức lượng giác: cos x 1 2sin x Ta có y sin x 2sin x sin x sin x 2sin x sin x Đặt t sin x [ 1;1], y f (t ) t 2t t Xét hàm số f (t ) t 2t t [-1;1], có f '(t ) 3t 4t 1; t 1 t 1 Phương trình f '(t ) 0 t t t 112 112 ; f (1) 4 Vậy ymax Tính f ( 1) 0; f 27 27 Ví dụ 11: Tìm giá trị lớn M hàm số f ( x ) x x đoạn [-6;6] A 110 B C 55 Lời giải D Đáp án: Chọn C Xét hàm số g ( x) x x liên tục đoạn [-6;6] Đạo hàm g '( x) x g '( x) 0 x [ 6;6] x 1 [ 6;6] Lại có g ( x) 0 x x 0 x [ 6;6] g ( 6) g ( 2) 9 max f ( x ) max g ( 6) ; g ( 2) ; g (6) ; g (1) ; g ( 5) 55 Tính [ 6;6] [ 6;6] g (6) 55 g (1) g ( 5) 0 Nhận xét: dễ sai lầm khơng để ý hàm trị tuyệt đối khơng âm Ví dụ 12: Tìm giá trị lớn M hàm số f ( x ) x x x đoạn [-4;4] A B 17 C 34 Lời giải Đáp án: Chọn C Hàm số f ( x) xác định liên tục đoạn [-4;4] Nếu x [1; 2] x x 0 nên suy f ( x ) x x f (1) Đạo hàm f '( x ) x f '( x) 0 x 1 [1; 2] Ta có f (2) D 68 Nếu x [ 4;1] [2; 4] x x 0 nên suy f ( x ) x x f ( 4) 34 f (1) Đạo hàm f '( x ) 2 x f '( x ) 0 x 2 [ 4;1] [2; 4] Ta có f (2) f (4) 2 f ( x) f ( 4) 34 So sánh hai trường hợp, ta max [ 4;4] Ví dụ 13: Cho hàm số y f ( x ) có đồ thị đoạn [-2;4] hình vẽ Tìm giá trị lớn M hàm số y f ( x) đoạn [-2;4]? A B C Lời giải D f (0) Đáp án: Chọn B Từ đồ thị hàm số y f ( x ) đoạn [-2;4] Ta suy đồ thị hàm số f ( x) [-2;4] hình vẽ f ( x) 3 x Do max [ 2;4] 1 Ví dụ 14: Cho ( P ) : y x A 2; Gọi M điểm thuộc (P) Khoảng cách MA bé 2 A B C Lời giải Đáp án: Chọn D 1 2 Vì M thuộc parabol (P) M (m; m ) AM m 2; m 2 1 17 Suy MA AM (m 2) m m 4m 2 2 D Xét hàm số f (m) m 4m 17 , có f '( m) 4m3 4; f '(m) 0 m Do f (m) f ( 1) 1 17 5 MAmin 4 Ví dụ 15: Cho hai hàm số y f ( x), y g ( x) liên tục có đạo hàm đoạn [-1;1] thỏa mãn f ( x ) 0, g ( x ) 0, x [ 1;1] f '( x) g '( x) 0, x [ 1;1] Gọi m giá trị nhỏ đoạn [-1;1] hàm số h( x) 2 f ( x).g ( x ) g ( x ) Mệnh đề đúng? A m h( 1) B m h(0) C m h( 1) h(1) D m h(1) Lời giải Đáp án: Chọn A Ta có h '( x) 2. f '( x).g ( x) f ( x).g '( x) g '( x).g ( x); x [ 1;1] Suy h( x) 2.g ( x). f '( x) g '( x) f ( x).g '( x) 0 f '( x) g '( x) 0 h( x ) h( 1) Do h( x) hàm số đồng biến [-1;1] [ 1;1] DẠNG 2: BÀI TOÁN CHỨA THAM SỐ Ví dụ 1: Tìm giá trị thực tham số m để hàm số f ( x ) x x m có giá trị lớn đoạn [-1;3] 10 A m 3 B m C m Lời giải D m Đáp án: Chọn B Xét hàm số f ( x ) x x m [-1;3], có f '( x) x x 3 x 2 Phương trình f '( x ) 0 x 0 Tính f ( 1) m; f (2) 4 m; f (3) 3 m f ( x) f (2) 4 m 10 m Suy max [ 1;3] Ví dụ 2: Tìm giá trị thực tham số a để hàm số f ( x ) x3 3x a có giá trị nhỏ đoạn [-1;1] A a 2 B a 6 C a 0 Lời giải Đáp án: Chọn D Xét hàm số f ( x ) x3 3x a [-1;1], có f '( x) x x x 1 x 0 Phương trình f '( x ) 0 3x x 0 Tính f ( 1) a; f (0) a; f (1) a D a 4 f ( x) f (1) a 0 a 4 Suy [ 1;1] Ví dụ 3: Cho hàm số y x3 mx ( m2 m 1) x Gọi S tập hợp giá trị thực tham số m cho giá trị nhỏ hàm số đoạn [-1;1] – Tính tổng phần tử S A B C – Lời giải D 2 Đáp án: Chọn A Ta có f '( x ) 3x 2mx m m 1; x Mà ' 2m 3m 0; m y y (1) Suy y ' 0; x [ 1;1] Do hàm số f ( x) nghịch biến ( 1;1) [ 1;1] m 2 2 Vậy Lại có y (1) m m m 4 m m 0 Ví dụ 4: Biết hàm số y x m x n x với m, n tham số đồng biến khoảng ( ; ) Giá trị nhỏ biểu thức P 4(m n ) m n A B C – 16 D 16 Lời giải Đáp án: Chọn D 2 2 2 Ta có y ' 3( x m) 3( x n) x 3 x 2( m n) x m n Hàm số cho đồng biến y ' 0; x ' (m n) m n 0 mn 0 2 Lại có P 4 m n2 m n 4 m n 8mn m n 4 m n m n 1 1 1 4(m n) 2.2(m n) 2(m n) Pmin 16 16 16 16 16 x m2 Ví dụ 5: Cho hàm số f ( x ) với m tham số thực Tìm giá trị lớn m để hàm số có giá trị x 8 nhỏ đoạn [0;3] – A m B m 5 C m 4 Lời giải D m 1 Đáp án: Chọn C Xét hàm số f ( x ) m2 x m2 0; x [0;3] [0;3], có f '( x ) ( x 8) x 8 Suy f ( x) hàm số đồng biến (0;3) f ( x) f (0) [0;3] Theo ta, ta có f ( x) [0;3] m2 m2 m 16 mmax 4 Ví dụ 6: Cho hàm số y xm 16 (với m tham số thực) thỏa mãn y max y Mệnh đề [1;2] [1;2] x 1 đúng? A m 2 B m 4 C m 0 Lời giải D m Đáp án: Chọn D Xét hàm số y 1 m xm ; x [1; 2] [1;2], có f '( x ) ( x 1) x 1 m m 16 m 5 Do y max y f (1) f (2) [1;2] [1;2] 3 Ví dụ 7: Cho hàm số f ( x ) x m (với m tham số thực) Có giá trị nguyên m thuộc đoạn x2 y 2 y ? [-10;10] thỏa mãn max [0;1] [0;1] A B 11 C 16 Lời giải D Đáp án: Chọn B Xét hàm số f ( x ) m2 x m ; x [0;1] [0;1] Có f '( x ) ( x 2) x2 TH1 Với m suy f '( x) f ( x) hàm số đồng biến (0;1) 1 m m ; f ( x) f (0) Do max f ( x) f (1) [0;1] [0;1] Theo ra, ta có 1 m m 2 m 3m m 2 Kết hợp với m [ 10;10] m có 11 giá trị nguyên m TH2 Với m suy f '( x) f ( x) hàm số nghịch biến (0;1) Do max f ( x) f (0) [0;1] Theo ra, ta có m 1 m ; f ( x) f (1) [0;1] m 1 m 2 3m 4 4m m 4 (vơ lý) Vậy có tất 11 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu Ví dụ 8: Có giá trị tham số m để giá trị lớn hàm số y x m2 đoạn [0;4] x m – A B C Lời giải Đáp án: Chọn C 1.( m) 1.( m 2) m m 0; x m Ta có f '( x ) ( x m) ( x m) D m , ta f ( x) hàm số đồng biến (0; 4) Với x m [0; 4] m 0 Suy max f ( x) f (4) [0;4] m2 m2 Theo ra, ta có 4 m 4 m m 2 m m m giá trị cần tìm Kết hợp điều kiện: m 0 f ( x) f ( 2) Giá trị lớn hàm số y f ( x ) Ví dụ 9: Cho hàm số y ax3 cx d , a 0 có (min ;0) đoạn [1;3] A 8a d B d 16a C d 11a Lời giải D 2a d Đáp án: Chọn B f ( x) f ( 2) lim f ( x) a Ta có (min ;0) x f ( x) f ( 2) f '( 2) 0 12 a c 0 Lại có f '( x) 3ax c mà (min ;0) Do f ( x ) ax cx d ax 12ax d Xét hàm số f ( x ) ax3 12ax d [1;3], có f '( x ) 3ax 12a; 1 x 3 1 x 3 x 2 Phương trình f '( x) 0 3ax 12a 0 x 0 f ( x) d 16a Tính f (1) d 11a; f (2) d 16a; f (3) d 9a Vậy max [1;3] f ( x) f ( 1) Giá trị nhỏ hàm số Ví dụ 10: Cho hàm số f ( x ) ax bx c, a 0 có (min ;0) 1 y f ( x ) ; 2 A 8a c B c 7a 16 C c a 16 Lời giải Đáp án: Chọn D f ( x) f ( 1) lim f ( x) a Ta có (min ;0) x f ( x) f ( 1) f '( 1) 0 b a Lại có f '( x ) 4ax 2bx mà (min ;0) Do f ( x ) ax bx c ax 2ax c 1 Xét hàm số f ( x ) ax 2ax c ; có f '( x) 4ax 4ax 2 1 x 2 Phương trình f '( x ) 0 4ax 4ax 0 1 x 2 x 1 2 x( x 1) 0 D c a 7a f ( x) f (1) c a 1 ; f (1) c a; f (2) 8a Vậy ;2 Tính f c 2 16 2 Ví dụ 11: Hỏi tập hợp chứa tất giá trị thực tham số m để giá trị lớn hàm số y x x m đoạn [0;2] 5? A ( ; 5) (0; ) B ( 5; 2) C ( 4; 1) (5; ) Lời giải D ( 4; 3) Đáp án: Chọn B x 0 Xét hàm số f ( x ) x x m [0;2], có f '( x ) 4 x x; f '( x) 0 x 1 y m ; m Tính f (0) m ; f (1) m ; f (2) m suy max [1;2] m 5 y m m TH1 Nếu max [1;2] m m m 5 y m 8 m TH2 Nếu max [1;2] m m Vậy có giá trị m cần tìm thuộc khoảng ( 5; 2) Ví dụ 12: Cho hàm số f ( x ) x x m Có giá trị nguyên tham số thực m để f ( x) 3 ? [-1;3] A B C 13 Lời giải D 39 Đáp án: Chọn C x 0 Xét hàm số g ( x) 2 x 3x m [-1;3], có g '( x) 6 x x; g '( x) 0 x 1 f ( 1) m ; f (0) m f ( x) m ; m 27 Tính Khi [ 1;3] f (1) m ; f (3) m 27 f ( x) m m 3 m 3 m 8 TH1 Nếu [ 1;3] m 2;3; 4; ;8 Thử lại có giá trị ngun âm m cần tìm Kết hợp m m 27 m ; m ; m f ( x) m 27 30 m 24 TH2 Nếu [ 1;3] m 27 3 Kết hợp m suy có giá trị ngun m cần tìm Vậy có tất 13 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu toán y có giá trị nhỏ là? Ví dụ 13: Cho hàm số y x x m (với m tham số thực) Hỏi max [1;2] A B C D Lời giải Đáp án: Chọn A x 0 Xét hàm số f ( x ) x x m [1;2], có f '( x ) 3x x; f '( x) 0 x 2 y m ; m Tính f (0) m ; f (1) m ; f (2) m suy max [1;2] y m m m m 2 m 2 TH1 Nếu max [1;2] Dấu xảy m 2 y m m m m 2 m m 2 TH2 Nếu max [1;2] y có giá trị nhỏ Dấu xảy m 2 Vậy max [1;2] Ví dụ 14: Có số thực m để hàm số y x x 12 x m có giá trị lớn [-3;2] 150? A B C Lời giải D Đáp án: Chọn A Xét hàm số g ( x) 3x x 12 x m [-3;2] có g '( x) 12 x 12 x 24 x x 2 Phương trình g '( x) 0 12 x 12 x 24 x 0 x x 0 f ( 1) m ; f (0) m f ( x) m 32 ; m 243 Khi max Tính [ 3;2] f ( 3) m 243 ; f (2) m 32 m 32 m 243 f ( x) m 243 m 93 TH1 Nếu max [ 3;2] m 243 150 m 32 m 243 f ( x) m 32 m 118 TH2 Nếu max [ 3;2] m 32 150 Vậy có tất giá trị m thỏa mãn toán Ví dụ 15: Cho hàm số f ( x) x x x a Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số đoạn [0;2] Có số nguyên a [ 3;3] cho M 2m A B C Lời giải Đáp án: Chọn B Xét hàm số u ( x) x x x [0;2], có u '( x) 4 x3 12 x x Phương trình u '( x) 0 x 0;1; 2 Khi u (0) u (2) a; u (1) a D f ( x) a ; a f ( x) a ; a Suy max [0;2] [0;2] f ( x) 0 [0;2] TH1 Với a 0 , ta thấy f ( x) 1 max [0;2] M 1 (không TMĐK) m 0 f ( x) a [0;2] TH2 Với a 0, ta có mà M 2m a 2 a a 1 f ( x) a max [0;2] 1; 2;3 Kết hợp với điều kiện a [-3;3] a f ( x) a [0;2] TH3 Với a , ta có mà M 2m a 2 a a f ( x) a max [0;2] 3; 2 Kết hợp a [-3;3] a Vậy có giá trị nguyên a Ví dụ 16*: Cho hàm số f ( x) x ax bx c Gọi M giá trị lớn hàm số đoạn [-1;3] Khi M đạt giá trị nhỏ nhất, tính giá trị biểu thức ab bc ca A – B C – 12 Lời giải D – 18 Đáp án: Chọn A Đặt t x [ 1;1] t cos x x 2 cos x Khi f ( x) (2 cos x 1) a.(2cos x 1) b.(2cos x 1) c 8cos3 x (12 4a).cos x (6 4a 2b).cos x a b c Suy f ( x) a b c 1 4cos3 x (6 2a).cos x (3 a b).cos x 2 f ( x) cos3 x 3cos x cos x 1 6 2a 0 Dấu xảy 3 2a b a b c 0 a b 0 c 2 DẠNG 3: BÀI TOÁN THỰC TẾ ỨNG DỤNG MIN – MAX Ví dụ 1: Người ta tiêm loại thuốc vào mạch máu cánh tay phải bệnh nhân Sau thời gian t giờ, nồng độ thuốc hấp thu máu bệnh nhân xác định theo cơng thức C (t ) 0, 28t (0 t 24) Hỏi sau nồng độ thuốc hấp thu máu bệnh nhân t2 cao nhất? A 24 B C Lời giải D Đáp án: Chọn C u cầu tốn: Tìm giá trị t (0; 24) để C (t ) Xét hàm số C (t ) 0, 28t đạt giá trị lớn t2 0, 28t 0, 28(t 4) 0, 28t.2t 0, 28t 1,12 (0; 24) C '( t ) , có t2 (t 4) (t 4) 0 t 24 t 2 Tính C (2) 0, 07 Phương trình C '(t ) 0 0, 28t 1,12 0 C (t ) C (2) 0, 07 Vậy sau nồng độ hấp thu cao Suy max (0;24) Ví dụ 2: Người ta giới thiệu loại thuốc kích thích sinh sản loại vi khuẩn Sau phút, số vi khuẩn xác định theo công thức N (t ) 1000 30t t (0 t 30) Hỏi sau phút số vi khuẩn lớn nhất? A 10 phút B 20 phút C 30 phút Lời giải D 15 phút Đáp án: Chọn B u cầu tốn: Tìm giá trị t [0;30] để N (t ) 1000 30t t đạt giá trị lớn Xét hàm số N (t ) 1000 30t t [0;3], có N '(t ) 60t 3t 0 t 30 t 20 Tính Phương trình N '(t ) 0 60t 3t 0 N (0) N(30) 1000 N (20) 5000 N (t ) N (20) 5000 Vậy sau 20 phút số vi khuẩn lớn Suy max [0;30] Ví dụ 3: Ơng A muốn mua mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 100m để làm khu vườn Hỏi người phải mua mảnh đất có kích thước để chi phí xây dựng bờ rào tốn nhất? A 10m x 10m B 4m x 25m C 5m x 20m Lời giải Đáp án: Chọn A u cầu tốn: Cho diện tích tìm giá trị nhỏ chu vi hình chữ nhật Gọi x, y chiều rộng, chiều dài hình chữ nhật 100 Diện tích hình chữ nhật S xy 100 y x Chu vi hình chữ nhật (bờ rào mảnh đất) C 2 x y 2 x Áp dụng bất đẳng thức Cosi, ta có x Dấu xảy x 200 x 200 200 2 40 Cmin 40 x x 200 x 100 x 10 y 10 x D 25m x 8m Ví dụ 4: Một cơng ty muốn thiết kế loại hộp có dạng hình hộp chữ nhật có đáy hình vng cho thể tích khối hộp tạo thành 8dm diện tích tồn phần đạt giá trị nhỏ Độ dài cạnh đáy hộp muốn thiết kế B 2dm A 2dm C 4dm Lời giải D 2dm Đáp án: Chọn B Gọi h, x chiều cao độ dài cạnh đáy hình hợp chữ nhật Thể tích khối hộp chữ nhật V Bh x h 8 h x2 2 Diện tích tồn phần hình hộp chữ nhật Stp S xq S d 4hx x 2 x Ta có x 32 x 32 16 16 16 16 2 x 3 x 24 S 24 x x x x x 16 Dấu xảy x x 8 x 2 x Ví dụ 5: Cho nhơm hình vng cạnh 12cm Người ta cắt bốn góc nhơm bốn hình vng nhau, hình vng có cạnh x cm, gập nhơm lại hình vẽ để hộp khơng nắp Tìm x để hộp nhận tích lớn A x 4 B x 3 C x 2 Lời giải D x 1 Đáp án: Chọn C Khi cắt gấp nhơm, ta hình hộp chữ nhật có chiều cao x; đáy hình vng cạnh 12 2x Thể tích khối hộp chữ nhật V Bh x.(12 x)(12 x) max f ( x) Cách Khảo sát hàm số f ( x ) x.(12 x).(12 x) (0;6) (0;6) Cách Ta có x(12 x).(12 x) (4 x 12 x 12 x)3 512 V 128 27 Dấu xảy x 12 x x 12 x 2 Ví dụ 6: Khi sản xuất vỏ lon sữa bị hình trụ, nhà thiết kế ln đặt mục tiêu cho chi phí ngun liệu làm vỏ hộp (diện tích tồn phần lon nhỏ nhất) Bán kính đáy vỏ lon ta muốn tích lon 314 cm3 ? A R 314 B R 628 C R 942 2 D R 314 2 Lời giải Đáp án: Chọn D Gọi R, h bán kính đáy, chiều cao lon sữa Thể tích lon sữa hình trụ V R h 314 h 314 R2 2 Diện tích nguyên liệu làm vỏ hộp ( Stp hình trụ) Stp 2 Rh 2 R 2 R Ta có 2 R 628 R 628 314 314 314 314 2 R 3 2 R 3 2.(314) R R R R R Dấu xảy 2 R 314 314 314 R3 R 3 R 2 2 Ví dụ 7: Một đường dây điện nối từ nhà máy điện đất liền vị trí A đến vị trí C hịn đảo Khoảng cách ngắn từ C đến đất liền BC 1km , khoảng cách từ A đến B km Người ta chọn vị trí điểm S nằm A B để mắc đường dây điện từ A đến S, từ S đến C hình vẽ Chi phí km dây điện đất liền 3000 USD, km điện đặt ngầm biển 5000 USD, Hỏi điểm S phải cách A bao nhiên km để chi phí mắc đường dây điện nhất? A km B km C 13 km D Lời giải Đáp án: Chọn C Đặt SA x (km; x 4), ta có SA SB AB SB 4 x (km) Tam giác SBC vng B, có SC SB BC (4 x)2 x x 17 Do đó, số tiền để mắc dây điện đất liền T1 3000 x SA = 3000x Số tiền để mắc dây điện ngầm biển T2 5000 x SC 5000 x x 17 Suy tổng số tiền mắc dây điện T T1 T2 3000 x 5000 x x 17 Xét hàm số f ( x ) 3 x x x 17 [0;4], có f '( x ) 3 13 Phương trình f '( x ) 0 x x 17 20 x x 13 f ( x) f 16 Dựa vào bảng biến thiên, ta [0;4] 4 x 20 x x 17 km 13 Vậy số tiền T 100.16 16000USD Dấu xảy x Ví dụ 8: Một sợi dây kim loại dài 60 cm cắt thành hai đoạn Đoạn dây thứ uốn thành hình vng cạnh a, đoạn dây thứ hai uốn thành đường trịn bán kính r Để tổng diện tích hình vng hình trịn nhỏ tỉ số a r A B C Lời giải D Đáp án: Chọn B Gọi x độ dài đoạn dây cuộn thành hình trịn (0 x 60) Suy chiều dài đoạn lại 60 x Chu vi đường tròn: 2 r x r x x2 Diện tích hình trịn: S1 r 2 4 60 x Diện tích hình vuông: S 2 Tổng diện tích hai hình: S Đạo hàm: S ' x 60 x (4 ) x 120 x 3600 4 16 (4 ).x 60 60 ; S ' 0 x ; S '' 0 8 8 Suy hàm S có cực trị cực tiểu x Do S đạt giá trị nhỏ x Với x 60 60 60 30 240 a 240 r 2 a (4 ) (4 ).4 r 120 Ví dụ 9: Doanh nghiệp Alibaba cần sản xuất mặt hàng 10 ngày phải sử dụng hai máy A B Máy A làm việc x ngày cho số tiền lãi x x (triệu đồng), máy B làm việc y ngày cho số tiền lãi 326 y 27 y (triệu đồng) Hỏi doanh nghiệp Alibaba cần sử dụng máy A làm việc ngày cho số tiền lãi nhiều nhất? (Biết A B không đồng thời làm việc, máy B làm việc không ngày) A Đáp án: Chọn B B C Lời giải D 3 Tổng số tiền hai máy làm T TA TB x 27 y x 326 y Theo ra, ta có x y 10; y 6 nên y 10 x x 10 Suy T x3 27(10 x) x 326(10 x) x3 27 x 216 x 560 Xét hàm số f ( x) x3 27 x 216 x 560 [4;10], có f '( x) 3(x 18 x 72) max f ( x) f (6) 1100 Phương trình f '( x) 0 x 6 [4;10] Vậy x 6 thỏa mãn u cầu tốn Ví dụ 10: Có hai cột dựng đứng mặt đất AB 1m, CD 4m đỉnh hai cột hai điểm A C cách 5m Người ta chọn vị trí mặt đất (nằm B, D) để giăng dây nối đến hai đỉnh cột để trang trí mơ hình bên Tính độ dài ngắn đoạn dây? A B 41 C Lời giải 37 29 D Đáp án: Chọn A Cách 1: Đặt BE x với x Ta có BD 52 (4 1) 4 nên ED BD BE 4 x Lại có AE EC x (4 x ) 16 Đặt f ( x) x x x 32, x Ta có f '( x ) x x2 1 x x x 32 ; x Giải phương trình f '( x) 0, ta thu x tìm f ( x) 41 Cách 2: Gọi H điểm đối xứng với A qua B K điểm đối xứng với C qua D Và I hình chiếu A lên CD Khi AHKC hình thang cân AG AC GC 4 Ta thấy EC EK nên AE EC AE EK Để AE EC AE EK điều có nghĩa A, E, K thẳng hàng Vì AK KG AG 42 52 41 Hay độ dài ngắn đoạn dây 41 Ví dụ 11: Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 961 m2, người ta muốn mở rộng thêm phần đất cho tạo thành hình trịn ngoại tiếp mảnh vườn Biết tâm hình trịn trùng với tâm hình chữ nhật (xem hình minh họa) Tính diện tích nhỏ S phần đất mở rộng