SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC: 2018 – 2019 Mơn: TỐN CHUN Thời gian làm bài: 180 phút (Đề thi gồm có trang, có năm bài) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Bài (5 điểm) 1) Chứng minh phương trình x x x có ba nghiệm thực phân biệt x1 , x2 , x3 Tính giá trị biểu thức T x13 x12 x23 x22 x33 x32 3 2) Cho hai hàm số y x x x 1, y 2 x x mx có đồ thị C1 , C2 với m tham số thực Tìm tất giá trị m để C1 C2 cắt ba điểm phân biệt có tung độ y1 , y2 , y3 thỏa mãn 1 y1 y2 y3 Bài (3 điểm) Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a b c abc Chứng minh a b c abc Bài x (4 điểm) Cho dãy số n xác định x1 x2 1 xn xn2 xn1 3. 1 1) Chứng minh số hạng dãy lim 2) Tính xn n số nguyên xn 1 x1 x2 xn Bài (4 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có trực tâm H, K trung điểm BC G hình chiếu vng góc H AK Lấy D đối xứng G qua BC I đối xứng C qua D Tia phân giác ACB cắt AB F tia phân giác BID cắt BD M, MF cắt AC E 1) Chứng minh D nằm đường tròn (O) 2) Tiếp tuyến A (O) cắt BC X, XE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác EBM điểm thứ hai Y Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác EYD tiếp xúc đường tròn (O) 3 Bài (4 điểm) Cho m, n số tự nhiên thỏa mãn 4m m 12n n Chứng minh m n lập phương số nguyên -HẾT - Họ & tên thí sinh:…………………………………… ; Số báo danh:…………… Chú ý Thí sinh khơng sử dụng tài liệu máy tính cầm tay! SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC: 2018 – 2019 ĐỀ THI CHÍNH THỨC BÀI Bài Mơn: Tốn - Bảng A ĐÁP ÁN Điểm 1) Chứng minh phương trình x x x có nghiệm thực phân biệt 3 x1 , x2 , x3 Tính giá trị biểu thức T x1 x1 x2 x2 x3 x3 3 2) Cho hai hàm số y x x 3x 1, y 2 x x mx có đồ thị C1 , C2 m tham số thực Tìm m để y , y độ , y3 thỏa 1 y1 y2 y3 C1 cắt C2 điểm phân biệt có tung Phương trình cho tương đương x x x 0 Xét hàm số f x x3 x x liên tục có f 3 f 0, f f 1 0, f 1 f x 3; nên phương trình có nghiệm x 0;1 , x3 1; , Mặt khác, phương trình bậc nên tất nghiệm phương trình cho f x x x1 x x2 x x3 Do phương trình có nghiệm x1 , x2 , x3 nên Ta có: T x1 x2 x3 63 x1 x2 x3 63 f 1 63.9 2) Giả sử A, B, C giao điểm hai đồ thị hàm số cho tọa độ A, B, C thỏa hệ y x x 3x y 2 x x mx y m x Nên thỏa phương trình hệ hệ là: y m x1 , y2 m x2 , y3 m x3 Khi đó, ta có: với x1 , x2 , x3 Bài x3 x m x 0 nghiệm phương trình hoành độ giao điểm x1 x2 x2 x3 x3 x1 3 m x x x Theo Viete ta có 1 1 x1 x2 x2 x3 x3 x1 m y1 y2 y3 m x1 x2 x3 m 6 Và từ giả thiết thì: m Từ giải Thử lại, m 9 phương trình x x x 0 có nghiệm phân biệt theo câu nên m 9 giá trị cần tìm Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a b c abc Chứng minh a b c abc Nếu tồn ba số a, b, c điều cần chứng minh Do =5,0 1 =3,0 1,0 cần chứng minh cho trường hợp a, b, c 2 2 Giả sử ngược lại a b c abc Khi abc a a bc Tương tự b ca, c ab Do abc a b c ab bc ca a b c (mâu thuẫn) Do ta có đpcm Bài x Cho dãy n xác định x1 x2 1, xn xn 2 xn21 1 1) Chứng minh số hạng dãy xn 1 lim x1 x2 xn 2) Tính xn xn 2 xn21 1 n xn n số nguyên , xn 1.xn1 xn2 1 =4,0 n Ta có từ giả thiết từ suy xn xn 2 xn21 xn2 xn 1.xn 1 , n 2,3, hay suy xn 2 xn xn 1 xn xn xn x x 3 xn 1 xn xn x2 Từ ta có: xn 2 3 xn 1 xn , n 1, 2,3, Mà x1 1, x2 1 nên ta có xn , n 1, 2,3, Dãy cho dãy sai phân cấp hai nên có phương trình đặc trưng x x 0 với hai nghiệm t1 t2 nên có cơng thức tổng quát xn At1n Bt2n Bài t1n1 t2n1 x1 x2 xn A B t1 t2 , từ ta có Khi đó, xn 1 At1n 1 Bt2n 1 13 lim lim t1 n 1 n 1 t 1 t 1 x1 x2 xn A B t1 t2 Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn (O) có trực tâm H, K trung điểm BC G hình chiếu vng góc H AK Lấy D đối xứng G qua BC I đối xứng C qua D Tia phân giác ACB cắt AB F tia phân giác BID cắt BD M, MF cắt AC E 1) Chứng minh D nằm đường tròn (O) 2) Tiếp tuyến A (O) cắt BC X, XE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác EBM điểm thứ hai Y Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác EYD tiếp xúc đường tròn (O) =4,0 E A H1 F H2 B H G MI K C D I Do G thuộc đường trịn đường kính AH KH 1, KH2 tiếp xúc (AH) với H1, H2 chân đường cao hạ từ B lên AC, C lên AB 2 Từ ta có đẳng thức KB KC KH1 KG.KA Từ suy KBG KAB , KCG KAC Kết hợp tính đối xứng, suy ABDC nội tiếp Bài 2) Theo câu 1) ta có ABDC nội tiếp AD đối trung tam giác ABC Hay ta có tứ giác ABDC điều hòa Điều dẫn đến BDI đồng dạng BAC theo trường hợp cạnh – góc – cạnh Suy IB CB MB FB ID CA , mà IM, CF hai đường phân giác nên ta có MD FA hay MF // AD Do FM//AD nên BMF BDA BCA , dẫn đến BMCE nội tiếp Khi đó, lại có tứ giác 2 ABDC điều hòa nên XD tiếp xúc (O) XE XY XA XB XC XD Điều suy (DEY) tiếp xúc XD hay (DEY) tiếp xúc (O) D 3 Cho m,n số tự nhiên thỏa mãn 4m m 12n n , chứng minh m n lập phương số nguyên 4m3 m 12n3 n m n 4m 4mn 4n2 1 8n3 Ta có 2 Giả sử p ước nguyên tố chung m n, 4m 4mn 4n p số lẻ 4m 4mn 4n2 lẻ 2 Mà 8n p nên suy np hay từ ta có mp m np Mà 4m 4mn 4n chia hết cho p nên 1p , điều vô lý Vậy m n, 4m 4mn 4n 1 1 hay suy m n lập phương số nguyên Ghi chú: Nếu học sinh giải theo cách khác cho điểm tối đa Hướng dẫn tìm tải tài liệu https://forms.gle/LzVNwfMpYB9qH4JU6 1 =4,0 1