Một xe ô tô và một xe máy cùng khởi hành từ A đi đến B với vận tốc mỗi xe không đổi trên toàn bộ quãng đường AB dài 120 km. Tính vận tốc mỗi xe.. Gọi M và N lần lượt là điểm chính giữa [r]
(1)Thi trực tuyến 24h - http://thitructuyen24h.com/
1
ĐÁP ÁN ĐỀ THI VÀO 10 MƠN TỐN THÀNH PHỐ HÀ NỘI 2017 - 2018 Câu (2 điểm)
Cho hai biểu thức x A
x
3 20 25
x B
x x
với x0;x25 1) Tính giá trị biểu thức A x =
Thay x = vào biểu thức A ta có:
A
2) Chứng minh B
x
Ta có:
3 20 3.( 5) 20
25
5 ( 5)( 5) ( 5)( 5)
3 15 20
( 5)( 5) ( 5)( 5)
x x x
B
x
x x x x x
x x x
x x x x x
Suy điều phải chứng minh
3) Tìm tất giá trị x để A = B.|x-4|
2
| | | |
5
2
2
3 ( )
2 ( ) 9( )
1 ( ) ( )
2 ( ) x
x x x
x x
x x x x
x x x x
x tm
x ktm x tm
x tm x tm
x ktm
Vậy giá trị x thỏa mãn yêu cầu đề 9;1 Câu (2 điểm)
Giải tốn sau cách lập phương trình hệ phương trình:
Một xe tơ xe máy khởi hành từ A đến B với vận tốc xe không đổi toàn quãng đường AB dài 120 km Do vận tốc xe ô tô lớn vận tốc xe máy 10 km/h nên ô tô đến B sớm xe máy 36 phút Tính vận tốc xe
Giải:
Gọi vận tốc xe máy v (km/h, v > 0) Vận tốc ô tô v + 10 (km/h)
Độ dài quãng đường AB 120km nên thời gian xe máy 120
v (giờ) Theo đề bài, tơ đến sớm xe máy 36 phút =
5 nên thời gian ô tô là:
120
(2)Thi trực tuyến 24h - http://thitructuyen24h.com/
2 Ta có phương trình:
2
120
10 120
5 1200
120 120
5 1200
6
3
6 1200
40( ) 50( ) v
v v
v v
v
v v
v tm
v ktm
Vậy vận tốc xe máy 40 km/h Vận tốc ô tô 50 km/h
Câu (2,0 điểm)
1) Giải hệ phương trình:
4
x y
x y
Đặt ( 0)
1 ( 0)
x u u y v v
Hệ phương trình trở thành:
2 ( )
4 2 ( )
u v u tm
u v v tm
Với u 1 x 1 x Với v 2 y 1 y
Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y) = (1; 5)
2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = mx +
a) Chứng minh đường thẳng (d) qua điểm A(0; 5) với giá trị m Ta có: 5m.0 5 (ln với m)
Vậy đường thẳng (d) qua điểm A(0; 5)
b) Tìm tất giá trị m để đường thẳng (d) cắt parabol (P): yx2 hai điểm phân biệt có hồnh độ x x (với 1, x1x2) cho |x1| | x2|
Xét phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng (d) parabol (P): mxx
5
mx x hay x2mx 5 0(*)
Để phương trình có nghiệm phân biệt 0 Khi m2200 (ln với m) Vậy đường thẳng (d) cắt (P) hai điểm phân biệt có hồnh độ x x 1, x x nghiệm 1, phương trình x2mx 5 0(*)
Theo định lý Vi-et ta có:
1
x x m x x
(3)Thi trực tuyến 24h - http://thitructuyen24h.com/
3
Vì x1x2 |x1| | x2| mà x x1 20nên x x thỏa mãn 1, 2
2
1
0 x
x
x x
S < 0=> m <
Vậy với m < đường thẳng (d) cắt parabol (P): yx2 hai điểm phân biệt có hồnh độ x x (với 1, x1x2) cho |x1| | x2|
Câu (3,5 điểm)
Cho đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác nhọn ABC Gọi M N điểm cung nhỏ AB cung nhỏ BC Hai dây AN CM cắt điểm I Dây MN cắt cạnh AB BC điểm H K
1) Chứng minh bốn điểm C, N, K, I thuộc đường tròn 2) Chứng minh NB2 NK NM
3) Chứng minh tứ giác BHIK hình thoi
4) Gọi P, Q tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK, tam giác MCK E trung điểm đoạn PQ Vẽ đường kính ND đường trịn (O) CHứng minh ba điểm D, E, K thẳng hàng
Giải:
1)
2
MNAMCB sđAM
C, N, K, I thuộc đường tròn 2) Xét tam giác NBK tam giác NMB ta có:
1
BMN KBN sđ
BN sđ NC
BNM chung NBK
đồng dạng NMB
2
NB NK
NB NM NK
NM NB
3) BHK cân B BHK BKH
Ta có BKH MCN HKI MCN
BKH HKI
MK phân giác góc BMC suy BMK IMK Suy ta tam giác BMK = tam giác IMK (g – c – g) Suy IK = BK (2 cạnh tương ứng) (1)
suy IK = BH (2) Mà BHKHKI Suy BH // KI (3)
(4)Thi trực tuyến 24h - http://thitructuyen24h.com/
4 4) NBK MBK
Nên BN tiếp tuyến B đường tròn (P) ngoại tiếp tam giác MBK Suy BN vng góc với BP
Mà BNBD
Suy B, P, D thẳng hàng Tương tự C, Q, D thẳng hàng
Ta chứng minh tứ giác DPKQ hình bình hành: (do BPK BDCPK/ /DCPK/ /DQ tương tự DP/ /QK)
Suy D, E, K thẳng hàng
Câu (0,5 điểm)
Cho số thực a, b, c thay đổi thỏa mãn: a1,b1,c1 ab bc ca 9 Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức Pa2b2c2
Giải:
Tìm min: Ta có:
2 2 2
2 2
0
a b b c c a
a b c ab bc ca
Suy MinP 9 a b c Tìm max: Ta có:
1 1
1 (1)
a b
a b ab
Tương tự: (2) (3) b c bc
c a ca
2 2
2 2
2 12
2( 36
18
a b c a b c
a b c ab bc ca a b c
Suy Max P = 18
Dấu “=” xảy (1), (2), (3) xảy
4
1 a b
c
a c
b
b c
a
