Bài tập Toán lớp 10 - Chương 5: Đại số tổ hợp

Bài tập Toán lớp 10 - Chương 5: Đại số tổ hợp là tư liệu học tập hữu ích cho những ai đang trong quá trình ôn luyện, củng cố kiến thức để vượt qua kì thi học kì sắp tới với kết quả như mong đợi. Mời các em cùng tham khảo đề cương.

https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath CHƯƠNG V Đại Số Tổ Hợp I Qui tắc đếm Qui tắc cộng: Một công việc thực theo hai phương án A B Nếu phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực không trùng với cách phương án A công việc có m + n cách thực Qui tắc nhân: Một công việc bao gồm hai công đoạn A B Nếu công đoạn A có m cách thực ứng với cách có n cách thực công đoạn B công việc có m.n cách thực Bài 1: Từ thành phố A đến thành phố B có đường, từ thành phố A đến thành phố C có đường, từ thành phố B đến thành phố D có đường, từ thành phố C đến thành phố D có đường Không có đường nối thành phố B với thành phố C Hỏi có tất đường từ thành phố A đến thành phố D? ĐS: có 12 cách Bài 2: Có số tự nhiên khác nhỏ 2.108, chia hết cho 3, viết chữ số 0, 1, 2? Bài 3: Với chữ số 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên thoả: a) gồm chữ số b) gồm chữ số khác c) gồm chữ số khác chia hết cho ĐS: a) 66 b) 6! c) 3.5! = 360 Bài 4: Có số palindrom gồm chữ số (số palindrom số mà ta viết chữ số theo thứ tự ngược lại giá trị không thay đổi) ĐS: 900 (số) Bài 5: a/ Từ chữ số 1, 2, 3, 4, lập số tự nhiên có chữ số? b/ Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên chẵn có chữ số? c/ Có số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số số chẵn? d/ Có số tự nhiên có chữ số, chữ số cách chữ số đứng giống nhau? e/ Có số tự nhiên có chữ số chia hết cho 5? ÑS: a/ 3125 b/ 168 c/ 20 d/ 900 e/ 180000 Bài 6: Một đội văn nghệ chuẩn bị kịch, điệu múa hát Tại hội diễn, đội trình diễn kịch, điệu múa hát Hỏi đội văn nghệ có cách chọn chương trình biểu diễn, biết chất lượng kịch, điệu múa, hát nhau? ĐS: 36 Bài 7: Một người có áo có áo trắng cà vạt có hai cà vạt màu vàng Hỏi người có cách chọn áo – cà vạt nếu: a/ Chọn áo cà vạt được? Trang Đại số 10 b/ Đã chọn áo trắng không chọn cà vạt màu vàng? ĐS: a/ 35 b/ 29 Bài 8: Từ số: 0, 1, 2, 3, 4, lập số có chữ số: a/ Khác nhau? b/ Khác nhau, có số lớn 300? c/ Khác nhau, có số chia hết cho 5? d/ Khác nhau, có số chẵn? e/ Khác nhau, có số lẻ? ĐS: a/ 100 b/ 60 c/ 36 d/ 52 e/ 48 Baøi 9: a/ Từ số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số lẻ có chữ số khác nhỏ 400? b/ Từ chữ số 1, 2, 3, 4, lập số có chữ số khác nằm khoảng (300 , 500) ĐS: a/ 35 b/ 24 Bài 10: Một trường phổ thông có 12 học sinh chuyên tin 18 học sinh chuyên toán Thành lập đoàn gồm hai người cho có học sinh chuyên toán học sinh chuyên tin Hỏi có cách lập đoàn trên? Bài 11: Có cách xếp người đàn ông người đàn bà ngồi ghế dài cho người phái phải ngồi gần Bài 12: Có cách xếp viên bi đỏ viên bi đen xếp thành dãy cho hai viên bi màu không gần II Hoán vị Giai thừa: n! = 1.2.3…n n! = (n–1)!n n! = (p+1).(p+2)…n p! Qui ước: 0! = (với n>p) n! = (n–p+1).(n–p+2)…n (với n>p) (n  p)! Hoán vị Một tập hợp gồm n phần tử (n  1) Mỗi cách xếp n phần tử theo thứ tự gọi hoán vị n phần tử Số hoán vị n phần tử là: Pn = n! x ! ( x  1)! Bài 1: Giải phương trình:  ( x  1)! ÑS: x = 2; x =   (n  1)! n.( n  1)! Bài 2: Giải bất phương trình:     (1) n   n  ( n  3)!4! 12( n  3).(n  4)!2!  ÑS:  n = 4, n = 5, n = Bài 3: Xét số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ số 1, 3, 5, 7, Hỏi số có số: a/ Bắt đầu chữ số 9? b/ Không bắt đầu chữ số 1? c/ Bắt đầu 19? d/ Không bắt đầu 135? ĐS: a/ 24 b/ 96 c/ d/ 118 Trang https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath Bài 4: Với hoán vị số 1, 2, 3, 4, 5, ta số tự nhiên Tìm tổng tất số tự nhiên có từ hoán vị phần tử trên? Bài 5: Tìm tổng S tất số tự nhiên, số tạo thành hoán vị chữ số 1, 2, 3, 4, 5, ĐS: 279999720 Bài 6: Trên kệ sách có sách Toán, sách Lí, sách Văn Các sách khác Hỏi có cách xếp sách trên: a) Một cách tuỳ ý? b) Theo môn? c) Theo môn sách Toán nằm giữa? ĐS: a) P12 b) 3!(5!4!3!) c) 2!(5!4!3!) Bài 7: Với chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số gồm chữ số, chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần? 8! 7! ĐS:  3! 3! Bài 8: Có số tự nhiên có chữ số khác khác biết tổng chữ số ĐS: 18 Bài 9: Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, thiết lập tất số có chữ số khác Hỏi số thiết lập được, có số mà hai chữ số không đứng cạnh nhau? ĐS: 480 III Chỉnh hợp Chỉnh hợp Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi cách xếp k phần tử A (1  k  n) theo thứ tự đóđược gọi chỉnh hợp chập k n phần tử tập A Số chỉnh hợp chập k n phần tử: n! Ank  n( n  1)( n  2) (n  k  1)  (n  k )!  Công thức cho trường hợp k = hoaëc k = n  Khi k = n Ann = Pn = n! Bài 1: Giải phương trình sau: a) An3  20 n b) An3  An2 = 2(n + 15) ÑS: a) n = Bài 2: Tìm n  N cho: Pn2 a)  210 Ann14 P3 b) n = ĐS: a) n = Bài 3: Giải phương trình: b) n = a/ A10 x  Ax  Ax c/ Ax2  50  A22x c) n = b) 2( An3  An2 ) = Pn+1 c) Pn  An2  Pn An2  12 c) n = 2; b/ Px Ax2  72  6( Ax2  Px ) d/ Axy11 Px  y Px 1 Trang c) An2  A22n  42   72 Đại số 10 ĐS: a/ x = 11 b/ x = 3; c/ x = d/ x = 8, y  7, y  N Bài 4: Giải bất phương trình: a) An4 (n  2)!  15 (n  1)! b) An42 Pn2  143 0 Pn1 ÑS: a) n = 3; 4; b)  n  36 Bài 5: Một khiêu vũ có 10 nam nữ Người ta chọn có thứ tự nam nữ để ghép thành cặp Hỏi có cách chọn? Bài 6: Trong không gian cho điểm A, B, C, D Từ điểm ta lập vectơ khác vectơ – không Hỏi có vectơ? Bài 7: Từ chữ số 0, 1, 2, …, 9, lập số tự nhiên gồm chữ số: a) Các chữ số khác nhau? b) Hai chữ số kề phải khác nhau? Bài 8: Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập bao nhiêu: a) Số gồm chữ số khác nhau? b) Số chẵn gồm chữ số khác nhau? c) Số gồm chữ số khác phải có mặt chữ số 5? Bài 9: Huấn luyện viên đội bóng muốn chọn cầu thủ để đá luân lưu 11 mét Có cách chọn nếu: a/ Cả 11 cầu thủ có khả nhau? (kể thủ môn) b/ Có cầu thủ bị chấn thương thiết phải bố trí cầu thủ A đá số cầu thủ B đá số Bài 10: Cho tập hợp X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Có thể lập số n gồm chữ số khác đôi lấy từ X trường hợp sau: a/ n số chẵn? b/ Một ba chữ số phải 1? (ĐHQG TP.HCM, 99, khối D, đợt 2) ĐS: a/ 3000 b/ 2280 Bài 11: a/ Từ chữ số 0, 1, 3, 6, lập số gồm chữ số khác chia hết cho b/ Từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số khác cho chữ số có mặt số số (HVCN Bưu Viễn thông, 1999) c/ Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số gồm chữ số khác thiết phải có mặt chữ số ĐS: a/ 18 b/ 42000 c/ 13320 Bài 12: a/ Có số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho 10 (chữ số hàng vạn khác 0) (ĐH Đà Nẵng, 2000, khối A, đợt 1) b/ Cho 10 chữ số 0, 1, 2, , Có số lẻ có chữ số khác nhỏ 600000 xây dựng từ 10 chữ số cho (ĐH Y khoa Hà Nội, 1997) ĐS: a/ 3024 b/ 36960 Trang https://www.facebook.com/letrungkienmath https://sites.google.com/site/letrungkienmath IV Tổ hợp Tổ hợp Cho tập A gồm n phần tử Mỗi tập gồm k (1  k  n) phần tử A gọi tổ hợp chập k n phần tử n! Số tổ hợp chập k n phần tử: Cnk  k !( n  k )!  Qui ước: Cn0 = Tính chất: Cn0  Cnn  Cnk  Cnn k Cnk  Cnk11  Cnk1 n  k  k 1 Cnk  Cn k Phân biệt chỉnh hợp tổ hợp: Ank  k !Cnk  Chỉnh hợp tổ hợp liên hệ công thức:  Chỉnh hợp: có thứ tự Tổ hợp: thứ tự  Những toán mà kết phụ thuộc vào vị trí phần tử –> chỉnh hợp Ngược lại, tổ hợp Bài 1: Giải phương trình sau: An4 1 24 a)  b)   n4 x x 23 An1  Cn C4 C5 C6x c) C xx 1  C xx 2  C xx 3   C xx 10  1023 ÑS: a) n = b) x = Bài 2: Giải phương trình sau: c) x = 10 x 4 x 10 a) C10  x  C10  x b) x  C4x x  C32 C31  c) Ax22  C xx 2  101 d) C8xx3  Ax36 e) C1x  6C x2  6C x3  x  14 ÑS: a) x = 14 b) x = c) x = 10 d) x = 17 Baøi 3: Giải phương trình bất phương trình: a/ C xx12  2Cx31  7( x  1) c/ Ax5 C xx25  336 e/ Cn41  Cn31  b/ Ax3  Cxx 2  14 x 2x C28 d/ A  n 2 g/ 2C x21  Ax2  30 ÑS: a/ x = e/  n  10, n  N e) x = f/ x 4 C24 Cnn13 An41   225 52 14 P3 A2 x  Ax2  Cx3  10 x b/ x = c/ x = d/ x = f/ x  6, n  N g/ x = h/ x = 3, x = h/ Dạng 2: Tìm số tổ hợp toán số học Bài 1: Cho 10 câu hỏi, có câu lý thuyết tập Người ta cấu tạo thành đề thi Biết đề thi phải gồm câu hỏi, thiết phải có câu Trang Đại số 10 lý thuyết tập Hỏi tạo đề thi? Bài 2: Một lớp học có 40 học sinh, gồm 25 nam 15 nữ Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn ban cán lớp gồm em Hỏi có cách chọn, nếu: a) Gồm học sinh tuỳ ý b) Có nam nữ c) Có nam nữ d) Có nam e) Có nam nữ Bài 3: Một túi chứa viên bi trắng viên bi xanh Lấy viên bi từ túi đó, có cách lấy được: a/ viên bi màu? b/ viên bi trắng, viên bi xanh? ĐS: a/ 20 b/ 150 Bài 4: Từ 20 người, chọn đoàn đại biểu gồm trưởng đoàn, phó đoàn, thư ký ủy viên Hỏi có cách chọn? ĐS: 4651200 Bài 5: Từ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số gồm 10 chữ số chọn từ chữ số trên, chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần ĐS: 544320 (HVCNBCVT, Tp.HCM, 1999) Bài 6: Từ tập X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} lập số: a/ Chẵn gồm chữ số khác đôi chữ số đứng đầu chữ số 2? b/ Gồm chữ số khác đôi cho chữ số có chữ số chẵn chữ số lẻ? ĐS: a/ 360 b/ 2448 (ĐH Cần Thơ, 2001) Bài 7: a/ Có số tự nhiên gồm chữ số đôi khác (chữ số phải khác 0), có mặt chữ số chữ số 1) b/ Có số tự nhiên gồm chữ số, biết chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần chữ số lại có mặt không lần ĐS: a/ 33600 b/ 11340 (ĐH QG, Tp.HCM, 2001) Bài 8: Trong số 16 học sinh có học sinh giỏi, khá, trung bình Có cách chia số học sinh thành hai tổ, tổ học sinh cho tổ có học sinh giỏi tổ có hai học sinh ĐS: 3780 (HVKT Quân sự, 2001) Bài 9: Tìm số giao điểm tối đa của: a/ 10 đường thẳng phân biệt? b/ 10 đường tròn phân biệt? c/ 10 đường thẳng 10 đường tròn trên? ĐS: a/ 45 b/ 90 c/ 335 Bài 10: Cho hai đường thẳng song song (d1), (d2) Trên (d1) lấy 17 điểm phân biệt, (d2) lấy 20 điểm phân biệt Tính số tam giác có đỉnh điểm số 37 điểm chọn (d1) (d2) ĐS: 5950 (ĐH SP Quy Nhơn, 1997) Bài 11: Cho mặt phẳng cho đa giác H có 20 cạnh Xét tam giác có ba đỉnh lấy từ đỉnh H a/ Có tất tam giác vậy? Có tam giác có hai cạnh cạnh H? b/ Có tam giác có cạnh cạnh H? Có tam giác cạnh cạnh H? Trang https://www.facebook.com/letrungkienmath ÑS: a/ 1140; 20 https://sites.google.com/site/letrungkienmath b/ 320 ; 80 (HVNH, 2000, khối D) V Nhị thức Newton Công thức khai triển nhị thức Newton: Với nN với cặp số a, b ta coù: ( a  b)n  n  Cnk ank bk k 0 Tính chất: 1) Số số hạng khai triển n + 2) Tổng số mũ a b số hạng n 3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 = Cnk ank b k ( k =0, 1, 2, …, n) 4) Các hệ số cặp số hạng cách số hạng đầu cuối nhau: Cnk  Cnn k 5) Cn0  Cnn  , Cnk 1  Cnk  Cnk1 * Nhận xét: Nếu khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a b giá trị đặc biệt ta thu công thức đặc biệt Chẳng hạn: (1+x)n = Cn0 x n  Cn1 x n1   Cnn  Cn0  Cn1   Cnn  n (x–1)n = Cn0 x n  Cn1 x n 1   (1)n Cnn  Cn0  Cn1   (1)n Cnn  3, Nhắc lại công thức lũy thừa a n  a.a a  , a  a  n  1n n a m   a a  a  a n  n am  a  a    a    a a  ab     a  b a a    b b Dạng 1: Xác định hệ số khai triển nhị thức Newton Bài 1: Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức: 10   a)  x   x4   ÑS: a) 45 12   b)  x   x4   b) 495 c) –10   c)  x   x2   d) 15 Bài 2: a/ Tìm hệ số x10 khai triển (2 x  x )8 b/ Tìm số hạng chứa x10 khai trieån ( x  Trang x )15  1 d)  x   x  Đại số 10 Bài 3: Tìm số hạng không chứa thức khai triển nhị thức:  3  ĐS: a) C52 3.2  60 15  1 Baøi 4: a/ Tìm số hạng thứ khai triển  x   x  12  3 2  b/ Tìm số hạng chứa a khai trieån  a  a  64   c/ Tìm số hạng khai trieån    x 10  x  12 1  d/ Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức:   x  x  16  1 e/ Tìm hạng tử độc lập với x khai triển  x   x  ÑS: a/ T6  C15 d/ 495 b/ 924 a7 230 15 30 15 c/ T16  C30 x y e/ 1820 n   Baøi 5: a/ Xác định hệ số thứ nhất, thứ hai, thứ ba khai trieån  x   x2   b/ Cho biết tổng hệ số 11 Tìm hệ số x2 n( n  1) ÑS: a/ Cn0  1, Cn1  n, Cn2  b/ n  4, C42  n   Baøi 6: a/ Trong khai triển  a a   cho biết hiệu số hệ số hạng tử thứ ba a4   thứ hai 44 Tìm n n  1 b/ Cho biết khai triển  x   , tổng hệ số hạng tử thứ nhất, thứ hai, x  thứ ba 46 Tìm hạng tử khôn g chứa x n  2 c/ Cho biết tổng hệ số số hạng khai triển  x   97 Tìm  3 hạng tử khai triển chứa x ĐS: a/ n = 11 b/ n = ; 84 c/ n = 8; 1120x4 Trang ... chỉnh hợp tổ hợp: Ank  k !Cnk  Chỉnh hợp tổ hợp liên hệ công thức:  Chỉnh hợp: có thứ tự Tổ hợp: thứ tự  Những toán mà kết phụ thuộc vào vị trí phần tử –> chỉnh hợp Ngược lại, tổ hợp Bài 1:... lập số gồm chữ số, chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần? 8! 7! ĐS:  3! 3! Bài 8: Có số tự nhiên có chữ số khác khác biết tổng chữ số ĐS: 18 Bài 9: Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, thiết lập tất số. .. trí cầu thủ A đá số cầu thủ B đá số Bài 10: Cho tập hợp X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Có thể lập số n gồm chữ số khác đôi lấy từ X trường hợp sau: a/ n số chẵn? b/ Một ba chữ số phải 1? (ĐHQG