1 toan 10 b1 c9 toa do cua vecto hdg

C H Ư Ơ N CHUYÊN ĐỀ IX – TOÁN 10 – CHƯƠNG IX – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG IX PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG BÀI 1: TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ LÝ THUYẾT I = = = ĐỘ CỦA VECTƠ ĐỐI VỚI MỘT HỆ TRỤC TỌA ĐỘ TỌA I Trục tọa độ Trục tọa độ (hay gọi tắt trục) đường thẳng xác định điểm O gọi  điểm gốc vectơ đơn vị i  Điểm O gọi gốc tọa độ  Hướng vecto đơn vị là hướng trục O;i  Ta kí hiệu trục    O r i M  Cho M   O;i   OM  x i k điểm tùy ý trục Khi có số cho x0 tọa độ điểm M trục cho    O;i AB  a i Ta gọi số a a A B Cho hai điểm trục Khi có số cho  độ dài đại số vectơ AB trục cho kí hiệu a  AB Nhận xét    uuu r · Nếu AB hướng với i AB  AB, cịn AB ngược hướng với i AB  AB  O;i · Nếu hai điểm A B trục có tọa độ a b AB b  a Hệ tọa độ    O;i , j  O;i  O; j     Định nghĩa Hệ trục tọa độ gồm hai trục vng góc với   O;i  gọi trục hồnh kí Điểm gốc O chung hai trục gọi gốc tọa độ Trục  r r O; j   Ox, hiệu trục gọi trục tung kí hiệu Oy Các vectơ i j vectơ    i  j 1 O;i , j   Oy Ox đơn vị và Hệ trục tọa độ cịn kí hiệu Oxy Ta gọi số     y r j O r i O x Page CHUYÊN ĐỀ IX – TOÁN 10 – CHƯƠNG IX – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Mặt phẳng mà cho hệ trục tọa độ Oxy gọi mặt phẳng tọa độ Oxy Hay gọi tắt mặt phẳng Oxy Tọa độ vecto    Oxy OA u gọi A1 , A2 hình chiếu u Trong mặt phẳng cho vectơ tùy ý Vẽ    OA OA1  OA2 cặp số  x; y  để Oy Ox A Ta có  vng  góc  lên r r OA1  x i , OA2  y j Như ur = xi + y j r Cặp số ( x; y) gọi tọa độ vectơ u hệ tọa độ Oxy viết   u  x; y  u  x; y  Số thứ x gọi hoành độ, số thứ hai y gọi tung độ vectơ  u Như     u  x; y   u x i  y j Nhận xét Từ định nghĩa tọa độ vectơ, ta thấy hai vectơ chúng có hồnh độ tung độ  x  x    u u     y  y u   x; y  u  x; y   Nếu Như vậy, vectơ hoàn toàn xác định biết tọa độ Tọa độ điểm  Oxy OM M Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm tùy ý Tọa độ vectơ hệ trục Oxy gọi tọa độ điểm M hệ trục   x; y  tọa độ điểm M OM  x; y  Khi ta viết Như vậy, cặp số M  x; y  M  x; y  Số x gọi hồnh độ, cịn số y gọi tung độ x , điểm M Hoành độ điểm M cịn kí hiệu M tung độ điểm M cịn kí y hiệu M      OM  x  y M  x; y   OM  x i  y j độ dài OM M ( x; y) M2 r j O r i M1 Chú ý rằng, MM  Ox, MM  Oy x OM , y OM BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP TỐN VECTO r r ¢ ¢ v u = ( x ; y ) Cho ; = ( x ; y ) số thực k Khi ta có : r r ¢ ¢ u 1) ± v = ( x ± x ; y ± y ) r k u = (kx; ky ) 2) Page CHUYÊN ĐỀ IX – TOÁN 10 – CHƯƠNG IX – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG rr u 3) v = x.x ¢+ y y ¢ r r ìï x = x ¢ u = v ùớ ùùợ y = y  4) ỡùù x ¢= kx r r r r í ï ¢ 5) v phương u ( u ¹ ) có số k cho ïỵ y = ky ÁP DỤNG CỦA TỌA ĐỘ VECTO Liên hệ toạ độ điểm toạ độ vectơ mặt phẳng uuu r AB = ( xB - x A ; y B - y A ) A ( x ; y ), B ( x ; y ) A A B B Cho Tọa độ trung điểm đoạn thẳng A  x A ; y A  , B  xB ; y B  Cho đoạn thẳng AB có Ta dễ dàng chứng minh tọa độ trung điểm I  xI ; y I  đoạn thẳng AB xI  x A  xB y  yB , yI  A 2 Tọa độ trọng tâm tam giác A  x A ; y A  , B  xB ; yB  , C  xC ; yC  Cho tam giác ABC có Khi tọa độ trọng tâm G  xG ; yG  tam giác ABC tính theo công thức x x x y  yB  yC xG  A B C , yG  A 3 Ứng dụng biểu thức tọa độ phép toán vecto   a  a ; a , b  b1; b2    Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hai vectơ hai điểm A  x A ; y A  , B  xB ; y B  Ta có:    a  b  a b 0  a1b1  a2b2 0 1)  2) a, b phương  a1b1  a2b2 0  a  a12  a22 3) 4) uuu r 2 AB = AB = ( xB - x A ) +( y B - y A )   a.b a1b1  a2b2 cos a; b     a.b a12  a22 b12  b22   5) (  a  a1; a2   b  b1 ; b2   khác ) II VÍ DỤ MIN H HỌA = = =  O;i   I Câu Trên trục cho điểm A , B , C có tọa độ ;  ;     Tính độ dài đại số vectơ AB ; BC Từ suy hai vectơ AB ; BC ngược hướng? Page CHUYÊN ĐỀ IX – TOÁN 10 – CHƯƠNG IX – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Lời giải   BC 3     5 Ta có AB    , Do vectơ AB ngược hướng với vectơ i   vectơ BC hướng với vectơ i   b  j c 3i  j Oxy a Câu Trong mặt phẳng tọa độ , cho 2i , ,       m  a  2b a b c a) Tìm tọa độ vectơ , , ,    b) Phân tích vectơ c theo hai vectơ a , b Lời giải    a  2;0  b  0;  3 c  3;   a) Ta có , ,      3a  6;0   2b  0;6  m 3a  2b   0;0    6;6  Khi , nên   b) Ta có hai vectơ a , b không phương    c y x Theo yêu cầu đề ta cần tìm số , thỏa mãn  xa  yb   x   2 x  3  y 4  x  2;0   y  0;  3  3;    y    Suy  3 4 c  a b Vậy ta viết A  2;1 B   1;   C   3;  Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho , , a) Tìm tọa độ trung điểm đoạn thẳng AC b) Chứng minh ba điểm A , B , C tạo thành tam giác c) Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC Lời giải   1   1 3 M ; M ;    hay  2   a) Gọi M trung điểm AC   AB   3;  3 AC   5;1 b) Tính , dẫn đến hai vectơ khơng phương Nói cách khác ba điểm A , B , C tạo thành tam giác   1 1    1 G ; G  ;   3  hay  3  c) Gọi G trọng tâm tam giác ABC  A  2;1 B   1;   C   3;  Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho , , Page CHUYÊN ĐỀ IX – TOÁN 10 – CHƯƠNG IX – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG a) Tìm tọa độ điểm E cho C trung điểm đoạn thẳng EB b) Xác định tọa độ điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành Lời giải 2 xC  xE  xB  x   E  y  yE  y B  yE 6 a) Do C trung điểm đoạn thẳng EB nên  C Vậy E   5;6   b) Gọi D  xD ; yD   DC    xD ;  yD   Do tứ giác ABCD hình bình hành nên    xD  AB DC    2  yD   x 0   y 5 D  0;5  Ta thấy A , B , C , D không thẳng hàng Vậy đáp án toán Câu Trong mặt phẳng Oxy , cho điểm A  1;3 B  4;0  ,    Tìm tọa độ điểm M thỏa AM  AB 0 ? Lời giải Giả sử M  xM ; yM    Ta có: AM  suy AM  xM  1; yM  3  AB  3;  3 3  xM  1  0  x 0   M  3  yM  3  0  yM 4  M  0;   AB 0 A  3;4  C  8;1 Câu Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình bình hành ABCD có , Gọi M trung điểm cạnh BC , N giao điểm BD AM Xác định đỉnh cịn lại hình bình  13  N  ;2 hành ABCD , biết   Lời giải A B D N I M C Do I tâm hình bình hành ABCD , ta có I trung điểm đoạn thẳng AC nên  11  I ;   2 Xét tam giác ABC BI , AM hai đường trung tuyến nên N trọng tâm tam giác ABC Page CHUYÊN ĐỀ IX – TOÁN 10 – CHƯƠNG IX – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 13  xB     x 2 3  B   yB 1 2   yB  B  2;1  Do  ,   xD 11  xD 9   D  xD ; y D   yD 5   yD 4 nên D  9;  I BD Gọi Do trung điểm nên Vậy B  2;1 D  9;  , BÀI TẬP M  1;3 , N  4;  Câu Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho điểm a) Tính độ dài đoạn thẳng OM , ON , MN b) Chứng minh tam giác OMN vuông cân Lời giải 2 2 a) OM    10 , ON   2 b) MN    1 2      10 2 Vì OM  MN 20 ON nên tam giác OMN vuông M , mà OM MN nên tam giác OMN vuông cân M    a 3i  j, b  4;  1 Oxy Câu Trong mặt phẳng toạ độ , cho vectơ điềm M   3;6  , N  3;  3    MN 2a  b a) Tìm mối liên hệ vectơ b) Các điểm O, M , N có thẳng hàng hay khơng? c) Tìm điềm P  x; y  để OMNP hình bình hành Lời giải      MN  6;   a  3;    2a  6;   2a  b  2;  3 a) ; ;    MN 3 2a  b Suy   OM   3;  , ON  3;   b) Ta có:   3    OM , ON không phương, suy O, M , N không thẳng hàng  Vì nên   OM   3;6  , PN   x;   y  c) Ta có: Page CHUYÊN ĐỀ IX – TOÁN 10 – CHƯƠNG IX – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Do đó: OMNP hình bình hành    3  x  x 6 OM PN     P  6;   6   y  y  A  1;3 , B  2;  , C   3;  Câu Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho điềm a) Hãy chứng minh A, B , C ba đỉnh tam giác b) Tìm toạ độ trung điểm M đoạn thẳng AB c) Tìm toạ độ trọng tâm G tam giác ABC d) Tìm điểm D  x; y  để O  0;0  trọng tâm tam giác ABD Lời giải  a) Ta có:  AB  1;1 ; AC   4;  1 1    Vì   nên AB; AC không phương, suy A, B , C ba đỉnh tam giác 1   xM   3 7  M ;    2  y 3  7 M 2 b)       3 0  xG   G  0;3   y 3   3 G c)  d) Gọi D  xD ; y D     xD 0   x  3  D  D   3;     yD  0    yD Ta có:  Câu Sự chuyển động tàu thủy thề mặt phẳng toạ độ sau: Tàu khời A  1;  hành từ vị trí chuyền động thẳng với vận tốc (tính theo giờ) biểu thị bời vectơ  v  3;  Xác định vị trí tàu (trên mặt phẳng toạ độ) thời điểm sau khởi hành 1, Lời giải Page CHUYÊN ĐỀ IX – TOÁN 10 – CHƯƠNG IX – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Gọi B  x; y  , ( y  0) ;  v  32  42 5  ; AB  x  1; y   Quảng đường tàu thủy chạy sau 1,5 là: 1,5.5 7,5  2 2 AB   x  1   y   7,5   x  1   y   7,52 (1) Ta có:  x y    x y (2) 4 AB v phương nên Thay  2 vào  1 ta có:  3 2  y   1   y   7,5  25 y  100 y  800 0    11   y 8  x    y  (loai)  11  B  8;  Vậy   Câu Trong Hình 4.38, quân mã vị trí có toạ độ vị trí nào?  1;  Hỏi sau nước đi, quân mã đến Lời giải Quân mã di chuyển theo hình chữ L, nước gồm tổng cộng ô: tiến ô quẹo trái quẹo phải ô ngược lại; tiến ô quẹo trái quẹo phải ô ngược lại Khác với toàn quân cờ bàn cờ vua, mã không bị cản quân nhảy qua tất quân khác đường Theo cách Qn mã vị trí sau:  2;  ,  2;  ,  3;3 ,  3;1 ,  0;  ,  0;0  Page CHUYÊN ĐỀ IX – TOÁN 10 – CHƯƠNG IX – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG III = = =I HỆ THỐNG B ÀI TẬP DẠNG 1: TÌM TỌA ĐỘ ĐIỂM, TỌA ĐỘ VECTƠ TRÊN MẶT PHẲNG = = =I Câu 1: BÀ I TẬ P T Ự L Oxy UẬN M  x; y  Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Cho điểm Tìm tọa độ điểm M đối xứng với M qua trục hoành? Lời giải M đối xứng với M qua trục hoành suy M  x;  y  Câu 2:  A  1;  B   2;3 Trong không gian Oxy , cho hai điểm , Tìm tọa độ vectơ AB ? Lời giải  Câu 3: Câu 4: Ta có AB    1;3     3;1 Vectơ  a   4;  Ta có:      a   4;0   a  4i  j  4i   i; j  phân tích theo hai vectơ đơn vị nào? Lời giải Trong hệ trục tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD tâm I có  A(1;3) Biết điểm B thuộc trục Ox BC hướng với   i Tìm tọa độ vectơ AC ? y A Lời giải D O O B Cx Page CHUYÊN ĐỀ IX – TOÁN 10 – CHƯƠNG IX – PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG Từ giả thiết ta xác định hình vng mặt phẳng tọa độ Oxy hình vẽ bên Vì điểm A( 1; ) suy AB 3, OB 1 B  1;  , C  4;  , D  4; 3 Do  AC  3;  3 Vậy Câu 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy Cho hình thoi ABCD cạnh a gốc tọa độ O ; C thuộc trục Ox thoi ABCD  BAD 600 Biết A trùng với xB 0, yB 0 Tìm tọa độ đỉnh B C hình Lời giải y Từ giả thiết ta xác định hình thoi mặt phẳng tọa độ B Oxy C a  BI  AB sin BAI a sin 300  AI  AB  BI  a  I A Gọi I tâm hình thoi ta có x D a2 a  a a  a a A  0;  , B  ;  , C a ; , D  ;   2 2   Suy  = = =I Câu 1: BÀ I TẬ P T R Ắ C NGHIỆM  Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , tọa độ i   i  0;  i  0; 1 A B Chọn Câu 2:  C Lời giải  i  1;  D  i  1; 1 C  A  5;  B  10;  Trong hệ tọa độ Oxy, cho , Tìm tọa độ vectơ AB ? A  15; 10  B  2;   5;  C Lời giải D  50; 16  Chọn C  AB  5;  Ta có Page 10