SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH THUẬN ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề có 01 trang) KÌ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2018 – 2019 Ngày thi: 18/10/2018 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Bài (6,0 điểm) a) Cho x y số thực thỏa mãn x y Tìm giá trị lớn giá trị x xy y P x xy y nhỏ biểu thức b) Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y x3 3x 3mx m có hai điểm cực trị nằm khác phía trục hồnh Bài (5,0 điểm) a) Tìm số hạng tổng quát dãy số v b) Cho dãy số n thỏa mãn * vn1 vn , n v1 un * biết u1 2 un1 2un 5, n 2vn , 1 1 2018v , * n n Chứng minh 2018 Bài (4,0 điểm) Giải hệ phương trình 2 xy x y 1 x y x y y 1 x 1 x y x Bài (5,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có AB AC hai đường cao BE , CF cắt O , O H Các đường tròn qua A theo thứ tự tiếp xúc với BC B, C Gọi D giao điểm thứ hai O1 O2 a) Chứng minh đường thẳng AD qua trung điểm cạnh BC; b) Chứng minh ba đường thẳng EF , BC , HD đồng quy HẾT Học sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: Số báo danh: HƯỚNG DẪN CHẤM Bài a Nội dung x t t 1 t , y t t Ta có với t t 1 t f (t ) 2 t t với Xét hàm số f (t ) 0 t 1 2t f (t) , t (t t 1) Tính P Bảng biến thiên Suy giá trị nhỏ P , giá trị lớn Điểm 6,0 0,5 0,5 1,0 0,5 0,5 b Tập xác định D y ' 3 x x 3m 0,25 Yêu cầu tốn Phương trình y ' 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn y x1 y x2 0,5 Phương trình y 0 có hai nghiệm phân biệt m (*) Khi đồ thị hàm số cho có hai điểm cực trị A x1 ; y1 , B x2 ; y2 x 1 y y m 1 x 3 Ta có y y x1 m 1 x1 Do y2 y x2 m 1 x2 0,25 0,25 0,25 0,5 y x1 y x2 m 1 x1.x2 x1.x2 m m Kết hợp với điều kiện (*) ta có m thỏa mãn tốn a 0,25 n , ta có un 1 2un un 1 2 un * Đặt wn un 5, n * * Khi wn 1 2 wn , n w Do n cấp số nhân có w1 u1 7, công bội q 2 n n * Suy wn w1.q 7.2 , n n * Vậy un 7.2 5, n 0,5 0,25 5,0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 b * Chứng minh 0, n 2vn 2vn 1 , n * 2108vn 2018.vn 2018 Khi (1) 0,5 1,0 * Mặt khác, n , ta có 2vn 2018vn3 2018vn 1 0 2018vn2 2018vn2 2018vn2 2 xy x y 1 x y 2 2 x y y x x y x Điều kiện xy 0 (1) (2) 4,0 0,25 Ta có x x 0, x nên y 0 khơng thỏa mãn (2) Do y 0 Suy x 0 không thỏa mãn (1) Nếu x, y âm (1) vơ lí Do x, y dương (2) x x y y x Suy 1 1 y y2 1 y x x x (3) 1,0 0,5 0,25 0; Xét hàm số f (t ) t t t khoảng t2 f (t ) t 1 0, t t 1 Ta có 0; Suy f (t ) đồng biến 1 (3) f f y y xy 1 x x Do Thay xy 1 vào phương trình (1) ta 2 x y 1 x y x 1 y 1 0 x y 1 0,5 0,25 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 x; y 1;1 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm a Gọi I giao điểm AD BC 2 Ta có IB IA.ID IC Suy IB IC Do I trung điểm BC Hay đường thẳng AD qua trung điểm I BC 5,0 0,25 0,75 0,25 0,25 b A E F H D I B C K BHC BDC Chứng minh Suy tứ giác BHDC nội tiếp 1,0 1,0 Chứng minh AFHD nội tiếp Chứng minh EF , BC , HD đồng qui 1,5 Hướng dẫn tìm tải tài liệu https://forms.gle/LzVNwfMpYB9qH4JU6