Chuơng 4 hệ thức lượng trong tam giác

CHƯƠNG HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC BÀI ĐỊNH Lí CƠSIN VÀ ĐỊNH Lí SIN TRONG TAM GIÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT   GÓC TỪ ĐẾN 180 A KIẾN THỨC CẦN NHỚ   I Giá trị lượng giác góc khoảng từ đến 180 Định nghĩa    0  180 M  x0 ; y0   Với góc , ta xác định điểm nửa đường trịn đơn vị cho xOM  (Hình l) Khi đó: - sin góc  , kí hiệu sin  , xác định sin  y0 - cơsin góc  , kí hiệu cos  , xác định cos  x0 tan   - tang góc  , kí hiệu tan  , xác định - cơtang góc  , kí hiệu cot  , xác định Giá trị lượng giác hai góc phụ sin 90   cos  ;  cot  90  sin 180   sin  ;   tan  180     tan    90  ;  Một số đẳng thức lượng giác Cho góc   0  180   90 x0  y0 0  y0       tan    90  Giá trị lượng giác hai góc bù   cot   cos 90   sin    tan  90    cot    0  ;  0 y0  x0 0  x0 Khi đó:   0  180  cos 180    cos    cot  180     cot    0 ,  180     sin  cos   90 ; cot    0 , 180 cos  sin  2 sin   cos  1; tan  cot  1  0 , 90 , 180 tan         II Định lí cơsin Cho tam giác ABC có BC a, CA b, AB c (Hình ) Khi đó: a b  c  2bc cos A b c  a  2ac cos B c a  b  2ab cos C III Định lí sin Cho tam giác ABC có BC a, CA b, AB c bán kính đường trịn ngoại tiếp R (Hình ) Khi đó: a b c   2 R sin A sin B sin C B VÍ DỤ Vấn đề Tính giá trị lượng giác Ví dụ Tính giá trị biểu thức sau:     a) A sin13 cos131  sin167 cos 49     b) B cot 35 cot 65 cot125 cot155 Giải a) Ta có:     cos131 cos 180  49  cos 49 ,sin167  sin 180  13 sin13     Do đó, A  sin13 cos 49  sin13 cos 49 0 b) Ta có:     cot125  cot 180  125  cot 55  tan 90  55  tan 35 , cot155  cot 180  155  cot 25  tan 90  25  tan 65   Do đó,              B cot 35 cot 65   tan 35   tan 65   tan 35 cot 35   tan 35 cot 35 ( 1) ( 1) 1           Ví dụ Cho 90    180 ,    90    90 Chứng minh: a) sin  cos  ; b) cos   sin  ; c) tan   cot  Giải       sin  sin 90   sin 180  90    sin 90   cos  a)           cos  cos 90    cos 180  90     cos 90    sin  b)   tan  tan 90    tan 180  90     tan 90    cot  c) Ví dụ Cho A, B, C góc tam giác ABC Chứng minh: a) sin A sin( B  C ) ; b) cos A  cos( B  C ) 0 ; c)  tan A  tan( B  C ) 0 A 90 ; d) cot A  cot( B  C ) 0 Giải   Ta có: A  B  C 180  B  C 180  A Do đó: a) b) c) d)   sin( B  C ) sin 180  A sin A       cos( B  C ) cos 180  A  cos A  cos A  cos( B  C ) 0 tan( B  C ) tan 180  A  tan A  tan A  tan( B  C ) 0 cot( B  C ) cot 180  A  cot A  cot A  cot( B  C ) 0 Vấn đề Ứng dụng  Ví dụ Từ bìa hình trịn, bạn An cắt hình tam giác có cạnh AB 8 cm, BC 15 cm  góc B 60 (Hình 4) Tính độ dài cạnh AC bán kính R miếng bìa Giải 2 Áp dụng định lí cơsin cho tam giác ABC ta có: AC  AB  BC  AB BC cos B 82  152  8 15 cos 60 169 Suy AC  169 13( cm) Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC ta có: AC 2 R sin B Suy R AC 13 13   ( cm)  2sin B 2sin 60   Ví dụ Cho hình bình hành ABCD có AB 6, AD 8, BAD 60 (Hình 5) Tính độ dài đường chéo AC , BD Giải       Ta có: ABC 180  BAD 180  60 120 Áp dụng định lí cơsin cho tam giác ABC ta có: AC   AB  BC  AB BC cos ABC 62  82  6 8 cos120 148 Suy AC  148 2 37 Áp dụng định lí cơsin cho tam giác ABD ta có:  BD  AB  AD  AB AD cos BAD 62  82  6 8 cos 60 52 Suy BD  52 2 13 Ví dụ Để đo khoảng cách từ vị trí A đến vị trí B hai bên bờ ao, bạn An dọc bờ ao từ vị trí A đến     vị trí C tiến hành đo góc BAC , BCA Biết AC 25 m, BAC 59,95 , BCA 82,15 (Hình 6) Hỏi khoảng cách từ vị trí A đến vị trí B mét (làm tròn kết đến hàng đơn vị)? Giải Xét tam giác ABC , ta có: ABC 180  59,95  82,15 37,9 25sin 82,15 AB AC AB  40( m)   sin 37,9 sin C sin B Áp dụng định lí sin ta có: Do  Ví dụ Hai tàu đánh cá xuất phát từ bến A thẳng hai vùng biển khác nhau, theo hai hướng  tạo với góc 75 Tàu thứ với tốc độ hải lí tàu thứ hai với tốc độ 12 hải lí Hỏi sau 2,5 khoảng cách hai tàu hải lí (làm trịn kết đến hàng phần mười)? Giải Giả sử sau 2,5 tàu thứ vị trí B tàu thứ hai vị trí C (Hình 7) Ta có: AB 2,5 8 20 (hải lí); AC 2,5 12 30 (hải lí) BC Áp dụng định lí cơsin cho tam giác ABC ta có: Suy   AB  AC  AB AC cos BAC 202  302  20 30 cos 75 989,42 BC  989, 42 31,5 (hải lí) Vậy khoảng cách hai tàu sau 2,5 khoảng 31,5 hải lí Ví dụ Người A đứng đỉnh tòa nhà quan sát chiều diều, nhận thấy góc nâng (góc nghiên phương từ mắt người A tới diều phương nằm ngan)  35 ; khoảng cách từ đỉnh tòa nhà tới mắt người A 1,5m Cùng lúc chân tòa nhà, người B quan sát diều thấy góc nâng  75 ; khoảng cách từ mặt đất đến mắt người B 1,5m Biết chiều cao tịa nhà h 20m (hình 8) Chiếc diều bay cao mét so với mặt đất (làm tròn kết đến hàng đơn vị)? Giải Đặt tên điểm Hình Xét tam giác MND , ta có: MN h 20 m ;  MND 90   90  35 125 ,  NMD 90   90  75 15 ,  MDN 180  125  15 40 Áp dụng định lí sin cho tam giác MND ta có: MD ND MN   sin N sin M sin D MN sin N 20sin125 MD   25,5( m) sin D sin 40 Suy Xét tam giác vng MHD ta có: HD MD sin 75 25,5 sin 75 24,6( m) Do đó, DE 1,5  24,6 26( m) Vậy diều bay cao khoảng 26 m so với mặt đất C BÀI TẬP   Cho    180 Chọn câu trả lời A cos   B sin   C tan   D cot      Cho   ,   180    180 Chọn câu trả lời sai A sin   sin  0 B cos   cos  0 C tan   tan  0 D cot   cot  0     Tính giá trị biểu thức T sin 25  sin 75  sin 115  sin 165 Cho tan   Tính giá trị biểu thức P cos   3sin  sin   3cos   ˆ Cho tam giác ABC có AB 6, AC 8, A 100 Tính độ dài cạnh BC bán kính R đường trịn ngoại tiếp tam giác (làm tròn kết đến hàng phần mười)  ˆ  ˆ Cho tam giác ABC có B 60 , C 105 BC 15 Tính độ dài cạnh AC bán kính R đường trịn ngoại tiếp tam giác (làm tròn kết đến hàng đơn vị) Cho tam giác ABC có AB 5, AC 7, BC 9 Tính số đo góc A bán kính R đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC (làm tròn kết đến hàng phần mười) m  n 2  a  b  AB  a , BC  b AC  m , BD  n ABCD Cho hình bình hành có , Chứng minh: Từ tơn hình trịn có bán kính R 1m , bạn Trí muốn cắt hình tam giác ABC có góc A 45 , B 75 Hỏi bạn Trí phải cắt miếng tơn theo hai dây cung AB, BC có độ dài mét (làm tròn kết đến hàng phần trăm)?  10 Một cao bị nghiêng so với mặt đất góc 78 Từ vị trí C cách gốc 20 m , người ta tiến hành đo đạc   thu kết quả: ACB 50 với B vị trí (Hình 10) Tính khoảng cách từ gốc (điểm A ) đến (điểm B ) (làm tròn kêt đến hàng phần mười theo đơn vị mét)  11 Tàu A cách cảng C khoảng km lệch hướng bắc góc 47, 45 Tàu B cách cảng C khoảng  km lệch hướng bắc góc 112,90 (Hình 11) Hỏi khoảng cách hai tàu ki-lơ-mét (làm trịn kết đến hàng phần trăm)? D LỜI GIẢI THAM KHẢO B A Ta có:     sin115 sin 180  115 sin 65 cos 90  65 cos 25 ; sin165 sin 180  165 sin15 cos 90  15 cos 75        Do đó, T sin 25  sin 75  cos 25  cos 75   sin 25  cos2 25  sin 75  cos2 75 1  2      3tan   ( 2) P   tan   ( 2)  Vì tan   nên cos  0 Chia tử mẫu P cho cos  ta có: Áp dụng định lí cơsin cho tam giác ABC (Hình 54) ta có: BC  AB  AC  AB AC cos A 62  82  6 8 cos100 116, 67 2R  BC 10,8  R 5,5 sin A 2sin100     ˆ Ta có: A 180  105  60 15 Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC (Hinh 55) ta có: AC BC  2 R sin B sin A Do đó: AC  BC sin B 15sin 60 BC 15  50; R   29  sin A sin15 2sin A sin15 Áp dụng định lí cơsin cho tam giác ABC (Hình 56) ta có: cos A  AB  AC  BC 52   92   AB AC 5.7 10  ˆ Do đó, A 95, Áp dụng định lí sin ta có: 2R  BC  R 4,5 sin A 2sin 95, 7    Đặt ABC  , ta có: BAD 180   2  Xét tam giác ABC (Hình 57), áp dụng đị cơsin ta có: AC  AB  BC  AB BC cos ABC  m a  b  2ab cos  Xét tam giác ABD , áp dụng định lí cơsin ta có:  BD  AB  AD  AB AD cos BAD    n a  b  2ab cos 180   a  b  2ab cos  Vậy      m  n  a  b  2ab cos   a  b  2ab cos  2 a  b      ˆ Xét tam giác ABC (Hình 58), ta có: C 180  45  75 60 AB BC  2 R 2 Áp dụng định lí sin ta có: sin C sin A   Suy ra: AB 2sin C 2sin 60 1, 73( m) BC 2sin A 2sin 45 1, 41( m) Vậy bạn Trí phải cắt miếng tơn theo hai dây cung AB, BC có độ dài xấp xỉ 1, 73 m 1, 41 m 10 Xét tam giác ABC (Hình 59), ta có: Bˆ 180  50  78 52 AB AC  Áp dụng định lí sin ta có: sin C sin B Do đó: AB  20sin 50 19, 4( m) sin 52 Vậy chiều dài xấp xỉ 19,4 m 11 Xét Hinh 60 , ta có: