CẤU TRÚC ĐỀ THI Đơn vị dự thi: THPT Chuyên Bắc Ninh MƠN THI: Tốn KHỐI 11 TT Nội dung câu hỏi Giải hệ sau: sin x cos y cos x sin y 1 x, y (0; ) Điểm Cho tam giác ABE vuông B, giả sử cạnh huyền AE tồn điểm C cho AB = CE góc ACB nhọn 1) Chứng minh tam giác ABC có đường phân giác AD, trung tuyến BM đường cao CH đồng quy 2) Chứng minh BAC 500 Cho dãy (xn) xác định bởi: x1 2, x2 1 3 xn 2 2 cos xn 1 cos xn Tính lim xn ? Cho hai đa thức: P( x) x3 3x Q( x) 8 x3 36 x 48 x 19 Gọi a nghiệm lớn P(x) b nghiệm nhỏ Q(x) Chứng minh rằng: a 2b 3 Có viên bi gồm hai viên bi xanh, hai viên bi đỏ hai viên bi vàng Hỏi có cách xếp viên bi thành hàng cho khơng có hai viên bi màu xếp cạnh nhau? ĐÁP ÁN MẪU MƠN THI: Tốn KHỐI 11 xxC âu I Ý Nội dung Điểm Giải hệ +) Từ hệ ta có 3(cosx + siny) = cosy + sinx 3cosx - sinx = cosy - sin y +) Biến đổi cos(x+ ) cos(y+ ) y ( x ) 3 +) Do x, y (0; ) y x +) Thế vào pt(1) , giải x , y 4đ 2đ 2đ 1) 4đ 2đ Chứng minh đồng quy 1- Giả sử phân giác AD trung tuyến BM cắt I, theo tính chất đường phân giác ta có E BI AB EC IM AM CM ( AB = EC AM = CM) suy CI//BE, mà BE BA CI AB (đpcm) C P D B 2) M H A Chứng minh: BAC 500 2- Từ B kẻ BP AE, góc ACB nhọn, nên AB = EC < EP , hay BE cotA < BE sin A Suy cos A sin A 1 cos A cos A 2đ 51 51 , ta chứng minh cos cos 500 Thật , giả sử 3 cos500 = t ,dễ thấy t Vì cos150 cos 500 cos 500 0 2 Rõ ràng t nghiệm đa thức: f ( x) x3 3x , ta có f(x) đồng biến 51 khoảng ( ;) Vì ( ;) nên 2 51 5 13 f( ) f( ) f (t ) 2 Đặt cos Suy cos cos 500 , cos A cos cos 500 , kết hợp với góc A nhọn , suy BAC > 500 Tính limxn 4đ 3 x3 +) Nhận thấy: cosx cosx1 3 x3 cos1+ 2cos cos 1 x3 cosx cosx +) Bằng phương pháp quy nạp chứng minh được: xn 1 xn +) Từ kết suy ra: lim xn a a nghiệm phương trình: 3x 3cos x +) Giải phương trình cách dùng đạo hàm, tìm nghiệm x = Vậy lim xn 0 Chứng minh a + 2b = +) Vì P( 2) 0, P (0) 1 0, P(1) 0, P(2) 3 suy P(x) có nghiệm nghiệm lớn a (1; 2) Vì Q(0) 19 0, Q(1) 1 0, Q(2) 0, Q(3) 17 suy Q(x) có nghiệm nghiệm bé b (0;1) +) Đặt a = – 2m Vì P(a ) 0 (3 2m)3 3(3 2m) 0 8m3 36m 48m 19 0 Suy m nghiệm Q(x) 3 a (0;1) +) a (1; 2) m 3 a m b b a 2b 3 Có cách xếp viên bi… 6! +) Tổng số cách xếp viên bi thành hàng là: 90 A Kí hiệu tập hợp cách xếp để bi xanh cạnh A2 tập hợp cách xếp để bi đỏ cạnh A3 tập hợp cách xếp để bi vàng cạnh Số cách xếp không hợp lệ ( có bi màu cạnh )là A1 A2 A3 A1 A2 A3 ( A1 A2 A2 A3 A3 A1 ) A1 A2 A3 1đ 1đ 1đ 1đ 4đ 2đ 2đ 4đ 2đ +) Tính được: A1 A2 A3 5! 30 22 A1 A2 A2 A3 A3 A1 4! 12 1đ A1 A2 A3 3! 6 +) Vậy A1 A2 A3 90 36 60 Số cách xếp hợp lí là: 90 60 30 (cách) 1đ