Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán lớp 11 cấp trường năm 2017 – 2018 trường Lê Văn Thịnh – Bắc Ninh | Toán học, Lớp 11 - Ôn Luyện

7 số tứ giác lập được từ n đỉnh của đa giác đó. Tìm m để đường thẳng d tạo với 2 tia Ox và Oy tam giác có diện tích lớn nhất. Mặt bên SBC là tam giác đều. Gọi O là giao điểm của AC và B[r]

SỞ GD&ĐT BẮC NINH TRƯỜNG THPT LÊ VĂN THỊNH

(Đề thi gồm có trang)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2017 - 2018

Mơn thi: Tốn Lớp 11 Ngày thi: 7/4/2018

Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu ( điểm) Giải phương trình

3 cos 2x sin 2x 2cosx0. Câu ( điểm)

a) Cho đa giác lồi n cạnh nội tiếp đường tròn, biết số tam giác lập

7 số tứ giác lập được từ n đỉnh đa giác Tìm hệ số x4 khai triển 3 

n

x 

b) Tính tổng

0

1

2 2

n

n n n n

n

n n n n

C C C C

S

C C C C 

   

    

(n  *) Câu ( điểm) Cho đồ thị  

2

:

2 mx C y

x  

 điểm M(2;5) Đường thẳng d qua M tiếp xúc với

 C

Tìm m để đường thẳng d tạo với tia Ox Oy tam giác có diện tích lớn nhất. Câu ( điểm)

Biết  

3

2

lim n an2018 bn 6n 5n2019 0

Tính a2018b2019 1.

Câu ( điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang cân (AD // BC), BC = 2a, AB = AD = DC = a (a > 0) Mặt bên SBC tam giác Gọi O giao điểm AC BD Biết SD vng góc với AC

a) Chứng minh mặt phẳng (SBC) vng góc mặt phẳng (ABCD) Tính độ dài đoạn thẳng SD. b) Mặt phẳng   qua điểm M thuộc đoạn thẳng OD ( M khác O D) song song với đường

thẳng SD AC Xác định thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mặt phẳng   biết MD = x Tìm x để diện tích thiết diện lớn nhất.

Câu ( điểm) Cho tam giác ABC, điểm K nằm cạnh BC cho KB = 2KC KAB2KAC ,

điểm

3 3;

2 E 

  trung điểm cạnh BC, điểm M

3 3 ; 2

 

 

 

  hình chiếu B lên đường thẳng AK Biết A nằm đường thẳng d y: 5x điểm I(0;5) thuộc đường thẳng chứa cạnh AC Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC.

Câu ( điểm) Giải hệ phương trình

   

3

2 2

7 18 18

2 4

x x x y y y

x y y x x x y y x

      

 

            



 .

Câu ( điểm) Cho x y z , , x y z  3 Chứng minh rằng:

2 2

3

1 1

x y z

x   x yz y   y zxz   z xy  . - HẾT -

SỞ GD&ĐT BẮC NINH TRƯỜNG THPT LÊ VĂN THỊNH

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2017 - 2018

Môn thi: …LỚP ….

Câu Đáp án Điểm

1

(1 điểm) 1

3 cos sin 2 cos

cos cos

6

x x x

x  x

  

 

   

 

0,5

2

2 18

x k

x k

 

 



  

 

  

 k 

0,5

2

( điểm) 2a) 1

Từ giả thiết suy

3 4 10

7

n n

C  C  n 0,5

Xét   10

10 10

10

3 k3 k k2 k k

x C  x



 

nên ta xét k = thu hệ số x 4

103 2449440

C 

0,5

2b) 1

Ta có

   

   

 

   

2

1

1 1

1 2

k n k n

k n k n k k

C

C  n n n n



     

 

   

nên

0,25

 

   

2 2

1 1 (1 )

1

n n n n

S

n n

          

 

0,25

3 n  

0,5

3 ( điểm)

1

Giả sử d: y ax b  Đường thẳng d cắt tia Ox Oy A B nên a 0

d tiếp xúc với  

2

:

2 mx C y

x  

 2mx1ax b  2x 2có nghiệm kép

1

x  khi

 2 2 

b a m a b

m

     

 

  

 Từ ta ta có được

0,25

0,5

     

 

1

2

5

5

5

m a a a

m a a a

m a a a

    



    

    



Do a < nên m1 m2 phân biệt ta ln tìm giá trị m với trường hợp a <

0,25

Ta lại có

 2

2 5 2

1

2

OAB

a b

S

a a



 

Chọn  

1

a n

n 

  

5 22

1

OAB

n S

n  

ta tìm

 

1

2

5 n

m

n n

   

Khi n   m  1 SOAB   tức ta khơng tìm m để thỏa mãn toán

0,25

4 (1 điểm)

1

Đặt  

3

2

L lim n an2018 bn 6n 5n2019 Nếu b 1 L (loại)

Nên b =

0,5

Xét b = ta có  

3

lim n 6n 5n2019 n 0 nên

 

lim n an2018 n 0

mà  

2

lim 2018

2 a n an  n  

Ta a = Vậy A = 42018

0,5

5 (2 điểm)

C B

A D

I

G

N P

E

M Q

O

5a) 1

Gọi I trung điểm BC nên tứ giác ADCI hình thoi cạnh a nên IA = IB = IC = a tam giác ABC vng A, suy AC vng góc DI

0,25

 || ,  

AC ID ID AB AC SD AC SID

AC SI

   

 

0,25

Do ACSI BC, SI  SI ABCD (ABCD)SBC

0,25

Ta có : SD SI2ID2 2a

0,25

5b) 1

Từ M kẻ hai đường thẳng song song với SD, AC chúng cắt theo thứ tự SB Q AB G, AC N Từ G kẻ đường thẳng song song SD, cắt SA E,từ N kẻ đường thẳng song song với SD cắt SC P Ta thiết diện ngũ giác GNPQE

0,5

Ta có BD a nên tính  

2 ,

3 x EG NP  a x QM  a 

  , GN3x

Tứ giác EGMQ MNPQ hai hình thang vng đường cao GM NM nên

 

4 3

MNPQE

S  x a x

0,25

2 3

2

MNPQE

S  a

4 a x 

6 ( điểm)

1

O A

B

C

E K

N M

Chứng minh AC vng góc với EM 0,25

Từ AC : x = nên A(0, 0) Và C(0; y) nên B6;3 3 y

0,25

Do BM AM  y3 nên B(6;0) C(0;3 )

0,25

Ta BC: 2x3 3y18 0

0,25

7 (1 điểm)

1

 

    

3

2 2

7 18 18

2 4

x x x y y y

x y y x x x y y x

      

 

            

 

Ta có  1  x  2 y

0,25

Thế vào (2) ta được:

  

 

2

2

2

2

2 4

2 4

2

2 4

x x x x x x

x x

x x x x

x x

       

    

 

 

     

 

 

2

2

4 4

x x

x x x x

   



      



 

 

 

2 14 /

3

2 14

x t m

x l

      

     

0,25

 4 x 3 4x 1 2x2 4x 4

      

Do 2x24x 4 4x  nên 1 x  Ta có3

   

 

2

2

3 2 10

2 2

x x x x x x x

x x

          

  

nên (4) vô nghiệm

Vậy

2 14 14 ;

2

S    

 

 

0,25

8 (1 điểm)

1

Ta có x2  x 3x nên

x x

x   x yz  x yz Từ

3 3

x y z

VT

x yz y zx z xy

  

   .

0,25

Đặt a x y b y z c z x  ,   ,   nên a, b, c ba cạnh tam giác có p =

p b p c p a

VT

ac ba cb

  

  

   

 

1

1 cos

6

a b c a c b p b

B

ac ac

   



  

nên  

1

3 cos cos cos

VT   A B C

0,25

Mà

3 cosA cosB cosC

2

  

0,25

suy

3 VT 

Dấu “=” xảy x = y = z =1