UBND TỈNH HÀ NAM SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2022 – 2023 HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN (Hướng dẫn chấm gồm 08 trang) I HƯỚNG DẪN CHUNG o Hướng dẫn chấm trình bày sơ lược bước giải, lời giải học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà điểm theo thang điểm tương ứng o Đối với tốn hình học học sinh chứng minh có sử dụng đến hình vẽ yêu cầu phải vẽ hình, học sinh vẽ hình sai khơng vẽ hình khơng cho điểm phần tương ứng o Điểm tồn khơng làm trịn II ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM CÂU Câu I (5,0 điểm) SƠ LƯỢC LỜI GIẢI Cho hàm số trình: , với ĐIỂM có đồ thị đường thẳng tham số thực Tìm tất giá trị thực hai điểm phân biệt cho Hoành độ giao điểm đường thẳng , (với có phương để cắt gốc tọa độ) 3,0 nghiệm phương trình: 0,25 0,25 0,25 Đường thẳng cắt hai điểm phân biệt phương trình có hai nghiệm phân biệt Với điều kiện 0,25 , gọi hai giao điểm nghiệm phương trình , 0,25 Theo định lý Viet ta có: (Học sinh khơng có bước này, bước sau điểm tối đa) 0,25 Ta có: 0,25 0,25 0,25 0,25 Đối chiếu với điều kiện ta thấy bị loại, Cho hàm số số thỏa mãn yêu cầu đề 0,25 0,25 Tìm tất giá trị tham để tập nghiệm bất phương trình có số nguyên Tập xác định: 2,0 0,25 Ta thấy: Thật vậy: Do Suy hàm số Do đó: nghịch biến 0,5 0,5 0,25 Bất phương trình có nghiệm ngun Câu II ( 4,0 điểm) 0,5 Giải phương trình: Điều kiện: Với điều kiện Phương trình 2,0 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 Đối chiếu với điều kiện xác định ta có tập nghiệm phương trình là: Tìm điều kiện tham số để phương trình Đặt nghiệm bất 0,25 2,0 Ta có: 0,25 có nghiệm TH1: Để 0,25 nghiệm bất phương trình cho : 0,5 TH2: Thay vào bất phương trình cho ta được: nên (không thỏa mãn) TH3: Để nghiệm bất phương trình cho 0,25 0,5 Kết luận: thỏa mãn yêu cầu toán Câu III Một xí nghiệp sản xuất hai loại sản phẩm, ký hiệu I II Mỗi sản phẩm I (2,0 lãi triệu đồng, sản phẩm II lãi 2,2 triệu đồng Để sản xuất sản phẩm I, điểm) phải dùng máy liên tục máy liên tục Để sản xuất sản phẩm II, phải dùng máy liên tục máy liên tục Biết rằng, máy sản xuất đồng thời loại sản phẩm; máy hoạt động bình thường máy làm việc khơng q ngày, máy làm việc không ngày Hỏi ngày, xí nghiệp cần sản xuất sản phẩm I sản phẩm II để thu tổng số tiền lãi cao nhất? Gọi số sản phẩm I, số sản phẩm II mà xí nghiệp cần sản xuất ngày để thu tổng số tiền lãi cao Điều kiện: Số máy phải làm việc ngày để sản xuất sản phẩm II là: Mà máy làm việc không ngày nên ta có bất phương trình: Số máy phải làm việc ngày để sản xuất sản phẩm II là: Mà máy sản phẩm I sản phẩm I làm việc không ngày nên ta có bất phương trình Tiền lãi sản xuất sản phẩm I sản phẩm II ngày 0,25 2,0 0,25 0,5 Ta có hệ bất phương trình sau: Ta cần tìm số thực thỏa mãn hệ bất phương trình cho biểu thức đạt giá trị lớn Ta xác định miền nghiệm hệ bất phương trình (như hình vẽ) Miền nghiệm hệ miền tứ giác Trong đó: đạt lớn , với , kể cạnh tứ giác 0,5 tọa độ đỉnh tứ giác Thay tọa độ đỉnh tứ giác vào biểu 0,25 thức: ta được: Suy giá trị lớn biểu thức Vậy cần sản xuất sản phẩm I sản phẩm II ngày để xí nghiệp thu tổng số tiền lãi cao Câu IV (2,0 điểm) Cho tập hợp Từ phần tử lập số tự nhiên có chữ số đôi khác nhau, số lẻ có hai chữ số ln đứng cạnh nhau? Vì số thỏa mãn u cầu tốn số có cách chọn Ứng với cách chọn số lẻ nên 0,25 0,25 2,0 chọn 0,25 ta lập phần sau: Xét hai chữ số chẵn đứng cạnh dạng : 0,25 + Nếu ,chọn chữ số từ chữ số tập sau bỏ chữ số chọn chữ số để xếp vào vị trí cịn lại có cách Suy có cách lập phần mà +Nếu Có cách chọn chữ số từ chữ số tập vào phần Chọn chữ số từ chữ số tập để xếp vào vị trí cịn lại có Suy có chọn Có cách đặt chữ số số sau bỏ chữ số sau bỏ chữ số cách cách lập phần Như có , chọn chữ mà cách lập phần 0,5 mà hai chữ số chẵn kề dạng 0,25 Tương tự có cách lập phần mà hai chữ số chẵn kề dạng 0,25 Do ta có cách lập phần mà hai chữ số đứng kề 0,25 Vậy có tất số thỏa mãn yêu cầu đề (Nếu học sinh làm theo cách coi số kề phần tử X ta có 0,25 (nếu học sinh khơng nói loại trường hợp số đứng đầu khơng cho điểm, có nói đến trường hợp bị sai trường hợp số đứng đầu cho 0,5 điểm cho phần phía xét trường hợp có số đứng đầu) Câu V ( 4,0 điểm) Cho tam giác có trọng tâm Gọi Tìm Gọi trung điểm đoạn thẳng Đặt (vì điểm thỏa mãn để điểm thẳng hàng 2,0 khơng thỏa mãn) Ta có: 0,5 0,5 0,5 Mà điểm thẳng hàng nên hai vectơ phương Chú ý: Nếu học sinh sử dụng định lý Me-ne-la-us mà không chứng minh để xác định k cho 0,5 điểm Cho tam giác nhọn giác có Gọi diện tích tam độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh Chứng minh rằng: Gọi giác 0,5 độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh 2,0 tam Ta có: Tương tự ; Do đó: Gọi bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác 0,25 A +) Trước hết ta chứng minh B M C K Thật vậy, gọi tam giác trung điểm trung tuyến Mặt khác ta có cắt đường trịn ngoại tiếp hay nên Suy +) Tương tự ta có 0,5 +) Lại có 0,5 +) Tương tự ; Suy 0,5 Câu VI (3,0 điểm) Do Vậy Dấu xảy tam giác tam giác Trong mặt phẳng , cho hình thang vng Gọi hình chiếu vng góc điểm lên đường chéo trung điểm đoạn thẳng Giả sử , phương trình đường thẳng Tìm tọa độ đỉnh Từ Gọi hình thang 0,25 3,0 kẻ đường thẳng song song với đường thẳng giao điểm đường thẳng đường thẳng giao điểm đường thẳng đường thẳng trực tâm tam giác 0,5 Xét tam giác có trung điểm trung điểm đường trung bình tam giác Do đó: Tứ giác hình bình hành mà Đường thẳng Vì 0,5 có phương trình là: giao điểm đường thẳng Tọa độ nghiệm hệ phương 0,25 trình: Mà trung điểm Đường thẳng có phương trình: Tọa độ điểm nghiệm hệ: 0,25 0,5 0,5 Vì -HẾT - 0,5