SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2018 - 2019 Mơn thi: TỐN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi có 05 trang) I PHẦN TỰ LUẬN (8,0 điểm) Bài (2,0 điểm) u x a) Cho hàm số y với u x , v x hàm số có đạo hàm Giả sử hàm số cho đạt cực v x trị x0 v x0 0 Chứng minh u x0 u x0 v x0 v x0 b) Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y x 2mx C có cực đại cực tiểu đồng x2 thời điểm cực đại, cực tiểu C với điểm A 2; thẳng hàng Bài (2,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA 3a; SA vng góc với đáy Gọi E , F trọng tâm tam giác SAB, SAD Mặt phẳng CEF cắt SA, SB, SD M , N , P SM SA b) Tính thể tích khối chóp S MNCP a) Tính tỉ lệ Bài (2,0 điểm) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1; 2;1 , B 1;3;5 đường thẳng x y z 2 a) Tìm tọa độ hình chiếu vng góc H A d b) Viết phương trình đường thẳng qua B, cắt d cho khoảng cách từ A đến lớn Bài (2,0 điểm) d: a) Giả sử x 3 30 a0 a1 x a2 x a30 x 30 Tìm k 0;1; ;30 cho ak lớn b) Bạn Minh tung đồng xu cân đối đồng chất liên tiếp 50 lần, chứng minh xác suất xuất mặt giống liên tiếp lớn II PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (12,0 điểm) Câu Nguyên hàm hàm số f x 3cos 3x A sin x C B sin x C C 9sin x C D 9sin x C Câu Giải bóng đá Ngoại hạng Anh mùa giải 2019 có tất 20 đội bóng tham gia, đội bóng thi đấu vịng trịn hai lượt (tức hai đội A B thi đấu với hai trận, trận sân đội A trận lại sân đội B ) Số trận đấu giải đấu 2 A C20 B 202 C A20 D 220 Câu Cho hình bát diện ABCDEF có AB a Khoảng cách hai đường thẳng AB CD a a A a B C a D 2 Câu Cho hàm số y x Mệnh đề ? A Hàm số đạt cực đại x 0 B Hàm số có đạo hàm x 0 C Hàm số đạt cực tiểu x 0 D Hàm số không đạt cực trị x 0 Trang 1/9 Câu Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A 1;3;4 B 3;5;0 Phương trình mặt cầu đường kính AB A ( x 1) ( y 3) ( z 4) 6 B ( x 2) ( y 4) ( z 2) 24 D ( x 2) ( y 4) ( z 2) 6 C ( x 2) ( y 4) ( z 2) Câu Cho cấp số cộng un thỏa mãn u2 u23 60 Tổng u1 u2 u24 A 1440 B 120 C 720 D 60 x y z 1 Câu Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : mặt phẳng P : x y z 0 Mặt phẳng chứa d vng góc với P có vectơ pháp tuyến n 1; b; c Giá trị c 2b A B C D 16 u1 u2 u3 13 Câu Cho cấp số nhân un thỏa mãn Công bội cấp số nhân cho u4 u1 26 A B C D 3x y max y Câu Cho hàm số y Tổng min 2; 1 2; 1 x 1 23 23 A B C D 3 3 Câu 10 Số giá trị nguyên tham số m để hàm số y x mx 2mx đồng biến A B C D Vô số Câu 11 Số tiệm cận đồ thị hàm số y A B Câu 12 Cho x1 2x C D x f x dx 4 f dx 10, f x dx 0 A B 16 Câu 13 Hàm số y x 3x C D 18 có tập xác định A D ;1 2; B D ;1 2; C D 1;2 D D 1;2 Câu 14 Cho hình trụ T Mặt phẳng qua trục T , cắt T theo thiết diện hình vng có cạnh R, diện tích tồn phần T A 4 R B 6 R C 8 R Câu 15 Cho hình phẳng H giới hạn trục hoành, Parabol P tiếp tuyến P điểm A 4;8 hình vẽ bên Diện tích H 40 104 A B 3 32 C D 3 D 16 R y O x Câu 16 Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC có đáy ABC tam giác vng cân, AB AC a; AB tạo với đáy ABC góc 60 Thể tích khối lăng trụ cho A a3 B a3 C a3 D a Trang 2/9 Câu 17 Với a, b hai số thực dương thỏa mãn a b 7 ab, ta có log a b A log a 2log b C B log3 a log b 1 log a log b 2 1 D log a log b 2 Câu 18 Cho hình lập phương ABCD ABC D cạnh a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng BDA A a B a C a D a 2019 Câu 19 Tổng C2019 C2019 C2019 C2019 A 2018! B 2018 C 2019! D 2019 Câu 20 Xếp ngẫu nhiên 12 học sinh, gồm học sinh lớp 12A, học sinh lớp 12B học sinh lớp 12C, vào bàn tròn, bàn học sinh Xác suất để học sinh lớp 12A ngồi hai học sinh lớp 12B A B C D 11 11 11 11 Câu 21 Cho hình lăng trụ ABC ABC có mặt bên hình vng cạnh a Gọi D, E trung điểm BC , AC Khoảng cách hai đường thẳng DE AB A a B a C a D a Câu 22 Sinh viên A muốn gửi tiền tiết kiệm để mua máy tính Sinh viên muốn gửi vào ngân hàng tháng số tiền 12 tháng liên thể thức lãi kép (tức đến kì hạn người gửi khơng rút lãi tiền lãi nhập vào vốn kì kế tiếp) để số tiền vừa đủ mua máy tính trị giá triệu trăm nghìn đồng Giả sử lãi suất gửi vào ngân hàng 0,6 % / tháng, hỏi tháng sinh viên A cần gửi vào ngân hàng số tiền gần với số tiền ? A 634249 (đồng) B 634250 (đồng) C 689190 (đồng) D 689189 (đồng) Câu 23 Số số tự nhiên abcd thỏa mãn a b c d 4 4 A A9 B A8 C C9 D C8 Câu 24 Giả sử a số thực cho phương trình 2 x 3a 1 2 x 4 có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 log 2 3 Mệnh đề ? 7 A a B a C a D a 5 x y z Mặt phẳng chứa d cắt Câu 25 Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng d : 1 A , B Ox , Oy trục cho đường thẳng AB vng góc với d có phương trình x y A B x y z 0 C x y z 0 D x y z 0 Câu 26 Một sở muốn sản xuất loạt sản phẩm hộp hình lăng trụ tứ giác với thể tích V (m3 ) cho trước Chi phí để hồn thiện sản tính theo cơng thức tM với M (m ) diện tích tồn phần sản phẩm, t số Hỏi chi phí tối thiểu để làm sản phẩm tính theo cơng thức ? A 6t V B 3t V C 3t V D 6t V Câu 27 Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác cạnh a, SA a 3; SA vng góc với mặt đáy Gọi M trung điểm AB, sin góc CM mặt phẳng SBC A B 10 C 15 10 D 15 Trang 3/9 cot x đồng biến khoảng ; cot x m 2 A m 0 m 1 B m 1 C m 0 m 1 D m 2 Câu 29 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, ABC 60 Tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng ABCD , góc SC mặt đáy 60 Câu 28 Tất giá trị tham số m để hàm số y Khoảng cách từ trọng tâm tam giác SDC đến mặt phẳng SAC A a 13 26 B a 13 13 C 3a 13 26 a 55 33 D Câu 30 Cho hình phẳng ( D ) giới hạn đường cong y = - x trục hồnh Khối trịn xoay tạo thành quay ( D ) quanh trục hồnh tích B 36 C 3 D 4 Câu 31 Số mặt phẳng cách tất đỉnh hình lăng trụ tam giác A B C D Câu 32 Có mặt cầu tiếp xúc với hai đường thẳng chéo cho trước ? A B C D Vô số A y Câu 33 Cho hàm số y f x có đồ thị hình vẽ bên Số nghiệm thực phương trình f A C x 0 B D O x 2 Câu 34 Cho cấp số cộng un có u1 1 u20 153 Tổng A 16144 16145 B 16145 C 1 u1u2 u2u3 u2018u2019 2018 16145 D 16146 16145 Câu 35 Tìm tập hợp S tất số thực m để tồn x 0, y thỏa mãn log3 x 6 y log x y 1 x 4y y x m 2x y 3 3 A S ; B S ; C S ;0 Câu 36 Cho hàm số f x có bảng biến thiên sau Hàm số g x f f x có điểm cực đại ? A 11 B C 4 D S ; 27 D Trang 4/9 Câu 37 Cho hàm số f x thỏa mãn f 4 f x f x x , x Giá trị f 1 10 A 10e B 10 C D e Câu 38 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh a Gọi O giao điểm AC BD; G1 , G2 , G3 , G4 trọng tâm tam giác SAB, SBC , SCD, SDA Thể tích khối chóp O.G1G2G3G4 2a A 27 a3 B 27 Câu 39 Trong không gian a3 C Oxyz , cho mặt phẳng a3 D 81 P : x y z 0 hai điểm A 1; 0; , B 2;5;3 Gọi d đường thẳng qua A song song với P cho khoảng cách từ B đến d nhỏ Phương trình d x y z x y z B 1 3 1 x y z x y z C D 1 2 Câu 40 Cho hàm số y f x Hàm số y f x ax bx cx dx có đồ thị hình vẽ A Gọi S tập tất giá trị x cho hàm số g x phần tử S A B f x 2f C 2 x f x 1 đạt giá trị lớn Số D - HẾT -Họ tên thí sinh:……………………………………………………… Số báo danh:……………… Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Trang 5/9 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ *** KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2018 – 2019 ĐÁP ÁN, HƯỚNG DẪN CHẤM CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC Mơn thi: TỐN (ĐA, HDC có 04 trang) PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu 10 Đáp án A C A C D C B A A B Câu 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Đáp án C A A B C A D A B A Câu 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Đáp án B D D B D D A C B C Câu 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 Đáp án C D B C C B D D D B PHẦN TỰ LUẬN Lưu ý chấm - Hướng dẫn chấm (HDC) dựa vào lời giải sơ lược cách Khi chấm thi, giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic; - Thí sinh làm theo cách khác với HDC mà tổ chấm cần thống cho điểm tương ứng với thang điểm HDC; - Điểm thi tổng điểm khơng làm trịn số Hướng dẫn chấm Bài (2,0 điểm) a) Cho hàm số y u x với u x , v x hàm số có đạo hàm Giả sử hàm số cho đạt cực v x trị x0 v x0 0 Chứng minh u x0 u x0 v x0 v x0 b) Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y x 2mx C có cực đại cực tiểu đồng x2 thời điểm cực đại, cực tiểu C với điểm A 2; thẳng hàng Ý Đáp án Điểm a) Hàm số cho đạt cực trị x0 v x0 0 nên ta có 0,25 điểm y x0 0 1a ( 1,0 điểm) u x0 v x0 u x0 v x0 v x0 0 0,25 điểm u x0 v x0 u x0 v x0 0 0,25 điểm u x0 u x0 v x0 v x0 0,25 điểm b) Tập xác định D \ 1;1 Đạo hàm y x 1b 2x 2m x 1 x x 2mx 1 x 1 , 0,25 điểm Trang 6/9 ( 1,0 điểm) mx x m 0 y x 0 x 1 m 0 Hàm số có cực đại cực tiểu m Tọa độ điểm cực đại cực tiểu C thỏa mãn hệ 0,25 điểm x 2mx x 2m y 0 x 2x y f x x 2mx y x2 x m y x 0,25 điểm xy x m 2 y x 2mx x 1 y x 2mx x2 x y x mx 2 x 1 y x 2mx y mx Do ta có phương trình qua điểm cực đại cực tiểu C : y mx qua A 2;0 m Thử lại ta thấy m thỏa mãn yêu cầu toán 0,25 điểm Vậy m Bài (2,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA 3a; SA vng góc với đáy Gọi E , F trọng tâm tam giác SAB, SAD Mặt phẳng CEF cắt SA, SB, SD M , N , P SM a) Tính tỉ lệ SA b) Tính thể tích khối chóp S MNCP Ý Đáp án Điểm 2a ( 1,0 điểm) 0,25 điểm Lập hệ trục tọa độ Oxyz với O A; Ox AD; Oy AB; Oz AS Khi đó, A 0;0;0 ; B 0; a; ; C a; a;0 ; D a;0;0 S 0; 0;3a a a Từ đó, tính E 0; ; a ; F ; 0; a phương trình mặt phẳng 3 CEF : 3x y z 6a 0,25 điểm Trang 7/9 2b ( 1,0 điểm) 6a Tọa độ giao điểm M mặt phẳng CEF AS 0;0; Từ suy SM a SM Vậy SA 3a 3a 3a 3a b Dễ dàng tính N 0; ; ; P ;0; 4 SN SP SB SD VS MNC SM SN SC 3 Khi đó, VS ABC SA SB SC 20 a3 nên VS MNC a 40 Tương tự, ta có VS MPC a 40 Vậy VS MNCP a 20 Mặt khác VS ABC 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm Bài (2,0 điểm) Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A( 1; 2;1), B(1;3;5) đường thẳng x y z d: 2 a) Tìm tọa độ hình chiếu vng góc H A d b) Viết phương trình đường thẳng qua B, cắt d cho khoảng cách từ A đến lớn Ý Đáp án Điểm Đường thẳng d có vectơ phương u (2; 2;1) 0,25 điểm Gọi tọa độ điểm H (1 2t;3 2t;1 t ) t Ta có AH (2 2t ;1 2t ; t ) AH u 0 0,25 điểm 3a 2 ( 1,0 điểm) 2(2 2t ) 2(1 2t ) t 0 t 0,25 điểm 31 Vậy tọa độ điểm H ; ; 0,25 điểm 9 9 3b ( 1,0 điểm) Đường thẳng d qua điểm M (1;3;1) có vectơ u (2; 2;1) Vì qua điểm B, cắt d nằm mặt phẳng ( P) điểm B chứa d Ta có n p u, BM (8;8;0) chọn n p (1;1;0) Gọi K hình chiếu vng góc điểm A Ta có d ( A, ) AK AB dấu '' '' xảy AB Khi vectơ phương u AB, n p 4; 4;1 0,25 điểm 0,25 điểm 0,25 điểm Trang 8/9 x 1 4t y 3 4t z 5 t Vậy phương trình đường thẳng t 0,25 điểm Bài (2,0 điểm) 30 a) Giả sử x 3 a0 a1 x a2 x a30 x 30 Tìm k 0;1; ;30 cho ak lớn b) Bạn Minh tung đồng xu cân đối đồng chất liên tiếp 50 lần, chứng minh xác suất xuất mặt giống liên tiếp lớn Ý Đáp án Điểm Ta có x 3 30 30 i C30i x 3 30 i Do 0,25 điểm i 0 k k 30 k 30 k ak 1 C Khi ak ak 1 C30k 4k 330 k C30k 1.4k 1.330 k 4a ( 1,0 điểm) 30 k k 0,25 điểm k 1 30 k k 117 k 16 Từ đây, ta thu a0 a1 a2 a16 a17 a18 a19 a30 Mặt khác ak với k chẵn ak với k lẻ Hơn nữa, ta dễ dàng kiểm tra a18 a16 a20 nên ta có a18 ak với k 0;1; 2; ;30 \ 18 0,25 điểm 0,25 điểm Vậy k 18 Gọi A biến cố xuất mặt giống liên tiếp tung đồng xu 50 lần Gọi Ai biến cố xuất mặt giống liên tiếp lần tung thứ 46 i, i 1, i 2, i 3, i với i 1; 2; ; 46 Khi đó, A Ai ta 0,25 điểm i 1 4b ( 1,0 điểm) phải chứng minh P A Ta có A A1 A5 A9 A45 nên A A1 A5 A9 A45 A1 A5 A45 0,25 điểm Do P A P A1 A5 A45 2 1 12 248 12 0,25 điểm Từ đó, ta thu P A 1 P A Vậy ta có điều phải chứng minh 0,25 điểm - HẾT - Trang 9/9