Chuyên đề Toán sơ cấp - Giải tích tổ hợp

Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và sắp xếp chúng theo thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử.. Do đó ta có tổng số chỉnh hợp chậ[r]

ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH TIỀN GIANG TRƯỜNG ĐẠI HỌC TIỀN GIANG KHOA SƯ PHẠM
 CHUYÊN  TOÁN S CP GII TÍCH T HP Giáo viên HD SVTH MSSV : Võ Hoài Nhân Trung : Nguy(n H)ng i*p : 106121009 Thaùng 5, naêm 2010 Lop11.com MC LC PHN I : C BN A Lý thuyt : I Hai qui tc c bn : 1 Qui tc c"ng : Qui tc nhân : II Hoán v) : III Ch+nh h,p : IV T1 h,p : V Các chú ý gii bài t6p : VI M"t s9 sai l;m th=>ng mc phi gii toán : B Các dBng bài t6p th=>ng gCp 13 I VDn EF : Bài toán Em s9 13 DBng : Bài toán Em s9 c bn : 13 DBng : Bài toán Em ph9i h,p EiFu kiHn nâng cao (Em có l6p, các bài toán vF chia ht, tìm tDt c các =Mc s9 …) 18 DBng : Tính t1ng bài toán Em 25 II VDn EF : Bài toán sp xp 27 III VDn EF : Bài toán vF t6p h,p 30 IV VDn EF : Bài toán hình hTc 32 V VDn EF : Bài t6p áp dUng công thWc 35 DBng : Xn gin biYu thWc, rút gTn, gii ph=ng trình, bDt ph=ng trình 35 DBng : ChWng minh các hH thWc t1 h,p 40 DBng : Tìm giá tr) lMn nhDt, nhZ nhDt 45 VI Bài t6p t1ng h,p 47 PHN II : NÂNG CAO 48 I Ch+nh h,p l6p 48 II Hoán v) lCp ( t1 h,p phWc ) 49 III T1 h,p lCp 49 IV Nguyên lí bù tra 51 IV Bài t6p t1ng h,p 52 Lop11.com CHUYÊN ĐỀ TOÁN SƠ CẤP : GIẢI TÍCH TỔ HỢP PHẦN I : CƠ BẢN A LÝ THUYẾT : I HAI QUI TẮC CƠ BẢN : Qui tắc cộng : - Một công việc nào đó có thể thực theo hai phương án A B Nếu phương án A có m cách thực , phương án B có n cách thực và không trùng với bất kì cách nào phương án A thì công việc đó có m + n cách thực - Tổng quát : Một công việc có thể tiến hành theo k phương án A1 , A2 , A3 , Ak Phương án A1 có thể thực theo n1 cách, phương án A2 có thể thực theo n2 cách,…, phương án Ak có thể thực theo nk cách Các phương án các cách không trùng Khi đó công việc có thể thực theo : n1  n2  n3   nk cách Ví dụ : Từ thành phố A đến thành phố B có đường và đường thủy Cần chọn đường để từ A đến B Hỏi có cách chọn ? Giải Để từ thành phố A đến thành phố B ta có phương án : đường đường thủy Đường : đường có cách chọn Đường thủy : đường có cách chọn Và phương án này độc lập với Vậy theo qui tắc cộng ta có tất cả: + = cách chọn Ví dụ : Một nhà hàng có loại rượu, loại bia, loại nước Một thực khách cần chọn đúng loại thức uống Hỏi có bao nhiêu cách chọn ? Giải Thực khách có phương án chọn : Hoặc chọn rượu : cách chọn Hoặc chọn bia : cách chọn Hoặc chọn nước : cách chọn Theo qui tắc cộng thực khách có tất : + + = cách chọn loại thức uống SVTH : NGUYỄN HỒNG ĐIỆP NHĐ Lop11.com Trang CHUYÊN ĐỀ TOÁN SƠ CẤP : GIẢI TÍCH TỔ HỢP Qui tắc nhân : - Một công việc nào đó có thể bao gồm công đoạn A và B Nếu công đoạn A có m cách thực và ứng với cách đó có n cách thực công đoạn B thì công việc đó có m.n cách thự - Tổng quát : Một công việc nào đó có thể bao gồm k công đoạn A1 , A2 , A3 , Ak Nếu công đoạn A1 có n1 cách thực và ứng với cách công đoạn A1 có n2 cách thực công đoạn A2 , ứng với cách công đoạn A2 có n3 cách thực công đoạn A3 ,…, ứng với cách công đoạn Ak 1 có n k cách thực công đoạn Ak Khi đó công việc có thể thực theo : n1.n2 n3 nk cách Ví dụ : Từ Hà Nội đến Huế có cách : máy bay, ô tô, tàu hỏa Từ Huế đến Sài Gòn có cách đi: máy bay, ô tô, tàu hỏa, tàu thủy Hỏi có bao nhiêu cách Hà Nội – Huế - Sài Gòn ? Giải Ta có thể xem việc Hà Nội – Huế - Sài Gòn công việc tiến hành theo giai đoạn liên tiếp : Giai đoạn : từ Hà Nội đến Huế : có cách Giai đoạn : từ Huế đến Sài Gòn : ứng với cách giai đoạn ta có cách để hoàn thành giai đoạn Vậy theo nguyên lí nhân có tất : 3.4  12 cách Hà Nội – Huế - Sài Gòn Ví dụ : Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác có thể tạo thành từ các chữ số 5, 6, 7, 8, ? Giải Số cần lập có dạng : a1a2 a3 , (a1  0) , để lập số ta thực các giai đoạn sau : Chọn a1 : có cách chọn Chọn a2 : với cách chọn a1 có cách chọn  a1  a2  Chọn a3 : với cách chọn a2 có cách chọn  a1  a2  a3  Vậy theo nguyên tác nhân có tất : 4.3.2  24 số thỏa yêu cầu bài toán SVTH : NGUYỄN HỒNG ĐIỆP NHĐ Lop11.com Trang CHUYÊN ĐỀ TOÁN SƠ CẤP : GIẢI TÍCH TỔ HỢP II HOÁN VỊ : - Định nghĩa : Cho tập A gồm n phần tử  n  1 Mỗi kết xếp thứ tự n phần tử tập hợp A gọi là hoán vị n phần tử đó - Nhận xét : Hai hoán vị n phần tử khác thứ tự xếp Chẳng hạn hai hoán vị abc và acb phần tử a, b, c là khác - Số các hoán vị : Kí hiệu Pn là số các hoán vị n phần tử : Pn  n. n -1 2.1  n ! Thật để có hoán vị ta có thể chọn phần tử đứng đầu theo n cách, sau đó ta chọn phần tử thứ theo (n-1) cách,…, chọn phần tử n theo cách Do đó ta có tổng số hoán vị là : n.(n-1)…2.1 - Qui ước : 0!  Ví dụ : Có bao nhiêu cách xếp bạn A, B, C ngồi vào bàn dài có chỗ ngồi ? Giải Cần xếp bạn vào chỗ cách là hoán vị phần tử, có tất P3  1.2.3  3!  cách Các hoán vị đó là : ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA Ví dụ : Có bao nhiêu số có chữ số đôi khác lập từ các số 2, 6, 7, ? Giải Mỗi số thành lập là hoán vị phần tử Vậy ta có tất là : P4  4!  24 (số) - Hoán vị vòng : Cho tập A gồm n phần tử  n  1 Mỗi kết xếp thứ tự n phần tử tập hợp A theo vòng kép kín gọi là hoán vị vòng n phần tử đó - Số hoán vị vòng n phần tử là : Pn1   n -1! Ví dụ : Có bao nhiêu cách xếp n đại biểu ngồi quanh bàn tròn ? Giải Vị trí tương đối các đại biểu hoàn toàn không đổi ta hoán vị vòng họ theo chiều định ( chẳng hạn n hoán vị ABC…KL, BCA…LA, CD…LAB là ) nghĩa là các hoán vị vòng không có phần tử nào là cuối cùng phần tử thứ Vậy số cách xếp là : SVTH : NGUYỄN HỒNG ĐIỆP NHĐ Lop11.com Trang CHUYÊN ĐỀ TOÁN SƠ CẤP : GIẢI TÍCH TỔ HỢP n!   n -1!  Pn-1 n Ví dụ : Có bao nhiêu đa giác nhận n điểm A, B, …, L làm đỉnh ? Giải Ta có thể hoán vị vòng các đỉnh theo hai chiều theo 2n cách khác mà đa giác không thay đổi nên số đa giác là : Pn-1  n -1!  2 III CHỈNH HỢP : - Định nghĩa : Cho tập A gồm n phần tử  n  1 Kết việc lấy k phần tử khác từ n phần tử tập hợp A và xếp chúng theo thứ tự nào đó gọi là chỉnh hợp chập k n phần tử - Số các chỉnh hợp : Kí hiệu A kn là số chỉnh hợp chập k n phần tử 1  k  n  Ank  n  n -1  n - k  1  n!  n - k ! Thật để lập chỉnh hợp chập k n phần tử ta chọn phần tử đứng đầu theo n cách, sau đó chọn phần tử thứ hai theo ( n - 1) cách,…, phần tử thứ k theo n - ( k-1) cách Do đó ta có tổng số chỉnh hợp chập k n phần tử là n  n -1  n - k  1 - Chú ý : Mỗi hoán vị n phần tử chính là chỉnh hợp chập n n phần tử đó Vì : Pn  Ann Ví dụ : Có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ các chữ số 1, 2, … ? Giải Mỗi số tự nhiên có chữ số khác lập cách lấy chữ số khác từ chín chữ số đã cho và xếp theo thứ tự định Mỗi số coi là chỉnh hợp chập Vậy số các số đó là : A95  120 SVTH : NGUYỄN HỒNG ĐIỆP NHĐ Lop11.com Trang CHUYÊN ĐỀ TOÁN SƠ CẤP : GIẢI TÍCH TỔ HỢP IV TỔ HỢP : - Định nghĩa : Cho tập A có n phần tử  n  1 Mỗi tập gồm k phần tử A gọi là tổ hợp chập k n phần tử đã cho - Chú ý : Số k định nghĩa cần thỏa mãn điều kiện  k  n Tuy tập hợp không có phần từ nào là tập rỗng nên ta qui ước gọi tổ hợp chập n phần tử là tập rỗng - Số các tổ hợp : Kí hiệu Cnk là số các tổ hợp chập k n phần tử   k  n  , ta có : Cnk  n! k ! n - k ! Để tính tổng số tổ hợp ta lập luận sau : Giả sử từ n phần tử đã cho ta tạo nên Cnk chỉnh hợp Đem tổ hợp chập k này hoàn vị theo cách có k! chỉnh hợp chập k Do đó toàn Cnk tổ hợp chập k n phần tử ứng với k! Cnk chỉnh hợp chập k Do đó : k !Cnk  Ank - Tính chất các số Cnk : Cnk  Cnn k ,   k  n  Cnk11  Cnk1  Cnk , 1  k  n  Ví dụ : Cho tập A  1, 2,3, 4,5 Có bao nhiêu tổ hợp chập phần tử A ? Liệt kê chúng Giải 5!  10 tổ hợp chập phần tử A Có tất C53  3!  ! Các tổ hợp đó là : 1, 2,3 ;1, 2, 4 ;1, 2,5;2,3, 4 ;2,3,5 ;3, 4,5;1,3, 4 ,1,3,5;2,3, 4 ,1, 4,5 Ví dụ : Một tổ có 10 người gồm nam và nữ Cần lập đoàn đại biểu gồm người Hỏi : a) Có bao nhiêu cách lập ? b) Có bao nhiêu cách lập đoàn dại biểu đó có nam, nữ ? Giải a) Mỗi đoàn đại biểu lập là tổ hợp chập 10 Vì số 10!  252 đoàn đại biểu có thể có là : C105  5!(10 - 5)! b) Chọn người từ người nam : có C63 cách chọn Chọn người từ người nữ : có C42 cách chọn Theo nguyên tắc nhân có tất C63 C42  120 cách lập đoàn SVTH : NGUYỄN HỒNG ĐIỆP NHĐ Lop11.com Trang CHUYÊN ĐỀ TOÁN SƠ CẤP : GIẢI TÍCH TỔ HỢP V CÁC CHÚ Ý KHI GIẢI BÀI TẬP : Trong bài toán đếm thì ta ưu tiên đếm các trường hợp có điều kiện đặc biệt (trường hợp số đứng đầu bài toán đếm số, các điều kiện ràng buộc khác bài toán… ) Phân biệt hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp : Hoán vị Tổ hợp Chỉnh hợp - Các phần tử xuất - Các phần tử xuất lần lần - Lấy hết n phần tử - Lấy k phần tử để xếp n phần tử để xếp - Các phần tử xếp có - Các phần tử xếp có - Các phần tử xuất lần - Lấy k phần tử n phần tử để xếp - Các phần tử xếp thứ tự không có thứ tự thứ tự Ta thường bị lẫn lộn tổ hợp và chỉnh hợp, điểm khác là xếp có thứ tự hay không Để phân biệt ta làm sau : đầu tiên ta đưa đáp án bài toán sau đó ta đảo vị trí các phần tử đáp án , :  Tạo nên đáp án  có thứ tự  tổ hợp  Không tạo nên đáp án  không có thứ tự  chỉnh hợp Ví dụ : Một lớp có 37 người, hỏi có bao nhiêu cách chọn tổ người để : a) Phân công trực nhật lớp b) Bầu ban cán : lớp trưởng, lớp phó, thủ quĩ Phân tích Giả sử ba bạn chọn theo thứ tự là A, B, C Đối với câu a : ta đổi lại tổ chọn là B, C, A ta thấy tổ này không thay đổi so với tổ ban đầu  tổ hợp Đối với câu b : theo cách chọn thì A : lớp trưởng, B : lớp phó, C : thủ quĩ, ta đổi lại tổ chọn là B, C, A ta ban cán là B : lớp trưởng, C : lớp phó, A : thủ quĩ tổ này đổi khác so với tổ ban đầu  chỉnh hợp Dựa vào công thức liên hệ tổ hợp và chỉnh hợp : Ank  k !Cnk ta còn có thể giải bài toán đếm cách " chọn và " SVTH : NGUYỄN HỒNG ĐIỆP NHĐ Lop11.com Trang CHUYÊN ĐỀ TOÁN SƠ CẤP : GIẢI TÍCH TỔ HỢP Lấy lại ví dụ trên : Một lớp có 37 người, chọn tổ người để : a) Phân công trực nhật lớp b) Bầu ban cán : lớp trưởng, lớp phó, thủ quĩ Giải a) Đầu tiên ta chọn người tùy ý 37 người có : C 337 cách Sau đó ta người chọn để thành lập tổ : có cách Vậy ta có tất : C337 = 7770 (cách) b) Đầu tiên ta chọn người tùy ý 37 người có : C 337 cách Sau đó ta người chọn vào chỗ để thành lập tổ : có 3! cách Vậy ta có tất : 3! C337 = 46620 (cách) Khi giải bài toán đếm người ta có thể giải theo hai cách chính sau đây :  Tính trực tiếp : tính thẳng yêu cầu bài toán nêu  Tính gián tiếp : đôi tính trực tiếp yêu cầu bài toán trở nên khó khăn, phức tạp, có nhiều khả có thể xảy người ta thường nghĩ đến phương pháp tính gián tiếp Cách tính gián tiếp dựa trên nguyên lí “ Đếm cái không cần đếm ( dễ dàng ) để biết cái cần đếm ( phức tạp) ” Các từ cần lưu ý : “có ít 1”, "có tối đa 1", ”A và B không đứng cạnh nhau”, “không đồng thời có mặt”, " bắt đầu bởi"… Ví dụ : Có bao nhiêu cách xếp người thành hàng ngang cho A không đứng cạnh B ? Phân tích Gọi các vị trí hàng theo thứ tự là 1, 2, 3, 4, Nếu ta đếm trực tiếp : xuất phát từ A, trường hợp A xuất nhiều trường hợp khác B lúc này việc tính toán trở nên khó khăn Nếu ta đếm gián tiếp : đếm phần không cần đếm “A, B luôn đứng cạnh nhau” xem A, B là chỗ, ta lấy cách xếp người tùy ý trừ trường hợp “A, B luôn đứng cạnh nhau” thu kết bài toán Việc đếm gián tiếp trường hợp này dễ dàng nhiều Giải Xem A và B chỗ, ta có 4! = 24 cách xếp Nhưng A có thể đứng bên trái bên phải B nên ta có 24.2 = 48 cách xếp A đứng cạnh B Toàn có 5! = 120 cách xếp Vậy số cách xếp A không đứng cạnh B là : 120 – 48 = 72 cách SVTH : NGUYỄN HỒNG ĐIỆP NHĐ Lop11.com Trang CHUYÊN ĐỀ TOÁN SƠ CẤP : GIẢI TÍCH TỔ HỢP VI MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG MẮC PHẢI TRONG KHI GIẢI TOÁN : Sai lầm : nhầm lẫn tổ hợp và chỉnh hợp * Bài toán : "Một tổ có 12 học sinh nữ và 10 học sinh nam Cần chọn học sinh gồm nam và nữ để ghép thành đôi diễn văn nghệ Hỏi có bao nhiêu cách ghép ? " Lời giải : - Chọn nam 10 nam : có A103  720 cách - Chọn nữ 12 nam : có A123  1320 cách Vậy số cách chọn đôi nam nữ là : 720.1320  950400 cách Lời giải : - Chọn nam 10 nam : có C103  120 cách - Chọn nữ 12 nam : có C123  220 cách Vậy số cách chọn đôi nam nữ là : 120.220  26400 cách Lời giải : - Chọn nam 10 nam : có C103  120 cách - Chọn nữ 12 nam : có C123  220 cách Do đó số cách chọn học sinh nam, nữ là : 120.220  26400 cách Vì đôi gồm bạn ( nam, nữ ) nên chọn bạn nam ( bạn nam ) và bạn nữ ( bạn nữ ) có : 3.3 = cách Vậy có tất là : 9.C103 C123  9.120.220  237600 cách Lời giải : - Chọn nam 10 nam : có C103  120 cách - Chọn nữ 12 nam : có C123  220 cách Do đó số cách chọn học sinh nam, nữ là : 120.220  26400 cách Trong học sinh chọn thì có 3! cách ghép các đôi này với ( là số hoán vị học sinh nam học sinh nữ ) Vậy có tất là : 3!.C103 C123  6.120.220  158400 cách Phân tích Lời giải : là lời giải sai vì bài toán không yêu cầu thứ tự chọn các học sinh Lời giải : lời giải sai chọn học sinh thỏa yêu cầu bài toán hoàn toàn đúng bài toán chưa dừng lại đó mà cần đưa kết là số cách ghép đôi Lời giải : lời giải sai nhầm lẫn bước cuối là chọn đôi nam và nữ ( đề bài yêu cầu chọn đôi ) Lời giải : là lời giải đúng SVTH : NGUYỄN HỒNG ĐIỆP NHĐ Lop11.com Trang CHUYÊN ĐỀ TOÁN SƠ CẤP : GIẢI TÍCH TỔ HỢP Sai lầm : Sai lầm việc chọn các phần tử còn lại : * Bài toán : " Một nhóm học sinh gồm các bạn A, B, C, D, E Cần chọn bạn hỏi có bao nhiêu cách chọn ?" Lời giải : - Đầu tiên chọn bạn : có cách chọn - Chọn tiếp bạn bạn còn lại : có cách chọn - Cuối cùng chọn bạn bạn còn lại : có cách chọn Vậy theo qui tắc nhân ta có tất : 5.4.3 = 60 cách chọn Lời giải : - Đầu tiên chọn bạn : có cách chọn - Chọn bạn bạn còn lại : có C42  cách chọn Vậy ta có tất : 5.C42  5.6  30 cách chọn Lời giải : Chọn bạn bạn là số chỉnh hợp chập phần tử Số cách chọn là : C53  10 cách Phân tích Lời giải : đây là lời giải sai, đây ta đã đặt thứ tự cho việc chọn bạn đề bài không yêu cầu dẫn đến kết đếm bị trùng nhau, ví dụ : Đầu tiên chọn bạn bạn ta có cách chọn - Giả sử lần đầu ta chọn A, lần ta chọn B, lần ta chọn C thì kết bạn chọn là A, B, C - Giả sử lần đầu ta chọn B, lần ta chọn A, lần ta chọn C thì kết bạn chọn là B, A, C Do yêu cầu bài toán là cần chọn bạn không phân biệt bạn nào trước bạn nào sau nên kết A, B, C và B, A, C là nhau, vì cách chọn bị trùng Lời giải : lời giải sai, chọn bạn bạn còn lại ta dùng chỉnh hợp là chính xác đây ta đã ấn định thứ tự cho vị trí thứ nên kết là sai Lời giải : lời giải đúng * Bài toán : "Một nhóm gồm 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ Chọn học sinh cho có ít học sinh nữ chọn ?" Lời giải : Tính trực tiếp : - Trường hợp : nữ, nam có : C152 C304 cách chọn - Trường hợp : nữ, nam có : C153 C303 cách chọn - Trường hợp : nữ, nam có : C154 C302 cách chọn - Trường hợp : nữ, nam có : C155 C30 cách chọn - Trường hợp : nữ có : C156 cách chọn SVTH : NGUYỄN HỒNG ĐIỆP NHĐ Lop11.com Trang CHUYÊN ĐỀ TOÁN SƠ CẤP : GIẢI TÍCH TỔ HỢP Vậy có tất : C152 C304 C153 C303 C154 C302 C155 C30 C156 = 5413695 cách chọn Lời giải : Tính gián tiếp : - Chọn học sinh bất kì : có C456 cách chọn - Chọn nữ, nam : có C151 C305 cách chọn - Chọn nam : có C306 cách chọn Vậy ta có tất : C456 - ( C151 C305 + C306 ) = 5413695 cách chọn Lời giải : - Bước : chọn nữ ( vì có ít nữ ) có C152 cách chọn - Bước : chọn bạn còn lại 43 bạn có C434 cách chọn Khi đó bạn chọn luôn thỏa mãn điều kiện có ít bạn nữ Vậy có tất : C152 C434 = 12958050 cách chọn Phân tích Lời giải +2 : là lời giải đúng Lời giải : là lời giải sai Thoạt tiên ta có cảm giác đây là lời giải hay, chính xác, ngắn gọn lời giải mắc phải sai lầm Chọn bạn nữ và bạn nam ta dùng tổ hợp là chính xác kết lại sai Nguyên nhân sai lầm : qui tắc nhân là có phân biệt thứ tự : Đầu tiên chọn bạn nữ không biệt thứ tự là đúng, ta coi hai bạn nữ làm thành nhóm 1, ta dùng qui tắc nhân ta đã đặt thứ tự cho nhóm nên cách đếm có thể bị trùng Chẳng hạn : - Giả sử bạn nữ chọn là A, B; sau đó chọn tiếp bạn là D, E, F, G giả sử bạn vừa chọn có bạn G là nữ Vậy bạn là : A, B, D ,E ,F, G - Giả sử trường hợp khác bạn nữ chọn là A, G; sau đó chọn tiếp bạn là D, E, F, B Vậy bạn là : A, G, D ,E ,F, B Nhóm này trùng với nhóm trường hợp trên Sai lầm : Xét thiếu các trường hợp bài toán giải phương pháp gián tiếp * Bài toán : “ Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm câu dễ, câu trung bình và câu khó người ta chọn 10 câu để làm đề kiểm tra cho phải có đủ loại dễ, trung bình và khó Hỏi có thể lập bao nhiêu đề kiểm tra ? ” Giải 10  Loại : chọn 10 câu tùy ý 20 câu có C20 cách  Loại 2: chọn 10 câu ko thoả mãn đầu bài ( có không quá loại dễ, trung bình và khó) - Trường hợp 1: chọn 10 câu dễ và trung bình 16 câu có C1610 cách SVTH : NGUYỄN HỒNG ĐIỆP NHĐ Lop11.com Trang 10 CHUYÊN ĐỀ TOÁN SƠ CẤP : GIẢI TÍCH TỔ HỢP - Trường hợp : chọn 10 câu dễ và khó 13 câu có C1310 cách - Trường hợp : chọn 10 câu trung bình và khó 11 câu có C1110 cách 10 Vậy có tất C20   C1610  C1310  C1110   176541 đề kiểm tra Lời giải trên là đúng thay đổi đề chút đôi ta phạm phải sai lầm là liệt kê thiếu trường hợp dùng cách giải gián tiếp : * Bài toán : “ Từ 20 câu hỏi trắc nghiệm gồm câu dễ, câu trung bình và câu khó người ta chọn câu để làm đề kiểm tra cho phải có đủ loại dễ, trung bình và khó Hỏi có thể lập bao nhiêu đề kiểm tra ? ” Lời giải :  Loại 1: chọn câu tùy ý 20 câu có C207 cách  Loại 2: chọn câu không thỏa yêu cầu - Trường hợp : chọn câu dễ câu có C97 cách - Trường hợp : chọn câu trung bình có cách - Trường hợp : chọn câu dễ và trung bình 16 câu có C167 cách - Trường hợp : chọn câu dễ và khó 13 câu có C137 cách - Trường hợp : chọn câu trung bình và khó 11 câu có C117 cách Vậy có C207  1  C97  C167  C137  C117   63997 đề kiểm tra Lời giải :  Loại : chọn câu tùy ý 20 câu có C207 cách  Loại : chọn câu không thỏa yêu cầu - Trường hợp : chọn câu dễ và trung bình 16 câu có C167 cách - Trường hợp : chọn câu dễ và khó 13 câu có C137 cách - Trường hợp : chọn câu trung bình và khó 11 câu có cách Vậy có C207   C167  C137  C117   64034 đề kiểm tra Lời giải :  Loại 1: chọn câu tùy ý 20 câu có C207 cách  Loại 2: chọn câu không thỏa yêu cầu - Trường hợp : câu chọn có loại : C97  C77 ( là loại dễ trung bình ) - Trường hợp : câu chọn có đủ hai loại : * Dễ và trung bình : C167   C97  C77  ( 16 câu dễ và trung bình thì chọn câu thì câu đó thuộc loại thuộc loại ) * Dễ và khó : C137  C97 * Trung bình và khó : C117  C77 SVTH : NGUYỄN HỒNG ĐIỆP NHĐ Lop11.com Trang 11 CHUYÊN ĐỀ TOÁN SƠ CẤP : GIẢI TÍCH TỔ HỢP Vậy có C20   C167  C137  C97  C117  1  64071 đề kiểm tra Phân tích Lời giải : lời giải sai, quên loại trừ các trường hợp có thể trùng nhau, ví dụ Loại : Trường hợp chứa Trường hợp và Trường hợp nên kết cuối cùng là không chính xác Lời giải : lời giải sai, tương tự Lời giải 1, thiếu liệt kê các trường hợp bị trùng nhau, ví dụ Loại : Trường hợp và Trường hợp số lần đếm bị trùng ( câu toàn dễ xuất trường hợp) Lời giải : lời giải đúng SVTH : NGUYỄN HỒNG ĐIỆP NHĐ Lop11.com Trang 12 CHUYÊN ĐỀ TOÁN SƠ CẤP : GIẢI TÍCH TỔ HỢP B CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP I VẤN ĐỀ : BÀI TOÁN ĐẾM SỐ Dạng : Bài toán đếm số : Ví dụ : Có bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số khác ? Giải Gọi n  a1a2 a3a4 là số cần lập Để lập số n ta phải thực các công đoạn sau : Chọn a1 : cách chọn ( a1  ) Chọn a2 : cách chọn Chọn a3 : cách chọn Chọn a4 : cách chọn Vậy ta có tất 9.9.8.7  4536 số n Ví dụ : Xét các số tự nhiên gồm chữ số khác lập nên từ các chữ số 1, 2, 3, 4, Hỏi các số đó có bao nhiêu số thỏa mãn : a Bắt đầu chữ số b Bắt đầu 23 Giải a Gọi n  a1a2 a3a4 a5 là số cần lập với a1 = Để lập số n ta tiến hành : Chọn a2 : cách chọn Chọn a3 : cách chọn Chọn a4 : cách chọn Chọn a5 : cách chọn Vậy theo nguyên lí nhân ta có tất 1.4.3.2.1  24 số n b Gọi n  a1a2 a3a4 a5 là số cần lập với a1 = 2, a2 = Chọn a3 : cách chọn Chọn a4 : cách chọn Chọn a5 : cách chọn Vậy ta có tất 1.1.3.2.1  số n Ví dụ : Cho các chữ số 1, 2, 3, 4, Có bao nhiêu số gồm chữ số khác đó có chữ số và không đứng cạnh ? Giải Xem và số, ta có 4! = 24 số cho đứng cạnh Nhưng có thể đứng bên trái bên phải nên ta có 24.2 = 48 số cho đứng cạnh Toàn có 5! = 120 số Vậy có tất : 120 – 48 = 72 số cho không đứng cạnh SVTH : NGUYỄN HỒNG ĐIỆP NHĐ Lop11.com Trang 13 CHUYÊN ĐỀ TOÁN SƠ CẤP : GIẢI TÍCH TỔ HỢP Ví dụ : Có thể lập bao nhiêu số chẵn gồm chữ số khác lấy từ 0, 2, 3, 6, ? Giải Gọi n  a1a2 a3a4 a5 là số cần lập Vì n chẵn  a5 chẵn nên a5  0, 2, 6 Có trường hợp :  Trường hợp : a5  Chọn a1 có cách chọn Chọn a2 có cách chọn Chọn a3 có cách chọn Chọn a4 có cách chọn Vậy trường hợp này có 1.4.3.2.1  24 số n  Trường hợp : a5  Chọn a5 có cách chọn Chọn a1 có cách chọn Chọn a2 có cách chọn Chọn a3 có cách chọn Chọn a4 có cách chọn Vậy trường hợp này có 2.3.3.2.1  36 số n Kết luận : Cả hai trường hợp ta có : 24 + 36 = 60 số n Ví dụ : Từ các chữ số 0, 1, 3, 5, có thể lập bao nhiêu số số gồm chữ số khác và không chia hết cho ? Giải  Gọi n  a1a2 a3a4 là số có chữ số khác bất kì Chọn a1 : có cách chọn Chọn a2 : có cách chọn Chọn a3 : có cách chọn Chọn a4 : có cách chọn Vậy ta có : 4.4.3.2 = 96 số n  Để n chia hết cho thì a4  0,5 Trường hợp : a4  Chọn a1 : có cách chọn Chọn a2 : có cách chọn Chọn a3 : có cách chọn Vậy ta có : 1.4.3.2 = 24 số Trường hợp : a4  Chọn a1 : có cách chọn SVTH : NGUYỄN HỒNG ĐIỆP NHĐ Lop11.com Trang 14 CHUYÊN ĐỀ TOÁN SƠ CẤP : GIẢI TÍCH TỔ HỢP Chọn a2 : có cách chọn Chọn a3 : có cách chọn Vậy ta có : 1.3.3.2 = 18 số Vậy ta có tất : 96 - (24+18) = 54 số n thỏa yêu cầu bài toán Ví dụ : Cho các số 1, 2, 5, 7, có bao nhiêu cách lặp số gồm chữ số khác từ chữ số đã cho, cho : a Số tạo thành là số chẵn b Số tạo thành là số không có chữ số c Số tạo thành là số nhỏ 278 Giải Gọi a1a2 a3 là số cần lặp a Vì n chẵn nên a3 chẵn, đó Có cách chọn a1 Có cách chọn a2 Có cách chọn a3 Vậy ta có 2.3.4 = 24 số b Số tạo thành là số không có chữ số nên có tất A43  24 số c Có hai trường hợp :  Trường hợp a1  ta có cách chọn a1 cách chọn a2 cách chọn a3 Ta có : 1.3.4 = 12 số  Trường hợp a1  ta có cách chọn a1 Nếu a2  : có cách chọn a2 , cách chọn a3 Vậy có 1.2.3 = số Nếu a2  : có cách chọn a2 , cách chọn a3 Vậy có 1.1.2 = số Vậy a1  có + = số Theo qui tắc cộng ta có : 12 + = 20 số n thỏa yêu cầu bài toán Ví dụ : Có bao nhiêu số nguyên dương bé 1000 mà số có các chữ số đôi khác ? Giải Gọi n  N và < n < 1000  n có tối đa chữ số  Nếu n có chữ số : có số 10! 9!  Nếu n có chữ số : có A 10 - A 19 = - = 81 số (trong đó A 19 là số các 8! 8! số bắt đầu là ) 10! 9! - A 29 = - = 684 số (trong đó A 29 là số các  Nếu n có chữ số : có A 10 7! 7! số bắt đầu là ) Vậy có tất là : + 81 + 684 = 738 số SVTH : NGUYỄN HỒNG ĐIỆP NHĐ Lop11.com Trang 15 CHUYÊN ĐỀ TOÁN SƠ CẤP : GIẢI TÍCH TỔ HỢP Ví dụ : Cho 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, có bao nhiêu số lẻ có chữ số khác nhỏ 600.000 ? Giải Gọi n  a1a2 a3a4 a5 a6 là số cần lập Để số n < 600.000 thì  a1  5, a6  1,3,5, 7,9 Ta xét riêng hai trường hợp:  Trường hợp : a6  1,3,5 Chọn a6 : có cách chọn Chọn a1 : có cách chọn Chọn a2 , a3 , a4 , a4 : có A84 cách  Trường hợp : a6  7,9 Chọn a6 : có cách chọn Chọn a1 : có cách chọn Chọn a2 , a3 , a4 , a4 : có A84 cách Vậy có tất : 3.4 A84  2.5 A84  36960 Ví dụ : Có bao nhiêu số lẻ gồm chữ số khác lớn 500.000 ? Giải Gọi n  a1a2 a3a4 a5 a6 là số cần lập  a1  5, 6, 7,8,9 ; a6  1,3,5, 7,9  Trường hợp a1 lẻ : Chọn a1 : có cách Chọn a6 : có cách Chọn a2 , a3 , a4 , a4 : có A84 cách  Trường hợp a1 chẵn : Chọn a1 : có cách Chọn a6 : có cách Chọn a2 , a3 , a4 , a4 : có A84 cách Vậy ta có tất : 3.4 A84  2.5 A84  36960 số n Ví dụ : Có bao nhiêu số nguyên dương gồm các chữ số khác nhỏ 104 ? Giải Gọi n là số thỏa yêu cầu bài toán T a có các trường hợp sau ( loại trừ trường hợp số đứng đầu ) :  Trường hợp : n có chữ số : có số  Trường hợp : n có chữ số : có 9.A91 số  Trường hợp : n có chữ số : có 9.A92 số  Trường hợp : n có chữ số : có 9.A93 số SVTH : NGUYỄN HỒNG ĐIỆP NHĐ Lop11.com Trang 16 CHUYÊN ĐỀ TOÁN SƠ CẤP : GIẢI TÍCH TỔ HỢP Vậy có tất  A91  A92  A93  5274 số Ví dụ : Tìm tất các số tự nhiên có đúng chữ số cho số đó chữ số đứng sau lớn chữ số đứng liền trước ? Giải Các số phải tìm có chữ số chọn tập hợp : E  1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9 Với cách chọn số bất kì E thì có cách xếp theo thứ tự tăng dần Do đó số các số tự nhiên cần tìm là số tổ hợp chập phần tử Vậy ta có tất là C95  126 số  Mở rộng yêu cầu bài toán : Tìm tất các số tự nhiên có chữ số cho số đó chữ số đằng sau nhỏ chữ số đứng liền trước ? Giải Lúc này số có chữ số phải tìm có các chữ số chọn tập hợp E  0,1, 2,3, 4,5, 6,7,8,9 Với cách chọn số bất kì E thì có cách xếp theo thứ tự giảm dần Lập luận trên số các số phải tìm là : C105  252 số Tìm tất các số lẻ có đúng chữ số cho số đó chữ số đằng sau lớn số đứng liền trước ? Giải Gọi A là tập hợp các số có dạng a1a2 a3a4   a4  a3  a2  a1   Gọi B là tập hợp các số có dạng b1b2b3b4   b4  b3  b2  b1   Gọi A là tập hợp các số có dạng c1c2 c3c4   c4  c3  c2  c1   Ta nhận thấy : a1 , a2 , a3 , a4  1, 2,3, 4,5, 6, 7,8 b1 , b2 , b3 , b4  1, 2,3, 4,5, 6 c1 , c2 , c3 , c4  1, 2,3, 4 Lập luận tương tự trên ta có : Tập A có : C84 số Tập B có : C64 số Tập C có : C44 số Vậy có tất : C84 + C64 + C44 = 86 số thỏa yêu cầu bài toán SVTH : NGUYỄN HỒNG ĐIỆP NHĐ Lop11.com Trang 17 CHUYÊN ĐỀ TOÁN SƠ CẤP : GIẢI TÍCH TỔ HỢP Ví dụ : Có bao nhiêu số từ 100 đến 999 gồm chữ số theo thứ tự tăng dần hay giảm dần ? Giải Số có chữ số theo thứ tự tăng dần : C103 Số có chữ số theo thứ tự giảm dần : C103 Số có số đứng đầu : C92 Vậy có tất : C103  C103  C92  204 số Ví dụ : Từ các chữ số 1, 2, ,3, 4, 5, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có chữ số đôi khác thỏa tổng chữ số đầu nhỏ tổng chữ số sau đơn vị ? Giải Ta có : + + + + + = 21 Vậy tổng chữ số đầu là 10 Dễ thấy : + + = + + = + + Vậy có cách chọn cho nhóm chữ số đầu là 1, 3, 1, 4, 2, 3, Với cách chọn nhóm chữ số thì có 3! cách để lập a1a a Với số còn lại thì có 3! cách lập a 4a 5a Vậy ta có tất : 3! 3! = 108 số thỏa yêu cầu bài toán Dạng : Bài toán đếm phối hợp điều kiện nâng cao ( đếm có lập, các bài toán chia hết, tìm tất các ước số …) Các dấu hiệu chia hết : - Số chẵn : tận cùng là 0, 2, 4, 6, - Số lẻ : tận cùng là 1, 3, 5, 7, - Số chia hết cho : số chẵn - Số chia hết cho : có tổng các chữ số chia hết cho Ví dụ : 276, 801,… - Số chia hết cho : có tận cùng là 00 hayhai chữ số cuối hợp thành số chia hết cho Ví dụ : 1800, 19708,… - Số chia hết cho : tận cùng là Ví dụ : 90, 95,… - Số chia hết cho : số chia hết cho và Ví dụ : 30, 210,… - Số chia hết cho : có tận cùng là 000 hay ba chữ số cuối hợp thành số chia hết cho Ví dụ : 81000, 197080, 98016… - Số chia hết cho : có tổng các số chia hết cho Ví dụ : 450, 981,… - Số chia hết cho 10 : số tận cùng là SVTH : NGUYỄN HỒNG ĐIỆP NHĐ Lop11.com Trang 18