Chương 2 bpt hệ bpt bậc nhất hai ẩn

CHƯƠNG II BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN BÀI BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN A KIẾN THỨC CẦN NHỚ - Bất phương trình bậc hai ẩn x, y bất phương trình có dạng sau: ax  by  c, ax  by  c, ax  by c, ax  by c, a, b, c số thực cho trước với a, b không đồng thời 0; x, y ẩn - Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , đường thẳng d : ax  by c chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng Một hai nửa mặt phẳng (không kể d ) miền nghiệm bất phương trình ax  by  c , nửa mặt phẳng lại (không kể d ) miên nghiệm bât phương trình ax  by  c - Các bước biểu diễn miền nghiệm bất phương trình ax  by  c mặt phẳng toạ độ Oxy : Buớc 1: Vẽ đường thẳng d : ax  by c Đường thẳng d chia mặt phẳng toạ độ thành hai nửa mặt phẳng Bước 2: Lấy điểm so sánh với c M  x0 ; y0  không nằm d (ta thường lấy gốc toạ độ O c 0 ) Tính ax0  by0 Bước 3: Kết luận - Nếu ax0  by0  c nửa mặt phẳng (khơng kể d ) chứa điểm M miền nghiệm bất phương trình ax  by  c - Nếu ax0  by0  c nửa mặt phẳng (khơng kể d ) không chứa điểm M miền nghiệm bất phương trình ax  by  c B VÍ DỤ Vấn đề Biểu diễn miền nghiệm bất phương trình bậc hai ẩn Ví dụ Biểu diễn miền nghiệm bất phương trình: x  y  Giải - Vẽ đường thẳng d : x  y 3 - Lấy điểm O(0; 0) Ta có:  0  Vậy miền nghiệm bất phương trình x  y  nửa mặt phẳng chứa điểm O(0; 0) không kể đường thẳng d (nửa mặt phẳng khơng bị gạch) (Hình 1) Vấn đề Xác định bất phương trình bậc hai ẩn tương ứng miền nghiệm cho trước Phương pháp: Bước 1: Xác định phương trình đường thẳng chia mặt phẳng thành hai phần có dạng ax  by c M  x0 ; y0  Bước 2: Lấy điểm thuộc miền nghiệm bất phương trình, thay tọa độ điểm M vào ax  by so sánh với c để xác định bất phương trình cần tìm Ví dụ Nửa mặt phẳng khơng bị gạch (khơng kể d) Hình miền nghiệm bất phương trình nào? Giải Nhận thấy, đường thẳng d có hệ số góc khác Gọi phương trình đường thẳng d có dạng: y ax  b Do 2a  b 0   b  (2;0) (0;  2)  d đường thẳng qua điểm nên ta có: a 1  b  Vậy đường thẳng d có phương trình y  x  hay x  y 2 Lấy điểm M (3;  1) thuộc miền nghiệm bất phương trình Ta có:  ( 1) 4  Vậy nửa mặt phẳng không bị gạch (không kể d ) Hình miền nghiệm bất phương trình x  y  Vấn đề Ứng dụng 2 Ví dụ Một gian hàng trưng bày bàn ghế rộng 60 m Diện tích để kê ghế 0,5 m , bàn 1, m Gọi x số ghế, y số bàn kê a) Viết bất phương trình bậc hai ẩn x, y cho phần mặt sàn để kê bàn ghế, biết diện tích mặt sàn dành cho lưu thông tối thiểu 12 m b) Chỉ ba nghiệm bất phương trình Giải   0,5 x  1, y m a) Diện tích để kê x ghế, y bàn là: Diện tích tối đa để kê bàn ghế là:   60  12 48 m Ta có bất phương trình: 0, x  1, y 48 b) Ba nghiệm bất phương trình là: (20;30),(30;20),(50;15) C BÀI TẬP Cặp số sau nghiệm bất phương trình  3x  y 6 ? A (2;8) B ( 10;  3) C (3;3) D (0; 2) Miền nghiệm bất phương trình x  y  nửa mặt phẳng (không kể đường thẳng d : x  y 5 ) khơng chứa điểm có toạ độ sau đây? A (0;0) B (3;0) C (1;  2) D (  3;  4) Miền nghiệm bất phương trình x  y  xác định miền (nửa mặt phẳng không bị gạch không kể d) sau đây? A B C D Nửa mặt phẳng không bị gạch (không kể d) Hình miền nghiệm bất phương trình sau đây? A 3x  y  B x  y  C x  y  D 3x  y  Nửa mặt phẳng khơng bị gạch (kể d ) Hình miền nghiệm bất phương trình sau đây? A x  y 0 B x  y 0 C x  y 0 D x  y 0 Cặp số sau nghiệm bất phương trình  x  y  10 ? a) ( 2;1) ; b) (1;5) ; c) (0;5) Biểu diễn miền nghiệm bất phương trình sau: a) 3x  y  15 ; b) x  y 6 ; c) y   x  ; d) y 4  x Nửa mặt phẳng không bị gạch (không kể d ) Hình 5a,5b,5c miền nghiệm bất phương trình nào? Hà, Châu, Liên Ngân mua trà sữa Cả bốn bạn có tất 185 nghìn đồng Bốn bạn mua cốc trà sữa với giá tiền 35 nghìn đồng cốc Các bạn gọi thêm trân châu cho vào trà sữa Một phần trân châu đen có giá nghìn đồng, phần trân châu trắng có giá 10 nghìn đồng Gọi x, y số phần trân châu đen, trân châu trắng mà bốn bạn định mua thêm a) Viết bất phương trình bậc hai ẩn x, y để thể số tiền bạn có đủ khả chi trả cho phần trân châu đen, trắng b) Chỉ nghiệm ngun bất phương trình D LỜI GIẢI THAM KHẢO C 2.A 3.B 4.D 5.A ( 2;1) a) y  b) x  c) x  y   a) x  10 y 45 hay x  y 9 b) (4; 2) BÀI HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN A KIẾN THỨC CẦN NHỚ - Hệ bất phương trình bậc hai ẩn x , y hệ gồm hai hay nhiều bất phương trình bậc hai ẩn x, y Mỗi nghiệm chung bất phương trình hệ gọi nghiệm hệ bất phương trình - Miền nghiệm hệ bất phương trình giao miền nghiệm bất phương trình hệ - Để biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn, ta làm sau: + Trong mặt phẳng toạ độ, biểu diễn miền nghiệm bất phương trình hệ cách gạch bỏ phần khơng thuộc miền nghiệm + Phần khơng bị gạch miền nghiệm cần tìm - Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức dạng F ax  by , x, y nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn x, y mà miền nghiệm hệ miền đa giác, ta làm sau: Bước 1: Xác định miền nghiệm hệ bất phương trình (là miền đa giác) Bước 2: Xác định toạ độ đỉnh đa giác Bước 3: Tính giá trị biểu thức F ax  by cặp số ( x; y ) toạ độ đỉnh đa giác so sánh giá trị Từ đó, kết luận giá trị lớn hay giá trị nhỏ cần tìm B VÍ DỤ Vấn đề Biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình bậc hai ẩn x  y    Ví dụ Biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình:  y  x  Giải Vẽ đường thẳng: d1 : x  y  d2 : x  y  Gạch phần khơng thuộc miền nghiệm bất phương trình Miền nghiệm hệ bất phương trình phần khơng bị gạch kể tia Ad với  14  A  ;   3  (Hình 6) Vấn đề Tìm giá trị lớn (giá trị nhỏ nhất) biểu thức hai ẩn với điều kiện ẩn hệ bất phương trình bậc hai ẩn Ví dụ  x  y 10    x  y 0 I   x  y  12   a) Biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình:  y  b) Tìm x, y nghiệm hệ bất phương trình (I) cho F 2 x  y đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Giải a) Vẽ đường thẳng: d1 : x  y 10; d2 :  x  y 0 d3 :  x  y  12; d4 : y  Gạch phần không thuộc miền nghiệm bất phương trình  34  A(2; 4), B  ;   5  , C (5;  2), D( 1;  2) Miền nghiệm hệ bất phương trình miền tứ giác ABCD với (Hình 7) b) Thay x, y tọa độ điểm A, B, C , D vào biểu thức F : A(2; 4) C (5;  2) D( 1;  2)  34  B ;   5 8 F 2 x  y 16 92 92 34 x ,y 5 ; đạt giá trị nhỏ  x  1, y  Vậy biểu thức F đạt giá trị lớn Vấn đề Ứng dụng Ví dụ Một phân xưởng sản xuất hai kiểu mũ Thời gian để làm mũ kiểu thứ nhiều gấp hai lần thời gian làm mũ kiểu thứ hai Nếu sản xuất toàn kiểu mũ thứ hai phân xưởng làm 60 Phân xưởng làm việc tiếng ngày thị trường tiêu thụ tối đa ngày 200 mũ kiểu thứ 240 mũ kiểu thứ hai Tiền lãi bán mũ kiểu thứ 24 nghìn đồng, mũ kiểu thứ hai 15 nghìn đồng Tính số lượng mũ kiểu thứ kiểu thứ hai ngày mà phân xưởng cần sản xuất để tiền lãi thu cao Giải Gọi số lượng mũ kiểu thứ kiểu thứ hai mà phân xưởng cần sản xuất ngày x, y ( x, y  0, x, y  ) Thời gian để làm mũ kiểu thứ hai là: 60 (giờ) 1 2  Thời gian để làm mũ kiểu thứ là: 60 30 (giờ) Thời gian để làm x mũ kiểu thứ y mũ kiểu thứ hai là: 1 2x  y x  y  30 60 60 (giờ) 2x  y 8 Theo giả thiết, x y phải thoả mãn điều kiện: x 200,  y 240 ; 60 hay x  y 480 Tổng số tiền lãi thu bán x mũ kiểu thứ y mũ kiểu thứ hai là: T 24 x  15 y (nghìn đồng) Bài tốn đưa về: Tìm số ngun x, y nghiệm hệ bất phương trình: 0 x 200  0  y 240  II  2 x  y 480  cho T 24 x  15 y đạt giá trị lớn Trước hết, ta xác định miền nghiệm hệ bất phương trình (II) Miền nghiệm hệ bất phương trình (II) miền ngũ giác OABCD với O(0;0), A(0; 240) , B(120; 240), C (200;80), D(200; 0) (hình 8) Ta có biểu thức T 24 x  15 y có giá trị lớn đỉnh ngũ giác OABCD Tính giá trị biểu thức T 24 x  15 y cặp số ( x; y ) toạ độ đỉnh ngũ giác OABCD so sánh giá trị Ta T đạt giá trị lớn 6480 x 120, y 240 ứng với toạ độ đỉnh B Vậy để thu tiền lãi cao ngày, phân xưởng cần sản xuất 120 mũ kiểu thứ 240 mũ kiểu thứ hai Khi tiền lãi thu 6480 nghìn đồng hay 6480000 đồng C BÀI TẬP 10 Cặp số sau nghiệm hệ bất phương trình A (1;0) B (  1; 0) C (  2;3)  x  2y   x  3y     x  y  3?  D (0;  1)  x  y 2  11 Cặp số sau khơng nghiệm hệ bất phương trình 2 x  y   ? A (0;0) B (1;1) C ( 1;1) D ( 1;  1) 12 Miền nghiệm hệ bất phương trình A (0;0) B (1; 0) 2x  y    2 x  y   ph?n m?t ph?ng ch?a  xy1  C (0; 2) D (0;  2) 13 Miền đa giác ABCD Hình miền nghiệm hệ bất phương trình:  x  y 4  x  y     x  y 2  A  x  y   x  y 4  x  y     x  y 2  B  x  y   x  y 1   x  y    x  y 2  C  x  y   x  y 1  x  y     x  y 2  D  x  y  14 Giá trị nhỏ biểu thức F  x  y miền nghiệm hệ bất phương trình A B C   x  y 2    x  y 4  x  y 5  D 15 Biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình:  x  y 3  a)  x  y  b)  x  y 5   x  y 2  x   c)  3x  y    x  y   2x  y   16 Viết hệ bất phương trình bậc hai ẩn có miền nghiệm miền đa giác khơng bị gạch Hình 10a,10b a) b) Hình 10  x  y 5 3x  y 12   x   y 0 (III) 17 a) Biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình:  b) Tìm x, y nghiệm hệ bất phương trình (III) cho F 3x  y đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 18 Anh Trung có kế hoạch đầu tư 400 triệu đồng vào hai khoản X Y Để đạt lợi nhuận khoản X phải đầu tư 100 triệu đồng số tiền đầu tư cho khoản Y không nhỏ số tiền cho khoản X Viết hệ bất phương trình bậc hai ẩn để mơ tả hai khoản đầu tư biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình vừa tìm 19 Một phân xưởng may áo vest quần âu để chuẩn bị cho dịp cuối năm Biết may áo vest hết m vải cần 20 giờ; quần âu hết 1,5 m vải cần Xí nghiệp giao sử dụng không 900 m vải số công không vượt 6000 Theo khảo sát thị trường, số lượng quần bán không nhỏ số lượng áo không vượt lần số lượng áo Khi xuất thị trường, áo lãi 350 nghìn đồng, quần lãi 100 nghìn đồng Phân xưởng cần may áo vest quần âu để thu tiền lãi cao (biết thị trường tiêu thụ ln đón nhận sản phẩm xí nghiệp)? D LỜI GIẢI THAM KHẢO 10 B 11 C 12 D 13 A 14 B 15 Ở ý, miền nghiệm phần không bị gạch 16 a 2 x  y 6   x 0  y 0   x  y   x  y 6    y   b)  y 3 17 a) Miền nghiệm hệ bất phương trình (III) miền tứ giác ABCD với A(1; 0), B(1; 4) , C (2;3), D(4;0)( Hình 14) 10 b) F đạt giá trị lớn 31 x 1, y 4 F đạt giá trị nhỏ x 1, y 0 18 Gọi x, y số tiền anh Trung đầu tư cho hai khoản X Y (đơn vị: triệu đồng) Ta có hệ bất phương trình:  x  y 400  100  x  y  x  Miền nghiệm hệ miền tam giác ABC với A(100;100), B(100;300), C (200; 200 ) (Hình 15) 19 Gọi x, y số áo vest quần âu phân xưởng cần may ( x 0, y 0 , x, y   ) Tiền lãi thu T 350 x  100 y (nghìn đồng) 2 x  1,5y 900  20 x  5y 6000   x y 2 x  x 0   y 0 Ta có hệ bất phương trình:  Miền nghiệm hệ bất phương trình miền tứ giác OABC với O(0;0), A(180;360) , B(225;300), C (240; 240 ) (Hình 16) Ta T đạt giá trị lớn x 225, y 300 ứng với toạ độ đỉnh B Vậy để thu tiền lãi cao phân xưởng cần may 225 áo vest 300 quần âu 11 BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG II A CÂU HỎI 20 Cặp số sau khơng nghiệm bất phương trình x  y 5 ? A (3;  1) B (  1; 4) C (2;  3) D (1;  2)  x  2y   21 Cặp số sau không nghiệm hệ bất phương trình  x  y  6? A (2;  1) B (7;1) C (5;  1) D (6;  2) 22 Phần không bị gạch (kể d ) Hình 11 miền nghiệm bất phương trình: A x  y  12 B x  y  12 C 3x  y 12 D 3x  y 12 23 Phần không bị gạch (kể tia AB, AC ) Hình 12 miền nghiệm hệ bất phương trình:  x  y 2   A  y  x  y 2   B  y 2 x  y     C  y 2 x  y   D  y   24 Giá trị nhỏ biểu thức F  x  y miền nghiệm hệ bất phương trình A  B  C  x  y    x  y 4  x  y   là: D 25 Biểu diễn miền nghiệm bất phương trình sau: a) 3x  b) y  ; c) x  y 1 d) 3x  y  26 Biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình sau: 12 a) x  3y   x  y    x  y  2;   x  y 3 3 x  y 9    x  y 6  x 1 b)   x  y 2  x  y     x  y 2  c)  x  y   3x  y 9 3x  y 30    x 0  27 a) Biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình:   y 4 (I) b) Tìm x, y nghiệm hệ bất phương trình (I) cho F 3x  y đạt giá trị lớn 28 Một trận bóng đá tổ chức sân vận động có sức chứa 40000 người, ban tổ chức phát hành hai loại vé 400000 đồng 200000 đồng Do điều kiện sân đấu nên số lượng vé có giá 400000 khơng lón số lượng vé có giá 200000 đồng Để an tồn phịng dịch, liên đồn bóng đá yêu cầu số lượng vé phát hành không 30% sức chứa sân Để tổ chức trận đấu số tiền thu qua bán vé khơng tỉ đồng Gọi x, y số vé giá 400000 đồng 200000 đồng bán a) Viết hệ bất phương trình bậc hai ẩn x, y để biểu diễn số vé loại bán đảm bảo mục đích ban tổ chức b) Chỉ hai nghiệm hệ bất phương trình 29 Một xưởng sản xuất bàn ghế Một bàn cần 1,5 lắp ráp hoàn thiện; ghế cần lắp ráp hoàn thiện Bộ phận lắp ráp có nhân cơng, phận hồn thiện có nhân cơng Biết thị trường ln tiêu thụ hết sản phẩm xưởng lượng ghế tiêu thụ không vượt 3,5 lần số bàn a) Viết hệ bất phương trình mơ tả số lượng bàn ghế mà ngày phân xưởng sản xuất, biết nhân công làm việc không tiếng ngày b) Biểu diễn miền nghiệm hệ bất phương trình c) Biết bàn lãi 600 nghìn đồng, ghế lãi 450 nghìn đồng Hỏi ngày, xưởng cần sản xuất bàn, ghế để thu tiền lãi cao nhất? 30 Hình 13 mơ tả sơ đồ sân khấu gắn với hệ trục tọa độ Oxy ( đơn vị trục tọa độ mét) Phần tính phịng giới hạn hai đường thẳng d1 , d2 vị trí ngồi khán giả nhìn thấy dàn hợp xướng Gọi  x; y  tọa độ ngồi khán giả thính phịng Viết hệ bất phương trình bậc hai ẩn x , y mà khán giả nhìn thấy dàn hợp xướng 13 B LỜI GIẢI THAM KHẢO 20 B 21 A 22 A 23 B 24 A 25 Học sinh tự làm 26 Học sinh tự làm 27 a) Miền nghiệm ngũ giác OABCD (Hình 17) b) F đạt giá trị lớn 24 x 4, y 3 x  y 2 x  y  x  y x  28 a)  y 12000 15000 0 0 0 b)  5000;6000  ,  3000; 9000  29 a) Gọi x, y số bàn, số ghế mà xưởng sản xuất ngày ( x 0; y 0; x, y  ) Ta có hệ: 1,5 x  y x  y  3,5 x  y x   y 24 32 0 0 0 b) Miền nghiệm hệ tứ giác OABC (Hình 18 ) 14 c) Để thu tiền lãi cao ngày, xưởng sản xuất bàn 12 ghế Khi tiền lãi ngày 10200000 đồng 30  x  y  24   x  y   24 10  y 22  15