Cđ bài tập cuối chuyên đề 2

Ngày soạn: Ngày dạy: BÀI TẬP CUỐI CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC, NHỊ THỨC NEWTON Thời gian thực hiện: (1 tiết) I Mục tiêu Kiến thức  Mơ tả bước chứng minh tính đắn mệnh đề toán học phương pháp quy nạp  Chứng minh tính đắn mệnh đề toán học phương pháp quy nạp  Vận dụng kiến thức phương pháp quy nạp để giải số toán liên quan đến thực tiễn  Khai triển nhị thức Newton với số mũ cụ thể  Tìm số hạng thứ k khai triển nhị thức Newton k  Tìm hệ số x khai triển nhị thức Newton  Sử dụng nhị thức Newton tính tổng hữu hạn Về lực: Năng lực YCCĐ NĂNG LỰC ĐẶC THÙ + So sánh tương tự hóa bước chứng minh mệnh đề phương pháp quy nạp toán học + Từ trường hợp cụ thể, HS khái quát, tổng quát hóa thành kiến thức chứng mệnh đề với n 1; n k (với k   tùy ý) Năng lực tư lập + So sánh, tương tự hóa tính chất khai triển  a  b  ; luận toán học  a  b  để suy tính chất khai triển  a  b  ;  a  b + Từ trường hợp cụ thể, HS khái quát, tổng quát hóa thành n a  b  kiến thức khai triển + Nhận biết, phát toán cần sử dụng phương pháp quy nạp toán học + Biết sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh mệnh đề Biết nhận dạng toán sử dụng kiến thức nhị thức Năng lực giải vấn Newton như: đề toán học + Khai triển nhị thức Niu-tơn + Tìm số hạng thứ k khai triển nhị thức Niu-tơn k + Tìm số hạng, hệ số x khai triển nhị thức Niu-tơn + Sử dụng nhị thức Newton tính tổng hữu hạn + Chuyển vấn đề thực tế toán liên quan đến phương pháp quy nạp toán học, sử dựng kiến thức phương pháp Năng lực mơ hình hóa toán học để giải toán toán học + Chuyển vấn đề thực tế toán liên quan đến nhị thức Niu-tơn + Sử dụng kiến thức nhị thức Newton để giải toán NĂNG LỰC CHUNG Năng lực tự chủ tự + Tự giải tập trắc nghiệm phần luyện tập tập nhà học Năng lực giao tiếp + Tương tác tích cực thành viên nhóm thực nhiệm vụ hợp tác hợp tác Về phẩm chất: + Có ý thức hỗ trợ, hợp tác với thành viên nhóm để hồn thành nhiệm vụ + Có ý thức tơn trọng ý kiến thành viên nhóm Nhân hợp tác II Thiết bị dạy học học liệu: Máy chiếu, phiếu học tập, giấy màu, giấy A0, bút lơng, kéo… III Tiến trình dạy học: HOẠT ĐỘNG 1: XÁC ĐỊNH VẤN ĐỀ a) Mục tiêu: Giúp học sinh thư giãn, giải trí trước vào gây hứng thú tạo nhu cầu tìm hiểu, khám phá kiến thức phương pháp quy nạp toán học, nhị thức Newton b) Nội dung: Giáo viên hướng dẫn, tổ chức học sinh ơn tập, tìm tịi kiến thức liên quan học biết GV đưa ví dụ đặt vấn đề n P Xét hai mệnh đề chứa biến  n  : “  n  100 ” P H: Với n 1, 2,3, 4,5  n  hay sai? n n  100 P Trách nhiệm  n H: Với n   * P(n), Q(n) hay sai? a  b ;  a  b H: Giáo viên yêu cầu học sinh nhắc lại đẳng thức  H: Giáo viên đặt câu hỏi gợi mở: Em thử nêu cơng thức tính c) Sản phẩm: Câu trả lời HS L- Với n 1, 2,3, 4,5 HS kiểm tra  a  b ;  a  b 10 ? L- Với n   * HS ko thể kiểm tra hết giá trị n L- Nêu đẳng thức:  a  b  a  2ab  b ;  a  b  a3  3a 2b  3ab2  b3 10 a  b ;  a  b L- Không khai triển  ? d) Tổ chức thực hiện: Bước 1: Giao nhiệm vụ:  Giáo viên chia lớp thành đội chơi  Giáo viên phổ biến cách chơi: Giáo viên trình chiếu câu hỏi; đội thảo luận , giơ tay trả lời câu hỏi Bước 2: Thực nhiệm vụ:  Các đội giơ tay trả lời câu hỏi giáo viên đưa Bước 3: Báo cáo, thảo luận:  Đội có câu trả lời giơ tay, đội giơ tay trước trả lời trước Bước 4: Kết luận, nhận định:  Gv nhận xét câu trả lời đội chọn đội thắng  Gv đặt vấn đề: với số n có giá trị bé ta thử vào mệnh đề khai triển biểu thức Nhưng với giá trị n   * khó HOẠT ĐỘNG 2: HÌNH THÀNH KIẾN THỨC Hoạt động 2.1: Dạng Chứng minh đẳng thức phương pháp quy nạp toán học a) Mục tiêu: Chứng minh mệnh đề phương pháp quy nạp toán học b) Nội dung: Câu hỏi thảo luận: Nêu bước chứng minh đẳng thức phương pháp quy nạp toán học * c) Sản phẩm: Để chứng minh mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n   với n mà thử trực tiếp làm sau: Bước 1: Kiểm tra mệnh đề với n 1 Bước 2: Giả thiết mệnh đề với số tự nhiên n k 1 (giả thiết quy nạp), chứng minh mệnh đề với n k  d) Tổ chức thực hiện: (kĩ thuật khăn trải bàn) Bước 1: Giao nhiệm vụ:  Gv trình chiếu câu hỏi thảo luận  GV chia lớp thành nhóm phát nhóm tờ giấy A0 Bước 2: Thực nhiệm vụ:  HS ngồi vào vị trí hình vẽ ( vị trí có học sinh) tập trung vào câu hỏi viết câu trả lời vào ô tương ứng  Mỗi cá nhân làm việc độc lập khoảng phút sau thống nhóm để ghi ý kiến chung nhóm vào khăn trải bàn (tờ A0) Giáo viên đến nhóm quan sát nhóm hoạt động, đặt câu hỏi gợi ý cho nhóm cần thiết Bước 3: Báo cáo, thảo luận: HS treo phiếu học tập vị trí nhóm báo cáo Bước 4: Kết luận, nhận định:  Gv nhận xét nhóm: Quan sát hoạt động nhóm đánh giá thơng qua bảng kiểm Bảng kiểm Đánh giá Yêu cầu Có Không lực Tự giác, chủ động hoạt động nhóm Giao tiếp Bố trí thời gian hợp lí Hồn thành hoạt động nhóm hạn Thảo luận đóng góp ý kiến thành viên Giáo viên chốt: phương pháp quy nạp toán học gồm hai bước (bắt buộc) theo trình tự quy định Nếu phải chứng minh mệnh đề với số tự nhiên n  p ( p  ) thì:  Bước 1: Kiểm tra mệnh đề với n  p   Bước 2: Giả thiết mệnh đề với số tự nhiên n k  p , chứng minh mệnh đề với n k  k Hoạt động 2.2: Dạng Tìm hệ số x khai triển nhị thức newton k a) Mục tiêu: Tìm hệ số x khai triển nhị thức newton b) Nội dung: n ax  b  Câu hỏi Viết khai triển nhị thức newton  (1) k Câu hỏi Nêu số hạng chứa x khai triển (1) k Câu hỏi Tìm hệ số x khai triển (1) c) Sản phẩm:  ax  b  n Cn0 a n x n  Cn1 a n  1bx n    Cnk a n  k b k x n  k   Cnn  1ab n  x  Cnnb n n k n k k C  ax  b Số hạng chứa x khai triển (1) n k k n k k Hệ số x khai triển (1) Cn a b n k C n k n k ab n k x k d) Tổ chức thực hiện: (Kĩ thuật KWL) Bước 1: Giao nhiệm vụ:  GV chia lớp thành nhóm  Giáo viên trình chiếu câu hỏi thảo luận bảng theo mẫu sau Mỗi nhóm có mẫu bảng em HS thảo luận phân công viết kiến thức phiếu học tập theo hoạt động cá nhân, sau thống nhóm để ghi kết nhóm vào phiếu học tập Bước 2: Thực nhiệm vụ:  Giáo viên đến nhóm quan sát nhóm hoạt động, đặt câu hỏi gợi ý cho nhóm cần thiết Bước 3: Báo cáo, thảo luận: HS treo phiếu học tập vị trí nhóm báo cáo Bước 4: Kết luận, nhận định:  Gv nhận xét nhóm xk  Giáo viên chốt: Hệ số khai triển   ax  b  C n k n k n ab Cn0 a n x n  Cn1 a n  1bx n    Cnk a n  k b k x n  k   C nn  1ab n  x  Cnnb n n k Hoạt động 2.3: Dạng Sử dụng nhị thức Newton tính tổng hữu hạn a) Mục tiêu: Tính tổng hữu hạn nhờ khai triển nhị thức Newton b) Nội dung: Câu hỏi: Tính tổng: 2018 S C2019  C2019  C2019    C2019 Tính tổng: 2 2 S  Cn0    Cn1    Cn2      Cnn  c) Sản phẩm: 2019 C2019  C2019  C2019  C2019   C2019 (1  1)2019 2019 C2019  C2019  C2019  C2019   C2019 (1  1)2019 2018  C2019  C2019  C2019  C2019   C2019 22018 n n 2n Dựa vào đồng thức (1  x) (1  x) (1  x) khai triển nhị thức Newton ta suy S C2nn d) Tổ chức thực hiện: (Kĩ thuật KWL) Bước 1: Giao nhiệm vụ:  GV cho học sinh nhà thực nhiệm vụ  Giáo viên yêu cầu HS viết vào bảng theo mẫu sau  HS nhà tìm hiểu ghi kết vào phiếu học tập Bước 2: Thực nhiệm vụ:  HS nhà thực Bước 3: Báo cáo, thảo luận: HS treo phiếu học tập vị trí nhóm báo cáo Bước 4: Kết luận, nhận định:  Gv nhận xét vào tiết sửa tập  Gv đặt vấn đề: Trong chương nghiên cứu vấn đề nội dung mà nhóm vừa trình bày Sau thực hành số tập nhằm củng cố thêm kiến thức HOẠT ĐỘNG 3: LUYỆN TẬP a) Mục tiêu: HS biết áp dụng kiến thức phương pháp quy nạp toán học vào tập cụ thể sách giáo khoa tập trắc nghiệm cụ thể b) Nội dung: PHIẾU HỌC TẬP TỰ LUẬN * Câu Chứng minh với n  N , ta có: n  3n  1     3n   a) b) n  11n chia hết cho 1 Sn     1.2 2.3 n(n  1) với n  N * Câu Cho tổng a) Tính S1 , S2 , S3 b) Dự đốn cơng thức tính Sn chứng minh phương pháp quy nạp toán học TRẮC NGHIỆM A n Câu Dùng phương pháp quy nạp toán học chứng minh mệnh đề chứa biến với số tự nhiên n  p ( p số tự nhiên) Ở bước (bước sở) chứng minh quy nạp, bắt đầu với n A n  p B n 1 C n  p D n  p Câu Dùng phương pháp quy nạp toán học chứng minh mệnh đề chứa biến với n số tự nhiên  p ( p số tự nhiên) Ở bước ta giả thiết mệnh đề với A k  p B k  p C k  p D k  p A n Câu Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến với số tự nhiên n  p ( p số tự nhiên), ta tiến hành hai bước: A n  Bước 1, kiểm tra mệnh đề với n  p  Bước 2, giả thiết mệnh đề A  n  với số tự nhiên n k  p phải chứng minh với n k  Trong hai bước trên: A Chỉ có bước B Chỉ có bước C Cả hai bước D Cả hai bước sai 1 1 Sn      12 3 4 n  n  1 * với n  N Mệnh đề sau đúng? 1 S2  S2  S3  B C D 1 1 Sn      * 12 3 4 n  n  1 Câu Cho với n  N Mệnh đề sau đúng? n n n 1 n2 Sn  Sn  Sn  Sn  n n 1 n2 n 3 A B C D 1 Sn     3 5  2n  1  2n  1 với n  N* Mệnh đề sau đúng? Câu Cho n n n n2 Sn  Sn  Sn  Sn  2n 1 2n  3n  2n  A B C D  1    Pn               n  với n 2 n  N Mệnh đề sau Câu Cho Câu Cho S3  12 A đúng? A P n 1 n2 Câu 10 Với B n  N* P n 2n C P n 1 n D P n 1 2n , hệ thức sau sai? n  n  1 n  n  1  2n 1    n  12  22   n  A B 2n  n  1  2n  1 2 2 2      n         2n  1 n C D 13 1  x  x Câu 11 Tìm số hạng chứa x khai triển   C x7 13 C  2 x   x Câu 12 Tìm số hạng không chứa x khai triển  2 4 A C6 B C6 C  C6 A  C13 x B  C13 1 3  x  x  Câu 13 Tìm hệ số x khai triển  2 thỏa mãn 3Cn 1  nP2 4 An 210 x D C13 x D  C6 n 1 với x 0 , biết n số nguyên dương B 120 x C 120 D 210 n x Câu 14 Tìm số tự nhiên , biết hệ số số hạng thứ theo số mũ giảm dần khai A n 1  x   triển  A B 17 C x Câu 15 Tìm số hạng đứng khai triển 10 40 10 A C21 x y 11 41 11 C C21 x y D 21  xy  10 43 10 B C21 x y 10 43 10 11 41 11 D C21 x y ; C21 x y c) Sản phẩm: Học sinh thể bảng nhóm kết làm ĐÁP ÁN TỰ LUẬN Câu a) + Với n 1 VT = = VP Vậy hệ thức với n 1 k  3k  1 + Giả sử (a) n k (k 1) , tức  k  1  3k        k  1   Ta CM với n k  (a) đúng, nghĩa      k  1  Ta có: k  3k  1 3k  k   k  1  3k   2      3k  1   3k      3k     2 n  k  Do (a) với * Vậy (a) với n  N     3k   b) Đặt P (n) n  11n - Khi n 1 , ta có P (1) 126 Suy mệnh đề với n 1 - Giả sử mệnh đề n k 1 , tức là: P (k ) k  11k 6 - Ta cần chứng minh mệnh đề n k  , P (k  1) ( k  1)3  11( k  1) 6 tức chứng minh: Thật vậy: P (k  1) k  3k  3k   11k  11 k  3k  14k  12  k  11k   3( k  k )  12 P (k )  3k (k  1)  12 Mà P (k )6 , 3k ( k  1)6 (do k k  số tự nhiên liên tiếp nên k (k  1)2 ) 126 nên P(k  1)6  Mệnh đề n k  * Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học ta có mệnh đề với n  N Câu a) HS tính S1 , S2 , S3 n n  với n  N * (*) b) CM: * Với n 1 VT = = VP Vậy hệ thức với n 1 Sn  1 k     k (k  1) k  * Giả sử (*) n k (k 1) , tức 1.2 2.3 Ta chứng minh với n k  (*) đúng, nghĩa là: 1 1 k 1      1.2 2.3 k (k  1) ( k  1)  k   k  Ta có: 1 1 k k 1        1.2 2.3 k (k 1) ( k 1)  k   k  (k  1)  k   k  * Do (*) với n k  Vậy (*) với n  N d) Tổ chức thực GV: Chia lớp thành nhóm Phát phiếu học tập Chuyển giao HS: Nhận nhiệm vụ Thực GV: Điều hành, quan sát, hỗ trợ HS: nhóm tự phân cơng nhóm trưởng, hợp tác thảo luận thực nhiệm vụ Báo cáo thảo luận Đánh giá, nhận xét, tổng hợp Ghi kết vào bảng nhóm Đại diện nhóm trình bày kết thảo luận Các nhóm khác theo dõi, nhận xét, đưa ý kiến phản biện để làm rõ vấn đề GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời nhóm học sinh, ghi nhận tuyên dương nhóm học sinh có câu trả lời tốt Hướng dẫn HS chuẩn bị cho nhiệm vụ HOẠT ĐỘNG 4: VẬN DỤNG a) Mục tiêu: Giúp học sinh vận dụng kiến thức để giải vấn đề thực tế sống, toán thực tế… b) Nội dung PHIẾU HỌC TẬP Vận dụng 1: Tục truyền nhà Vua Ấn Độ cho phép người phát minh bàn cờ Vua lựa chọn phần thưởng tùy theo sở thích Người xin nhà vua thưởng cho số thóc số thóc đặt lên 64 ô bàn cờ sau: Đặt lên thứ bàn cờ hạt thóc, tiếp đến ô thứ hai hai hạt,…cứ vậy, số hạt thóc sau gấp đơi số hạt thóc ô liền trước ô cuối Hãy cho biết tổng số hạt thóc từ thứ đến thứ 64 bàn cờ Vận dụng 2: Ông Tuấn gửi số tiền 10 triệu đồng vào ngân hàng với lãi xuất 3,4%/tháng Biết không rút tiền khỏi ngân hàng sau tháng, số tiền lãi nhập vào vốn ban đầu Chứng minh số tiền nhận ( bao gồm vốn lẫn lãi ) sau n (tháng) 3, n Tn 10.000.000(1  ) 100 (đồng), khoảng thời gian người gửi không rút tiền lãi suất không thay đổi n  n  3 Cn  , n 4 Vận dụng 3: Chứng minh số đường chéo đa giác lồi n n Vận dụng 4: Tính tổng S Cn  3Cn  Cn   Cn HƯỚNG DẪN Vận dụng 1: Gọi S1 số hạt thóc thứ S2 tổng số hạt thóc hai ô S3 tổng số hạt thóc ba ô Sn tổng số hạt thóc n (n ϵ N*, n ≤ 64) Tính S1, S2, S3, … sau dự đốn cơng thức tính tổng Sn chứng minh phương pháp quy nạp tốn học Từ tính S64 tổng cần tìm Vận dụng 3: Khẳng định với n 4 tứ giác có hai đường chéo k  k  3 Ck  n k 4 , Giả sử khẳng định với tức Ta cần chứng minh khẳng định n k  , có nghĩa phải chứng minh  k  1  k   Ck 1  Thật Khi ta vẽ thêm đỉnh Ak 1 cạnh Ak A1 trở thành đường chéo Ngoài từ đỉnh Ak 1 ta kẻ tới k  đỉnh lại để tạo thành đường chéo Nên số đường chéo tạo thành ta thêm đỉnh Ak 1 k   k  k  k  3  k  1  k   Ck 1 Ck  k   k  1 2 Vậy ta có c) Sản phẩm: Sản phẩm trình bày nhóm học sinh d) Tổ chức thực GV: Chia lớp thành nhóm Phát phiếu học tập Chuyển giao HS: Nhận nhiệm vụ Thực Các nhóm HS thực tìm tịi, nghiên cứu làm nhà HS cử đại diện nhóm trình bày sản phẩm vào tiết sau Báo cáo thảo luận Các nhóm khác theo dõi, nhận xét, đưa ý kiến phản biện để làm rõ vấn đề GV nhận xét thái độ làm việc, phương án trả lời nhóm học sinh, ghi nhận tuyên dương nhóm học sinh có câu trả lời tốt Đánh giá, nhận xét, Chốt kiến thức tổng thể học tổng hợp Hướng dẫn HS nhà tự xây dựng tổng quan kiến thức học sơ đồ tư