Câu 1 Cho tam giác ABC, biết BC = 24, AC = 13, AB = 15 Số đo góc A là A 28°37''''; B 33°34''''; C 58°24''''; D 117°49'''' Đáp án D Áp dụng hệ quả định lí côsin cho tam giác ABC ta có cosA=AB2+AC2−BC22 AB AC=152+1[.]
Câu Cho tam giác ABC, biết BC = 24, AC = 13, AB = 15 Số đo góc A là: A 28°37'; B 33°34'; C 58°24'; D 117°49' Đáp án: D Áp dụng hệ định lí cơsin cho tam giác ABC ta có: cosA=AB2+AC2−BC22.AB.AC=152+132−2422.15.13=−715cosA=AB 2+AC2−BC22.AB.AC=152+132−2422.15.13=−715 Do ˆA≈117°49'.A^≈117°49' Vậy ˆA≈117°49'.A^≈117°49' Câu Tam giác ABC có ˆA=68°12',ˆB=34°44',A^=68°12',B^=34°44', AB = 117 Độ dài cạnh AC khoảng: A 68; B 118; C 168; D 200 Đáp án: A Xét tam giác ABC có ˆA=68°12',ˆB=34°44',A^=68°12',B^=34°44', ta có: ˆA+ˆB+ˆC=180°A^+B^+C^=180° (định lí tổng ba góc tam giác) ⇒ˆC=180°−ˆA−ˆB⇒C^=180°−A^−B^ ⇒ˆC=180°−68°12'−34°44'=77°4'.⇒C^=180°−68°12'−34°44'=77°4' Áp dụng định lí sin tam giác ABC ta có: ACsinB=ABsinCACsinB=ABsinC ⇒AC=AB.sinBsinC=117.sin34°44'sin77°4'≈68.⇒AC=AB.sinBsinC=117 sin34°44'sin77°4'≈68 Vậy AC ≈ 68 Câu Tam giác ABC có AB=√ ;AC=√ AB=2;AC=3 ˆC=45°C^=45° Độ dài cạnh BC là: A BC=√ −√ 2;BC=6−22; B BC=√ +√ 2;BC=6+22; C BC=√ ;BC=5; D BC=√ BC=6 Đáp án: B Áp dụng định lí cơsin cho tam giác ABC ta có: AB2 = AC2 + BC2 – 2.AC.BC.cosC ⇒(√ )2=(√ )2+BC2−2.√ BC.cos45°⇒22=32+BC2−2.3.BC.cos45° ⇒BC2−√ BC+1=0⇒BC2−6.BC+1=0 ⇒BC=√ +√ 2⇒BC=6+22(vì BC > 0) Vậy BC=√ +√ 2.BC=6+22 Câu Cho tam giác ABC có AB=√ +1,AC=√ ,AB=3+1,AC=6, BC = Số đo ˆB−ˆAB^−A^ là: A 20°; B 25°; C 30°; D 35°; Đáp án: B Áp dụng hệ định lí cơsin cho tam giác ABC ta có: +) cosA=AB2+AC2−BC22.AB.AC=(√ +1)2+(√ )2−222.(√ +1)√ =√ 2cosA=AB2+AC2−BC22.AB.AC=3+12+62−222.3+16=22 +) cosB=AB2+BC2−AC22.AB.BC=(√ +1)2+22−(√ )22.(√ +1).2=12 cosB=AB2+BC2−AC22.AB.BC=3+12+22−622.3+1.2=12 Do ˆB−ˆA=60°−45°=25°.B^−A^=60°−45°=25° Vậy ˆB−ˆA=25°.B^−A^=25° Câu Tam giác ABC có góc A nhọn, AB = 5, AC = 8, diện tích 12 Độ dài cạnh BC khoảng: A 2√ ;23; B 3√ ;32; C 4; D Đáp án: D Diện tích tam giác ABC là: S=12.AB.AC.sinA⇒sinA=2SAB.ACS=12.AB.AC.sinA⇒sinA=2SAB AC ⇒sinA=2.125.8=35⇒ˆA≈36°52'⇒sinA=2.125.8=35⇒A^≈36°52' (vì góc A góc nhọn) Xét tam giác ABC có AB = 5, AC = ˆA≈36°52'A^≈36°52', áp dụng định lí cơsin ta có: BC2 = AB2 + AC2 – 2.AB.AC.cosA BC2 ≈ 52 + 82 – 2.5.8.cos36°52' ≈ 25 Þ BC ≈ Vậy BC ≈ Câu Cho tam giác ABC có AB = 5, ˆA=40°,ˆB=60°.A^=40°,B^=60° Độ dài BC gần với kết nào? A 3,1; B 3,3; C 3,5; D 3,7 Đáp án: B Xét tam giác ABC có ˆA=40°,ˆB=60°,A^=40°,B^=60°, ta có: ˆA+ˆB+ˆC=180°A^+B^+C^=180°(định lí tổng ba góc tam giác) ⇒ˆC=180°−ˆA−ˆB⇒C^=180°−A^−B^ ⇒ˆC=180°−40°−60°=80°.⇒C^=180°−40°−60°=80° Theo định lí sin ta có: BCsinA=ABsinCBCsinA=ABsinC ⇒BC=AB.sinAsinC=5.sin40°sin80°≈3,3⇒BC=AB.sinAsinC=5.sin40°si n80°≈3,3 Vậy BC ≈ 3,3 Câu Cho tam giác ABC Biết AB = 2, BC = ˆABC=60°ABC^=60° Chu vi diện tích tam giác ABC là: A 5+√ 5+7 32;32; B 5+√ 5+7 3√ 2;332; C 5+√ 19 5+19 32;32; D 5+√ 19 5+19 3√ 2;332; Đáp án: B Xét tam giác ABC có AB = 2, BC = ˆABC=60°,ABC^=60°, áp dụng định lí cơsin ta có: AC2 = AB2 + BC2 – 2.AB.BC.cosˆABCcosABC^ => AC2 = 22 + 32 – 2.2.3.cos60° = ⇒AC=√ ⇒AC=7 Do chu vi tam giác BC =2+3+√ =5+√ =2+3+7=5+7 ABC là: AB + AC + Diện tích tam giác ABC là: S=12.BA.BC.sinˆABC=12.2.3.sin60°=3√ 2S=12.BA.BC.sinABC^=12 2.3.sin60°=332(đơn vị diện tích) Vậy chu vi diện là: 5+√ 5+7 3√ 2.332 tích tam giác ABC Câu Tam giác ABC vuông B Trên cạnh AC lấy hai điểm M, N cho góc ˆABM,ˆMBN,ˆNBCABM^,MBN^,NBC^ Đặt AB = q, BC = m, BM = x, BN = y Trong hệ thức sau, hệ thức đúng? A AM = MN = NC; B AM2 = q2 + x2 – xq; C AN2 = q2 + y2 – yq; D AC2 = q2 + m2 – 2qm Đáp án: C Ta có ˆABM=ˆMBN=ˆNBC=ˆABC3=90°3=30°ABM^=MBN^=NBC^=ABC^3 =90°3=30° ⇒ˆABN=ˆMBC=60°⇒ABN^=MBC^=60° Áp dụng định lí cơsin cho tam giác ABM ta có: AM2 = AB2 + BM2 – 2.AB.BM.cosˆABMcosABM^ => AM2 = q2 + x2 – 2.q.x.cos30° ⇒AM2=q2+x2−2.q.x.√ 2=q2+x2−qx√ ⇒AM2=q2+x2−2.q.x.32=q2+ x2−qx3 (1) Do phương án B mệnh đề sai Áp dụng định lí cơsin cho tam giác ABN ta có: AN2 = AB2 + BN2 – 2.AB.BN.cosˆABNcosABN^ Þ AN2 = q2 + y2 – 2.q.y.cos60° ⇒AN2=q2+y2−2.q.y.12=q2+y2−qy.⇒AN2=q2+y2−2.q.y.12=q2+y2−qy (2) Do phương án C mệnh đề Từ (1) (2) suy AM2 ≠ AN2 nên phương án A mệnh đề sai Tam giác ABC vuông B nên AC2 = AB2 + BC2 = q2 + m2 Do phương án D mệnh đề sai Vậy ta chọn phương án C Câu Để đo chiều cao từ mặt đất đến đỉnh cột cờ kỳ đài trước Ngọ Môn (Đại Nội – Huế), người ta cắm hai cọc AM BN cao 1,5 mét so với mặt đất Hai cọc song song cách 10 mét thẳng hàng so với tim cột cờ (Hình vẽ minh họa) Đặt giác kế đỉnh A B để nhắm đến đỉnh cột cờ, người ta góc 51°40' 45°39' so với đường song song mặt đất Chiều cao cột cờ (làm tròn kết đến chữ số thập phân thứ hai) là: A 54,33 m; B 54,63 m; C 55,01 m; D 56,88 CH=AC.sinˆCAHCH=AC.sinCAH^m Đáp án: C Ta có ˆCAB=180°−51°40'=128°20'CAB^=180°−51°40'=128°20' Xét tam giác ABC ta có: ˆCAB+ˆABC+ˆACB=180°CAB^+ABC^+ACB^=180° (định lí tổng ba góc tam giác) ⇒ˆACB=180°−ˆCAB−ˆABC⇒ACB^=180°−CAB^−ABC^ ⇒ˆACB=180°−128°20'−45°39'=6°1'.⇒ACB^=180°−128°20'−45°39'=6° 1' Áp dụng định lí sin tam giác ABC ta có: ACsinˆABC=ABsinˆACBACsinABC^=ABsinACB^ ⇒ACsin45°39'=10sin6°1'⇒ACsin45°39'=10sin6°1' ⇒AC=10.sin45°39's in6°1'⇒AC=10.sin45°39'sin6°1' Xét tam giác ACH vng H có: ⇒CH=10.sin45°39'sin6°1'.sin51°40'⇒CH=10.sin45°39'sin6°1'.sin51°4 0' ≈ 53,51 (m) Chiều cao cột cờ khoảng: 1,5 + 53,51 = 55,01 (m) Vậy cột cờ cao khoảng 55,01 m Câu 10 Trong khai quật mộ cổ, nhà khảo cổ học tìm đĩa cổ hình trịn bị vỡ, nhà khảo cổ muốn khơi phục hình dạng đĩa Để xác định bán kính đĩa, nhà khảo cổ lấy điểm đĩa tiến hành đo đạc thu kết hình vẽ (AB = 4,3 cm; BC = 3,7 cm; CA = 7,5 cm) Bán kính đĩa (kết làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai): A 5,73 cm; B 6,01 cm; C 5,85 cm; D 4,57 cm Đáp án: A Bán kính R đĩa bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Nửa chu vi tam giác ABC là: p=AB+AC+BC2=4,3+7,5+3,72=314(cm)p=AB+AC+BC2=4,3+7,5+3 ,72=314cm Diện tích tam giác ABC theo cơng thức Heron là: S=√ p(p−AB)(p−AC)(p−BC) ≈5,2(cm2)S=pp−ABp−ACp−BC≈5,2cm2 Mặt khác: S=AB.AC.BC4R⇒R=AB.AC.BC4S≈4,3.7,5.3,74.5,2≈5,73(cm)S =AB.AC.BC4R⇒R=AB.AC.BC4S≈4,3.7,5.3,74.5,2≈5,73cm Vậy bán kính đĩa khoảng 5,73 cm Câu 11 Vào lúc sáng, hai vận động viên A B xuất phát từ vị trí O Vận động viên A chạy với vận tốc 13 km/h theo góc so với hướng Bắc 15°, vận động viên B chạy với vận tốc 12 km/h theo góc so với hướng Bắc 135° (hình vẽ) Tại thời điểm vận động viên A cách vận động viên B khoảng 10 km (làm tròn kết đến phút)? A 29 phút; B 29 phút; C 30 phút; D 30 phút Đáp án: B Gọi x (x > 0) khoảng thời gian kể từ bắt đầu chạy từ điểm O đến hai vận động viên cách 10 km Khi đoạn đường mà vận động viên A chạy 13x (km); Đoạn đường mà vận động viên B chạy 12x (km) Theo hình vẽ ta có: AB = 10, OA = 13x, OB = 12x ˆAOB=135°−15°=120°AOB^=135°−15°=120° Áp dụng định lí cơsin tam giác OAB ta có: AB2 = OA2 + OB2 – 2.OA.OB.sinˆAOBsinAOB^ ⇒⇒ 102 = (13x)2 + (12x)2 – 2.13x.12x.sin120° ⇒102=169x2+144x2−312x2.√ 2⇒102=169x2+144x2−312x2.32 ⇒102=(313−156√ )x2⇒102=313−1563x2 ⇒x2=10313−156√ ⇒x2=10313−1563⇒⇒ x ≈ 0,483 (giờ) (vì x > 0) ≈ 29 phút Do thời điểm mà hai vận động viên cách 10 km khoảng: 29 phút Vậy vào khoảng 29 phút hai vận động viên cách 10 km Câu 12 Giả sử CD = h chiều cao tháp C chân tháp Cho hai điểm A, B mặt đất cho ba điểm A, B C thẳng hàng Ta đo AB = 24 m, ˆCAD=63°,ˆCBD=48°.CAD^=63°,CBD^=48° Chiều cao h tháp gần với giá trị sau đây? A 18 m; B 19,5 m; C 60 m; D 61,5 m Đáp án: D Xét tam giác ABD ta có: α=ˆADB+βα=ADB^+β (tính chất góc ngồi tam giác) ⇒ˆADB=α−β=63°–48°=15°.⇒ADB^=α−β=63°–48°=15° Áp dụng định lí sin vào tam giác ABD, ta có: ADsinB=ABsinˆADBADsinB=ABsinADB^ ⇒AD=ABsinˆADB.sinB=24sin15°.sin48°≈68,91(m)⇒AD=ABsinADB^.si nB=24sin15°.sin48°≈68,91m Trong tam giác vng ACD, có h = CD = AD.sinα ⇒⇒ h ≈ 68,91.sin63° ≈ 61,4 (m) Vậy kết gần với phương án D nên ta chọn phương án D Câu 13 Cho tam giác ABC thỏa mãn: cosA.sinB−C2=0cosA.sinB−C2=0 Khi ABC tam giác: A Tam giác vng; B Tam giác cân; C Tam giác vuông cân; D Tam giác Đáp án: C Ta có: ⇒⇒ DABC vuông A DABC cân A Vậy DABC vuông A DABC cân A Câu 14 Từ hai vị trí A B tòa nhà, người ta quan sát đỉnh C núi Biết độ cao AB = 70 m, phương nhìn AC tạo với phương nằm ngang góc 30°, phương nhìn BC tạo với phương nằm ngang góc 15°30' (hình vẽ) Ngọn núi có độ cao CH so với mặt đất gần với giá trị sau đây? A 135 m; B 234 m; C 165 m; D 195 CH=AC.sinˆCAH≈269,4.sin30°≈134,7(m)CH=AC.sinCAH^≈269,4 sin30°≈134,7mm Đáp án: A Từ hình vẽ ta có ˆABC=90°+15°30'=105°30'ABC^=90°+15°30'=105°30' Xét tam giác ABC có ta có: ˆCAB=60°,ˆABC=105°30'CAB^=60°,ABC^=105°30' ˆCAB+ˆABC+ˆACB=180°CAB^+ABC^+ACB^=180°(định lí tổng ba góc tam giác) ⇒ˆACB=180°−ˆCAB−ˆABC⇒ACB^=180°−CAB^−ABC^ ⇒ˆACB=180°−60°−105°30'=14°30'.⇒ACB^=180°−60°−105°30'=14°30' Áp dụng định lí sin tam giác ABC, ta có: ACsinˆABC=ABsinˆACBACsinABC^=ABsinACB^ ⇒AC=AB.sinˆABCsinˆACB=70.sin105°30'sin14°30'≈269,4(m)⇒AC=A B.sinABC^sinACB^=70.sin105°30'sin14°30'≈269,4m Tam giác ACH vng H nên ta có: CH=AC.sinˆCAH≈269,4.sin30°≈134,7(m)CH=AC.sinCAH^≈269,4.s in30°≈134,7m Vậy núi cao khoảng 135 m Câu 15 Trong sơ đồ, chùm sáng S hướng vào gương màu xanh, phản xạ vào gương màu đỏ sau phản xạ vào gương màu xanh hình vẽ Biết OP = m, OQ=√ +√ OQ=2+6m Khi đoạn PT bằng: A 2√ 3m;263m; B 2√ 3m;233m; C 2√ 3m;223m; D √ 3m.63m Đáp án: A Ta có: ˆSQB=ˆPQT=α,ˆTPO=βSQB^=PQT^=α,TPO^=β Áp dụng định lí cơsin tam giác OPQ ta có: PQ2 = OP2 + OQ2 – 2.OP.OQ.cosˆPOQPOQ^ ⇒PQ2=22+(√ +√ )2–2.2.(√ +√ ).cos45°⇒PQ2=22+2+62– 2.2.2+6.cos45°⇒⇒ PQ2 = ⇒PQ=2√ (m)⇒PQ=22m Áp dụng hệ định lí cơsin tam giác OPQ ta có: cosα=cosˆOQP=OQ2+PQ2−OP22.OQ.PQ=(√ +√ )2+8−222.(√ +√ +6 ).2√ =√ 2.cosα=cosOQP^=OQ2+PQ2−OP22.OQ.PQ=2+62+8−2 22.2++6.22=32 ⇒⇒ α = 30° Xét tam giác POQ có: β = 45° + α (tính chất góc ngồi tam giác) ⇒⇒ β = 45° + 30° = 75° ⇒ˆTPO=75°⇒TPO^=75° Xét tam giác OTP ta có: ˆOTP+ˆTOP+ˆTPO=180°OTP^+TOP^+TPO^=180°(định lí tổng ba góc tam giác) Hay ˆOTP+45°+75°=180°OTP^+45°+75°=180° ⇒ˆOTP=180°−45°−75°=60°⇒OTP^=180°−45°−75°=60° Áp dụng định lí sin cho tam giác OTP ta có: OPsinˆOTP=PTsinˆTOPOPsinOTP^=PTsinTOP^ ⇒2sin60°=PTsin45°⇒PT=2.sin45°sin60°=2.√ 2√ 2=2√ 3.⇒2sin60 °=PTsin45°⇒PT=2.sin45°sin60°=2.2232=263 Vậy PT=2√