KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT NĂM HỌC 2017 – 2018 UBND TỈNH HỊA BÌNH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Mơn thi: TỐN Ngày thi: 15/12/2017 Thời gian làm 180 phút ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi gồm có 01trang) Họ tên thí sinh:… ……………………………………………… Số báo danh:………… Phòng thi:……………………… Câu 1: (3,0 điểm): a) Tìm điểm cực trị đồ thị hàm số f ( x) = + 3x - x b) Tìm điều kiện tham số m để đồ thị hàm số y = mx + 2x - ( x - 1) có đường tiệm cận đứng Câu (5,0 điểm): a) Tính tổng nghiệm x ; phương trình: 2(cosx sin x) cos x cos x ( b) Giải phương trình + x ) +( - 3sinx 1 ) x - 7.2 x = 3 x y x x y 0 ( x, y ) c) Giải hệ phương trình ( x 1) y ( x 6) y x x 12 y Câu (4,0 điểm): Cho hình chóp S ABCD , có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a , BC a SA = SB = SC = SD = 2a Gọi K hình chiếu vng góc điểm B AC H hình chiếu vng góc K SA a) Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a b) Tính diện tích xung quanh hình nón tạo thành quay tam giác ADC quanh AD theo a c) Tính cosin góc đường thẳng SB mặt phẳng ( BKH ) Câu (4,0 im): n ổ2 ữ ỗ x ữ ỗ ữ ,x ỗ x ố ứ x a) Tìm hệ số khai triển nhị thức Newton , biết n số nguyên dương thỏa mãn 4Cn3+1 + 2Cn2 = An3 b) Cho đa giác lồi có 14 đỉnh Gọi X tập hợp tam giác có ba đỉnh ba đỉnh đa giác cho Chọn ngẫu nhiên X tam giác Tính xác suất để tam giác chọn khơng có cạnh cạnh đa giác cho Câu (2,0 điểm): Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho điểm K ( - 2; - 5) đường tròn ( C ) có phương 2 trình ( x - 1) +( y - 1) = 10 Đường tròn ( C2 ) tâm K cắt đường tròn ( C ) hai điểm A , B cho dây cung AB = Viết phương trình đường thẳng AB Câu (2,0 điểm): ( ) a) Cho a b hai số thực dương Chứng minh ( a + b) a2 + b2 ³ 8a2 b2 b) Cho x , y , z số thực thỏa mãn x > y > z > x + y + z = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = ( x - y) + ( y - z) + ……………… Hết ………… + xz y UBND TỈNH HỊA BÌNH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM (Đáp án gồm có 03trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT NĂM HỌC 2017 – 2018 Mơn thi: TỐN Ngày thi: 15/12/2017 Câu Nội dung Điểm Tập xác định hàm số D = ¡ f ' ( x) = x(1 - x) 1a (2đ) 0,5 f ' ( x) = x = 0, x = 1,0 Xét dấu f ' ( x) Kết luận đồ thị hàm số có điểm cực đại có tọa độ ( 1; 2) cực tiểu (0;1) 0,5 Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng có giới hạn: lim+ y = ±¥ lim- y = Ơ xđ1 1b (1) xđ1 ổ x - mx + 1÷ = - m + với m ³ - Ta có: lim ỗ ữ ỗ ố ứ xđ1 Do ú vi m ÷ ç ữ ỗ ữ ố ứ ử2 ổ 5ữ ỗ ữ = =ỗ ữ ỗ ỗ ÷ è ÷ ø Từ suy PT có nghiệm x = ±2 2c (2đ) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 ĐK: y Phương trình (1) tương đương : x 1 x 1 y y y x 0,5 1,0 ( x +1) x 1 x + +( x + 6) x + = x + x + 12 x x 6 x x x x 6 x 1 x 2 x 0 x 7 3 x2 2 x 2 x 1 x 6 x 0 * x x 7 3 Chứng minh phương trình (*) vô nghiệm x2 x6 x6 x2 x x 7 3 x2 2 x2 2 Kết luận hệ phương trình có nghiệm 0,5 x; y 2;3 S H A 3a (2đ) 0,5 O D B K C Gọi O = AC Ç BD Ta có SO ^ ( ABCD) OA = 3b (1đ) AC a 3a2 13a2 a 13 SO = SA2 - OA2 = 4a2 = = Þ SO = 2 4 a 13 a3 26 VS ABCD = a 2.a = S xq DC AC a Chỉ K trọng tâm tam giác BCD , KA = KC Chứng minh SA ^ ( BKH ) 0,5 1,0 1,0 0,5 · Do góc SB ( BKH ) góc SBH 3c (1đ) a SO AC a 39 , KH = = 3 SA Tam giác BKH vuông K 2a 39 a2 a a Từ suy BH = + = Þ BH = 36 Tính BK = · cos SBH = 4a 0,5 BH = SB Từ 4Cn3+1 + 2Cn2 = An3 iu kin n ẻ Ơ * , n ³ Tìm n = 11 1,0 11 ổ2 ữ ử11 k ỗ x = C11 x2 ữ ỗ ữ ỗ xứ è k=0 ( ) (2đ) 11- k ( - 2) k x Khai triển Hệ số x7 tương ứng với 22 - 3k = Þ k = k 11 k k = å C11 ( - 2) x22- k 0,5 5 Vậy hệ số x7 C11 ( - 2) =- 14784 Tính số phần tử không gian mẫu: n() C14 364 Gọi A biến cố : “ Tam giác chọn X khơng có cạnh cạnh đa giác ” Suy A biến cố : “ Tam giác chọn X có cạnh cạnh đa giác ” 4b (2đ) (2đ) 6a (0,5đ) TH 1: Nếu tam giác chọn có cạnh cạnh đa giác có 14 tam giác thỏa mãn TH 2: Nếu tam giác chọn có cạnh cạnh đa giác có 14.10=140 tam giác thỏa mãn Suy n( A) 14 140 154 Vậy số phần tử biến cố A là: n( A) n() n( A) 210 n( A) 15 Suy P( A) n() 26 Gọi H giao điểm IK AB Tính IH = 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 IH = Þ H ( 0; - 1) H ( 2; 3) 0,5 Đường thẳng AB qua H vng góc với IK nên có phương trình: x + y + = x + y - = 0,5 ( a + b) ( ) ³ 4ab > 0; a + b ³ 2ab > 0,5 Nhân vế tương ứng hai bđt trên, suy điều phải chứng minh 1 1 + ³ Theo phần a) ta có + ³ với a , b > nên 2 a b ( a + b) ( x - y ) ( y - z) ( x - z) ( x - y) + ( y - z) + 8 + ³ + + 3 xz y ( x - z) xz y 2 m + n) Ta chứng minh bất đẳng thức : m + n ³ ( a b a +b (1,5đ) 0,5 Viết PT đường thẳng IK : - x + y + = H ẻ IK ị H ( tt; - 1) Suy P = 6b 0,5 k=0 a b đẳng thức xảy = Ta có: m n với a , b , m , n > 0,5 ( x - z) 2 ( + 2) + ³ = xz ( x - z) + xz ( x + z) ổ ỗ ữ 72 72 ữ ỗ ữ + + ³ + = + Vì P ³ ç ÷ ç 3 ữ ỗ y y y x + z y ữ ỗ (ố x - z) xz ữ ( ) ( ) ø 36 1÷ + với < t < Ta f ( t) = f ổử ỗ ữ Xột hm s f ( t ) = ỗ ữ= 216 ỗ3 ø è ( 0;1) ( 1- t) t 2 Vậy P nhỏ 216 y = , x + z = , ( x - z) = xz 3 1 1 2 ;y= ;z= Hay x + z = , xz = Tức x = + 3 3 3 3 27 - Hết - 0,5 0,5