Bài 1 mệnh đề

BÀI 1: MỆNH ĐỀ Mệnh đề Mệnh đề khẳng định sai Một khẳng định gọi mệnh đề Một khẳng định sai gọi mệnh đề sai Một mệnh đề vừa vừa sai Hoạt động khám phá Xét câu sau đây: (1)  2 (2) Dân ca Quan họ di sản văn hóa phi vật thể đại diện nhân loại (3) Dơi lồi chim (4) Nấm có phải loại thực vật không? (5) Hoa hồng đẹp loại hoa (6) Trời ơi, nóng quá! Trong câu trên, a) Câu khẳng định đúng, câu khẳng định sai? b) Câu khẳng định? c) Câu khẳng định, xác định hay sai? Lời giải a) Câu khẳng định Câu khẳng định Câu khẳng định có giá trị có giá trị sai (1)  2 (1)  2 (2) Dân ca Quan họ di sản văn hóa phi vật thể đại diện nhân loại (2) Dân ca Quan họ di sản văn hóa phi vật thể đại diện nhân loại (3) Dơi loài chim (3) Dơi loài chim (5) Hoa hồng đẹp loại hoa b) Câu câu khẳng định là: (4) Nấm có phải loại thực vật khơng? (6) Trời ơi, nóng q! c) Câu khẳng định khơng thể xác định tính sai là: (5) Hoa hồng đẹp loại hoa Ví dụ Trong câu sau đây, câu mệnh đề? a) 25 số tự nhiên chẵn b) Hà Nội thủ đô Việt Nam c) Mặt trời nổ tung sau 10 tỉ năm d) Các bạn phải tập trung học bài! e) Bạn có khỏe khơng? f)   Lời giải a) “25 số tự nhiên chẵn” mệnh đề (là mệnh đề sai) b) “Hà Nội thủ đô Việt Nam” mệnh đề (là mệnh đề đúng) c) “Mặt trời nổ tung sau 10 tỉ năm nữa” khẳng định chưa thể chắn hay sai Tuy nhiên, chắn hoặc sai Vì vậy, mệnh đề d) “Các bạn phải tập trung học bài!” câu đề nghị, mệnh đề e) “Bạn có khỏe khơng?” câu hỏi, mệnh đề f) “   ” mệnh đề (là mệnh đề sai) Thực hành Trong câu sau, câu mệnh đề? số vô tỉ; 1    2 10 b) ; c) 100 tỉ số lớn; d) Hôm trời đẹp quá! a) Lời giải Các câu mệnh đề: a) số vô tỉ 1    2 10 b) Khẳng định “100 tỉ số lớn” khơng có tính hoặc sai (vì khơng đưa tiêu chí số lớn) Do đó, khơng phải mệnh đề Thực hành Xét tính sai mệnh đề sau: a) Vịnh Hạ Long di sản thiên nhiên giới; b)   5 2  ; c)  12 13 Lời giải a) “Vịnh Hạ Long di sản thiên nhiên giới” mệnh đề b) “   5 2  ” mệnh đề sai Vì   5 2   5 c) “  12 13 ” mệnh đề Mệnh đề chứa biến Hoạt động khám phá Xét câu “ n chia hết cho 5” ( n số tự nhiên) a) Có thể khẳng định câu hay sai khơng? b) Tìm hai giá trị n cho câu khẳng định đúng, hai giá trị n cho câu khẳng định sai Lời giải n a) Câu “ chia hết cho 5” khẳng định, xác định câu khẳng định hay sai Vì khẳng định sai tùy vào giá trị n b) Với n 5 n 10 khẳng định Với n 7 n 8 khẳng định sai Ví dụ Cho mệnh đề chứa biến: a) P  x  :"2 x  5" b) R  x, y  :" x  y 7" ; (Mệnh đề chứa hai biến x y ); T  n  : 2n  c) “ số chẵn” ( n số tự nhiên) Với mệnh đề chứa biến trên, tìm giá trị biến để nhận mệnh đề mệnh đề sai Lời giải x 1  P  1 :"2.1  5" a) Với mệnh đề x 2  P   :"2.2  5" Với mệnh đề sai x 1, y 2  R  1,  :"1  3.2 7" b) Với mệnh đề x 2, y 2  R  2,  :"2  3.2 7" Với mệnh đề sai c) Lấy số tự nhiên n0 ta 2n0  số lẻ Nghĩa T  n0  : “ 2n0  số T  no  n0 n chẵn” mệnh đề sai Do đó, khơng có giá trị T  no  mệnh đề sai với số tự nhiên n0 để mệnh đề Thực hành Với mệnh đề chứa biến sau, tìm giá trị biến để nhận mệnh đề mệnh đề sai a) P  x  :" x 2" ; b) c) a) Q  x  :" x   0" ; R  n : n  “ chia hết cho 3” ( n số tự nhiên) Lời giải P  x  :" x 2" Với x  P   :"  2" mệnh đề P  1 :"  1 2" Với x 1 mệnh đề sai x   Do Q  x0  :" x0   0" mệnh đề với x0 b) Với x0 ta có: c) Với n 4  R   :  6 “ chia hết cho 3” mệnh đề n 3  R  3 :  5 Với “ chia hết cho 3” mệnh đề sai Mệnh đề phủ định Mỗi mệnh đề P có mệnh đề phủ định, kí hiệu P Mệnh đề P mệnh đề phủ định P có tính sai trái ngược Nghĩa P P sai, P sai P Nhận xét: Để phủ định mệnh đề ta thêm (hoặc bớt) từ “không” “khơng phải” vào trước vị ngữ mệnh đề Hoạt động khám phá Xét cặp mệnh đề nằm dịng bảng (có hai cột P P ) sau đây: P P Dơi loài chim Dơi khơng phải lồi chim  khơng phải số hữu tỉ  số hữu tỉ 2  2 3 18 6 18 6 Nêu nhận xét tính sai hai mệnh đề cặp Lời giải P P Dơi loài chim Đây mệnh đề sai dơi đẻ ni sữa Dơi khơng phải lồi chim Đây mệnh đề  số hữu tỉ Đây mệnh đề  số thập phân vô hạn  số hữu tỉ Đây mệnh đề sai khơng tuần hồn 2  2 3 Đây mệnh đề sai Đây mệnh đề 18 6 18 6 Đây mệnh đề Đây mệnh đề sai Ví dụ Lập mệnh đề phủ định mệnh đề sau xét tính sai mệnh đề phủ định: P : “ 13 số nguyên tố” Q : “ không chia hết cho ” R : “Trong tam giác, tổng độ dài hai cạnh lớn độ dài cạnh cịn lại” S : “Phương trình x  x  0 vô nghiệm ” Lời giải Mệnh đề P : “ 13 số nguyên tố” Mệnh đề phủ định P : “ 13 số nguyên tố” Q : “ không chia hết cho ” Q : “ chia hết cho ” R : “Trong tam giác, tổng độ dài hai cạnh lớn độ dài cạnh lại” R : “Trong tam giác, tổng độ dài S : “Phương trình x  x  0 vơ nghiệm” Thực hành hai cạnh khơng lớn độ dài cạnh cịn lại” S : “Phương trình x  x  0 có nghiệm” Tính sai mệnh đề phủ định Sai Sai Sai Đúng Phát biểu mệnh đề phủ định mệnh đề sau Xét tính sai mệnh đề mệnh đề phủ định a) Paris thủ nước Anh; b) 23 số nguyên tố; c) 2021 chia hết cho 3; d) Phương trình x  x  0 vô nghiệm Lời giải Mệnh đề Tính sai “Paris thủ nước Anh" Sai “ 23 số nguyên tố" Đúng “ 2021 chia hết cho 3" Sai “Phương trình x  x  0 vô nghiệm" Đúng Mệnh đề phủ định “Paris thủ đô nước Anh" “ 23 số nguyên tố" “ 2021 khơng chia hết cho 3" “Phương trình x  x  0 có nghiệm" Tính sai Đúng Sai Đúng Sai Mệnh đề kéo theo * Cho hai mệnh đề P Q Mệnh đề '' Nếu P Q '' gọi mệnh đề kéo theo, kí hiệu P  Q Mệnh đề P  Q sai P Q sai Nhận xét: a) Mệnh đề P  Q phát biểu '' P kéo theo Q '' '' Từ P suy Q '' b) Để xét tính sai mệnh đề P  Q , ta cần xét trường hợp P Khi đó, Q mệnh đề đúng, Q sai mệnh đề sai * Trong tốn học, định lí mệnh đề Các định lí tốn học thường có dạng P  Q Khi mệnh đề P  Q định lí, ta nói: P giả thiết, Q kết luận định lí; P điều kiện đủ để có Q ; Q điều kiện cần để có P Hoạt động khám phá Xét hai mệnh đề sau: (1) Nếu ABC tam giác tam giác cân; (2) Nếu 2a   a  a) Xét tính sai mệnh đề b) Mỗi mệnh đề có dạng “Nếu P Q ” Chỉ P Q ứng với mệnh đề Lời giải a) Các mệnh đề (1) (2) mệnh đề b) Mệnh đề (1), P : “ ABC tam giác đều” Q : “ ABC tam giác cân” Mệnh đề (2), P : “ 2a   ” Q : “ a  ” Ví dụ Xét tính sai mệnh đề sau: a) R : “Nếu tam giác ABC vng A có đường trung tuyến AM nửa cạnh huyền BC ”, b) T : “Nếu x  x  ” Lời giải a) R mệnh đề có dạng P  Q , với P : “Tam giác ABC vuông A ” Q : “Tam giác ABC có đường trung tuyến AM nửa cạnh huyền BC ” Ta thấy P đỉnh A nhìn cạnh BC góc vng, tam giác ABC nội tiếp đường trịn tâm M đường kính BC , BC , tức Q Do đó, P  Q hay R suy b) T mệnh đề có dạng P  Q , với P : “ x  ” Q : “ x  ” Ta thấy P x 0 , tức Q sai Do đó, P  Q sai Vậy T mệnh đề sai AM  Ví dụ Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần”, “điều kiện đủ” để phát biểu lại định lí: “Nếu tứ giác ABCD hình thoi tứ giác ABCD có hai đường chéo vng góc với nhau” Lời giải Ta phát biểu lại định lí sau: “Tứ giác ABCD có hai đường chéo vng góc với điều kiện cần để hình thoi” “Tứ giác ABCD hình thoi điều kiện đủ để có hai đường chéo vng góc với nhau” Thực hành Xét hai mệnh đề: P : “Hai tam giác ABC ABC  nhau”; Q : “Hai tam giác ABC ABC  có diện tích nhau” a) Phát biểu mệnh đề P  Q b) Mệnh đề P  Q có phải định lí khơng? Nếu có, sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần”, “điều kiện đủ” để phát biểu định lí theo hai cách khác Lời giải a) Phát biểu mệnh đề P  Q : “Nếu tam giác ABC ABC  chúng có diện tích nhau” b) Mệnh đề P  Q mệnh đề Do định lí tốn học Khi đó, ta phát biểu lại sau: “Hai tam giác ABC ABC  có diện tích điều kiện cần để chúng nhau” “Hai tam giác ABC ABC  điều kiện đủ để chúng có diện tích nhau” Mệnh đề đảo Hai mệnh đề tương đương +) Mệnh đề Q  P gọi mệnh đề đảo mệnh đề P  Q +) Mệnh đề đảo mệnh đề không thiết +) Nếu hai mệnh đề P  Q Q  P ta nói P Q hai mệnh đề tương đương, kí hiệu: P  Q (đọc “ P tương đương Q ” “ P Q ” “ P Q ” “ P điều kiện cần đủ để có Q ” “ Q điều kiện cần đủ để có P ” +) Hai mệnh đề P Q tương đương chúng sai Hoạt động khám phá Xét hai mệnh đề dạng P  Q sau: “Nếu tam giác ABC có hai góc 60 ”; “Nếu a  0 a 2 ” a) Chỉ P , Q xét tính sai mệnh đề b) Với mệnh đề cho, phát biểu mệnh đề Q  P xét tính sai Lời giải a) +) Mệnh đề “Nếu tam giác ABC có hai góc 60 ” mệnh đề có dạng P  Q , với P : “Tam giác ABC đều” Q : “Tam giác ABC có hai góc 60 ” Ta thấy P Q Do P  Q Vậy mệnh đề “Nếu tam giác ABC có hai góc 60 ” mệnh đề 2 +) Mệnh đề: “Nếu a  0 a 2 ” mệnh đề có dạng P  Q , với P : “ a  0 ” Q : “ a 2 ” Ta thấy P Q sai (vì a  0 a 2 a  ) Do P  Q sai Vậy mệnh đề “Nếu a  0 a 2 ” mệnh đề sai b) +) P  Q : “Nếu tam giác ABC có hai góc 60 ” Q  P : “Nếu tam giác ABC có hai góc 60 tam giác đều” Mệnh đề mệnh đề +) P  Q : “Nếu a  0 a 2 ” Q  P : “Nếu a 2 a  0 ” Mệnh đề mệnh đề Ví dụ Xét hai mệnh đề P : “Tam giác ABC cân A ”; Q : “Tam giác ABC có AB  AC ” Hai mệnh đề P Q có tương đương khơng? Nếu có, phát biểu định lý thể điều này, có sử dụng thuật ngữ “khi khi” “điều kiện cần đủ” Lời giải Nhận thấy hai mệnh đề P  Q Q  P Do P Q hai mệnh đề tương đương Ta phát biểu thành định lí sau: “Tam giác ABC cân A AB  AC ” “Để tam giác ABC cân A , điều kiện cần đủ AB  AC ” Thực hành Xét hai mệnh đề: P : “Tứ giác ABCD hình vng”; Q : “Tứ giác ABCD hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc với nhau” a) Phát biểu mệnh đề P  Q mệnh đề đảo b) Hai mệnh đề P Q có tương đương khơng? Nếu có, sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần đủ” “khi khi” để phát biểu định lí P  Q theo hai cách khác Lời giải a) P  Q : “Nếu tứ giác ABCD hình vng hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc với nhau” Q  P : “Nếu tứ giác ABCD hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc với hình vng” b) Nhận thấy hai mệnh đề P  Q Q  P Do P Q hai mệnh đề tương đương Ta phát biểu định lí P  Q theo hai cách sau: “Để tứ giác ABCD hình vng, điều kiện cần đủ tứ giác ABCD hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc với nhau” “Tứ giác ABCD hình vng hình chữ nhật có hai đường chéo vng góc với nhau” Mệnh đề chứa ký hiệu  ,  +) Trong toán học, để ngắn gọn, người ta dùng ký hiệu  (đọc với mọi)  (đọc tồn tại) để phát biểu mệnh đề x  M , P  x  x  M , P  x  P  x Ví dụ: “ ” hay “ ” với M tập hợp mệnh đề chứa biến +) Mệnh đề “ x  M , P  x  P  x0  ” với x0  M , mệnh đề x  M , P  x  x  M cho P  x0  mệnh đề +) Mệnh đề “ ” có Hoạt động khám phá Xét tính sai mệnh đề sau: (1) Với số tự nhiên x , x số vơ tỉ; (2) Bình phương số thực khơng âm; (3) Có số ngun cộng với ; (4) Có số tự nhiên n cho 2n  0 Lời giải Mệnh đề (1) mệnh đề sai Ví dụ với x 4 x 2 khơng phải số vơ tỉ Mệnh đề (2) mệnh đề Mệnh đề (3) mệnh đề số cộng với số tự nhiên Mệnh đề (4) mệnh đề sai 2n  0 Ví dụ Xét tính sai viết mệnh đề phủ định mệnh đề sau:  n a) x  , x  x   ; b) x  , x  0 Lời giải   x  x    x     a) Mệnh đề đúng, x  x   với số thực x Mệnh đề phủ định mệnh đề là: x  , x  x  0 b) Mệnh đề sai, x  0  x  số tự nhiên Mệnh đề phủ định mệnh đề là: x  , x  0 Thực hành Sử dụng kí hiệu  ,  để viết mệnh đề sau: a) Mọi số thực cộng với số đối ; b) Có số tự nhiên mà bình phương Lời giải a) x  , x    x  0 b) x  , x 9 Thực hành Xét tính sai viết mệnh đề phủ định mệnh đề sau: a) x  , x  ; b) x  , x 5 x  ; c) x  , x  0 Lời giải a) Mệnh đề sai 0 2 Mệnh đề phủ định mệnh đề “ x  , x  ” là: “ x  , x 0 ” b) Mệnh đề phương trình x 5 x  có hai nghiệm x 1 x 4 2 Mệnh đề phủ định mệnh đề “ x  , x 5 x  ” là: “ x  , x 5 x  ”  x  khơng phải số ngun c) Mệnh đề sai x  0 Câu Mệnh đề phủ định mệnh đề “ x  , x  0 ” là: “ x  , x  0 ” BÀI TẬP [ Mức độ 1] Trong khẳng định sau, khẳng định mệnh đề, khẳng định mệnh đề chứa biến? a)   ; c) x  y 2 ; b)  x 0 ; d)  0; Lời giải Câu a) câu khẳng định sai Câu d) câu khẳng định Nên a) d) mệnh đề Câu b) câu c) mệnh đề chứa biến Câu [ Mức độ 2] Xét tính sai mệnh đề sau phát biểu mệnh đề phủ định chúng a) 2019 chia hết cho ; b)   3,15 ; c) Nước ta có thành phố trực thuộc Trung ương; d) Tam giác có hai góc 45 tam giác vng cân Lời giải - Câu a) mệnh đề Đúng Vì tổng chữ số số 2019 12 , số chia hết cho (Dấu hiệu chia hết cho ) Mệnh đề phủ định “ 2019 không chia hết cho ” -Câu b) mệnh đề Đúng Vì  3,14  3,15 Mệnh đề phủ định “  3,15 ” -Câu c) mệnh đề Đúng (Thời điểm năm 2020 , thành phố trực thuộc Trung ương gồm Hà Nội, Hải Phịng, Đà Nẵng, Thành phố Hồ Chí Minh, Cần Thơ) (Chú ý: Về sau, có thay đổi mệnh đề sai) Mệnh đề phủ định “Khơng phải nước ta có thành phố trực thuộc Trung ương” -Câu d) mệnh đề Đúng Vì tổng góc tam giác ln 180 , nên tam giác có hai góc 0 45 tam giác cân có góc cịn lại 90 Câu Mệnh đề phủ định “Tam giác có hai góc 45 khơng phải tam giác vuông cân” [ Mức độ 2] Xét hai mệnh đề: P : “Tứ giác ABCD hình bình hành”; Q : “Tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt trung điểm đường” a) Phát biểu mệnh đề P  Q xét tính sai b) Phát biểu mệnh đề đảo mệnh đề P  Q Lời giải a) P  Q : “Nếu tứ giác ABCD hình bình hành có hai đường chéo cắt trung điểm đường” Đây mệnh đề Đúng Câu b) Q  P : “Nếu tứ giác ABCD có có hai đường chéo cắt trung điểm đường hình bình hành” [ Mức độ 3] Cho mệnh đề sau: P : “Giá trị tuyệt đối số thực lớn nó”; Q : “Có số tự nhiên cho bình phương 10 ”; R : “Có số thực x cho x  x  0 ” a) Xét tính sai mệnh đề b) Sử dụng kí hiệu ,  để viết lại mệnh đề cho Lời giải a) P mệnh đề Đúng Q mệnh đề Sai, 10 khơng phải số phương R mệnh đề Đúng, phương trình x  x  0 có  8  nên ln có hai nghiệm thực phân biệt b) Viết lại mệnh đề: P : '' x  , x  x '' Q : '' n  , n 10 '' R : '' x  , x  x  0 '' Câu [ Mức độ 2] Xét tính sai viết mệnh đề phủ định mệnh đề sau đây: 2 b) x  , x  2 x c) a  , a a Lời giải a) Mệnh đề sai, có số x  thỏa mãn x  0 , mà x    a) x  , x  0 Mệnh đề phủ định: x  , x  0  x  1 0 nên x 1 2 x Do đó, mệnh đề b) Với x   , ta có Mệnh đề phủ định: x  , x   x c) Mệnh đề sai, với a    1    1 1 Mệnh đề phủ định: a  , a a Câu [ Mức độ 2] Cho định lí: P : “Nếu hai tam giác diện tích chúng nhau”; Q: “Nếu a  b a  c  b  c ” ( a, b , c   ) a) Chỉ giả thiết kết luận định lí b) Phát biểu lại định lí cho, sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần” “điều kiện đủ” c) Mệnh đề đảo định lí có định lí khơng? Lời giải a) Giả thiết kết luận hai định lí sau: b) P : “Hai tam giác điều kiện đủ để diện tích hai tam giác nhau” P : “Để hai tam giác nhau, điều kiện cần diện tích chúng nhau” Q : “ a  b điều kiện đủ để a  c  b  c ” Q : “ a  c  b  c điều kiện cần để a  b ” ( a, b , c   ) c) Mệnh đề đảo định lí P : “Nếu hai tam giác có diện tích hai tam giác nhau” Mệnh đề sai nên khơng phải định lí Câu Mệnh đề đảo định lí Q là: “ a  c  b  c a  b ” ( a, b , c   ), định lí [ Mức độ 2] Sử dụng thuật ngữ “điều kiện cần đủ”, phát biểu lại định lí sau: a) Một phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt biệt thức dương b) Một hình bình hành hình thoi có hai đường chéo vng góc với ngược lại Lời giải a) Điều kiện cần đủ để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt có biệt thức (đelta) dương b) Để hình bình hành hình thoi, điều kiện cần vả đủ có hai đường chéo vng góc với