D03 tìm m để hàm số, đồ thị hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện muc do 3

4 2 Câu [DS12.C1.2.E03.c] Cho hàm số y = x - 8mx +16m - m +1 (với m tham số thực) có đồ thị ( C ) điểm H ( 0;1) Tìm tất giá trị m để đồ thị ( C ) có ba điểm cực trị A, B, C cho H trực tâm tam giác ABC Lời giải Tập xác định: D = ¡ Ta có: y ' = x - 16mx = x( x - 4m) éx = y ' = Û x ( x - 4m) = Û ê êx = 4m ë ( C ) có ba điểm cực trị m > (1) Đồ thị ( ) ( ) A( 0;16m - m +1) B m ;1 - m C - m ;1- m Giả sử điểm cực trị , , uuur uuur AH = ( 0; m - 16m ) , BC = - m ;0 Ta có: uuur uuu r CH = m ; m , AB = m ; - 16m ( ( Do H ( 0;1) ) ( ) ) trực tâm tam giác ABC nên: é êm = ê ém = ê ê êm =- Û Û ê ê uuur uuu r êm = ê ïìï AH BC = ìïï - m +( m - 16m ) = ê ë ï ê Û í í uuur uuu r êm = ïï CH AB = ïï 4m - 16m3 = ê ïỵ ïỵ ë m= Kết hợp với điều kiện (1) ta có: m= Vậy giá trị m cần tìm là: ( Câu ) [DS12.C1.2.E03.c] (HSG Tốn 12 - Lâm Đồng năm 1819) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y  x3  x   m  1 x  3m  có hai điểm cực trị x1 x2 x  x2 0 , thỏa Lời giải Tập xác định: D  y  x  x   m  1  x 1  m y 0    x 1  m Hàm số có hai điểm cực trị  y 0 có hai nghiệm phân biệt  m 0  x1 1  m  x 1  m +) TH1:    m    m  0  m  x  x  (TM) Khi  x1 1  m  x 1  m +) TH2:  ,   m    m  0  m  x  x  (TM) Khi m  giá trị cần tìm Vậy Câu [DS12.C1.2.E03.c] Cho hàm số y 2 x   m x  x  với m tham số Tìm giá trị m để hàm số có cực tiểu? Lời giải Hàm số xác định  x x2  4x    x  2 x x  x  y 2  m  y  m x2  x  x2  x  Ta có: m x2  x   x2  x    m x  x   x  x  5  x  x  5 Nếu m 0 y 2 nên hàm số khơng có cực trị Với m 0 ta thấy dấu y phụ thuộc vào m nên để hàm số có cực tiểu điểm x0 y x0    m  Khi hàm số có cực tiểu phương trình y 0 có nghiệm Ta có: y 0  x  x  m  x     x  2 1 m  x    * trở thành: Vì m   x  0 Đặt t  x  phương trình t 0  t 0   2  m2    mt 2 t    2 t   m  t    m 4  Kết hợp với điều kiện m  ta m   y 0  m Cách 2: Ta có  * m  m    x x  x   1 x 2 khơng nghiệm phương trình  1 Do g  x   1  m  x2  x  x với x  x2  x   2 x Vì m   x  Xét hàm 2x   x  2  x2  x  2 x  x   x  x  10 x  x    g  x  2  x  2  x  2 x2  x   2  x  2 x2  x  0 với x  Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta có m   Câu [DS12.C1.2.E03.c] (HSG LỚP 12 - SỞ BẮC GIANG- 2016-2017)Tìm giá trị tham số m 2 để đồ thị hàm số f ( x)  x  (m  3) x  m  m  có hai điểm cực trị đối xứng qua đường y  x 2 thẳng Lời giải m2    m  Ta có y 3 x  m  Để hàm số có cực đại cực tiểu Giả sử A( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) hai điểm cực trị 2 f ( x1 )  f ( x2 ) 2  (m  3) x1  x2 Tính hệ số góc đường thẳng AB y  x 2 Hai điểm cực trị đối xứng qua đường thẳng suy 1 k   (m  3)   m 0 m  Thử lại thấy thỏa mãn Câu [DS12.C1.2.E03.c] (HSG Tốn 12 – Bình Phước năm 1819) Cho hàm số y  x  2(1  m ) x  m  (Cm ) Tìm tất giá trị m để đồ thị  Cm  có ba điểm cực trị tạo thành tam giác k có diện tích lớn Lời giải 2 Ta có y ' 4 x  4(1  m ) x 4 x ( x   m ) Để hàm số có ba cực trị  m   m  (  1;1) (1) y ' 0  x 0; x   m 2 Ba điểm cực trị là: A(0; m 1), B(  m ;  m  2m  m), C (   m ;  m  2m  m) Tam giác ABC cân A Gọi I trung điểm BC Khi I (0;  m  2m  m) , AI   m  2m2  m  2m2  1, BC 2  m Câu 2 Diện tích tam giác ABC là: S ABC (1  m )  m 1, m  ( 1;1) MaxS ABC 1 Do đó: m 0 (2) Từ (1) (2) ta có m 0 thỏa tốn [DS12.C1.2.E03.c] (HSG 12 Bình Thuận 18-19) Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  x  x  3mx  m có hai điểm cực trị nằm khác phía trục hồnh Lời giải D  Tập xác định Đạo hàm hàm số y ' 3x  x  3m y  x1  y  x2   u cầu tốn  Phương trình y ' 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn Phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt   m   m   (*) Khi đồ thị hàm số cho có hai điểm cực trị  x 1 y    y   m  1 x  3 Ta có A  x1 ; y1  B  x2 ; y2  , y  y  x1    m  1 x1 y2  y  x2    m  1 x2 Do , y  x1  y  x2     m  1 x1.x2   x1.x2    m   m  Kết hợp với điều kiện (*) ta có m  thỏa mãn toán Câu [DS11.C3.3.E02.c] (HSG 12 Bình Thuận 18-19) Tìm số hạng tổng quát dãy số u 2un  5, n  * n 1 * Lời giải un 1 2un   un 1  2  un   n   , ta có * Đặt wn un  5, n    un  biết u1 2 * Khi wn 1 2 wn , n   w  Do n cấp số nhân có w1 u1  7, công bội q 2 n n * Suy wn w1.q 7.2 , n   n * Vậy un 7.2  5, n   y  f  x Câu [DS12.C1.2.E03.c] Cho hàm số có đạo hàm 1 2018  f  x   x  3  e x  e x    x  x  f  x2  8x  m  3  m Tìm tất giá trị thực để hàm số có 2 điểm cực trị cho x1  x2  x3 50 ,trong x1 , x2 , x3 hồnh độ ba cực trị Lời giải Cách  x 3 f  x  0   x 0  x 2 Ta có Trong đó, x 3 nghiệm bội chẵn g  x   f  x2  8x  m  g  x   x   f  x  x  m  Xét hàm có Khi đó,  x 4  x 4   x  x  m 3  x  x 3  m  1  g  x  0    x  x  m 2 x  x 2  m      x  x  m  x  x  m 0  3  Ta xét hàm h  x  x  8x Hàm số có bảng biến thiên sau  1 ,   ,  3 vơ nghiệm.Do đó,hàm số g  x  có Nếu  m   16  m  19 phương trình cực trị  1 có nghiệm bội chẵn nghiệm Nếu  m  16 3  m  18 m 19 phương trình   vơ nghiệm có nghiệm kép,phương trình  3 vơ nghiệm.Do đó,hàm số g  x  kép,phương trình có cực trị  1 có nghiệm bội chẵn,phương trình   có Nếu  m  16   m  16 m  18 phương trình  3 vơ nghiệm có nghiệm kép.Do đó,hàm số g  x  có ba cực trị.Khi nghiệm bội lẻ,phương trình   thỏa mãn điều kiện đó,giả sử x1 4 x2 , x3 hai nghiệm phương trình x22  x32 34   x2  x3   x2 x3 34 Kết hợp với định lý Vi-et ta có 64   m   34  m 17 (thỏa điều kiện 16 m  18 )  1 có nghiệm bội chẵn,phương trình   có nghiệm Nếu  m   16  m  16 phương trình  3 có nghiệm đơn.Do đó,hàm số g  x  khơng thỏa mãn có ba cực trị đơn,phương trình Vậy m 17 giá trị cần tìm Cách g  x   f  x2  8x  m  Xét hàm có g  x   x   f  x  x  m   x2  16 x 2 m x  x m   e     x  x  m    x  x  m   e  3     x2  8x  m    x2  8x  m   x     g  x   Dấu dấu với  x 4  x 4    x  8   x  x  m    x  x  m   0   x  x  m 0   x  x  m  x  x  m 2  x  x 2  m   Ta có  x    x  x  m  3 Ta xét hàm h  x  x  8x 2018 Hàm số có bảng biến thiên sau Hàm số có ba cực trị  m  16   m  16 m  18 Khi đó,giả sử x1 4 x2 , x3 hai nghiệm phương trình x  x 2  m thỏa mãn điều kiện x22  x32 34   x2  x3   x2 x3 34 Kết hợp với định lý Vi-et ta có Vậy m 17 giá trị cần tìm 64   m   34  m 17 (thỏa điều kiện 16 m  18 ) Câu [DS12.C1.2.E03.c] (HSG 12 Cần Thơ 2017 - 2018) 1 y = x - ( m + 4) x2 - ( 2m2 - 5m - 3) x + 2m - Cho hàm số ( m tham số thực) Tìm tất giá trị m để hàm số cho có hai điểm cực trị x1 , x2 cho x1 , x2 độ dài hai cạnh liên tiếp hình chữ nhật có đường chéo nhỏ Lời giải TXĐ D = ¡ y ¢= x2 - ( m + 4) x - 2m2 + 5m + ¢ Hàm số có hai điểm cực trị phương trình y = có hai nghiệm phân biệt  D ³  ( m + 4) - 4( - 2m2 + 5m + 3) > 2 ¢ Khi nghiệm y = x = 2m +1; x =- m + Theo giả thiết x1 , x2 độ dài hai cạnh liên tiếp hình chữ nhật nên  9m2 - 12m + 4>  ( 3m - 2) >  m ¹ ïìï 2m +1>  -