CẤU TRÚC ĐỀ THI Đơn vị dự thi: THPT Chuyên Bắc Ninh MƠN THI: Tốn KHỐI 10 TT câu hỏi Nội dung Điểm y y x xy x y 8 xy y 4 x (2 x y ) Cho x, y, z số thực dương thoả mãn điều kiện: x y z 2 Tìm giá trị Giải hệ sau: nhỏ biểu thức: x3 y3 z3 T y z z x x y Cho tam giác ABC nhọn ( AB AC ) có trực tâm H Đường thẳng qua H vng góc với đường phân giác góc BAC cắt cạnh AB AC tương ứng D E Chứng minh đường thẳng nối tâm đường tròn ngoại tiếp hai tam giác ABC ADE qua trung điểm đoạn thẳng AH Cho x y số nguyên dương thoả mãn: x x 3 y y (*) a) Chứng minh 6( x y )2 5( x y ) số nguyên ( K10 – 2014) b) Tìm nghiệm ngun dương phương trình (*) Cho 2010 tập hợp, tập hợp có 45 phần tử hai tập có phần tử chung Chứng minh tồn phần tử thuộc tất 2010 tập hợp 4 4 ĐÁP ÁN MẪU MƠN THI: Tốn KHỐI 10 Bài `1 Ý Nội dung Điểm 4đ Giải hệ VP (1) 1 1 xy VT (1) y y x 2 2 y y x 1 (3) Từ (2) (3) suy ra: xy y 2 y y x x (2 x y ) xy 2 y x (2 x y ) 2đ xy y x (2 x y ) (2 x y ) y xy x ( y x) (4) VT (4) 0, VP(4) 0 Do đó: x 0 y 0 x y 2 x y 2 x (4) y x y y y 1 x y Thử lại có: ( x; y ) ( ; 1) thỏa mãn Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y ) ( ; 1) Tìm GTNN T Ta có: x3 y3 z3 2 2 2 x( y z ) y ( z x) z ( x y ) x y z (1) 2 y z z x x y Ta chứng minh: ( x y z ) x( y z ) y( z x) z ( x y ) 2 2 5( x y z ) 4 x ( y z ) y ( z x) z ( x y ) (2) 2đ 4đ 1đ Thật vậy: *) 3( x ) ( x) x 4 zx 2 *) 2( x ) 4 xy (3) (4) 2( x ) xy ( x y z ) (*) 2đ x x3 z z x 0 Từ bđt: 4 x y z xyz (*) Như (3) (4) (2) Từ suy ra: T x y z 2 Khi x y z T 5 Hình học: CMR đường thẳng nối tâm… - Gọi BI CJ đường cao 4đ A ABC, ta có BI CJ H I - Dựng đường kính AA’ đường E J trịn (ABC), H gọi K giao điểm HA’ với D K đường phân C B giác góc BAC A' Ta có kết sau: A IHE DHB HD phân giác góc - JHD BAK BHJ - BAH CAA' ( phụ với góc ABC), từ suy AK phân giác góc HAA’ JD HJ AH HK -Theo tính chất đường phân giác ta có : (1) (2) DB HB AA' KA' - Từ cặp tam giác đồng dạng: HJB AIB; AIB AJC; AJH HJ AI AJ AH ACA’, cho ta kết sau: (3 ) HB AB AC AA' JD HK - Từ (1), (2) (3) suy ra: , lại A’B//HJ (cùng vng góc với AB) , DB KA' suy ra: KD // HJ // A’B Mà HJ AB nên KD AB Dễ thấy AD = AE , có KE AC Từ suy AK đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE - Gọi O O’ tâm đường tròn (ABC) (ADE) O O’ trung điểm AA’ AK, suy ra: OO’ đường trung bình tam giác AKA’ từ ta suy OO’ // HA OO’ qua trung điểm AH (đpcm) 2đ 2đ Số học a) Chứng minh 4đ 6( x y ) 5( x y ) số nguyên 2đ Từ (*) dễ thấy x ( x y )(3x y 1) y ( x y )(2 x y 1) Từ suy : x – y = ƯSCLN(x2,y2) = (ƯSCLN(x,y))2 1đ Và 2x+ 2y + 3x + 3y + số phương 6( x y ) 5( x y ) (2 x y 1)(3x y 1) Z Tìm nghiệm ngun dương phương trình (*) Trước tiên ta tìm nghiệm phương trình 3a2 – b2 = Nó có nghiệm riêng ( 1,1) Do qui phương trình Pen (1) u 6v 1 Do b) 1đ 2đ 1đ a u 2v u 3a 2b Nhờ phép biến đổi: b u 3v v b a Nghiệm nhỏ phương trình (1) u0 = 5, v0 = Ta có tất nghiệm (un,vn) nhờ công thức: (5 6) n (5 6) n u n n v (5 6) (5 6) Từ câu a) ta giả sử d = (x,y) suy x = db, y = da với (a,b) = suy 1đ x d a ; y d 2b , ta có d2 = x – y; b2 = 3x + 3y + 1; a2 = 2x + 2y + Ta có d2 = x-y = d(b - a) hay d = b – a 3a2 – 2b2 = Tìm nghiệm PT 3a2 – b2 = 1, ta có x = (b-a)b y = (b-a)a Tổ hợp: CM tồn phần tử … Xét tập A số 2010 tập cho A giao với 2009 tập lại nên tồn a A 2009 45 tập lại phần tử chung khơng 45 Vậy a thuộc tập A, A1 , A2 , , A45 46 tập khơng có hai tập có phần tử chung khác a Ta chứng minh a thuộc tập B 2010 tập cho Thật vậy, a B B có với tập A, A1 , A2 , , A45 phần tử chung khác a, suy B có khơng 46 phần tử, mâu thuẫn Bài toán chứng minh 2đ 2đ