Chương 5 đại số tổ hợp

Chương V ĐẠI SỐ TỔ HỢP BÀI QUY TẮC CỘNG QUY TẮC NHÂN A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Quy tắc cộng Một cơng việc hồn thành hai hành động Nếu hành động thứ có m cách thực hiện, hành động thứ hai có n cách thực (các cách thực hai hành động khác đơi một) cơng việc có m  n cách hồn thành Nhận xét: Tương tự, ta có quy tắc sau: Một cơng việc hồn thành ba hành động Nếu hành động thứ có m cách thực hiện, hành động thứ hai có n cách thực hiện, hành động thứ ba có p cách thực (các cách thực ba hành động khác đơi một) cơng việc có m  n  p cách hoàn thành Quy tắc nhân Một cơng việc hồn thành hai hành động liên tiếp Nếu hành động thứ có m cách thực ứng với cách thực hành động thứ nhất, có n cách thực hành động thứ hai cơng việc có m.n cách hồn thành Nhận xét: Tương tự, ta có quy tắc sau: Một cơng việc hồn thành ba hành động liên tiếp Nếu hành động thứ có m cách thực hiện; ứng với cách thực hành động thứ nhất, có n cách thực hành động thứ hai; ứng với cách thực hành động thứ cách thực hành động thứ hai có p cách thực hành động thứ ba cơng việc có m n p cách hồn thành Sơ đồ hình - So đồ hình (Hình I) sơ đồ bắt đầu nút với nhánh toả nút bổ sung - Ta sử dụng sơ đồ hình để đếm số cách hồn thành cơng việc cơng việc địi hỏi hành động liên tiếp B VÍ DỤ Vấn đề Đếm quy tắc cộng Chú ý: Cách thực hành động thứ khơng trùng với cách hành động thứ hai Ví dụ Gia đình bạn Dương dự định chọn địa điểm du lịch Quy Nhơn (Bình Định) Đà Nẵng Nếu chọn Quy Nhơn có địa điểm tham quan (Hình 2), chọn Đà Nã̃ng có địa điểm tham quan (Hình 3) Hỏi gia đình bạn Dương có cách để chọn địa điểm tham quan? Giải Nếu chọn Quy Nhơn có cách chọn địa điểm tham quan Nếu chọn Đà Nã̃ng có cách chọn địa điểm tham quan Vậy gia đình bạn Dương có  12 cách chọn địa điểm tham quan Vấn đề Đếm quy tắc nhân Ví dụ Gia đình bạn Dương dự định chọn địa điểm du lịch Quy Nhơn, sau tham quan tiếp địa điểm du lịch Đà Nẵng Biết rằng, chọn Quy Nhơn có địa điểm tham quan (Hình 2), chọn Đà Nẵng có địa điểm tham quan (Hình 3) Hỏi gia đình bạn Dương có cách để chọn hai địa điểm Quy Nhơn Đà Nã̃ng để tham quan theo dự định trên? Giải Việc chọn hai địa điểm Quy Nhơn Đà Nã̃ng để tham quan thực hai hành động liên tiếp: chọn địa điểm Quy Nhơn, sau chọn địa điểm Đà Nã̃ng Có cách chọn địa điểm tham quan Quy Nhơn Với cách chọn địa điểm tham quan Quy Nhơn, có cách chọn địa điểm tham quan Đà Nẵng Vậy gia đình bạn Dương có tất 7 35 cách chọn hai địa điểm Quy Nhơn Đà Nẵng để tham quan theo dự định Vấn đề Đếm sơ đồ hình Ví dụ Cho kiểu gen AABBDdEe Giả sử trình giảm phân tạo giao tử bình thường, khơng xảy đột biến a) Vẽ sơ đồ hình biểu thị hình thành giao tử b) Từ đó, tính số loại giao tử kiểu gen AABBDdEe Giải a) Sơ đồ hình biểu thị hình thành giao tử: b) Từ sơ đồ hình cây, ta có loại giao tử kiểu gen AABBDdEe C BÀI TẬP Một cơng việc hồn thành ba hành động Nếu hành động thứ có a cách thực hiện, hành động thứ hai có b cách thực hiện, hành động thứ ba có c cách thực (các cách thực ba hành động khác đơi một) số cách hồn thành cơng việc là: A abc B a  b  c D ab  c C Một cơng việc hồn thành ba hành động liên tiếp Nếu hành động thứ có a cách thực hiện; ứng với cách thực hành động thứ nhất, có b cách thực hành động thứ hai; ứng với cách thực hành động thứ cách thực hành động thứ hai có c cách thực hành động thứ ba số cách hồn thành cơng việc là: A abc B a  b  c C D ab  c Lớp 10 A có 10 bạn nữ 25 bạn nam Có cách chọn bạn để làm lớp trưởng? Bạn Nam có sách Tốn, sách Vật lí sách Hóa học, sách khác Hỏi bạn Nam có cách chọn sách để đọc?  Cho 20 điểm phân biệt Hỏi lập vectơ khác ? Biết hai đầu mút vectơ 20 điểm cho Bạn Quân dự định đặt mật cho vali dãy có kí tự chữ số Hỏi có cách để Quân đặt mật cho vali? Lớp 10 A có 30 học sinh Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn ban cán lớp gồm thành viên: lớp trưởng, lớp phó học tập, lớp phó văn thể Hỏi giáo viên có cách chọn ban cán lớp? Trong loạt đá luân lưu hai đội tuyển, huấn luyện viên đội phải lập danh sách cầu thủ từ 11 cầu thủ sân xếp thứ tự đá luân lưu họ Hỏi huấn luyện viên có cách lập danh sách cầu thủ đá luân lưu? Biết ông để đội trưởng người sút lượt thứ tiền đạo cắm (không phải đội trưởng) người sút lượt thứ ba Có 10 cặp vợ chồng dự tiệc Tính số cách chọn nam nữ bữa tiệc để phát biểu ý kiến, cho: a) Hai người cặp vợ chồng; b) Hai người không vợ chồng 10 Cho kiểu gen AaBBDdEe Giả sử trình giảm phân tạo giao tử bình thường, không xảy đột biến a) Vẽ sơ đồ hình biểu thị hình thành giao tử b) Từ đó, tính số loại giao tử kiểu gen AaBBDdEe D LỜI GIẢI THAM KHẢO B A 10  25 35 (cách chọn)   19 (cách chọn) 20.19 380 (vectơ) 10 1000 (cách) 30 29 28 24360 (cách chọn) Vì đội trưởng người sút lượt thứ tiền đạo cắm người sút lượt thứ ba nên lượt sút thứ hai, thứ tư, thứ năm để xếp Sau xếp lượt sút đội trưởng tiền đạo cắm cịn cầu thủ để chọn Vậy số cách lập danh sách cầu thủ đá luân lưu 9.8.7 504 a) Có 10 cách chọn nam Sau chọn nam, có cách chọn nữ cho hai người vợ chồng Vậy có 10.1 10 cách chọn hai người cặp vợ chồng b) Có 10 cách chọn nam Sau chọn nam, có cách chọn nữ không vợ nam chọn Vậy có 10.9 90 cách chọn hai người khơng vợ chồng 10 a) Học sinh tự làm b) Có loại giao tử kiểu gen AaBBDdEe BÀI HOÁN VỊ CHỈNH HỢP A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Hoán vị n  * n A Cho tập hợp gồm phần tử   - Mỗi kết xếp thứ tự n phần tử tập hợp A gọi hoán vị n phần tử - Kí hiệu Pn số hốn vị n phần tử Ta có: Pn n(n  1).2.1 n ! Chỉnh hợp Cho tập hợp A gồm n phần tử số nguyên k với k n - Mỗi kết việc lấy k phần tử từ n phần tử tập hợp A xếp chúng theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử cho k - Kí hiệu An số chỉnh hợp chập k n phần tử (1 k n) k Ta có: An n(n  1) (n  k  1) B VÍ DỤ Vấn đề Tính số hốn vị Ví dụ Trong học thể dục, thầy giáo yêu cầu lớp chia thành nhóm tự luyện tập Nhóm bạn An có cách xếp thành hàng dọc? Biết nhóm An có người Giải Mỗi cách xếp thứ tự vị trí cho bạn hốn vị phần tử Vậy số cách xếp nhóm bạn An thành hàng dọc là: P6 6! 720 Ví dụ Từ chữ số 1, 2,3, 4,5, 6, , ta lập số tự nhiên có chữ số đôi khác nhau? Giải Mỗi số tự nhiên lập hoán vị chữ số cho Số số tự nhiên lập là: P7 7! 5040 Ví dụ Từ chữ số 0,1, 2,3, 4,5, 6, , ta lập số tự nhiên có chữ số đôi khác nhau? Giải Xét số tự nhiên có dạng a1a2 a3a4 a5 a6 a7 a8 Trường hợp 1: a1 khác Với a1 khác , số có dạng hốn vị chữ số cho Do đó, số số lập trường hợp là: P8 8! 40320 Trường hợp 2: a1 0 Vì a1 0 cố định nên chữ số sau a1 khác có chữ số thay đổi Suy ra, số có dạng 0a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 hoán vị chữ số khác cho Do đó, số số lập trường hợp là: P7 7 ! = 5040 Vậy số số tự nhiên có chữ số đơi khác lập là: 40320  5040 35280 Ví dụ Bạn Nam có sách Toán, sách Tiếng Anh (các sách khác nhau) Hỏi có cách xếp sách thành hàng ngang cho: a) Các sách mơn xếp cạnh (khơng có sách Toán nằm hai sách Tiếng Anh ngược lại)? b) Các sách Tốn xếp cạnh nhau? Giải a) Xếp sách Toán cạnh thành nhóm có P4 4! 24 (cách) Xếp sách Tiếng Anh cạnh thành nhóm có P6 6! 720 (cách) Có P2 2! 2 cách xếp hai nhóm sách Vậy số cách xếp sách cho sách môn xếp cạnh là: 24.720.2 34560 b) Xếp sách Tốn cạnh thành nhóm có P4 4! 24 (cách) Coi nhóm sách Tốn sách, gọi A , xếp sách A sách Tiếng Anh có P7 7! 5040 (cách) Vậy số cách xếp sách cho sách Tốn xếp cạnh là: 24.5040 120960 Vấn đề Tính số chỉnh hợp Ví dụ Bạn Dũng mua điện thoại muốn lập mật có chữ số đơi khác Hỏi bạn Dũng có cách để lập mật khẩu? Giải Mỗi mật lập cách chọn chữ số từ 10 chữ số xếp thứ tự chúng, tức chịnh hợp chập 10 phần tử Vậy bạn Dũng có A10 151200 (cách lập mật khẩu) Ví dụ Từ chữ số 1, 2,3, 4,5, 6, , ta lập số tự nhiên có chữ số đơi khác nhau? Giải Mỗi số tự nhiên lập chỉnh hợp chập chữ số cho Số số tự nhiên lập là: A75 2520 Ví dụ Trong buổi kỉ niệm ngày thành lập trường, bí thư Đồn trường cần chọn tiết mục từ tiết mục hát tiết mục từ tiết mục múa xếp thứ tự biểu diền Hỏi có cách chọn xếp thứ tự cho tiết mục hát múa xen kẽ nhau? Giải Giả sử tiết mục biểu diễn đánh số thứ tự từ đến Vì số lượng tiết mục hát múa nên có hai trường hợp: Trường hợp 1: Tiết mục hát diễn Khi đó, tiết mục hát có số thứ tự số lẻ, cịn tiết mục múa có số thứ tự số chẵn Như vậy, thứ tự tiết mục múa hát cố định, thay đổi thứ tự tiết mục múa, tiết mục hát Chọn tiết mục hát từ tiết mục hát xếp thứ tự có A6 360 (cách) Chọn tiết mục múa từ tiết mục múa xếp thứ tự có A5 120 (cách) Khi đó, số cách chọn xếp thứ tự tiết mục văn nghệ trường hợp tiết mục hát diễn là: 360.120 43200 Trường hợp 2: Tiết mục múa diễn Tương tự, số cách chọn xếp thứ tự tiết mục văn nghệ trường hợp tiết mục múa diễn là: 120.360 43200 Vậy số cách chọn xếp thứ tự tiết mục văn nghệ cho tiết mục hát múa xen kẽ là: 43200  43200 86400 C BÀI TÂP n  * 11 Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi hoán vị n phần tử là:   A Một kết xếp thứ tự n phần tử tập hợp A B Tất kết xếp thứ tự n phần tử tập hợp A C Một số tính n( n  1) .2 D Một số tính n ! 12 Cho tập hợp A gồm n phần tử số nguyên k với k n Mỗi chỉnh hợp chập k n phần tử cho là: A Một kết xếp thứ tự n phần tử tập hợp A B Tất kết việc lấy k phần tử từ n phần tử tập hợp A xếp chúng theo thứ tự C Một kết việc lấy k phần tử từ n phần tử tập hợp A xếp chúng theo thứ tự D Một số tính n( n  1) ( n  k  1) 13 Cho k , n số nguyên dương, k n Trong phát biểu sau, phát biểu sai? k A An n(n  1)  (n  k  1) B Pn n(n  1)  2.1 C Pn n ! D Ank  n! k! 14 Từ chữ số 1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9 , ta lập số tự nhiên: a) Gồm chữ số đôi khác nhau? b) Gồm chữ số đôi khác nhau? 15 Từ chữ số 0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8 , 9, ta lập số tự nhiên: a) Gồm 10 chữ số đôi khác nhau? b) Gồm chữ số đơi khác nhau? 16 Một tổ có học sinh gồm nữ nam Có cách xếp học sinh tổ: a) Thành hàng dọc? b) Thành hàng dọc cho nam, nữ đứng xen kẽ nhau? 17 90 học sinh trường tổ chức cho xem kịch rạp hát thành phố Các ghế rạp thành hàng Mỗi hàng có 30 ghế a) Có cách xếp 30 học sinh để ngồi vào hàng đầu tiên? b) Sau xếp xong hàng đầu tiên, có cách xếp 30 học sinh để ngồi vào hàng thứ hai? c) Sau xếp xong hai hàng đầu, có cách xếp 30 học sinh để ngồi vào hàng thứ ba? 18 Bạn Đan chọn mật cho email gồm kí tự đơi khác nhau, đó, kí tự chữ bảng gồm 26 chữ in thường, kí tự chữ số, kí tự cuối kí tự đặc biệt Bạn Đan có cách tạo mật khẩu? 19 Một lớp có 40 học sinh chụp ảnh tổng kết năm học Lớp muốn ảnh có 18 học sinh ngồi hàng đầu 22 học sinh đứng hàng sau Có cách xếp vị trí chụp ảnh vậy? D LỜI GIẢI THAM KHẢO 11 A 12 C 13 D 14 a) Có P9 9! 362880 (số) b) Có A9 181440 (số) 15 a) Có 10! 9! 3265920 (số) b) Có A10  A9 136080 (số) 16 a) Có 8! 40320 cách xếp b) Vì số lượng nam nữ nên có hai trường hợp: nam đứng đầu hàng nữ đứng đầu hàng Số cách xếp nam đứng đầu hàng 4!.4! 576 Số cách xếp nữ đứng đầu hàng 4!.4! 576 Vậy số cách xếp hàng dọc cho nam, nữ đứng xen kẽ là: 576  576 1152 30 17 a) Có A90 cách xếp 30 học sinh ngồi vào hàng 30 b) Sau xếp xong hàng đầu tiên, 60 học sinh Khi đó, có A60 cách xếp 30 học sinh ngồi vào hàng thứ hai c) Sau xếp xong hai hàng đầu, 30 học sinh Khi đó, có 30 ! cách xếp 30 học sinh lại ngồi vào hàng thứ ba 18 Có A26 650 cách chọn kí tự đầu Có A10 720 cách chọn kí tự Có cách chọn kí tự cuối Vậy số cách tạo mật là: 650 720 3=1404 000 18 19 Cách 1: Chọn 18 học sinh ngồi hàng đầu có A40 cách Xếp vị trí 22 học sinh cịn lại đứng hàng sau có 22 ! cách 18 Vậy số cách xếp vị trí chụp ảnh A40 22 ! Cách 2: Vì ta xếp vị trí 40 học sinh chia 18 học sinh ngồi hàng đầu 22 học sinh đứng hàng sau nên số cách xếp vị trí chụp ảnh tính 40 ! BÀI TỔ HỢP A KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định nghĩa Cho tập hợp A gồm n phần tử số nguyên k với k n Mỗi tập gồm k phần tử lấy từ n phần tử A gọi tổ hợp chập k n phần tử Số tổ hợp k n Kí hiệu C số tổ hợp chập k n phần tử với k n Ta có: Với quy ước trên, ta có: Cnk  Cnk  Ank k ! Quy ước: 0! 1; Cn 1 n! k !(n  k )! với k n k Tính chất số Cn k n k k k k Ta có hai đẳng thức sau: Cn Cn (0 k n) Cn   Cn  Cn (1 k  n) B VÍ DỤ Vấn đề Tính số tổ hợp Ví dụ Một lớp có 24 học sinh nam 16 học sinh nữ Có cách chọn: a) học sinh làm ban cán lớp? b) học sinh làm ban cán lớp cho có học sinh nam? c) học sinh làm ban cán lớp cho có học sinh nam? Giải a) Mỗi cách chọn học sinh 40 học sinh tổ hợp chập 40 Số cách chọn học sinh làm ban cán lớp là: C40 9880 b) Mỗi cách chọn học sinh nam 24 học sinh nam tổ hợp chập 24 Số cách chọn học sinh nam 24 học sinh nam là: C24 276 Mỗi cách chọn học sinh nữ 16 học sinh nữ tổ hợp chập 16 Số cách chọn học sinh nữ 16 học sinh nữ là: C161 16 Vậy số cách chọn học sinh làm ban cán lớp cho có học sinh nam là: 276.16 4416 c) Cách 1: Để ban cán lớp có học sinh nam xảy trường hợp: Trường hợp 1: Chọn học sinh nam học sinh nữ có C24 C16 24 120 2880 (cách chọn) Trường hợp 2: Chọn học sinh nam học sinh nữ có C24 C16 276 16 4416 (cách chọn) Trường hợp 3: Chọn học sinh nam có C24 2024 (cách chọn) Vậy số cách chọn học sinh làm ban cán lớp cho có học sinh nam là: 2880  4416  2024 9320 Cách 2: Số cách chọn học sinh làm ban cán lớp là: C40 9880 Số cách chọn học sinh nữ làm ban cán lớp là: C16 560 Vậy số cách chọn học sinh làm ban cán lớp cho có học sinh nam là: 9880  560 9320 Vấn đề Chứng minh hệ thức tổ hợp Ví dụ Chứng minh rằng: k n k a) Cn Cn với k n ; k1 k k b) Cn   Cn  Cn với k  n Giải Ta có: a) Cnk  n! n! n!   Cnn  k k !(n  k )! [n  (n  k )]!(n  k )! (n  k )![n  (n  k )]! b) Cnk 11  Cnk  (n  1)! (n  1)!  (k  1)![(n  1)  (k  1)]! k ![(n  1)  k ]!  k n  k  (n  1)!(k  n  k ) (n  1)!    k !(n  k )!  k !(n  k )! k !(n  k )!  n!  Cnk k !(n  k )! C BÀI TẬP 20 Cho tập hợp A gồm n phần tử số nguyên k với k n Mỗi tổ hợp chập k n phần tử là: A Tất kết việc lấy k phần tử từ n phần tử tập hợp A xếp chúng theo thứ tự 10 B Một tập gồm k phần tử lấy từ n phần tử A C Một kết việc lấy k phần tử từ n phần tử tập hợp A xếp chúng theo thứ tự D Tất tập gồm k phần tử lấy từ n phần tử A 21 Cho k , n số nguyên dương, k n Trong phát biểu sau, phát biểu sai? A Cnk  Ank k! k n k B Cn Cn Ank C  (n  k )! C k n D Cnk  n! k !(n  k )! 22 Tính số đoạn thẳng có hai đầu mút 10 điểm phân biệt 23 Cho n điểm phân biệt ( n  1) Biết rằng, số đoạn thẳng có hai đầu mút n điểm cho 78 Tìm n 24 Tính số đường chéo đa giác lồi có 12 đỉnh 25 Cho đa giác lồi n đỉnh ( n  3) Biết rằng, số đường chéo đa giác 170 Tìm n 26 Bạn Nam đến cửa hàng mua ghế loại A Tại cửa hàng, ghế loại A màu xanh có 20 ghế loại A màu đỏ có 15 Hỏi bạn Nam có cách chọn mua ghế loại A ? 27 Chứng minh rằng: k k a) kCn nCn  với k n ; 1 Cnk  Cnk11 n 1 b) k  với k n D LỜI GIẢI THAM KHẢO 20 B 21 C 22 Mỗi đoạn thẳng tương ứng với cặp điểm (khơng tính thứ tự) chọn 10 điểm phân biệt nên có C102 45 đoạn thẳng 23 Số đoạn thẳng có hai đầu mút n điểm cho Cn2  n! 2!(n  2)! Theo đề bài, ta có: n! (n  2)!(n  1)n 78  156  n2  n  156 0 2!(n  2)! (n  2)! Giải phương trình n  n  156 0(n  1) ta có: n 13 n  12 (loại) Vậy n 13 11 24 Mỗi đường chéo tương ứng với cặp đỉnh (khơng tính cạnh) chọn 12 đỉnh đa giác lồi nên có C122  12 54 đường chéo 25 Số đường chéo đa giác lồi n đỉnh Cn2  n  n! n 2!(n  2)! n!  n 170  (n  1)n  n 340  n2  3n  340 0 Theo đề bài, ta có: 2!(n  2)! Giải phương trình ( n  3) ta có: n 20 n  17 (loại) Vậy n 20 26 Tổng số ghế loại A là: 20  15 35 (chiếc) Vậy số cách chọn mua ghế loại A là: C35 595 27 Ta có: a) kCnk k n! k n ! (n  1)!  n k k !( n  k )! k (k  1)!(n  k )! (k  1)![(n  1)  (k  1)]! nCn  (n  1)! 1 n! n!    Cnk11 Cnk    k  k !(n  k )! (k  1)!(n  k )! n  (k  1)![(n  1)  (k  1)]! n  b) k  Bài NHỊ THỨC NEWTON A KIẾN THỨC CẦN NHỚ n Công thức khai triển nhị thức Newton ( a  b) với n 4, n 5 : (a  b)4 (a  b)5 C40 a  C41 a3 b  C42 a2 b2  C43ab3  C44 b a  4a3 b  6a b  4ab3  b C50 a5  C51a b  C52 a3b2  C53a2 b  C54 ab  C55b a  5a b  10a3 b  10a2 b3  5ab  b 4 2 Nhận xét: ( a  b) a  4a b  6a b  4ab  b (a  b)5 a  5a b  10a 3b  10a b  5ab  b B VÍ DỤ n Vấn đề Khai triển nhị thức ( a  b) với n 4, n 5 Ví dụ Khai triển biểu thức sau: a) ( a  2) ; b) ( a  2) Giải 12 4 2 4 a) ( a  2) a  a 2  a 2  a 2  a  8a  24a  32 a  16 4 2 4 b) (a  2) a  a 2  a 2  a 2  a  8a  24a  32a  16 Ví dụ Cho x số thực khác Khai triển biểu thức sau: 1  x  x a)  4 1  x  x b)  Giải 4 4 1   1  1 2 1  x   x  x  x    x      x  x    x x x x  x  x  x a)  1   1  1 2 1  x   x  x  x    x       x  x    x x x x  x  x  x b)  Ví dụ Khai triển biểu thức sau: a) (2 x  1) b) (2 x  1) Giải 5 2 a) (2 x  1) (2 x)  (2 x) 1 10 (2 x) 1  10 (2 x) 1  (2 x) 1 1 32 x  80 x  80 x  40 x  10 x  5 2 b) (2 x  1) (2 x)  (2 x) 1 10 (2 x) 1  10 (2 x) 1  (2 x) 1  32 x  80 x  80 x3  40 x  10 x  n k Vấn đề Xác định hệ số x khai triển biểu thức (ax  b) với n 4 , n 5 Ví dụ Xác định hệ số x khai triển biểu thức (3 x  4) Giải 3 Số hạng chứa x khai triển biểu thức (3 x  4) (3 x) ( 4)  432 x Vậy hệ số x khai triển biểu thức (3 x  4)  432 Ví dụ Xác định hệ số x khai triển biểu thức (3 x  2) Giải 2 Số hạng chứa x khai triển biểu thức (3 x  2) 10 (3 x) ( 2)  720 x 13 Vậy hệ số x khai triển biểu thức (3 x  2)  720 C BÀI TẬP 28 Trong phát biểu sau, phát biểu sai? 4 2 A ( a  b) a  4a b  6a b  4ab  b 4 2 B ( a  b) a  4a b  6a b  4ab  b 4 2 C ( a  b) b  4b a  6b a  4ba  a 4 D ( a  b) a  b 29 Trong phát biểu sau, phát biểu đúng? 5 2 A (a  b) a  5a b  10a b  10a b  5ab  b 5 2 B (a  b) a  5a b  10a b  10a b  5ab  b 5 C (a  b) a  b 5 D (a  b) a  b 30 Hệ số x khai triển biểu thức (2 x  1) là: A 32 B  32 C D  31 Hệ số x khai triển biểu thức ( x  2) là: A 32 B  32 C 80 D  80 32 Khai triển biểu thức sau: a) (4 x  1) ; b) (5 x  3) 1   x  5  c)  14 1   3x   3 d)  33 Xác định hệ số x khai triển biểu thức (4 x  3) 1 2  x  4 34 Xác định hệ số x khai triển biểu thức  1   x   a0  a1 x  a2 x  a3 x  a4 x 3 35 Cho  Tính: a) a2 ; b) a0  a1  a2  a3  a4 1 3  x   a0  a1 x  a2 x  a3 x  a4 x  a5 x 2 36 Cho  Tính: a) a3 ; b) a0  a1  a2  a3  a4  a5 37* Tính tổng sau (khơng sử dụng máy tính cầm tay): 1 1 T C40  C41  C42  C43  C44 ; a) b) S C6  2C6  3C6  4C6  5C6  6C6 D LỜI GIẢI THAM KHẢO 28 D 29 A 30 B 31 C 4 32 a) (4 x  1) 256 x  256 x  96 x  16 x  4 b) (5 x  3) 625 x  1500 x  1350 x  540 x  81 5 25 250 1250 3125 1  x  x  x  x  x  3125  x  5  243 81 27  c)  1 10  x  x  x   243 x  135 x  30 x  3 27 243 d)  33 Hệ số x khai triển biểu thức (4 x  3) 864 1 2 x     27 34 Hệ số x khai triển biểu thức  15 35 a) a2   1 625    2.1  a  a  a  a  a  a  a   a   a   a  81 4   b) 36 a) a3  27 50 3  161051 1     a  a  a  a  a  a  a  a   a   a   a   a  100000 5   b) 1 Cnk  Cnk11 (0 k n), n 1 37* Dựa vào kết chứng minh 27 chương V k  ta có: 1 1 1 1 T 1C40  C41  C42  C43  C44  C51  C52  C53  C54  C55 5 5 5 a) 1 31   C51  C52  C53  C54  C55     C50  C51  C52  C53  C54  C55   C50    (1  1)5  1  5 5 k k1 b) Áp dụng kết kCn nCn  (1 k n) ta có S 1C61  2C62  3C63  4C64  5C65  6C66 6C61 11  6C6211  6C6311  6C6411  6C6511  6C6611 6  C50  C51  C52  C53  C54  C55   6  C50 15  C51 14 1  C52 13 12  C53 12 13  C54 1 14  C55 15   6 (1  1) 6 25 192 BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG V A CÂU HỎI 38 Khi từ nhà đến trường, bạn Thảo muốn qua hiệu sách Biết rằng, có đường từ nhà bạn Thảo đến hiệu sách đường từ hiệu sách đến trường Bạn Thảo có cách chọn đường từ nhà đến trường, qua hiệu sách? A B C D 39 Bạn Huy cần từ nhà đến hiệu sách Biết rằng, từ nhà bạn Huy có hai hướng đi: theo hướng thứ có hiệu sách, theo hướng thứ hai có hiệu sách Bạn Huy có cách chọn hiệu sách để đến? 16 A B C D 40 Trong phát biểu sau, phát biểu sai? A B Cnk  Ank  n! ( n  k )! với k , n số tự nhiên, k n n! (n  k )! với k , n số tự nhiên, k n C Pn n ! với n số nguyên dương 5 2 D (a  b) a  5a b 10a b  10a b  5ab  b 41 Cho 20 điểm phân biệt ba điểm thẳng hàng Lập tam giác có đỉnh điểm 20 điểm cho? A 1140 B 60 C 6840 D 8000 42 Một trường trung học phổ thông cử hai học sinh dự trại hè thành phố Nhà trường định chọn hai học sinh từ lớp 11 A lớp 12 A Biết lớp 11 A có 34 học sinh lớp 12 A có 36 học sinh Hỏi nhà trường có cách chọn nếu: a) Hai học sinh chọn khác lớp? A 70 B 1224 C 34 D 36 b) Hai học sinh chọn lớp? A 1191 B 34 C 36 D 1224 43 Từ chữ số 1, 2,3, 4, 5, 6, , lập số gồm bốn chữ số cho chữ số hàng nghìn lớn chữ số hàng trăm, chữ số hàng trăm lớn chữ số hàng chục, chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị? A 840 17 B 5040 C 35 D 2401 44 Khai triển biểu thức sau: a) ( x  y ) b) (  3x  y ) 45 Xác định hệ số x khai triển biểu thức (5 x  1) 46 Xác định hệ số x khai triển biểu thức (2 x  3) 47 Các bạn lớp 10A lập kế hoạch du lịch hai thành phố thành phố M thành phố N Vì ngày nên bạn cần lập danh sách địa điểm tham quan thứ tự địa điểm từ trước Biết rằng, bạn liệt kê 10 địa điểm thành phố M địa điểm thành phố N Các bạn lớp 10 A có cách lập danh sách địa điểm để du lịch? 48 Giải bóng chuyền gồm đội tham dự, có đội nước X Ban tổ chức cho bốc thăm ngẫu nhiên để xếp đội vào bảng A, B, C bảng có đội Tính số cách xếp cho đội bóng nước X bảng khác 49 Một đề thi học sinh giỏi lớp 10 mơn Tốn gồm câu chọn từ 15 câu thông hiểu, 10 câu vận dụng thấp câu vận dụng cao Một đề thi gọi tốt đề thi có ba loại mức độ, đồng thời số câu thông hiểu không Hỏi lập đề thi tốt? 50* Trong thi hình thức trắc nghiệm có 50 câu hỏi, câu hỏi có phương án trả lời A, B, C , D Mỗi câu trả lời cộng 0,2 điểm câu trả lời sai bị trừ 0,1 điểm Nếu thí sinh chọn ngẫu nhiên đáp án tất 50 câu hỏi số khả đạt 9,4 điểm thi bao nhiêu? B LỜI GIẢI THAM KHẢO 38 B 39 C 40 A 42 a) B b) A 41 A 43 C 4 2 44 a) ( x  y )  x  x y  24 x y  32 xy  16 y 5 2 b) ( x  y )  243x  405 x y  270 x y  90 x y  15 xy  y 45 Hệ số x khai triển biểu thức (5 x  1)  500 46 Hệ số x khai triển biểu thức (2 x  3) 240 47 Nếu thành phố M , lớp 10A có A10 5040 cách lập danh sách địa điểm tham quan Nếu thành phố N , lớp 10 A có P4 4 ! = 24 cách lập danh sách địa điểm tham quan Vậy số cách lập danh sách địa điểm để tham quan 5040  24 5064 18 48 Xếp đội nước X vào bảng khác có 3! 6 cách 2 Xếp đội lại vào bảng A, B, C có C6 C4 C2 90 (cách) Vậy số cách xếp cho đội bóng nước X bảng khác là: 6.90 540 49 Vì đề thi có số câu thơng hiểu khơng có đủ mức độ nên xảy trường hợp: 1 Nếu đề thi có câu thơng hiểu, câu vận dụng thấp câu vận dụng cao có C15 C10 C5 22750 (cách chọn đề) 2 Nếu đề thi có câu thơng hiểu, câu vận dụng thấp câu vận dụng cao có C15 C10 C5 23625 (cách chọn đề) 2 Nếu đề thi có câu thơng hiểu, câu vận dụng thấp câu vận dụng cao có C15 C10 C5 10500 (cách chọn đề) Vậy số đề thi tốt chọn là: 22750  23625  10500 56875 50* Gọi x số câu trả lời đúng, suy 50  x số câu trả lời sai Ta có số điểm thí sinh 0, x  0,1(50  x) 9,  x 48 Do đó, thí sinh làm 48 câu sai câu 9,4 điểm Vì câu hỏi có phương án phương án sai nên số khả đạt 9,4 điểm thi C5048 1 32 11025 19