Chuyen de 5 DAI SO TO HOP

b) Tích hai mặt xuất hiện là số lẻ. Gieo hai con súc sắc cân đối đồng chất. Một bình đựng 5 viên bi xanh và 3 viên bi đỏ chỉ khác nhau về màu. Lấy ngẫu nhiên một viên bi, rồi lấy tiếp m[r]

Rễ học tập đắng – Quả học tập ngọt CHUYÊN ĐỀ 5

TỔ HỢP – XÁC SUẤT A TỔ HỢP

I Qui tắc đếm

1 Qui tắc cộng:

Một cơng việc thực theo hai phương án A B Nếu phương án A có m cách thực hiện, phương án B có n cách thực khơng trùng với cách phương án A cơng việc có m + n cách thực hiện.

2 Qui tắc nhân:

Một cơng việc bao gồm hai cơng đoạn A B Nếu cơng đoạn A có m cách thực hiện ứng với cách có n cách thực cơng đoạn B cơng việc có m.n cách thực hiện.

1. Từ thành phố A đến thành phố B có đường, từ thành phố A đến thành phố C có đường, từ thành phố B đến thành phố D có đường, từ thành phố C đến thành phố D có đường Khơng có đường nối thành phố B với thành phố C Hỏi có tất đường từ thành phố A đến thành phố D?

ĐS: có 12 cách.

2. Có số tự nhiên khác nhỏ 2.108, chia hết cho 3, viết chữ số

0, 1, 2?

ĐS: Có 2.37 – = 4374 – = 4373 (số)

3. Với chữ số 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên thoả: a) gồm chữ số

b) gồm chữ số khác

c) gồm chữ số khác chia hết cho

ĐS: a) 66 b) 6! c) 3.5! = 360

4. Có 25 đội bóng đá tham gia tranh cúp Cứ đội phải đấu với trận (đi về) Hỏi có trận đấu?

ĐS: có 25.24 = 600 trận

5. Có số palindrom gồm chữ số (số palindrom số mà ta viết chữ số theo thứ tự ngược lại giá trị khơng thay đổi)

ĐS: Số cần tìm có dạng: abcba ⇒ có 9.10.10 = 900 (số)

6. a/ Một bó hoa gồm có: bơng hồng trắng, hồng đỏ hồng vàng Hỏi có cách

chọn lấy bơng hoa?

b/ Từ chữ số 1, 2, lập số khác có chữ số khác nhau?

ĐS: a/ 18 b/ 15

7. a/ Từ chữ số 1, 2, 3, 4, lập số tự nhiên có chữ số?

b/ Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên chẵn có chữ số? c/ Có số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số số chẵn?

d/ Có số tự nhiên có chữ số, chữ số cách chữ số đứng giống nhau?

e/ Có số tự nhiên có chữ số chia hết cho 5?

8. Một đội văn nghệ chuẩn bị kịch, điệu múa hát Tại hội diễn, đội trình diễn kịch, điệu múa hát Hỏi đội văn nghệ có cách chọn chương trình biểu diễn, biết chất lượng kịch, điệu múa, hát nhau?

ĐS: 36

9. Một người có áo có áo trắng cà vạt có hai cà vạt màu vàng Hỏi người có cách chọn áo – cà vạt nếu:

a/ Chọn áo cà vạt được? b/ Đã chọn áo trắng khơng chọn cà vạt màu vàng?

ĐS: a/ 35 b/ 29

10.Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5} Có cặp thứ tự (x, y) biết rằng: a/ x A y A∈ , ∈ b/ { , }x y ̀ A c/ x A y A vaø x y∈ , ∈ + =

ĐS: a/ 25 b/ 20 c/ cặp

11.Cho tập hợp A = {1, 2, 3, … , n} n số nguyên dương lớn Có cặp thứ tự (x, y), biết rằng: x A y A x y∈ , ∈ , >

ĐS: ( 1)

n n−

12.Với chữ số 1, 2, 3, 4, lập số:

a/ Gồm chữ số? b/ Gồm chữ số khác nhau? c/ Số lẻ gồm chữ số?

d/ Số chẵn gồm chữ số khác nhau? e/ Gồm chữ số viết không lặp lại?

f/ Gồm chữ số viết không lặp lại chia hết cho 5?

ĐS: a/ 25 b/ 20 c/ 15 d/ e/ 120 f/ 24

13.Từ số: 0, 1, 2, 3, 4, lập số có chữ số: a/ Khác nhau?

b/ Khác nhau, có số lớn 300? c/ Khác nhau, có số chia hết cho 5? d/ Khác nhau, có số chẵn?

e/ Khác nhau, có số lẻ?

ĐS: a/ 100 b/ 60 c/ 36 d/ 52 e/ 48

14.a/ Từ số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập số lẻ có chữ số khác nhỏ 400? b/ Từ chữ số 1, 2, 3, 4, lập số có chữ số khác nằm khoảng (300 , 500)

ĐS: a/ 35 b/ 24

15.Một trường phổ thơng có 12 học sinh chuyên tin 18 học sinh chuyên tốn Thành lập đồn gồm hai người cho có học sinh chun tốn học sinh chun tin Hỏi có cách lập đồn trên?

16.Có cách xếp người đàn ông người đàn bà ngồi ghế dài cho người phái phải ngồi gần

17.Có cách xếp viên bi đỏ viên bi đen xếp thành dãy cho hai viên bi màu khơng gần

II Hốn vị

1 Giai thừa:

n! = 1.2.3…n Qui ước: 0! = 1

n! = (n–1)!n

! !

n

p = (p+1).(p+2)…n (với n>p)

!

( )!

n

n p− = (n–p+1).(n–p+2)…n (với n>p)

Một tập hợp gồm n phần tử (n ≥ 1) Mỗi cách xếp n phần tử theo thứ tự được gọi hoán vị n phần tử.

Số hoán vị n phần tử là: Pn = n!

3 Hoán vị lặp:

Cho k phần tử khác nhau: a1, a2, …, ak Một cách xếp n phần tử gồm n1 phần tử a1, n2 phần tử a2, …, nk phần tử ak (n1+n2+ …+ nk = n) theo thứ tự gọi hốn vị lặp cấp n kiểu (n1, n2, …, nk) k phần tử.

Số hoán vị lặp cấp n, kiểu (n1, n2, …, nk) k phần tử là: Pn(n1, n2, …, nk) =

1

!

! ! !k

n n n n

4 Hốn vị vịng quanh:

Cho tập A gồm n phần tử Một cách xếp n phần tử tập A thành dãy kín gọi một hốn vị vịng quanh n phần tử.

Số hoán vị vòng quanh n phần tử là: Qn = (n – 1)!

1 Rút gọn biểu thức sau:

A = (m 2)(6!m 3) (. m 1)(1m 4) ( m(m+5)!5! 12.(1)! − m m.(m −4)!3!1)! 

− −  + − − −  (với m ≥ 5)

B = 7!4! 8! 9!

10! 3!5! 2!7!

 − 

 ÷

  C =

5! . ( 1)!

( 1) ( 1)!3!

m

m m m

+

+ −

ĐS: A = – 4(m–1)m; B = 2

3; C = 20

2 Chứng minh rằng:

a) Pn – Pn–1 = (n–1)Pn–1 b) Pn = (n−1)Pn−1+ (n− 2)Pn−2+ + 2P P2+ 1+1

c) 1 1

1! 2! 3! n!

+ + + + + < d) 1

! ( 1)! ( 2)!

n

n = n− + n−

3 Giải phương trình:x! ((−x x1)!−1)! 1= 6

+ ĐS: x = 2; x = 3

4 Giải bất phương trình: n1− 2 n5+1 ( n(n−+3)!4! 12(1)! − n−n n.(3).(−n1)!− 4)!2!÷ ≤

  (1)

ĐS: (1) ⇔ ( 1)

n− n ≤ ⇒ n = 4, n = 5, n = 6

5 Giải phương trình:

a) P2.x2 – P3.x = b)

1

1

x x

x P P

P+ − −

=

ĐS: a) x = –1; x = 4 b) x = 2; x = 3

6 Xét số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ chữ số 1, 2, 3, 4, Hỏi số có số:

a) Bắt đầu chữ số 5? b) Không bắt đầu chữ số 1?

c) Bắt đầu 23? d) Không bắt đầu 345?

ĐS: a) 4! b) 5! – 4! c) 3! d) 5! – 2!

7 Xét số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ số 1, 3, 5, 7, Hỏi số có số:

a/ Bắt đầu chữ số 9? b/ Không bắt đầu chữ số 1?

c/ Bắt đầu 19? d/ Không bắt đầu 135?

8 Với hoán vị số 1, 2, 3, 4, 5, 6, ta số tự nhiên Tìm tổng tất số tự nhiên có từ hoán vị phần tử trên?

ĐS: Với i, j ∈ {1,2,3,4,5,6,7} , số số mà chữ số j hàng thứ i 6!.

⇒ Tổng tất số là: (6!1+…+6!7) + (6!1+…+6!7).10 +…+ (6!1+…+6!7).106 = 6! (1+2+…+7).(1+10+…+106)

9 Tìm tổng S tất số tự nhiên, số tạo thành hoán vị chữ số 1, 2, 3, 4, 5,

ĐS: 279999720

10 Trên kệ sách có sách Tốn, sách Lí, sách Văn Các sách khác Hỏi có cách xếp sách trên:

a) Một cách tuỳ ý? b) Theo môn?

c) Theo mơn sách Tốn nằm giữa?

ĐS: a) P12 b) 3!(5!4!3!) c) 2!(5!4!3!)

11 Có học sinh nam A1, A2, A3, A4, A5 học sinh nữ B1, B2, B3 xếp ngồi xung quanh bàn trịn Hỏi có cách xếp nếu:

a) Một cách tuỳ ý? b) A1 không ngồi cạnh B1?

c) Các học sinh nữ không ngồi cạnh nhau?

ĐS: a) Q8 = 7! b) Q7 = 6! c) Có 4!5.4.3 cách xếp

12 Với chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số gồm chữ số, chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần?

ĐS: 8!

3! 3!−

13 Có số tự nhiên có chữ số khác khác biết tổng chữ số

ĐS: 18

14.Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, thiết lập tất số có chữ số khác Hỏi số thiết lập được, có số mà hai chữ số khơng đứng cạnh nhau?

ĐS: 480

15 Có cách xếp bạn học sinh A, B, C, D, E ngồi vào ghế dài cho: a/ Bạn C ngồi giữa?

b/ Hai bạn A E ngồi hai đầu ghế?

ĐS: a/ 24 b/ 12

16 Một hội nghị bàn trịn có phái đồn nước: Mỹ người, Nga người, Anh người, Pháp người, Đức người Hỏi có cách xếp cho thành viên cho người quốc tịch ngồi gần nhau?

ĐS: 143327232000.

17 Sắp xếp 10 người vào dãy ghế Có cách xếp chỗ ngồi nếu: a/ Có người nhóm muốn ngồi kề nhau?

b/ Có người nhóm khơng muốn ngồi kề nhau?

ĐS: a/ 86400 b/ 2903040.

18 Sắp xếp nam sinh nữ sinh vào dãy ghế Hỏi có cách xếp chỗ ngồi nếu: a/ Nam sinh ngồi kề nhau, nữ sinh ngồi kề nhau?

b/ Chỉ có nữ ngồi kề nhau?

ĐS: a/ 34560 b/ 120960.

19 Có cách xếp 12 học sinh đứng thành hàng để chụp ảnh lưu niệm, biết phải có em định trước đứng kề nhau?

ĐS: 4838400.

20 Có đề kiểm tra toán để chọn đội học sinh giỏi phát cho 10 học sinh khối 11 10 học sinh khối 12 Có cách xếp 20 học sinh vào phịng thi có dãy ghế cho hai em ngồi cạnh có đề khác nhau, cịn em ngồi nối có đề?

21 Có viên bi đen (khác nhau), viên bi đỏ (khác nhau), viên bi vàng (khác nhau), viên bi xanh (khác nhau) Hỏi có cách xếp viên bi thành dãy cho viên bi màu cạnh nhau?

ĐS: 298598400.

22 Trên giá sách có 30 tập sách Có thể xếp theo cách khác để có: a/ Tập tập đứng cạnh nhau?

b/ Tập tập không đứng cạnh nhau?

ĐS: a/ 2.29! b/ 28.29!.

23 Với chữ số 1, 2, 3, 4, lập số gồm chữ số, chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần chữ số cịn lại có mặt lần?

ĐS: 3360.

24 Với chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số gồm chữ số, chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần

ĐS: 5880.

25 Xét số gồm chữ số, có chữ số chữ số lại 2, 3, 4, Hỏi có số nếu:

a/ chữ số xếp kề nhau? b/ Các chữ số xếp tuỳ ý?

ĐS: a/ 120. b/ 3024.

III Chỉnh hợp

1 Chỉnh hợp (không lặp):

Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi cách xếp k phần tử A (1 ≤ k ≤ n) theo thứ tự

đóđược gọi chỉnh hợp chập k n phần tử tập A. Số chỉnh hợp chập k n phần tử:

!

( 1)( 2) ( 1)

( )!

k

n n

A n n n n k

n k

= − − − + =

− • Cơng thức cho trường hợp k = k = n • Khi k = n Ann= Pn = n!

2 Chỉnh hợp lặp:

Cho tập A gồm n phần tử Một dãy gồm k phần tử A, phần tử lặp lại nhiều lần, xếp theo thứ tự định gọi chỉnh hợp lặp chập k n phần tử tập A.

Số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử: Ank = nk

1 Rút gọn biểu thức sau: A =

2 5 10

A A

P + P B = P A1 21+ P A2 32+ P A3 43+ P A4 54− P P P P1

C =

12 11 10 49 49 17 17

10

49 17

A A A A

A A

+ +

− D = 54 43 32 21 52

5 5

P P P P

A

A A A A

 

+ + +

 ÷

 ÷

 

ĐS: A = 46; B = 2750; C = 1440; D = 42

2 Chứng minh rằng:

a/ 2 2 2

2

1 1, , 2.

n

n với n N n n

A A A

−

b/ Ank = Ank−1+ k A nk−−11 c/ An kn++2+ An kn++1 = k A2 n kn+

3 Giải phương trình sau:

a) An3= 20n b) An3+ 5An2= 2(n + 15) c) 3An2− A22n+ 42 0.=

ĐS: a) n = 6 b) n = 3 c) n = 6

4 Tìm n ∈ N cho:

a) 42

1

210

n n n P

A P

+ − −

= b) 2(An3+ 3An2) = Pn+1 c) 2Pn+ 6An2− P An n2= 12

ĐS: a) n = 5 b) n = 4 c) n = 2; 3

5 Giải phương trình:

a/ A10x + A9x = Ax8 b/ P Ax x2+ 72 6(= Ax2+ )Px

c/ 2Ax2+ 50= A22x d/

1

1

72

y

x x y

x

A P

P +

+ −

− =

ĐS: a/ x = 11 b/ x = 3; c/ x = d/ x = 8, y ≤ 7, y N∈ Giải bất phương trình:

a)

4

4 15

( n2)! ( 1)!

A

n++ < n− b)

4

2

143 0

4

n

n n

A

P++ − P− < ĐS: a) n = 3; 4; 5 b) ≤ n ≤ 36

7 Tìm số âm dãy số x x x1, , , ,2 xn với:

4

143 ( 1, 2, 3, )

n n

n n

A

x n

P++ P

= − =

ĐS: 1 1, 1 63; 2 2, 2 23

4

n = x = − n = x = −

8 Một khiêu vũ có 10 nam nữ Người ta chọn có thứ tự nam nữ để ghép thành cặp Hỏi có cách chọn?

ĐS: Có A A10 63 3 cách

9 Trong không gian cho điểm A, B, C, D Từ điểm ta lập vectơ khác vectơ – khơng Hỏi có vectơ?

ĐS: A42 = 12 vectơ

10 Một lớp học có bàn đơi (2 chỗ ngồi) Hỏi lớp có học sinh, biết xếp chỗ ngồi cho học sinh lớp theo 132 sơ đồ khác nhau? (Số chỗ ngồi vừa đủ số học sinh)

ĐS: An2= 132 ⇔ n = 12

11 Từ chữ số 0, 1, 2, …, 9, lập số tự nhiên gồm chữ số: a) Các chữ số khác nhau?

b) Hai chữ số kề phải khác nhau?

ĐS: a) 9.A94 b) Có 95 số

12 Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, lập bao nhiêu: a) Số gồm chữ số khác nhau?

b) Số chẵn gồm chữ số khác nhau?

c) Số gồm chữ số khác phải có mặt chữ số 5?

ĐS: a) 6.A64 b) 6.A53+ 3.5A53 c) Số gồm chữ số có dạng: abcde

• Nếu a ≠ a có cách chọn Số đặt vào vị trí b, c, d, e ⇒ có cách chọn vị trí cho số vị trí cịn lại chọn từ chữ số cịn lại ⇒ có A53 cách chọn.

⇒ Có A64+ 4.5.A53 = 1560 số

13 Từ chữ số 0, 1, 2, …, lập biển số xe gồm chữ số (trừ số 000)?

ĐS: A103 − 1= 999

14 Có số tự nhiên có chữ số với: a) Chữ số đầu chữ số cuối giống nhau? b) Chữ số đầu cuối khác nhau?

c) Hai chữ số đầu giống hai chữ số cuối giống nhau?

ĐS: a) 9.A104 = 9.104 số

b) Có tất cả: A106 − A105 = 9.105 số gồm chữ số ⇒ Có 9.105 – 9.104 số c) Có 9.10.10.10 = 9000 số

15 Có số điện thoại có chữ số? Trong có số điện thoại có chữ số khác nhau?

ĐS: a) A106 = 106 b)

10

A = 15120

16 Một biển số xe gồm chữ đứng trước chữ số đứng sau Các chữ lấy từ 26 chữ A, B, C, …, Z Các chữ số lấy từ 10 chữ số 0, 1, 2, …, Hỏi:

a) Có biển số xe có chữ khác chữ O chữ số đôi khác nhau?

b) Có biển số xe có hai chữ khác có chữ số lẻ giống nhau?

ĐS: a) Số cách chọn chữ cái: 26 × 26 – = 675 cách Số cách chọn chữ số: A104 = 5040 cách

⇒ Số biển số xe: 675 × 5040 = 3.402.000 số b) • Chữ thứ nhất: có 26 cách chọn Chữ thứ hai: có 25 cách chọn

• Các cặp số lẻ giống là: (1;1), (3;3), (5;5), (7;7), (9;9) ⇒ Có cách chọn cặp số lẻ.

Xếp cặp số lẻ vào vị trí ⇒ có C42 cách ⇒ Có 5.C42 cách xếp cặp số lẻ.

• Cịn lại vị trí chữ số chẵn: Chữ số chẵn thứ nhất: có cách chọn Chữ số chẵn thứ hai: có cách chọn

⇒ Có 26 × 25 × × C42× × = 487500 cách

17 a) Có số tự nhiên gồm chữ số khác mà tổng chữ số 18? b) Hỏi có số lẻ thoả mãn điều kiện đó?

ĐS: Chú ý: 18 = + + + + + 8

18 = + + + + + 7 18 = + + + + + 6 a) × × 5! b) 192 + 384 + 192 = 768 số

18 Từ 20 học sinh cần chọn ban đại diện lớp gồm lớp trưởng, lớp phó thư ký Hỏi có cách chọn?

ĐS: 6840

19 Huấn luyện viên đội bóng muốn chọn cầu thủ để đá luân lưu 11 mét Có cách chọn nếu:

b/ Có cầu thủ bị chấn thương thiết phải bố trí cầu thủ A đá số cầu thủ B đá số

ĐS: a/ 55440 b/ 120

20 Một người muốn xếp đặt số tượng vào dãy chỗ trống kệ trang trí Có cách xếp nếu:

a/ Người có tượng khác nhau? b/ Người có tượng khác nhau? c/ Người có tượng khác nhau?

ĐS: a/ 6! b/ 360 c/ 20160

21 Với chữ số 0, 1, 2, 3, 4, lập số có chữ số khác thoả:

a/ Số chẵn b/ Bắt đầu số 24 c/ Bắt đầu số 345

d/ Bắt đầu số 1? Từ suy số khơng bắt đầu số 1?

ĐS: a/ 312 b/ 24 c/ d/ 120 ; 480

22 Cho tập hợp X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Có thể lập số n gồm chữ số khác đôi lấy từ X trường hợp sau:

a/ n số chẵn?

b/ Một ba chữ số phải 1?

(ĐHQG TP.HCM, 99, khối D, đợt 2)

ĐS: a/ 3000 b/ 2280

23 a/ Từ chữ số 0, 1, 3, 6, lập số gồm chữ số khác chia hết cho b/ Từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, lập số khác cho chữ số có mặt số số

(HVCN Bưu Viễn thơng, 1999)

c/ Từ chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số gồm chữ số khác thiết phải có mặt chữ số

ĐS: a/ 18 b/ 42000 c/ 13320

24 a/ Tính tổng tất số tự nhiên gồm chữ số khác đôi tạo thành từ chữ số 1, 3, 4, 5, 7,

b/ Có số tự nhiên gồm chữ số khác tạo thành từ chữ số 0, 1, 2, 3, Tính tổng số

ĐS: a/ 37332960 b/ 96 ; 259980

25 a/ Có số tự nhiên gồm chữ số khác chia hết cho 10 (chữ số hàng vạn khác 0)

(ĐH Đà Nẵng, 2000, khối A, đợt 1)

b/ Cho 10 chữ số 0, 1, 2, , Có số lẻ có chữ số khác nhỏ 600000 xây dựng từ 10 chữ số cho

(ĐH Y khoa Hà Nội, 1997)

ĐS: a/ 3024 b/ 36960

IV Tổ hợp

1 Tổ hợp (không lặp):

Cho tập A gồm n phần tử Mỗi tập gồm k (1 ≤ k ≤ n) phần tử A gọi tổ hợp chập k n phần tử.

Số tổ hợp chập k n phần tử: !

!( )!

k

n n

C

k n k =

− • Qui ước: Cn0 = 1

0

1 1

1

1

1

n

n n

k n k

n n

k k k

n n n

k k

n n

C C

C C

C C C

n k

C C

k − −

− −

−

= =

=

= +

− + =

2 Tổ hợp lặp:

Cho tập A = {a a1 2; ; ;an} số tự nhiên k Một tổ hợp lặp chập k n phần tử hợp gồm k phần tử, phần tử n phần tử A.

Số tổ hợp lặp chập k n phần tử: Cnk = Cn kk+ −1= Cn km+ −−11

3 Phân biệt chỉnh hợp tổ hợp:

• Chỉnh hợp tổ hợp liên hệ công thức: Ank = k C! nk

• Chỉnh hợp: có thứ tự Tổ hợp: khơng có thứ tự.

⇒ Những toán mà kết phụ thuộc vào vị trí phần tử –> chỉnh hợp Ngược lại, tổ hợp.

• Cách lấy k phần tử từ tập n phần tử (k ≤ n): + Không thứ tự, khơng hồn lại: Cnk + Có thứ tự, khơng hồn lại: Ank + Có thứ tự, có hồn lại: Ank

Dạng 1: Tính giá trị biểu thức tổ hợp 1. Tính: A = C2523− C1513− 3C107 B =

4 7 6

2 10 10 11

1

C C C A

P

C C C

+ + −

+

+ + −

ĐS: A = – 165, B = 4

2. Rút gọn biểu thức sau:

S = C C Cnn 2nn 3nn P =

8 10 15 15 15

10 17

2

n k n n k

P C C C

A P C

+ −

+ +

+

Q =

2

1 1

2 n nk nn

n k n

n n n

C C C

C k n

C C − C −

+ + + + +

ĐS: S = (3 )!3

( !)

n

n P = (n+1)(n+2) + 1 Q =

( 1)

2

n n+

Dạng 2: Chứng minh đẳng thức tổ hợp

1. Chứng minh hệ thức sau:

a) C Cnk n kp k−− = C Cnp pk (k ≤ p ≤ n)b) Cnr nCnr 11

r −− =

2. Chứng minh hệ thức sau:

a) Cnm+1+ Cnm−1+ 2Cnm = Cnm++21 b) Cnk + 3Cnk−1+ 3Cnk−2+ Cnk−3 = Cnk+3 (3 ≤ k ≤ n)

ĐS: Sử dụng tính chất: Cnk−1+ Cnk = Cnk+1

3. Chứng minh hệ thức sau:

b) Cnp1 n 1Cnp

p −

+ = + c) k k( −1)Cnk = n n( −1)Cnk−−22 ( < k < n)

4. Chứng minh hệ thức sau:

a) C Cr0 qp+ C C1r qp−1+ + C Crp q0= Cr qp+ b) ( )Cn0 2+ ( )Cn1 2+ + ( )Cnn = C2nn

c) C20p+ C22p+ C24p+ + C22pp = C21p+ C23p+ + C22 1pp− = c2 1p− d) 1− Cn1+ Cn2− Cn3+ + − ( 1)p pCn = −( 1)p pCn−1

ĐS: a) Sử dụng khai triển: (1+x)r.(1+x)q = (1+x)r+q So sánh hệ số xp vế. b) Sử dụng câu a) với p = q = r = n

c) Sử dụng (x+y)2p (x–y)2p

d) Sử dụng Cnr = Cnr−−11+ Cnr−1, với r lẻ nhân vế với –1.

Dạng : Chứng minh bất đẳng thức tổ hợp

1. Chứng minh rằng: 12 2

2

2

n n

n C < n+ ( n ∈ N, n ≥ 1)

HD: Biến đổi vế trái: 12 2 2(2 )! 1.3.5 (2 1)

2.4.6 (2 )

2 ! !

n n

n n

n n

C

n n n

−

= =

Vậy ta phải chứng minh: 1.3.5 (22.4.6 (2 )1)

2

n

n n

− < + Ta có:

2

2

2 ( 1) ( 1)

2 4 4 1 2 1

k k k k

k k k k

− = − < − = −

+ −

Cho k từ 1, 2, …, n Rồi nhân BĐT vế theo vế, ta đpcm.

2. Chứng minh rằng: C2nn k+ C2nn k− ≤ (C2nn)2 (với k, n ∈ N, ≤ k ≤ n)

HD: • Đặt uk = C2nn k+ C2nn k− (k = 0;1;…;n) Ta chứng minh: uk > uk+1 (*)

Thật vậy, (*) ⇔C2nn k+ C2nn k− > C2nn k+ +1 2.Cnn k− −1 ⇔ n + 2nk > 0 Điều luôn ⇒ đpcm.

Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức tổ hợp 1. a) Chứng minh: Cnk−1< Cnk với n = 2m, k ≤ m Từ suy Cnm lớn

b) Chứng minh: Cnk−1< Cnk với n = 2m + 1, k ≤ m Từ suy C Cnm; nm+1 lớn

HD: a) Theo tính chất: Cnk n k 1.Cnk

k −

− +

= ⇒ 1 1

k n k n

C n

k C −

+

= −

Với k ≤ m ⇒ 2k ≤ n ⇒ nk+ − >1 1⇒ Cnk > Cnk−1 Vì Cnk = Cnn k− nên Cnk lớn nhất.

b) Tương tự

2. Cho n > 2, p ∈ [1; n] Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ Cnp

HD: Vì Cnp = Cnn p− nên ta chi cần xét ≤ p ≤

2

Ta có: Cnp > Cnp−1 ⇔ 1 p

n p n

C n p

p C −

− +

= > ⇔ p <

2

n+

Vậy Cnp nhỏ p = p = n – 1, ứng với C1n = Cnn−1= n p

n

C lớn p =

2

n− (nếu n lẻ) p =

2

n

(nếu n chẵn)

3. Với giá trị p Cnp lớn

HD: Ta có: 1 1

p m p m

C m p m

p p

C −

− + +

= = − Tỉ số giảm p tăng.

• Cmp > Cmp−1 ⇔ m p− + ≥p 1, đó: p ≤

2

m+ • Nếu m chẵn: m = 2k ⇒ p ≤ k +

2

Để Cmp > Cmp−1 ta phải có: p ≤ k + 1

2, p, k ∈ N nên chọn p = k

• Nếu m lẻ: m = 2k + ⇒ p ≤ k + 1, ta có:

1

p m p m C

C − = p = k + ⇒

1

2 ((2 1)! !1)!

p k

m k k

C C

k k

+

+ +

= =

+

* Áp dụng toán ta giải nhiều tốn khác Ví dụ:

Có 25 học sinh Muốn lập thành nhóm gồm p học sinh Tìm giá trị p để số cách chia nhóm lớn nhất? Tìm số cách chia nhóm đó.

* Vì có 25 học sinh, chọn p em nên số nhóm lập C25p .

Theo trên, ta có m = 25 (lẻ) với k = 12 C25p lớn p = k + = 13. Vậy p = 13, đó: số nhóm tối đa lập: C2513 = 5200300.

Dạng : Giải phương trình, bất phương trình có chứa tổ hợp 1. Giải phương trình sau:

a)

4

3

1

24 23

n n

n n

A

A + − C − = b)

1 1

x x x

C − C = C c) Cxx−1+ Cxx−2+ Cxx−3+ + Cxx−10= 1023

ĐS: a) n = 5 b) x = 2 c) x = 10

2. Giải phương trình sau:

a) C10x++4x = C102 10x+−x b) x2− C x C C4x + 32 3= c) Ax2−2+ Cxx−2 = 101

d) C8x++x3= 5Ax3+6 e) C1x+ 6Cx2+ 6Cx3= 9x2−14

ĐS: a) x = 14 b) x = 3 c) x = 10 d) x = 17 e) x = 7

3. Giải bất phương trình: a)

3

3

1 14

n n n C

P A

− − +

< b) 60 32

( n )! nk

P

A

n k−+ ≤ ++ c) Cn4−1− Cn3−1− 45An2−2 <

ĐS: a) đk: n ≥ 3, n2 + n – 42 > ⇔ n ≥ b) ́ +(k nn≤ 5)(n+ 4)(n k− + ≤1) 0



• Xét với n ≥ 4: bpt vơ nghiệm

c) đk: n ≥ 5, n2 – 9n – 22 < ⇒ n = 6; 7; 8; 9; 10

4. Giải phương trình bất phương trình:

a/ Cxx+−12+ 2Cx3−1= 7(x−1) b/ A3x+ Cxx−2 = 14 x

c/ 5 336 x x x A

C −− = d/

2 28 24 225 52 x x C C − =

e/ 41 1 2

4

n n n

C − − C − − A − < f/

3 1 14 n n n C P A − − + <

g/ 2Cx2+1+ 3Ax2< 30 h/ 22 10

2A x − Ax ≤ xCx+

ĐS: a/ x = b/ x = c/ x = d/ x =

e/ 5≤ ≤n 10,n N∈ f/ x≥ 6,n N∈ g/ x = h/ x = 3, x =

5. Giải hệ phương trình:

a) 1

1

126 720

x

y y x

y x x A C P P − + + ́  + =   = 

b) Cxy+1:Cxy+1:Cxy−1= : : c)

1

0

4

y y x x y y x x C C C C + − ́ − =   − =  ĐS: a) ́ =xy= 57

 b) x y ́ =  =  c) 17 x y ́ =  = 

6. Giải phương trình hệ bất phương trình:

a/ 90

5 80

y y x x y y x x A C A C ́ + =   + =  b/ : : 24 x x y y x x y y C C C A + ́ =    = 

c/ lg(3 ) lg3 1

3 x x

C C

x y

́ − ≤

 − ≤ 

ĐS: a/ x = 5, y = b/ x = 4, y = c/ 3≤ ≤x 6; ,x y Z∈ +

7. Tìm số tự nhiên k cho C14k ,C14k+1,C14k+2 lập thành cấp số cộng

ĐS: k = 4;

Dạng 6: Tìm số tổ hợp toán số học

1 Cho 10 câu hỏi, có câu lý thuyết tập Người ta cấu tạo thành đề thi Biết đề thi phải gồm câu hỏi, thiết phải có câu lý thuyết tập Hỏi tạo đề thi?

ĐS: • Đề gồm câu lý thuyết tập: C C42 6 = 36 • Đề gồm câu lý thuyết tập: C C4 61 2= 60

Vậy có: 36 + 60 = 96 đề thi.

2 Một lớp học có 40 học sinh, gồm 25 nam 15 nữ Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn ban cán lớp gồm em Hỏi có cách chọn, nếu:

a) Gồm học sinh tuỳ ý b) Có nam nữ c) Có nam nữ

d) Có nam e) Có nam nữ

ĐS: a) C404 b) C C125 15 c) C C25 152 d) C C125 15 + C C25 152 + C C25 153 + C254 e) C404 − C254 − C154

3 Cho điểm mặt phẳng điểm thẳng hàng Hỏi có vectơ tạo thành từ điểm ấy? Có đoạn thẳng tạo thành từ điểm ấy?

ĐS: 20 ; 10

thư dán tem thư lên bì thư chọn Một bì thư dán tem thư Hỏi có cách làm vậy?

ĐS: 1200

5 Một túi chứa viên bi trắng viên bi xanh Lấy viên bi từ túi đó, có cách lấy được:

a/ viên bi màu? b/ viên bi trắng, viên bi xanh?

ĐS: a/ 20 b/ 150

6 Từ 20 người, chọn đoàn đại biểu gồm trưởng đồn, phó đồn, thư ký ủy viên Hỏi có cách chọn?

ĐS: 4651200

7 Từ hồng vàng, hồng trắng hồng đỏ (các hoa xem đôi khác nhau), người ta muốn chọn bó hóa gồm bơng, hỏi có cách chọn bó hoa đó:

a/ Có bơng hồng đỏ?

b/ Có bơng hồng vàng bơng hồng đỏ?

ĐS: a/ 112 b/ 150

8 Từ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, lập số gồm 10 chữ số chọn từ chữ số trên, chữ số có mặt lần, chữ số khác có mặt lần

ĐS: 544320 (HVCNBCVT, Tp.HCM, 1999)

9 Từ tập X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} lập số:

a/ Chẵn gồm chữ số khác đôi chữ số đứng đầu chữ số 2?

b/ Gồm chữ số khác đôi cho chữ số có chữ số chẵn chữ số lẻ?

ĐS: a/ 360 b/ 2448 (ĐH Cần Thơ, 2001)

10 a/ Có số tự nhiên gồm chữ số đôi khác (chữ số phải khác 0), có mặt chữ số khơng có chữ số 1)

b/ Có số tự nhiên gồm chữ số, biết chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần chữ số cịn lại có mặt khơng q lần

ĐS: a/ 33600 b/ 11340 (ĐH QG, Tp.HCM, 2001)

11 Người ta viết số có chữ số chữ số 1, 2, 3, 4, sau: Trong số viết có chữ số xuất hai lần chữ số cịn lại xuất lần Hỏi có số vậy?

ĐS: 1800 (ĐH Sư phạm Vinh, 1998)

12 Từ tập thể 14 người gồm năm nữ có An Bình, người ta muốn chọn tổ cơng tác gồm có người Tìm số cách chọn trường hợp sau:

a/ Trong tổ phải có nam lẫn nữ?

b/ Trong tổ có tổ trưởng, tổ viên An Bình khơng đồng thời có mặt tổ?

ĐS: a/ 2974 b/ 15048 (ĐH Kinh tế, Tp.HCM, 2001)

13 Một đồn tàu có toa chở khác Toa I, II, III Trên sân ga có khách chuẩn bị tàu Biết toa có chỗ trống Hỏi:

a/ Có cách xếp cho vị khách lên toa

b/ Có cách xếp cho vị khách lên tàu có toa có vị khách nói

ĐS: a/ 99.b/ 24 (ĐH Luật Hà Nội, 1999)

14 Trong số 16 học sinh có học sinh giỏi, khá, trung bình Có cách chia số học sinh thành hai tổ, tổ học sinh cho tổ có học sinh giỏi tổ có hai học sinh

ĐS: 3780 (HVKT Quân sự, 2001)

Dạng 7: Tìm số tổ hợp tốn hình học

1. Trong mặt phẳng cho n đường thẳng cắt đôi một, đường đồng

ĐS: • Số giao điểm: ( 1)

2

n n n

C = −

• Số tam giác: ( 1)( 2)

6

n n n n

C = − −

2. Cho 10 điểm khơng gian, khơng có điểm thẳng hàng a) Có đường thẳng qua cặp điểm?

b) Có vectơ nối cặp điểm?

c) Có tam giác có đỉnh 10 điểm trên?

d) Nếu 10 điểm điểm đồng phẳng, có tứ diện tạo thành?

ĐS: a) C102 b) A102 c) C103 d) C104

3. Cho đa giác lồi có n cạnh (n ≥ 4)

a) Tìm n để đa giác có số đường chéo số cạnh?

b) Giả sử đường chéo qua đỉnh khơng đồng qui Hãy tính số giao điểm (không phải đỉnh) đường chéo ấy?

ĐS: a) Cn2− =n n ⇔ n = 5

b) Giao điểm đường chéo đa giác lồi (khơng phải đỉnh) giao điểm đường chéo tứ giác mà đỉnh đỉnh đa giác Vậy số giao điểm phải tìm số tứ giác với đỉnh thuộc n đỉnh đa giác: Cn4

4. Cho đa giác lồi có n-cạnh (n∈,b≥ 3)

a/ Tìm số đường chéo đa giác Hãy đa giác có số cạnh số đường chéo? b/ Có tam giác có đỉnh trùng với đỉnh đa giác?

c/ Có giao điểm đường chéo?

ĐS: a/ ( 3);

2

n n− n=

b/ ( 2)( 1)

6

n− n− n

c/ ( 1)( 2)( 3)

24

n n− n− n−

5. Tìm số giao điểm tối đa của:

a/ 10 đường thẳng phân biệt? b/ 10 đường tròn phân biệt?

c/ 10 đường thẳng 10 đường tròn trên?

ĐS: a/ 45.b/ 90 c/ 335

6. Cho hai đường thẳng song song (d1), (d2) Trên (d1) lấy 17 điểm phân biệt, (d2) lấy 20 điểm phân biệt Tính số tam giác có đỉnh điểm số 37 điểm chọn (d1) (d2)

ĐS: 5950 (ĐH SP Quy Nhơn, 1997)

7. Cho mặt phẳng cho đa giác H có 20 cạnh Xét tam giác có ba đỉnh lấy từ đỉnh H

a/ Có tất tam giác vậy? Có tam giác có hai cạnh cạnh H? b/ Có tam giác có cạnh cạnh H? Có tam giác khơng có cạnh cạnh H?

ĐS: a/ 1140; 20 b/ 320 ; 80 (HVNH, 2000, khối D)

8. Có 10 điểm A, B, C, mặt phẳng khơng có điểm thẳng hàng

a/ Nối chúng lại ta đường thẳng? Trong có đường không qua A hay B?

b/ Có tam giác đỉnh điểm trên? Bao nhiêu tam giác chứa điểm A? Bao nhiêu tam giác chứa cạnh AB?

ĐS: a/ 45; 28 b/ 120 ; 36 ;

9. Có p điểm mặt phẳng có q điểm thẳng hàng, số cịn lại khơng có điểm thẳng hàng Nối p điểm lại với Hỏi:

a/ Có đường thẳng? b/ Chúng tạo tam giác?

ĐS: a/ ( 1) ( 1) 2;

10.Cho p điểm khơng gian có q điểm đồng phẳng, số cịn lại khơng có điểm đồng phẳng Dựng tất mặt phẳng chứa p điểm Hỏi:

a/ Có mặt phẳng khác nhau? b/ Chúng tạo tứ diện?

ĐS: a/ C3p− Cq3+ b/ C4p− Cq4

11.Cho p điểm có q điểm nằm đường trịn, ngồi khơng có điểm đồng

phẳng Hỏi có bao nhiêu:

a/ Đường tròn, đường qua ba điểm? b/ Tứ diện với đỉnh thuộc p điểm đó?

ĐS: a/ C3p− Cq3+ b/ C4p− Cq4

V Nhị thức Newton

1 Công thức khai triển nhị thức Newton:Với n∈N với cặp số a, b ta có:

0

( )n n nk n k k

k

a b C a − b =

+ = ∑

2 Tính chất:

1) Số số hạng khai triển n + 1

2) Tổng số mũ a b số hạng n

3) Số hạng tổng quát (thứ k+1) có dạng: Tk+1 = C ank n k k− b ( k =0, 1, 2, …, n) 4) Các hệ số cặp số hạng cách số hạng đầu cuối nhau:

k n k

n n

C = C − 5) Cn0 = Cnn= 1, Cnk−1+ Cnk = Cnk+1

* Nhận xét: Nếu khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a b giá trị đặc biệt ta sẽ thu cơng thức đặc biệt Chẳng hạn:

(1+x)n = n n n

n n n

C x + C x − + + C ⇒ Cn0+ Cn1+ + Cnn = 2n

(x–1)n= n n ( 1)n n

n n n

C x − C x − + + − C ⇒ Cn0− Cn1+ + − ( 1)n nCn =

Dạng 1: Xác định hệ số khai triển nhị thức Newton 1. Tìm số hạng khơng chứa x khai triển nhị thức:

a)

10

1

x x  + 

 ÷

  b)

12

4

1

x x

 + 

 ÷

  c)

5

2

1

x x

 − 

 ÷

  d)

6

x x  − 

 ÷

 

ĐS: a) 45 b) 495 c) –10 d) 15

2. a/ Tìm hệ số x y12 13 khai triển (2x+ ) y 25

b/ Tìm số hạng khai triển (x3− xy) 15

ĐS: a) 3 13 12 13C25 b) T8 = −6435x y T31 , 9= 6435x y29 3. Trong khai triển (x + y + z)n, tìm số hạng chứa xk.ym (k,m <n)

ĐS: Trước hết tìm tất số hạng chứa xk.

Ta có: (x + y + z)n = ( ) n k k( )n k n

x y z C x y z −

 + +  = + + +

mà (y + z)n–k = m m n k m n k

C − y z − −

+ +

⇒ số hạng chứa xkym là: k m k m n k m

n n k

C C − x y z − −

4. Khai triển rút gọn đơn thức đồng dạng đa thức:

9 10 14

( ) (1 ) (1 ) (1 )

P x = + x + + x + + + x

ta đa thức: P x( )= a0+ a x a x1 + 2 2+ + a x14 14 Hãy xác định hệ số a9?

ĐS: a9 = 3003

5. Cho đa thức P x( ) (1= + x) 2(1+ + x)2+ 3(1+ x)3+ + 20(1+ x)20 viết dạng: P x( )= a0+ a x a x1 + 2 2+ + a x20 20

Tìm hệ số a15?

ĐS: a15= 400995.

6. Khai triển P x( ) (= x− 2)80 = a0+ a x a x1 + 2 2+ + a x80 80 Tìm hệ số a78?

ĐS: a78= 12640

7. Khai triển P x( ) (3= + x)50 = a0+ a x a x1 + 2 2+ + a x50 50

a/ Tính hệ số a46? b/ Tính tổng S a= 0+ a a1+ 2+ + a50 ĐS: a/ a46 = 18654300 b/ S= 50

8. a) Tìm số hạng khơng chứa thức khai triển nhị thức: (33+ 2)5 b) Tìm số mũ n biểu thức

3

1 12

n b

 

+

 ÷

  Biết tỉ số hệ số số hạng thứ thứ

trong khai triển nhị thức 7:2 Tìm số hạng thứ 6?

ĐS: a) C52.3.2 60=

b) n = ⇒T6 = ( )

5

5

9 312 1263 2

C b

b b b

 

 ÷ =

 ÷

 

9. Trong khai triển nhị thức:

21

3

a b

b a

 

+

 ÷

 ÷

 

, tìm số hạng chứa a, b với luỹ thừa giống nhau?

ĐS: Ta có: Tk+1 =

21

21 3

k k

k a b

C

b a

−

   

 ÷  ÷

 ÷  ÷

   

= 213 216 21

k k k k

k

C a − − b − −

⇒ 21 21

3 6

k k k k

− − = − − ⇒ k = Vậy số hạng cần tìm là: T10 = 5 2 2 21

C a b

10.a/ Tìm số hạng thứ khai triển

15

1 .

x x  − 

 ÷

 

b/ Tìm số hạng chứa a7 khai triển

12

3 .

64 a a

 + 

 ÷

 

c/ Tìm số hạng khai triển

10

1 x .

x

 + 

 ÷

d/ Tìm số hạng không chứa x khai triển nhị thức:

12

1 x

x  + 

 ÷

 

e/ Tìm hạng tử độc lập với x khai triển

16 3x .

x  + 

 ÷

 

ĐS: a/ T6 = C155 b/ 924 a7 −30 c/ T16= C x y3015 30 15 d/ 495. e/ 1820.

11.Số hạng chứa x với số mũ tự nhiên khai triển sau:

a/ (4x x+ ) 10 b/

13

1 .

x x  + 

 ÷

 

ĐS: a/ C x C x C x102 , 106 7, 1010 10 b/ C x130 13,C x C x C x133 9, 136 5, 139

12.a/ Tìm số hạng khai triển ( 3+ 32)9 số nguyên b/ Tìm số hạng hữu tỉ khai triển ( 3− 15)

c/ Xác định số hạng hữu tỉ khai triển ( 35 + 37) 36 d/ Có hạng tử nguyên khai triển ( 3+ 45) 124

ĐS: a/ T4= 4536,T10= b/ T1= 27,T3= 2005,T5= 10125,T7 = 3375

c/ T T7, 22,T37 d/ 32 số hạng

13.a/ Tìm số hạng thứ ba khai triển 13

1

n a a

a−

 + 

 ÷

 ÷

 

3: 4 :1.

n n

C C =

b/ Trong khai triển (1+ x)n theo lũy thừa tăng x, cho biết :

4

4 40

3

T T

T T

́ =

  =

 Tìm n x?

ĐS: a/ n= 14,T3= 9113 51a b/ 6,

n= x= ±

14.a/ Xác định hệ số thứ nhất, thứ hai, thứ ba khai triển

2

1 n.

x x

 + 

 ÷

 

b/ Cho biết tổng hệ số 11 Tìm hệ số x2.

ĐS: a/ 1, , ( 1)

2

n n n n n

C = C = n C = − b/ n= 4,C42=

15.a/ Trong khai triển

4

1 n

a a a

 + 

 ÷

  cho biết hiệu số hệ số hạng tử thứ ba thứ hai 44

Tìm n

b/ Cho biết khai triển ,

n x

x  + 

 ÷

  tổng hệ số hạng tử thứ nhất, thứ hai, thứ ba

46 Tìm hạng tử khơn g chứa x

c/ Cho biết tổng hệ số số hạng khai triển 2

n x

 − 

 ÷

  97 Tìm hạng tử

của khai triển chứa x4.

Dạng : Áp dụng khai triển nhị thức Newton để chứng minh đẳng thức tổ hợp 1. Tính tổng sau:

a/ S1= Cn0+ C1n+ Cn2+ + Cnn b/ S2 = Cn0+ Cn2+ Cn4+

c/ S3= C1n+ Cn3+ Cn5+ d/ S4= Cn0+ 2Cn1+ 22 2Cn + + 2k kCn + + 2n nCn

e/ S5 = Cn0+ 22Cn2+ 24 4Cn +

ĐS: a/ 2n. b/ 2n-1. c/ 2n-1. d/ 3n. e/ 3 ( 1)

2

n+ − n

2. Biết tổng tất hệ số khai triển thị thức (x2 + 1)n 1024, tìm hệ số a (a số tự

nhiên) số hạng ax12 khai triển đó.

ĐS: a = 210 (HV hành QG, 2000)

3. Tính tổng sau:

a/ S1= C116 + C117 + C118 + C119 + C1110+ C1111.(ĐHQG Hà Nội, 97, Khối D)

b/ S2 = 316 0C16− 315 1C16+ 314 2C16− + C1616 (ĐHBK Hà Nội, 98) ĐS: a/ 1024 b/ 216.

4. Chứng minh hệ thức sau:

a/ C20n+ C22n+ +C24n+ + C22nn= C21n+ +C23n+ +C25n+ + C22 1nn−

Tổng hệ số chẵn tổng hệ số lẻ có khơng?

b/ 10.− C12n+10 2C2n−10 3C2n+ − 102 1n− C2nn− +102n = 81 n

c/ C20n+ C22 2n3 + C24 4n3 + + C22nn32n = 22 1n− (22n+1) (ĐH Hàng Hải, 2001)

5. Dùng đẳng thức (1+ x) (1m + x)n = +(1 x)m n+ , chứng minh rằng: a/ C Cm0 nk + C Cm1 nk−1+ C Cm2 nk−2+ + C Cmm nk m− = Cm nk+ ,m k n≤ ≤

(Hệ thức Van der mon de (Van đec mon)) b/ ( )Cn0 2+ ( )Cn1 2+ ( )Cn2 2+ + ( )Cnn = C2nn

c/ 1 2 (2 )!

( )!( )!

k k k n k n

n n n n n n n n n

C C C C C C C C

n k n k

+ + −

+ + + + =

− +

6. Tính giá trị biểu thức:

A = 22nC20n+ 22 2n− C2n+ + 20 2C2nn B = 22 1n− C2n+ 22 3n− C2n+ + 21 1C2nn− ĐS : Ta có : (2x+1)2n = ( )

2

2

n k n

k n k

C x

− =

∑ Thay x = ta A + B = 32n = 9n Mặt khác, (2x–1)2n = ( )2 ( )

2

0

n n k k

k n

k C x

− =

−

∑ Thay x = ta A – B = 1 Từ suy ra: A = 1 1( )

2

n+ , B = 1 1( )

2

n−

7. Chứng minh đẳng thức sau:

a) Cn0+ 6C1n+ 62 2Cn + + 6n nCn = 7n b) 317 0C17+ 16 1C17+ + 417 17C17 = 717

ĐS: a) Khai triển (1+x)n = 2 n n

n n n n

B XÁC SUẤT

I Biến cố xác suất

1 Biến cố

• Khơng gian mẫu Ω: tập kết xảy phép thử • Biến cố A: tập kết phép thử làm xảy A A ⊂Ω. • Biến cố khơng: ∅ • Biến cố chắn: Ω • Biến cố đối A: A= Ω \A

• Hợp hai biến cố: A ∪ B • Giao hai biến cố: A ∩ B (hoặc A.B) • Hai biến cố xung khắc: A ∩ B = ∅

• Hai biến cố độc lập: việc xảy biến cố không ảnh hưởng đến việc xảy biến cố

2 Xác suất

• Xác suất biến cố: P(A) = nn A( )( ) Ω • ≤ P(A) ≤ 1; P(Ω) = 1; P(∅) = 0

• Qui tắc cộng: Nếu A ∩ B = ∅ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) Mở rộng: A, B bất kì: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A.B) • P(A) = – P(A)

• Qui tắc nhân: Nếu A, B độc lập P(A.B) = P(A) P(B)

1. Gieo súc sắc cân đối đồng chất hai lần Tính xác suất biến cố: a) Tổng hai mặt xuất

b) Tích hai mặt xuất số lẻ c) Tích hai mặt xuất số chẵn

ĐS: a) n(Ω) = 36 n(A) = ⇒ P(A) =

36 b)

1

4 c)

3

2. Một lớp học có 25 học sinh, có 15 em học mơn Tốn, 16 em học mơn Văn

a) Tính xác suất để chọn em học môn

b) Tính xác suất để chọn em học mơn Tốn khơng mơn Văn

ĐS: a) n(A∩B) = n(A) + n(B) – n(A∪B) = 15 +15 – 25 = 17 ⇒ P(A∩B) 72

25

C

b) 83

25

C

3. Gieo hai súc sắc cân đối đồng chất Tính xác suất biến cố: a) Tổng hai mặt xuất

b) Các mặt xuất có số chấm

ĐS: a)

6 b)

1

4. Một bình đựng viên bi xanh viên bi đỏ khác màu Lấy ngẫu nhiên viên bi, lấy tiếp viên Tính xác suất biến cố lần thứ hai viên bi xanh

ĐS: 5

8

5. Một bình đựng viên bi xanh viên bi đỏ khác màu Lấy ngẫu nhiên viên bi

Tính xác suất để viên bi xanh

ĐS: 1

2

là

5, người thứ hai

2 Tính xác suất để thú bị bắn trúng

ĐS: 4

5

7. Gieo ngẫu nhiên súc sắc cân đối đồng chất hai lần Tính xác suất biến cố sau: a) Lần thứ xuất mặt chấm

b) Lần thứ hai xuất mặt chấm c) Ít lần xuất mặt chấm d) Không lần xuất mặt chấm

ĐS: a) 1

6 b)

1

6 c)

11

36 d)

25 36

8. Gieo đồng thời bốn đồng xu cân đối đồng chất Tính xác suất biến cố: a) Cả đồng xu ngửa

b) Có đồng xu lật ngửa c) Có hai đồng xu lật ngửa

ĐS: a)

16 b)

1

4 c)

11 16

9. Một hộp bóng đèn có 12 bóng, có bóng tốt Lấy ngẫu nhiên bóng.Tính xác suất để lấy được:

a) bóng tốt b) bóng tốt

10.Một lớp học gồm 20 học sinh có học sinh giỏi Toán, học sinh giỏi Văn học sinh giỏi mơn GVCN chọn em Tính xác suất để em học sinh giỏi

11.Một hộp có 20 cầu giống nhau, có 12 cầu trắng cầu đen Lấy ngẫu nhiên Tính xác suất để chọn có màu đen

12.Một tổ có học sinh nam học sinh nữ GVCN chọn em thi văn nghệ Tính xác suất để em khác phái

13.Một lớp có 30 học sinh, có em giỏi, 15 em em trung bình Chọn ngẫu nhiên em dự đại hội Tính xác suất để :

a) Cả em học sinh giỏi b) Có học sinh giỏi

c) Khơng có học sinh trung bình

14.Cho số 1, 2, 3, 4, 5, 6, Gọi X tập hợp số gồm hai chữ số khác lấy từ số Lấy ngẫu nhiên số thuộc X Tính xác suất để:

a) Số số lẻ

b) Số chia hết cho

c) Số chia hết cho

II Biến ngẫu nhiên rời rạc

1 Biến ngẫu nhiên rời rạc

•X = {x1, x2, …,xn}

• P(X=xk) = pk p1 + p2 + … + pn = 1

2 Kì vọng (giá trị trung bình)

ã = E(X) =

1

n i i i

x p =

∑

3 Phương sai độ lệch chuẩn

• V(X) =

1

( )

n

i i

i

x p

= −

∑ µ = 2

1

n i i i

x p

= −

ã (X) = V X( )

0,8 Tính xác suất làm bàn người thứ hai, biết xác suất để hai người làm bàn 0,56 xác suất để bị thủng lưới lần 0,94

2. Một cặp vợ chồng có người Gọi X số lần sinh trai Lập bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X

3. Một hộp đựng viên bi xanh viên bi đỏ Chọn ngẫu nhiên viên bi Gọi X số lần lấy bi đỏ Lập bảng phân phối biến ngẫu nhiên X

4. Cho bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X:

X

P 0,3 0,5 0,2

Tìm kỳ vọng, phương sai độ lệch chuẩn X

5. Một hộp đựng viên bi đỏ viên bi xanh Lấy ngẫu nhiên viên Gọi X số bi đỏ lấy Tính kỳ vọng, phương sai độ lệch chuẩn X

6. Hai xạ thủ độc lập bắn vào bia Mỗi người bắn viên đạn Xác suất để xạ thủ thứ bắn trúng bia 0,7 Xác suất để xạ thủ thứ hai bắn trúng bia 0,8 Gọi X số đạn bắn trúng bia Tính kỳ vọng, phương sai X

A BÀI TẬP

1 (CĐ_Khối D 2008)

Tìm số hạng khơng chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton

18     + x

x , (x>0)

ĐS: 6528

2 (ĐH_Khối D 2004)

Tìm số hạng khơng chứa x rtrong khai triển nhị thức Newton

7     + x

x với x>0

ĐS: 35 (ĐH_Khối A 2003)

Tìm số hạng chứa x8 khai triển nhị thức Newton

n x

x 

 



 +

3

1

, biết

( 3)

7

3

4 − + = + +

+ C n

C n

n n

n , (n nguyên dương, x>0, (Cnk số tổ hợp chập k n phần tử)

ĐS: 495

4 (ĐH_Khối D 2005)

Tính giá trị biểu thức ( )

! 3 + + = + n A A

M n n , biết 2 2 149

4 2

1+ + + + + + =

+ n n n

n C C C

C (n số nguyên

dương, Ank số chỉnh hợp chập k n phần tử k n

C số tổ hợp chập k n phần tử) ĐS: M = 43

5 (ĐH_Khối A 2006)

Tìm số hạng chứa x26 khai triển nhị thức Newton

n x x 

 



 +

1

, biết 220 2 1

2n+ + C n+ + + Cnn+ = −

C  , (n nguyên dương k

n

C số tổ hợp chập k n phần tử).

ĐS: 210

6 (ĐH_Khối D 2008)

Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức 2048

2

2

2n + C n + + C nn− =

C  ( k

n

C số tổ hợp chập k

ĐS: n=6

7 (ĐH_Khối D 2007)

Tìm hệ số x5 khai triển thành đa thức x(1−2x)5+x2(1+3x)10.

ĐS: 3320

8 (ĐH_Khối D 2003)

Với n số nguyên dương, gọi a3n−3 hệ số x3n−3 khai triển thành đa thức (x2+1)n(x+2)n

Tìm n để a3n−3=26n

ĐS: n=5

9 (ĐH_Khối D 2002)

Tìm số nguyên dương n cho Cn0 + 2C1n + 4Cn2 + L+ 2n nCn = 243

ĐS: n=5 10.(ĐH_Khối B 2008)

Chứng minh k

n k

n k

n C C

C n

n 1

2

1 1

=   

 + +

+

+ + +

(n, k số nguyên dương, k≤n, k n

C số tổ hợp chập

k n phần tử) 11 (ĐH_Khối B 2007)

Tìm hệ số số hạng chứa x10 khai triển nhị thức Newton (2+x)n, biết:

3nC

n0−3n−1Cn1+3n−2Cn2−3n−3Cn3+ … +(−1)nCnn=2048 (n số nguyên dương, Cnk số tổ hợp chập k n phần tử)

ĐS: 22 12 (ĐH_Khối B 2006)

Cho tập A gồm n phần tử (n≥4) Biết rằng, số tập gồm phần tử A 20 lần số tập gồm phần tử A Tìm k∈{1,2,…,n} cho số tập gồm k phần tử cua A lớn

ĐS: k=9 13.(ĐH_Khối B 2003)

Cho n số nguyên dương Tính tổng n

n n

n n

n C

n C

C C

1

1 2

1

2

2

+ − + + − + −

+  + , (Cnk số tổ hợp

chập k n phần tử)

ĐS:

1

3 1

+ − + +

n n n

14 (ĐH_Khối B 2002)

Cho đa giác A1A2…An (n≥2, n nguyên) nội tiếp đường tròn tâm (O) Biết số tam giác có đỉnh 2n điểm A1A2…An nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh 2n điểm

A1A2…An, tìm n

ĐS: n=8 15.(ĐH_Khối A 2008)

Cho khai triển (1+2x)n=a0+a1x+ … +anxn, n∈N* hệ số a0, a1,…an thỏa mãn hệ thức

4096

2

1

0 + + + n = n a a

a  Tìm số lớn số a0, a1,…an

ĐS: a8=126720 16 (ĐH_Khối A 2007)

Chứng minh 21 23 25 22 22

2 2

n n

n n n n

C C C C

n n

− −

+ + + + =

+

L , (Cnk số tổ hợp chập k n

phần tử)

Tìm số nguyên dương n cho

(2 1).2 2005

2

1 2 3 2 2 1

2n+ − C n+ + C n+ − C n+ + + n+ nC nn++ =

C  , ( k

n

C số tổ hợp chập k n

phần tử)

ĐS: n=1002 18 (ĐH_Khối A 2004)

Tìm hệ số x8 khai triển thành đa thức [1+x2(1−x)]8.

ĐS: 238 19.(ĐH_Khối A 2002)

Cho khai triển nhị thức

n x n n n x x n n x n x n n x n n x x C C C C     +         + +         +     =     + − − − − − − − − − − − 3 1 1 2 2 2 2 

(n số nguyên dương) Biết khai triển 5 n

n C

C = số hạng thứ 20n, tìm n x ĐS: n=7, x=4

20.Cho số phức z=1+i

a Viết khai triển nhị thức Newton nhị thức (1+i)n.

b Tính tổng S1=1−Cn2+Cn4−Cn6+… S2=Cn1−Cn3+Cn5−…

21.Chứng minh C1000–C1002+C1004–C1006+ … –C10098+C100100=–250.