SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 NĂM HỌC 2020 – 2021 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC Mơn thi: TOÁN – Bảng A ( Hướng dẫn chấm gồm có 05 trang) Câu 1a) (4.0) ĐÁP ÁN THAM KHẢO ( Điểm ) sin x = cot x + cos x Cho phương trình: Hỏi phương trình cho có nghiệm thuộc khoảng ( 0;2020p) ? / x= / kp( k ẻ Â ) Điều kiện sin x = 0,5 ỉ cos x 2 sin x = cot x + cos x sin x = ỗ + 3ữ ữ ỗ ữcos x sin x = cos x + sin x cos x ỗ ốsin x ø 0,5 Û ( cos x - sin x ) + sin x cos x = Û cos x + sin x = 0,5 ( ) Û ỉ p + x÷ ÷ cos x + sin x = sin ỗ ỗ ữ= ç è6 ø 2 0,5 Û p p kp + x = k p Û x =+ ( k ẻ Â ) (tha iu kin) 12 0,5 Với < x < 2020p Û 2, " n ẻ Ơ * , từ un+1 = un - Û un+1 - = un - Û un+1 - = ( un - 2) ( un + 2) Û un + = un+1 - ( 1) un - 0,5 2 +) Lại có un+1 = un - Þ un = un- - Þ un + = un- ( 2) +) Từ ( 1) ,( 2) Þ un- = Do ( u1.u2 un- ) = un+1 - un - 0,5 u3 - u4 - un+1 - un+1 - un+1 - un2 - = = = u2 - u3 - un - u2 - 5 Þ 5( u1 u2 un- ) + = un2 Þ 5( u1.u2 un- ) + số phương 0,5 Trang Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x + y + z = xyz Tìm giá trị nhỏ biểu thức (1.5) P = x + y + z 2x + y xy - > Khi : xy - ỉ 2x + y 11 ổ ữ 2x + y 2ử ỗ ữ P=x+y+ = x + +ỗ y+ - ữ ữ ç ç ÷ ÷ è 2x ÷ ø ç xy - 2x ỗ ố2 xy - x ø Từ giả thiết cho ta z = 2( x + 7) ỉ 11 xy - ữ ỗ = ỗx + ữ ữ+ x + x ( xy - 7) ỗ ố 2x ứ t 0,5 ổ 11 ữ ỗ x+ ữ + 1+ ỗ ữ ỗ AM - GM è 2x ø x ³ 11 14t 1 11 - = t , t > Xét hàm số f ( t ) = + t + + 7t , t > Ta có f '( t ) = + x t + 7t t Lại có f ''( t ) =14 + 7t - 0,5 7t + 7t ( + 7t ) + 2 = + >0 2 t + 7t ( + t ) t Suy phương trình f '( t ) = có nghiệm t = ỉư 15 ÷ 15 f ( t) = f ỗ Lp bng bin thiờn suy ữ ỗ ữ= Vy minP = ỗ ( 0; Ơ ) ố3 ứ 4a) (4.0) 0,5 ìï x = ïï í ïï y = ; z = ïỵ Cho hình lăng trụ ABC A1 B1C1 có đáy tam giác cạnh a BA1 = BB1 = BC1 = a Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( ABB1 A1 ) +) Từ CC1 / / ( ABB1 A1 ) Þ d ( C;( ABB1 A1 ) ) = d ( C1 ;( ABB1 A1 ) ) +) Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A1 B1C1 , I trung điểm A1 B1 H hình chiếu O lên BI 0,5 +) Từ C1 I = 3OI Þ d ( C1 ;( ABB1 A1 ) ) = 3d ( O;( ABB1 A1 ) ) 0,5 +) Lại B A1 B1C1 hình chóp Þ BO ^ ( A1 B1C1 ) 0,5 ìï A1 B1 ^ C1 I Þ A1 B1 ^ ( BIC1 ) Þ A1 B1 ^ HO Khi ïí ïỵï A1 B1 ^ BO mà OH ^ BI 0,5 suy OH ^ ( ABB1 A1 ) Þ OH = d ( O1 ;( ABB1 A1 ) ) 0,5 +) Ta lại có = 1 = 2+ = + 2 2 OH OI OB C1 I BB1 - OB12 12 99 22 + = Þ OH = a a 8a 8a 33 Þ d ( C ;( ABB1 A1 ) ) = 22 a 11 0,5 0,5 0,5 Trang 4b (2.0) Gọi G1 , G2 , G3 trọng tâm tam giác ABB1 , ACC1 , CBB1 Tính thể tích khối đa diện lồi có đỉnh điểm G1 , G2 , G3 , A1 , B1 C1 +) Dễ thấy ìïï G1G3 / / A1C1 / / AC Þ ( G1G2G3 ) / / ( ABC ) í ïïỵ G1G2 / / BC 0,25 +) Qua G1 kẻ đường thẳng song song với AB cắt AA1 , BB1 M , N ; đường thẳng MG2 0,25 cắt CC1 P ta lăng trụ MNP A1 B1C1 1 +) Dễ thấy NG1 = NM , NG3 = NP, PG2 = PM 3 0,25 · MG Từ suy S MG1G2 = MG1 MG2 sin G 2 ưỉ2 · ổ2 = ỗ MN ữ ỗ MPữ sin G1MG2 = S MNP Đặt V0 = VA1B1C1 MNP = d ( A1 ;( MNP ) ) S MNP ; ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ứố3 ø è3 0,25 ỉ4 1 S MNP ÷ Khi VA1 MG1G2 = d ( A1 ;( MNP ) ) S MG1G2 = d ( A1 ;( MNP ) ) ỗ ữ ỗ ữ= 27 V0 ; ỗ ố9 ứ 3 Tng t ta có: VB1 NG1G2 = V0 ; VC1 PG2G3 = V0 ; 27 27 0,25 æ4 20 V0 + V0 + V0 ÷ Khi VA1B1C1 G1G2G3 =VA1B1C1 MNP - ( VA1 MG1G2 +VB1 NG1G2 +VC1 PG2G3 ) = V0 - ỗ ữ ỗ ữ= 27 V0 ỗ ố27 27 27 ứ 0,25 2 Lại có V0 = VABC A1B1C1 = ( BO.S ABC ) 3 0,25 = 20 a2 2 a 3a a = a Þ VA1B1C1 G1G2G3 = 81 3 0,25 Cho hình chóp S ABC có SA, SB, SC đơi vng góc SA = 1, SB = SC = 2 Gọi I tâm (2.0) đường tròn nội tiếp tam giác ABC Một mặt phẳng ( a ) thay đổi qua I cắt tia SA, SB, SC M , N , P Chứng minh 1 + + ³ SM SN SP Ta có: AB = SA2 + SB = 3; AC = 3; BC = Do I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC , uu r uu r uur r nên ta dễ chứng minh BC.IA + AC.IB + AB.IC = uu r uu r uur r Û IA + 3IB + 3IC = uur uu r uur uu r uur uu r r Û SA - SI + SB - SI + SC - SI = ( ) ( ) ( ) 0,25 0,25 0,25 uu r uur uur uur Û 10SI = 4SA + 3SB + 3SC Trang uu r uur uur uur Û SI = SA + SB + SC 10 10 10 ( *) uur SA uuur uuur uur SB uur 2 uur uur SC uur 2 uur SM = SM ; SB = Ta lại có SA = SN = SN ; SC = SP = SP; SM SM SN SN SP SP uu r Thay vào (*) cho ta SI = uuur uur uur SM + SN + SP ( **) 10 SM 10 SN 10 SP 0,25 0,25 Do M , N , P, I đồng phẳng nên từ ( **) ta có: ( **) Û 6 2 3 + + =1 Û + + =5 10 SM 10SN 10SP SM SN SP ỉ1 1 + + 2ữ Khi ú ( +18 +18) ỗ ữ ỗ ỗ ốSM ứ SN SP ữ ổ2 3 2ử 1 ữ ỗ ữ ỗ + + ị + 2+ ữ ỗ ữ ỗSM SN SP ứ SM SN SP ố Dấu “=” xảy SM = 4; SN = SP = 0,25 0,25 0,25 ……………Hết…………… Ghi chú: Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa Trang