ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CÀ MAU NĂM HỌC 2020 -2021 Mơn thi: Tốn Thời gian 180 phút khơng tính thời gian phát đề ĐỀ BÀI Câu 1: (3,0 điểm) Giải phương trình sau a) cos x 5sin x sin x cos x 0 b) Câu 2: x 3 x x x 2 x x (3,0 điểm): a) Cho hàm số sau : y f x f x có đạo hàm có bảng biến thiên đạo hàm b) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số Câu 3: Câu 4: x 3x x m đồng biến 1; A 1; (3,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có đỉnh , đường trung tuyến đường phân giác hạ từ đỉnh B lầ lượt có phương trình d : x y 2 , d1 : x y 16 Tìm tọa độ đỉnh C tam giác ABC (3,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O , cạnh a Biết SD x x a SA SB SC a Đặt ABCD x a a) Tính số đo góc đường thẳng SB mặt phẳng b) Tính x theo a cho tích AC.SD lớn Câu 5: y (3,0 điểm): H có 24 đỉnh, chọn ngẫu nhiên đỉnh H Tính xác suất để a) Cho đa giác đỉnh chọn tạo thành hình chữ nhật khơng phải hình vng b) Cho x Câu 6: P x x x (3,0 điểm) Cho dãy số un 10 P x Xác định hệ số x khai triển theo lũy thừa u 3un xác định u1 1 n 1 với n 1 a) Xác định số hạng tổng quát dãy số 2 2 b) Tính tổng S u1 u2 u3 u2020 un Câu (2,0 điểm): Cho hai số thực thay đổi x, y với x Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ P biểu thức xy ( x y )( x x 12 y ) HẾT -HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: a) Giải phương trình cos x 5sin x sin x cos x 0 Lời giải cos x 5sin x sin x cos x 0 cos x sin x sin x cos x 0 1 1 3 cos x sin x sin x cos x 0 2 2 2 cos x 5cos x 0 cos x 5cos x 0 3 6 6 6 cos x cos x 1 6 6 cos x 1 x k 2 , k 6 Với cos x 6 Với nên phương trình vô nghiệm x k 2 , k Kết luận: Phương trình có nghiệm b) Giải phương trình x 3 x x x 2 x x Lời giải ĐK x 1; 4 Nhận xét: nhẩm thấy x 1 , x 3 nghiệm nên x 3 x x x 2 x x x 3 x 1 x x 1 2 x x x x 3 x x 2 x x x 1 x 1 1 x x 3 x 1 x 1 0 x x 3 0 1 0 x x 1 x 0 x 3 x 1 1 0 x 1 x 1 x 1 vơ nghiệm 1 20 x 1 x 1 Vậy phương trình có nghiệm x 0 ; x 3 Câu 2: a) Cho hàm số sau : y f x f x có đạo hàm có bảng biến thiên đạo hàm Lời giải Ta có g¢( x) = ( 2x - 2) f ¢( x2 - 2x) ; éx = ê éx = êx - x =- ê ê ê é2 x - = ê êx = ± ( keùp) g ¢( x ) = Û ê Û x x = Û ê ê êf ¢ x - x = ê2 ) êx = - ê ë ( êx - x = 1( keùp) ê ê êx = ê2 ë êx - x = ë Từ BBT suy hàm số g(x) đạt cực trị điểm x 2, x 1, x 4 b) Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y x 3x x m đồng biến 1; Lời giải 1; m 1; m Hàm số xác định y Ta có: x 2mx 3m x m m 3m 0 m 3m g x x 2mx 3m 0, x 1 g 1 0 b 1 2a Yêu cầu toán m 0 m 1 m 1 Câu 3: A 1; Trong mặt phẳng tọa độ, cho tam giác ABC có đỉnh , đường trung tuyến đường phân giác hạ từ đỉnh B lầ lượt có phương trình d : x y 2 , d1 : x y 16 Tìm tọa độ đỉnh C tam giác ABC Lời giải 2 x y 2 9 x y 16 x 2 2 y B 2; Tọa độ điểm B nghiệm hệ phương trình Gọi A điểm đối xứng với A qua d1 H AA d1 nd1 3; 1 d Đường thẳng có vectơ pháp tuyến Vì đường thẳng AA d1 nên AA có vectơ nAA 1;3 pháp tuyến Suy phương trình đường thẳng AA x y 7 Vì H AA d1 nên tọa độ H nghiệm hệ phương trình 9 x y 16 x y 7 23 x 10 23 47 H ; 10 30 y 47 30 18 17 8 A ; BA ; 15 Có H trung điểm AA nên có 15 n 7; 24 BA : x 24 y Đường thẳng BA có vectơ pháp tuyến BA 7m C m; 24 Vì C BA nên m m 50 M ; 48 Gọi M trung điểm AC m 1 7m 50 22 2 m 48 Vì M d nên có 22 20 C ; Vậy Câu 4: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm O , cạnh a Biết SA SB SC a SD x x a Đặt ABCD x a a) Tính số đo góc đường thẳng SB mặt phẳng b) Tính x theo a cho tích AC.SD lớn Lời giải S x A A D B O D G B C C ABCD x a a) Tính số đo góc đường thẳng SB mặt phẳng ABCD Gọi O hình chiếu S lên mặt phẳng Ta có: SA SB SC SD a OA OB OC OD ABCD hình vng Xét tam giác vng: a BO cos SBC SBC 450 SB a b Tính x theo a cho tích AC.SD lớn Gọi G tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC SG ABCD Do SA SB SC AC BD AC SBD AC SO Ta có: AC SG SOC BOC (do SC BC a , OC chung) SO OB OD BSD vuông S BD a x OD a2 x2 OA2 AD OD a a x 3a x 4 3a x AC 3a x 2 x 3a x 3a AC.SD x 3a x 2 Xét OA 3a a a x 3a x x 3a x x 2 Dấu " " xảy Câu 5: 2 2 (3,0 điểm) H có 24 đỉnh, chọn ngẫu nhiên đỉnh H Tính xác suất để a) Cho đa giác đỉnh chọn tạo thành hình chữ nhật khơng phải hình vng b) Cho x P x x x 10 P x Xác định hệ số x khai triển theo lũy thừa Lời giải n C244 a) Chọn ngẫu nhiên đỉnh 24 đỉnh có C24 cách suy Biến cố A : “ đỉnh chọn tạo thành hình chữ nhật khơng phải hình vng.” H 24 đỉnh có 12 đường chéo qua tâm, đường chéo qua tâm tạo Đa giác thành hình chữ nhật Nên số hình chữ nhật tạo thành là: C12 Cứ đường chéo qua tâm mà vng góc với tạo thành hình vng Tương ứng với đường chéo qua tâm có đường chéo qua tâm khác vng góc với Nên số hình vng 12 : 6 A C122 Do A C122 10 P A C24 1771 Vậy b) Ta có 10 10 10 k k P x x 3x C10k x 3x Cki C10k x k 0 k 0 i 0 Số hạng chứa x tương ứng với k i 3 k 0,10 i 0, k k , i 3 10 k i i 10 k 3x C C k 0 i 0 i k k 10 4k i3i x k i ; i 0, k 3 i 1, k 2 2 10 Vậy hệ số x khai triển là: C C C C 4.3 8760 Câu 6: Cho dãy số un u 3un xác định u1 1 n 1 với n 1 a) Xác định số hạng tổng quát dãy số un 2 2 b) Tính tổng S u1 u2 u3 u2020 Lời giải: * a) Dễ thấy un 0, n N Từ un 1 3un2 un21 3un2 v 3vn 1 3 1 Đặt un có: n 1 x Đặt xn vn ta có: xn 1 3 xn Từ suy n cấp số nhân với x1 2 , công bội n n n Nên: xn 2.3 2.3 un 2.3 2019 b) S 2.3 2.3 2.3 2.3 2020 2 30 31 32 32019 2020 32019 1 3 2020 32020 2020 32020 2021 Câu 7: Cho hai số thực thay đổi x y với x Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức P xy x 3y x x 12 y Lời giải x Lời giải Chia tử mẫu cho , ta nhận P xy x y x x 12 y t2 31 t Khi đó, 1 t 4t 3y x 2 y y 3 12 x x , 3y x t 0, 0 P 4t 12 t t 0 Áp dụng BĐT Cauchy, ta nhận 4t 1 6 4t Từ đó, với t 0 , ta có 2 t 1 4t P 2 12 t 1 12 t 1 18 y Vậy giá trị nhỏ P giá trị lớn P 18 x 2, y Bài toán tương tự Cho hai số thực dương thay đổi x y Tìm giá trị lớn biểu thức P xy x x 4y