SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐỒNG NAI THI CHỌN HỌC SINH VÀ HỌC VIÊN GIỎI LỚP 12 THPT&GDTX NĂM HỌC 2018-2019 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 180 phút (Đề thi gồm trang, có câu) Câu (5 điểm) Cho hàm số y = 2x – 3(m + 3)x + 18mx + 8, với m tham số thực 1) Tìm giá trị m để hàm số cho đồng biến ℝ 2) Tìm giá trị m để đồ thị hàm số cho có hai điểm cực trị nằm hai phía trục tung 3) Tìm giá trị m cho giá trị nhỏ hàm số cho đoạn [–1 ; 0] –24 Câu (3,5 điểm) 1) Giải phương trình 8.25 – 8.10 – 15.2 = 2) Giải phương trình (1 + 2sin4x)tan2x = Câu (3,5 điểm) Cho tứ diện ABCD có AB vng góc với mặt phẳng (BCD), tam giác BCD tam giác đều, AB = a, BC = 2a, với < a ℝ 1) Tính góc hai mặt phẳng (ABC) (BCD) 2) Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng AC BD Câu (3 điểm) Trong tiết học mơn Tốn, giáo viên mời ba học sinh A, B, C thực trò chơi sau: “Mỗi học sinh A, B, C chọn ngẫu nhiên số nguyên khác thuộc khoảng (–6 ; 6) vào ba tham số a, b, c hàm số y = ax + bx + c; đồ thị hàm số thu có ba điểm cực trị nằm phía trục hồnh nhận thưởng” Tính xác suất để ba học sinh A, B, C nhận thưởng Câu (2,5 điểm) Giải hệ phương trình (với x, y ℝ) Câu (2,5 điểm) 1) Cho ba số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= + +ˑ 2) Chứng minh C chia hết cho 3, với số nguyên dương n HẾT SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ĐỒNG NAI THI CHỌN HỌC SINH VÀ HỌC VIÊN GIỎI LỚP 12 THPT&GDTX NĂM HỌC 2018-2019 HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM Đề thức mơn Tốn Câu Nội dung 1) Tìm m để hàm số đồng biến ℝ: y = 2x – 3(m + 3)x + 18mx + (C) Tập xác định ℝ y = 6x – 6(m + 3)x + 18m Hàm số cho đồng biến ℝ y 0, x ℝ x – (m + 3)x + 3m 0, x ℝ = (m + 3) – 12m m – 6m + m = Vậy hàm số cho đồng biến ℝ m = Tìm m để đồ thị có hai điểm cực trị nằm hai phía Oy: Đồ thị (C) có hai điểm cực trị nằm hai phía Oy y = 6x – 6(m + 3)x + 18m = có hai nghiệm trái dấu 6.18m < m < Vậy (C) có hai điểm cực trị nằm hai phía Oy m < Tìm m cho miny = –24: y = 2x – 3(m + 3)x + 18mx + Hàm số liên tục [–1 ; 0] y = 6x – 6(m + 3)x + 18m = ˑ y(–1) = –21m – 3, y(0) = 8, y(m) = –m + 9m + - Nếu m [–1 ; 0] miny = min{y(–1) ; y(0)} - Nếu m [–1 ; 0] miny = min{y(–1) ; y(0) ; y(m)} = = min{y(–1) ; y(0)} (vì y(m) m [–1 ; 0]) Vậy miny = min{–21m – ; 8} Từ miny = –24 –21m – = –24 m = Kiểm tra thỏa mãn Do có m = thỏa tốn Giải phương trình: 8.25 – 8.10 – 15.2 = (1) 8.25 – 8.10 – 30.4 = 4ˑ ⎻ 4ˑ ⎻ 15 = 4ˑ ⎻ 4ˑ ⎻ 15 = = = x = Vậy (1) có tập nghiệm {1} Giải phương trình: (1 + 2sin4x)tan2x = (1) Điều kiện cos2x (1) (1 + 2sin4x)sin2x = cos2x sin2x + 2sin4x.sin2x = cos2x sin2x + cos2x – cos6x = cos2x cos6x = cos (k ℤ) (k ℤ) Phương trình (1) có tập nghiệm ˑ Tính góc hai mặt phẳng (ABC) (BCD): 2) 3) 1) 2) 1) Biểu điểm (đ) = 1,75 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,75 đ 0,25 đ = 1,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ =2đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ = 1,5 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,75 đ =2đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ = 1,5 đ 0,5 đ 2) AB (BCD) (giả thiết) AB (ABC) Vậy (ABC) (BCD ) Do góc hai mặt phẳng (ABC) (BCD) 90 Tính d(AC ; BD): 0,5 đ 0,5 đ =2đ 0,25 đ 4 (tiếp) Vẽ hình bình hành BDCE BD // CE BD // (ACE) d(AC ; BD) = d(BD ; (ACE)) = d(B ; (ACE)) Vì BCE tam giác đều, gọi N trung điểm CE Nên BN CE, BN = a, CE (ABN) Vẽ BH CE, H AN BH (ACE) d(B ; (ACE)) = BH BH đường cao ABN vuông B Nên BH = = ˑ Do d(AC ; BD) = ˑ Tính xác suất để ba học sinh nhận thưởng: y = ax + bx + c (F) Tập xác định ℝ y = 4ax+2bx = 2x(ax+b) Đồ thị (F) có ba điểm cực trị y = có nghiệm phân biệt y đổi dấu x qua nghiệm ab < Khi y = ˑ Mà y(0) = c, y = ˑ Vậy (F) có ba điểm cực trị nằm phía Ox (I) ) (I) I) ) Gọi M biến cố học sinh A, B, C chọn ngẫu nhiên số nguyên khác thuộc (–6 ; 6) thực trò chơi nhận thưởng Số phần tử không gian mẫu 10 = 1000 TH1: Trường hợp (I) ) (1) - Với b = –1 (1) a, c {1 ; ; ; ; 5} Vậy để xảy M có 25 cách - Với b = –2: Chọn a c thỏa ac = có cách Để xảy M có 25 – = 24 cách - Với b = –3, tương tự để xảy M có 25 – = 22 cách - Với b = –4, tương tự để xảy M có 25 – = 17 cách - Với b = –5, tương tự để xảy M có 25 – 12 = 13 cách TH2: Trường hợp (I) I) ), để xảy M có 5.5.5 = 125 cách Vậy |M| = 25 + 24 + 22 + 17 + 13 + 125 = 226 Do P(M) = = = 0,226 0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ =3đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 5 (tiếp) 1) 2) Xác suất để ba học sinh A, B, C nhận thưởng 0,226 Giải hệ phương trình: (I) ) Điều kiện x y ˑ (1) (x – y – 1)(x + x + y – 1) = ˑ - Với x – y – = x = y + (2) – + 2y – y – = ⎻ (3 – 2y)(y + 1) = (3–2y)=0 y= x = (nhận) (Vì y + > y + nên ⎻ (y + 1) ⎻ < 0, y )ˑ - Với x + x + y – = y = –x–x+1 1, x y Chứng tỏ – x – = – 2y (2) vô nghiệm: Thật vậy, – x – = ⎻ ⎻ ; x Xét hàm số f(t) = – 2t liên tục D = ˑ f (t) = ⎻ 4t = ˑ f (t) = 64t(3t – 2) = (4t – 3)(48t + 4t + 3) = t = ˑ f(1) = –1; f = f =ˑ Vậy f(t) = –1f(t)–1, tD Từ (2) vơ nghiệm Vậy hệ (I) ) có nghiệm (x ; y) = ˑ Tìm giá trị nhỏ nhất: Chứng minh + (1), u, v, s, t ℝ thỏa s, t > Thật s, t > nên (1) (s + t)(ut + vs) st(u + v) (ut – vs) (đúng u, v, s, t ℝ) Vậy (1) chứng minh Vì a, b, c > nên áp dụng (1) có P = + + = + + + ˑ (a + b + c) – 3(ab + bc + ca) = ˑ[(a – b)+(b – c)+(c – a)] Hay (a + b + c) 3(ab + bc + ca) > 0, a, b, c > Vậy P = ; a, b, c > P = a = b = c = Do minP = ˑ Chứng minh C ⋮ 3: C = = = 3C, n ℕ Mà C, C ℕ, n ℕ Vậy C ⋮ 3; n ℕ = 2,5 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ = 1,75 đ 0,25 đ 0,75 đ 0,5 đ 0,25 đ = 0,75 đ 0,5 đ 0,25 đ Hướng dẫn chung: Nếu học sinh, học viên giải cách khác điểm tối đa theo quy định thống cách cho điểm thành phần sở Hướng dẫn chấm Biểu điểm