chuyên đề toán sơ cấp

CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN SƠ CẤP CHUYÊNĐỀ 1: SỬ DỤNG SỐ VÔ TỶ TRONG GIẢI TOÁN Các bạn học sinh THCS được làm quen với số vô tỷ từ lớp 7 ,nhưng sử dụng số vô tỷ để giải toán lại là một công việc còn mới mẻ bởi các em rất ít được làm quen với bài toán dạng này .Với kién thức về số vôtỷ ở THCS ta có thể giải được một số bài toán hay và khó với lời giải ngắn gọn và đẹp . TRƯỚC HẾT CẦN CHÚ Ý : Nếu a là số nguyên dương không chính phương thì a là một số vô tỷ . MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG : BÀI TOÁN 1: Cho a,b,c là các số hữu tỷ và a ≠ 0 chứng minh rằng nếu x = m - n 2 là nghiệm của phương trình ax 2 +bx +c = 0 (1) thì x = m – n 2 cũng là nghiệm của phương trình đó . LỜI GIẢI :Do x = m+ n 2 là nghiệm của (1) nên a(m + n 2 ) 2 + b (m + n 2 )+c= 0 ⇔ ( am 2 + 2an 2 + bm + cn )+(2amn + bn) 2 ) = 0 (1 ’ ) Nếu 2amn + bn ≠ 0 thì từ (1 ’ ) ⇒ 2 = bnamn cbmanam + +++ 2 2 22 khi đó vế trái là số vô tỷ ,vế phải là số hữu tỷ . Điều này vô lý .vậy 2amn + bn = 0 từ (1 ’ ) ⇒ am 2 + 2an 2 +bm + c = 0 Do đó a( m – n 2 ) 2 + b( m – n 2 ) 2 + c = (am 2 + 2an 2 +bm + c) – (2amn + bn) 2 =0 Vậy x = m – n 2 cũng là nghiệm của (1) . BÀI TOÁN 2 : tìm các số hữu tỷ x,y thỏa mãn 332 − = 3x - 3y (2) LỜI GIẢI : Do 332 − > 0 nên x > y ≥ 0 . Ta có (2) ⇔ 2 3 - 3 = x 3 + y 3 - 2 xy3 ⇔ (x+y-2) 3 = 2 xy3 - 3 (2’) ⇒ (x+y-2) 2 3 = 12xy - 12 xy3 + 9 ⇒ xy3 = 4 34)2( 2 ++−+− xyyx ∈ Q nếu x+y-2 ≠ 0 thì từ (2’) suy ra 3 = 2 332 −+ − yx xy khi đó vế trái là số vô tỷ vế phải là số hữu tỷ , điều này vô lý. vậy x+y-2 =0 từ (2’) suy ra 2 xy3 - 3 = 0 do x> y ≥ 0 nên suy ra x = 2 3 , y = 2 1 ( thỏa mãn x> y ≥ 0 ) BÀI TOÁN 3 : Cho bát giác lồi có các góc bằng nhau . Độ dài các cạnh là các số nguyên dương .Chứng minh rằng các cạnh đối của bát giác đó bằng nhau . 1 LỜI GIẢI : Gọi bát giác đều làABCDEFGH . Đường thẳng AB lần lượt cặt cắt các đường thẳng HG và CD tại M,N . Đường thẳng EF lần lượt cắt các đường thẳng HG,CD tại P ,Q (hình vẽ) do các góc của bát giác bằng nhau nên mỗi góc trong của nó là 8 180)28( 0 − =135 0 Từ đó suy ra mỗi góc trong của tứ giác là 180 0 – 135 0 = 45 0 . Do đó các tam giác MAH , NBC , PDE , QGF là các tam giác vuông cân và tứ giác MNPQ là hình chữ nhật . Gọi độ dài các cạnh AB,BC,CD,DE, EF,FG,GH,HA theo thứ tự là a,b,c,d,e,f,g,h (với a,b,c,d,e,f,g,h là các số nguyên dương ). Suy ra MA = MH = 2 h , NB = NC = 2 b , PD = PE = 2 d , QG = QF = 2 f Ta có MN = PQ nên dfbhae d e fb a h −−+=−⇔++=++ 2)( 2222 nếu e – a ≠ 0 thì Q ae dfbh ∈ − −−+ = 2 điều này vôlý .Vậy e-a=0 ⇔ e = a chứng minh tương tự ta có c = g , b = f , d = h BÀI TOÁN 4 :Cho 2 thùng Avà B đựng nước với dung tùy ý và 2 các gáo với dung tích lần lượt là 2 lít và 2- 2 lít .Hỏi có thể dùng 2 gáo đó để chuyển 1 lít nước từ thùng này sang thùng kia hay không? LỜI GIẢI : Gỉa sử có thể dùng gáo 1(dung tích 1 lít ) và gáo 2( dung tích 2- 2 ) lít để chuyển 1 lít nước từ thùng A sang thùng B bằng cách đong m lít gáo 1 và n lít gáo 2 (m,n )N ∈ Với qui ước m>0 nếu đong từ Asang B và m<0 nếu đong từ B sang A .Tương tự với n. Ta có : m )22(2 −+ n = 1 ⇔ (n-m) 2 = 2n-1 . nếu m ≠ n thì m=n= Q ∈ 2 1 (vô lý ) nếu m ≠ n thì Q mn n ∈ − − = 12 2 (vô lý) vậy không thể dùng 2 gáo trên để chuyển 1 lít nước từ thùng này sang thùng kia . CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP : BÀI 1: Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 214312 5 11 +−−=+− yyx x 2 BÀI 2: Chứng minh số 99999 + 111111 3 không thể biểu diễn được dưới dạng (A+B 3 ) 2 với A,B là các số nnguyên . BÀI 3 :Chứng minh rằng số { } 2.10 n với n=0,1,2,3,… từng đôi một khác nhau { } a ký hiệu chỉ phần lẻ của số thực a CHUYÊN ĐỀ 2 : SỬ DỤNG CÔNG THỨC ĐƯỜNG PHÂN GIÁC VÀO VÀO GIẢI TOÁN ĐẶT VẤN ĐỀ : Sử dụng định lý ta-lét và tam giác đồng dạng ta có thể tính được độ dài đường phân giác trong tam giác theo độ dài cạnh của tam giác .Các công thức về độdài đường phân giác sẽ giúp ta giải được nhiều bài toán lý thú . BÀI TOÁN MỞ ĐẦU: Xét tam giác ABC Với các cạnh BC=a , AC=b ,AB=c gọi 3 đường phân giác trong của ∆ ABC là AD = d a BE = d b CF = d c . H 1 CÔNG THỨC ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC Để tính độ dài AD theo ,a,b,c trước hết tính BD,CD .Theo tính chất đường phân giác trong ta có : cb a cb BC cb CDBD b CD c BD + = + = + + == từ đó có BD= cb ac + (1) và CD = cb ab + (2) trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa A dựng tia CK Sao cho BADBCK ∠=∠ tia CK cắt tia AD tại K (Hình 1) Ta có CDKADB ∠=∠ và CKDABD ∠=∠ Suy ra ABD ∆ đồng dạng với CKD ∆ (g.g) suy ra CDBDDKAD KD CD BD AD =⇔= ABD ∆ đồng dạng AKC ∆ (g.g) suy ra AKADACAB AC AK AD AB =⇔= từ 2 đẳng 3 thức trên ta có : AD.AK-AD.DK = AB.AC-BD.CD .Chú ý rằng AK-DK= AD Nên AD 2 = AB.AC – BD.CK Hay d a 2 = bc – BD.CD (3) Từ (1) , (2) , (3) suy ra d a 2 = bc - 2 2 )( cb bca + (4) Hay d a 2 = bc(1- 2 2 )( cb a + ) (5) Để ý rằng (b+c) 2 – a 2 = (b+c-a)(b+c+a) = 2p(2p-2a) = 4p(p – a) nên từ (5) ta có )( 2 )( )(4 2 2 apbcp cb hayd cb bcapp d aa − + = + − = (6) Từ (4) (5) (6) với chú là (b+c) 2 ≥ 4bc ta có các bất đẳng thức đối với độ dài các đường phân giác trong của tam giác : bc - bcd a a <≤ 2 2 4 (7) ; )( 2 appd a −≤ (8) đẳng thức ở (8) xảy ra khi AB=AC. Dối với d a ,d b ta cũng có các công thức tương tự. MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬN CÔNG THỨC ĐƯỜNG PHÂN GIÁC BÀI TOÁN 1 : Gọi d a ,d b ,d c là độ dài 3 đường phân giác của tam giác ABC với p = AB+BC+CA Chứng minh rằng : a, ab+bc+ca - 2 222 222 )( 4 1 pdddcba cba ≤++≤++ b, d a +d b +d c 3p ≤ LỜI GIẢI : a, Từ công thức (8) ta có d a 2 +d b 2 +d c 2 ≤ p(p-a)+p(p-b)+p(p-c) = 3p 2 -2p 2 =p 2 ápdụng (7) ta có :d a 2 +d b 2 +d c 2 )( 4 1 222 cbacabcab ++−++≥ b, áp dụng BĐT bunhiacopxki va (a) tacó (d a +d b +d c ) 2 2 222 3)(3 pddd cba ≤++≤ từ đó suy ra điều cần chứng minh. Đẳng thức ở (a) xảy ra cũng như ở (b) xảy ra khi a=b=c hay tamgiác ABCđều . BÀI TOÁN 2: Gỉa sử đường phân giác trong BE , CF của tam giác ABC cắt đường tròn ngoại tiếp tmam giác ABC tại M,N .chứng minh rằng EM=FN thì tam giác ABCcân tại A LỜI GIẢI : Sử dụng tính chất các góc nội tiếp ta có : ABC ∆ đồng dạng MCE ∆ nên CE ME BE AE = (9) ∆ ACF đồng dạng tam giác ∆ NBF nên BF NF CF AF = (10 ) 4 Từ (9) (10)và sử dụng (1) (2) (6) ta được EM = ))(()( . 2 bcabcaacca cab BE CEAE −++++ = (11) FN = ))(()( . 2 cbacbaabba bac CF BFAF −++++ = (12) từ EM = FN suy ra ac.(a+c) ))(( bcacbaac −+++ = ab.(a+b) ))(( cbacbaab −+++ từ đó suy ra c(a+c) )( bcac −+ = a(a+b) )( cbab −+ suy ra b 3 (a+b) 2 (a+b-c)- c 3 (a+c) 2 (a+c-b) = 0 ⇒ ((b-c)(a+b+c)[b 2 (a+b)(a+b-c)+c 2 (a+c)(a+c-b) +bc(a+b)(a+c)] = 0 ⇒ b = c Hay AB = AC BÀI TOÁN 3 : cho tam giác ABC ,biết rằng 2 phaan giác BE và CF bằng nhau chứng minh rằng ABC là tam giác cân . LỜI GIẢI : Sử dụng công thức (4) theo giả thiết ta có d b = d c ⇒ d b 2 = d c 2 0 )()( [ )()( 222 2 2 2 = + − + +−⇒ + −= + −⇒ ca b ba c bcbc ba abc ab ca acb ac 0 )()( (2)( . 22 22233 = ++ −+−+− +−⇒ caba bcabcabc bcbc bc caba bcaabcbc bcbc =⇒= ++ +++++ +−⇒ 0 )()( )(2 1)[( 22 222 hay AB = AC Một số bài toán luyện tập BÀI 1 Chứng minh rằng minh rằng d a. .d b .d c pS ≤ BÀI 2 Chứng rằng d a 2 +d b 2 +d c 2 S33 ≥ 5 6 . CÁC CHUYÊN ĐỀ TOÁN SƠ CẤP CHUYÊNĐỀ 1: SỬ DỤNG SỐ VÔ TỶ TRONG GIẢI TOÁN Các bạn học sinh THCS được làm quen với. } a ký hiệu chỉ phần lẻ của số thực a CHUYÊN ĐỀ 2 : SỬ DỤNG CÔNG THỨC ĐƯỜNG PHÂN GIÁC VÀO VÀO GIẢI TOÁN ĐẶT VẤN ĐỀ : Sử dụng định lý ta-lét và tam giác