SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2020 – 2021 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC Mơn thi: Toán – GGTX ( Hướng dẫn chấm gồm có 03 trang) Câu (3.0) ĐÁP ÁN THAM KHẢO Điểm Giải phương trình 2sin x - 3s inx +1 = Đặt sin x = t , t Î [- 1;1] 0,5 Phương trình cho trở thành 2t - 3t +1 = 0,5 ét = ê Û ê (thỏa mãn) êt = ê ë 0,5 +) Với t = 1, ta có sin x = Û x = p + k p( k ẻ Â ) ộ p êx = + l 2p ê sin x = ( l ẻ Â) +) Vi t = , ta có ê 5p + l 2p êx = ê ë Vậy phương trình cho có họ nghiệm x = p p 5p + k 2p, x = + k 2p, x = + k 2p ( k ẻ Â ) 6 0,5 0,5 0,5 ìï x - y +1 = ï ( x, y Ỵ ¡ ) Giải hệ phương trình í ïï x + y + x = x +1 (3.0) ïỵ Điều kiện x + y + x ³ 0,5 Từ phương trình thứ ta có y = x +1 , thay vào phương trình thứ hai ta : 0,5 x +( x +1) + x = x +1 Û 3a) (2.5) x + x +1 = x +1 0,5 ìï x ³ - ïì x +1 ³ ï Û ïí 2 Û í ïï x + x +1 = ( x +1) ïïỵ x + x = ỵ 0,5 ìï x ³ - ïï Û ïí éx =- Û x = ïï ê ïỵï ê ëx = 0,5 ïì x = Thay trở lại ta nghiệm hệ cho ïí ïïỵ y =1 0,5 Tớnh gii hn lim n đ+Ơ ( n +1) ( 3n + n - 5) n3 + 3n Trang ( n +1) ( 3n + n - 5) ( n +1) ( 3n + n - 5) Ta cú lim n đ+Ơ n3 + 3n n3 n3 + 3n n3 = lim n đ+Ơ 1,0 ổ ổn +1ử 3n + n - ữ ỗ ữ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ữ ữỗ ỗ ữ ố n ứ n2 ố ứ = lim n đ+Ơ n + 3n n3 1,0 ổ ửổ 5ử ỗ 1+ ữ ỗ 3+ - ữ ữ ữ ỗ ỗ ÷ ÷ ( + 0) ( + 0) ç ç è n øè n n ø = lim = = n đ+Ơ + 1+ n 3b) 0,5 Tìm hệ số x5 khai triển biểu thức: ( x + 2) (2.0) 4a) (4.0) Số hạng khai triển ( x + 2) có dạng C8k x k 28- k 1,0 Suy hệ số x5 khai triển C85 28- = C85 23 = 448 1,0 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, gọi H trung điểm BC Đường thẳng SH vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) SB = a Tính thể tích khối chóp S ABC +) Ta có AH = a 1,0 1 a a2 Suy S ABC = AH BC = a = 2 +) Lại có SH = SB - HB = a - a2 = a ưỉ a3 1ỉ a 3÷ a2 ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ +) Do ú VS ABC = SH S ABC = ỗ ữ ữ ỗ ữ= ỗ ữ 3ố ứỗ ố ứ 1,0 1,0 1,0 4b) (2.0) Chng minh BH vng góc với SA Theo câu a) ta có: +) BC ^ AH (do tam giác ABC đều) +) BC ^ SH (do SH ^ ( ABC ) ) 4c) ( 1) 0,5 ( 2) 0,5 Từ ( 1) , ( 2) suy BC ^ ( SHA) 0,5 Þ BC ^ SA Þ BH ^ SA 0,5 Gọi j góc hai mặt phẳng ( SAB ) ( ABC ) Tính cos j Trang 2.0 Gọi M trung điểm AB, kẻ HK / / CM Þ HK ^ AB ( 1) Ta có ìïï AB ^ HK Þ AB ^ ( SHK ) Þ SK ^ AB ( 2) í ïỵï AB ^ SH 0,5 Từ ( 1) , ( 2) ( SAB ) Ç ( ABC ) = AB · Þ góc hai mặt phẳng ( SAB ) ( ABC ) góc SKH Xét tam giác vng SHK có HK = · = Do cos SKH (1.5) CM a a SH = = HK HK = = 2 SK SH + HK 0,5 0,5 0,5 Cho số thực dương x, y thỏa mãn x + y = Tìm giá trị lớn biểu thức P= xy x + y +2 Ta có = x + y ³ xy ; 0,25 Þ < xy £ Þ < xy £ 0,25 Khi ta có P = Đặt xy xy xy £ = x + y + 2 xy + xy +1 xy = t , ( < t £ 1) Xét hàm số f ( t ) = Ta có f '( t ) = - ( t +1) = t + 2t ( t +1) t2 = ( t - 1) + , t Î ( 0;1 ] t +1 t +1 > 0, " t Ỵ ( 0;1] Suy f ( t ) £ f ( 1) = 0,25 0,25 0,25 0,25 ……………Hết…………… Ghi chú: Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa Trang