UBND TỈNH HÒA BÌNH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP TỈNH NĂM HỌC 2022 2023 MÔN THI TOÁN Ngày thi 24/3 /2023 Thời gian làm bài 150 phút (không kể thời gian ph[.]
UBND TỈNH HỊA BÌNH KỲ THỊ CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CAP TINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NĂM HỌC 2022-2023 MON THI: TOÁN Ngay thi: 24/3 /2023 DE THI CHiNH THUC Thoi gian lam bai: 150 phut (khong kế thời gian phát đê) (Dé thi gdm co O01 trang) Cau (4,0 diém): Cho biéu thie: p-( Vx-1 = +——|:|—+ x-l = x-2 | VỚI x > Ú x # Ì ) Rút gọn biểu thức ?, từ tìm ø1á frỊ x cho P= Tính giá trị biểu thức P khix=—ˆ 2-3 Câu (6,0 điểm): — Cho hàm sơ y= -2x+4 Có thị đường thăng (2) Gọi41 Ö lân lượt giao điểm (d) với trục toa dé Ox, Oy va C(m;-2m+ 4) la điểm thuộc đoạn thăng AB Tim gia tri cia tham s6 m dé dién tich tam giac OBC bang hai lan dién tich tam gidc OAC Giải hệ phương trình | x+y x +2y =3x4+3y =6 Cho tam ABC 1a tam gidc déu Goi R, r bán kính đường trịn ngoại tiếp nội tiếp tam giác 48C Tính diện tích tam giác 418C biết R— r = Câu (4,0 điểm): Tìm cặp số nguyên dương (x;y) thỏa mãn: x? - 3xy+ 2y? +>xz—2y—5=0 Một cửa hàng bán bưởi Đoan Hùng (Phú Thọ) với giá bán 50000 đồng Với giá bán ngày cửa hàng bán 40 Cửa hàng dự định giảm giá bán, ước tính nêu cửa hàng giảm 1000 đồng số bưởi bán tăng thêm 10 Xác định giá bán bưởi để cửa hàng thu lợi nhuận cao nhất, biết giá nhập ban đâu cho 30000 đồng Câu (4,0 điểm): Cho A48C nhọn (4B< 4C) nội tiếp đường trịn (Ĩ) Hai đường cao BE, CF cat Gọi M trung điểm đoạn thắng ĐC Gọi K giao điểm hai đường thang EF va đường thắng ĐC Chứng minh tứ giác 8#£C nội tiếp, từ suy KF.KE = KB.KC Tính tỉ số C AH Đường thăng 4K cắt đường tron (O) tai diém thứ hai I ( I khác 4) Chứng minh ba điêm Xí, H, thăng hàng Câu (2,0 điểm): Giải phương trình x`+x=(x+3)jx+2 Cho hai số đương a, b thoa man a + b = 4ab Chimg minh 14h + ( Thí sinh khơng sử dụng tài liệu làm ) Họ tên thí sinh: Số báo danh: >4 l¢a b HƯỚNG DAN CHAM ĐÈ THỊ CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP TINH THCS NĂM HỌC 2022-2023 (ĐÈ CHÍNH THỨC) Mơn: TỐN Ngày thi: 24/3/2023 Câu Y Huong dan cham P= vx Vx Vx-I (2+ x-ljJ\x Bie điềm x—2 xwx+x 0.5 — !x(Ax+19)+vx 2@x+1)+x-2 (Jx-1(\x+) _ — | Cau (4,0 điêm) — _ x+2Vx x@x+) Wx +x 0.5 (vx — IV +1) x(vx +1) x+2Ax x(Äx+!) 0.5 (Vx —1)(Vx +1) 2Vx +x «x Vx -1 P=4 ST 05 › =4Sx-4x+4=0 0.5 =(w-2} =0=x=4 ` 0,5 x=4 (thỏa mãn điêu kiện) Vay x=4thi P=4 Khix ’ = 2-43 = 242+3) _= (2-A3X2+A3) _ 44273= (3 (V3+1 +1) 0° Thay x= (v3 +1) vào biểu thức P rút gọn ta được: P= = 0,5 - Giao điểm (đ) với trục Ox A(2:0) (đ) với trục Oy B(0;4) 0,5 Vi C thudc doan AB nén thi diện tích tam giác OBC bang hai lan dién tích tam giac OAC 0,5 (1) > (x+yXx°-xy+y-3)=0> =— Rx-xy+}yˆ a Với x = -y thay vào (2) ta có: 3y? =6 © Với x”—xy+y” =3ta có hệ => h VOY 0,5 =3 y=+V2 0,5 ;=3 x?+2y” =6 0,5 x° -2xy =0 —=>x=0 x= 2y Với x = thay vào (2) ta có: y= © y=+V3 Với x= 2y thay vào (2) ta có: yˆ=l © y=+I1 Vậy (x.y) I vừa trọng tâm, vừa|_ trực tâm AABC R-r=2 R-r=2 — Al =2.HI = 0,5 0,5? R=2r —=zr=2:R =4 chiều cao tam giác ABC bang 0,5 = §,,, =12V3 (don vi dién tich) 0,5 (1) > 0,75 = Canh tam giác ABC 4-3 (x-y)(x-2y)+(x-2y)=S§ => (z-2yX(x-y+]l)=S Vì cặp số (x;y) ngun đương nên ta có ˆ * ‘ Cau ( 4,0 diém ) * * ‘ —2y=] * x-y+l=5 -2y=5 * x-y+]1=l -2y=-I x-y+l=-5 => ‘ => ‘i =7 [y=3 =-5 y=-5 nã ( thoa man) 0,5 (loại) =-11s (loạn) 0.5 vị -2y=-5§ x-y+l=-l _ =| =3 ( thỏa mãn) Vay Phuong trinh c6 cac cap nghiém 1a: (x, y) = (7,3); (x,y) =(:3) 0,25 Gọi x (nghìn đồng) giá bán thực tế mét qua budi 30 M trung điểm đoạn HN Xét AAHN có O trung điểm AN M trung điểm HN 0,5 0,5 OM => OM la duong trung binh cla AAHN > ¬m = Ta có tứ giác AIBC nội tiếp > KIB= KCA => AKIB ~ AKCA (g g) Ar _ KC KI.KA=KB.KC (2) KB Tu (1) va (2) suyra KE.KF = KI.KA Xét AKEA ` _ KE va AKIF co: KA ER & KE_ KA KI s 0,5 KF K chung => AKEA ~ AKIF (g.g) — KEA=KIF = ttt gidc [AEF ni tiép (g6c băng góc đối ngồi ) = điểm I thuộc đường trịn ngoại tếpAAEF (3) Mặt khác tứ giác 4⁄H7 nội tiếp đường trịn đường kính AH (4EH = AFH =90°) > điểm H thuộc đường tròn ngoại tiếp AAEF Từ (3) va (4) > (4) !,4,EF H thuộc đường tròn đường kính AH = HIA=90° = HI _L AK 0,5 Ma: NIA =90° (góc nội tiếp chăn đường trịn) > IN _L AK => N,1,H thang hang Mà M e HN Suy ba diém M, H, I thang hang DK XD: x > -2 (1) © xÌ+z=(x+2Nx+2+wx+2 Đặt V@x+2 =a(a>0) ta có phương trình: x +x=#đ +a © ` (2,0 diém) 0,25 (x-a\(x +ax+a ` +l)=0 a Vi P ravva? +1=[ x4] Cau S 0,25 3a , += +1>0 VỚI X >x#=a 0,25 Với x=ata có Vx+2 =x (*) —=X -X-2=0 =>x=-l hodcx=2 Thử lại ta x = nghiệm phương trình cho 0,25 Tu 0,25 a+b=4ab Ap dung BDT (AM- GM ) ta có að 27 a 1+b* a+b ab+1 + b l+a* _4ab ab+] = _, a7 a+ab ` ab +] + b? b+aáb >4 4 1, (a+b)? ab(a+b)+t(a+b) Dau ding thite xay va chi khia = b= > Chú ý: Mọi cách giải khác xem xét cho điểm tối đa 0,25 0,5