Bài 3 phương trình đường thẳng

BÀI PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG A LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Phương trình đường thẳng Vectơ phương đường thẳng Chú ý:    Cho đường thẳng  Vectơ u 0 gọi vectơ phương + Nếu u vectơ phương   đường thẳng  giá song song trùng với  k u  k 0  vectơ Cho đường thẳng  qua M  x0 ; y0 ; z0  có vectơ phương   + Nếu đường thẳng  qua hai phương u  a; b; c   điểm A, B AB vectơ Phương trình tham số đường thẳng Phương trình tham số đường thẳng  có dạng  x  x0  at   y  y0  bt , t   (1)  z z  ct  phương Cho đường thẳng  có phương trình (1)  + u  a; b; c  vectơ phương  + Với điểm M  M  x0  at ; y0  bt ; z0  ct  t giá trị cụ thể tương ứng với điểm M Phương trình tắc Nếu a, b, c 0 phương trình tắc đường thẳng  có dạng x  x0 y  y0 z  z0   a b c  2 Khoảng cách Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng  Cho đường thẳng  qua M , có vectơ phương u điểm M   Khi để tính khoảng cách từ M đến  ta có cách sau:   MM , u  d M , d  Cách 1: Sử dụng công thức:      u Cách 2: + Lập phương trình mặt phẳng  P  qua M vng góc với  + Tìm giao điểm H  P  với  + Khi độ dài MH khoảng cách cần tìm Trang 771 Cách 3: + Gọi N  d , suy tọa độ N theo tham số t + Tính MN theo t + Tìm giá trị nhỏ tam thức bậc hai Khoảng cách hai đường thẳng chéo  Cho hai đường thẳng chéo  qua M có vectơ phương u  qua M 0 có vectơ  phương u Khi khoảng cách hai đường thẳng   tính theo cách sau:    u , u  M M 0   Cách 1: Sử dụng công thức: d  ,     u, u   Cách 2: Tìm đoạn vng góc chung MN Khi độ dài MN khoảng cách cần tìm Cách 3: Lập phương trình mặt phẳng  P  chứa qua  song song với  Khi khoảng cách cần tìm khoảng cách từ điểm  đến  P  Vị trí tương đối Vị trí tương đối hai đường thẳng Trong khơng gian Oxyz, hai đường thẳng x  x0 y  y0 z  z0   qua M  x0 ; y0 ; z0  có a b c  vectơ phương u1  a; b; c  , d1 : x  x0 y  y0 z  z0   qua M  x0 ; y0 ; z0  có a b c  vectơ phương u2  a; b; c d2 : Để xét vị trí tương đối d1 d , ta sử dụng phương pháp sau: Phương pháp hình học    a1 a2 a3 u1 / / u2      b1 b2 b3 + d1 trùng d    M  d M  d      u1 , u2  0   + d1 / / d        u1 , M 1M  0    a1 a2 a3 u1 || u2      b1 b2 b3   M  d  M  d  Ta dùng phương pháp đại số để xét vị trí tương đối: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng Chú ý trường hợp vô nghiệm  + Nếu u1 ; u2 phương d1 //d  + Nếu u1 ; u2 khơng phương d1 ; d chéo Trang 772     u1 , u2  0   d d  + cắt      u1 , u2  M 1M 0    + d1 chéo d   u1 , u2  M 1M 0 Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Trong không gian    : Ax  By  Cz  D 0 Oxyz, có cho mặt phẳng vectơ pháp tuyến  x x0  at   n  A; B; C  đường thẳng d :  y  y0  bt qua  z  z  ct  Phương pháp đại số Xét hệ phương trình  x  x0  at   y  y0  bt   z z0  ct  Ax  By  Cz  D 0   1  2  3  4  M  x0 ; y0 ; z0  có vectơ phương ud  a; b; c  Để xét vị trí tương đối d    ta sử dụng phương Thay (1), (2), (3) vào (4), ta A  x0  at   B  y0  bt   C  z0  ct   D 0  * pháp sau: Phương pháp hình học   ud  n  Nếu  d      M  x0 ; y0 ; z0        ud  n  Nếu  d //     M  x0 ; y0 ; z0           Nếu ud n phương  ud k n với k 0 d          Nếu ud n 0 ; ud n khơng phương d +) Nếu phương trình (*) vơ nghiệm t d //    +) Nếu phương trình (*) có nghiệm t d cắt    +) Nếu phương trình (*) có vơ số nghiệm t d     Chú ý: Để tìm điểm chung đường thẳng d mặt phẳng    ta giải phương trình (*), cắt    sau thay giá trị t vào phương trình tham số d để tìm  x; y; z  Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng mặt cầu  x x0  at  có phương trình là: d :  y  y0  bt , t    z  z  ct   S  :  x  a 2   y  b    z  c  R Trang 773 Để xét vị trí tương đối d    ta sử dụng phương pháp sau: Phương pháp hình học Phương pháp đại số Bước 1: Tìm khoảng cách từ tâm I  S  đến d thay x, y, z từ phương trình tham số d vào Bước 2: phương trình  S , ta phương + Nếu d  I , d   R d khơng cắt  S  trình bậc hai theo t Biện luận số giao điểm + Nếu d  I , d  R d tiếp xúc  S   d   S  theo số nghiệm phương + Nếu d  I , d   R d cắt  S  trình bậc hai theo t Chú ý: Để tìm điểm chung đường thẳng mặt cầu ta giải phương trình bậc hai theo t , sau thay giá trị t vào phương trình tham số d để tìm  x; y; z  Chú ý: Góc hai đường thẳng góc nhọn Góc Góc hai đường thẳng Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1 , d  có vectơ pháp tuyến u1 , u2  Góc d1 d bù với góc u1  u2   u1.u2 Ta có: cos  d1 , d   cos u1 , u2    u1 u2   Góc đường thẳng mặt phẳng Chú ý: Góc đường thẳng mặt phẳng Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng d có vectơ góc nhọn  phương ud mặt phẳng    có vectơ pháp tuyến  n Góc đường thẳng d mặt phẳng    góc đường thẳng d với hình chiếu d    Ta có: sin  d ,       ud n  cos ud , n    ud n   Trang 774 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HĨA Đi qua có vectơ phương   u  Tham số: Phương Chính tắc: Nếu trình đường thẳng ĐƯỜN G THẲN G Hai đường thẳng ; cắt chéo Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Khoảng cách đường thẳng chéo Khoảng cách Đường thẳng mặt phẳng Vị trí tươn g đối Giữa hai đường thẳng Góc đường thẳng mặt phẳng cắt , không phương Đường thẳng mặt cầu khơng cắt tiếp xúc cắt Góc Trang 775  B CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng Phương pháp   Đường thẳng d qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  có vectơ phương a  a1 ; a2 ; a3  có phương  x  x0  a1t  trình tham số  y  y0  a2t  t     z z  a t    Đường thẳng d qua hai điểm A, B: Một vectơ phương d AB  Đường thẳng d qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  song song với đường thẳng  cho trước: Vì d // nên vectơ phương  vectơ phương d  Đường thẳng d qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  vuông góc với mặt phẳng  P  cho trước: Vì d   P  nên vectơ pháp tuyến  P  vectơ phương d Đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng  P  ,  Q  Cách 1: Tìm điểm vectơ phương  Tìm toạ độ điểm A  d cách giải hệ phương trình mặt phẳng  P  ,  Q  với việc chọn giá trị cho ẩn   a  Tìm vectơ phương d :  nP , nQ  Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d viết phương trình đường thẳng qua hai điểm  Đường thẳng d qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  vng góc với hai đường thẳng d1 , d : Vì     d  d1 , d  d nên vectơ phương d là: u  ud1 , ud2  Bài tập Bài tập Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A  2;1;  1 , B   2;3;1 C  0;  1;3 Gọi d đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vng góc với mặt phẳng  ABC  Phương trình đường thẳng d A x 1 y  z    1 B x 1 y z   1 C x y z   2 1 D x y z   1 Hướng dẫn giải Chọn B Trang 776  AB   4; 2;   AB  16   2 Ta có  AC   2;  2;   AC    16 2  BC  2;  4;   BC   16  2 Vậy tam giác ABC nên tâm đường tròn ngoại tiếp trọng tâm G  0;1;1  Ta có  AB, AC   12;12;12  12  1;1;1  Đường thẳng d qua G  0;1;1 có vectơ phương phương với  AB, AC  ,  chọn u  1;1;1  x t  Phương trình đường thẳng d  y 1  t  z 1  t  Với t  , ta có điểm A   1;0;0   d  Vậy đường thẳng d qua A   1;0;0  có vectơ phương u  1;1;1 Bài tập Trong không gian Oxyz, cho hai M  1; 2;3 , N  3; 4;5  mặt phẳng  P  : x  y  3z  14 0 Gọi  đường thẳng thay đổi nằm mặt phẳng  P  , điểm H, K hình chiếu vng góc M , N  Biết MH  NK trung điểm HK thuộc đường thẳng d cố định, phương trình đường thẳng d  x t  A  y 13  2t  z   t   x t  B  y 13  2t  z   t   x t  C  y 13  2t  z   t   x 1  D  y 13  2t  z   t  Hướng dẫn giải Chọn A Gọi I trung điểm HK Do MH NK nên HMI KNI  IM  IN Khi I thuộc mặt phẳng  Q  mặt phẳng trung trực đoạn MN   1 Ta có  Q  qua trung điểm MN điểm J  2;3;  nhận n  MN  1;1;1 làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình  Q  : x  y  z  0  x  y  z  0 Mà I  A   P  Suy I  d  P    Q  :   x  y  z  14 0 Tìm  0;13;    d vectơ phương d  1;  2;1  x t  Vậy d :  y 13  2t  z   t  Trang 777 2 Bài tập Trong không gian Oxyz Cho điểm E  1;1;1 , mặt cầu  S  : x  y  z 4 mặt phẳng  P  : x  y  z  0 Gọi  đường thẳng qua E , nằm  P  cắt  S  hai điểm A, B cho OAB tam giác Phương trình tham số   x 1  2t  A  y 1  t  z 1  t   x 1  4t  B  y 1  3t  z 1  t   x 1  2t  C  y 1  t  z 1  t   x 1  t  D  y 1  t  z 1  2t  Hướng dẫn giải Chọn C  Gọi u  a; b; c  vectơ phương  với a  b  c   Ta có nP  1;  3;5        Vì    P  nên u  nP  u.nP 0  a  3b  5c 0  a 3b  5c (1) Mặt cầu  S  có tâm O  0;0;0  bán kính R 2 Gọi H hình chiếu vng góc O AB Ta có OAB tam giác cạnh R nên OH  R  Suy khoảng cách từ O đến đường thẳng  OH      u , OE     Khi  u 2   a  b    b  c    c  a  3  a  b  c    a  b  c  0  a  b  c 0 (2) Thay (1) vào (2) ta được: 3b  5c  b  c 0  b c  a  2c Thay c  b  a 2  Ta vectơ phương  u  2;  1;  1  x 1  2t  Vậy phương trình đường thẳng   y 1  t  z 1  t  Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng phương pháp tham số hóa Trang 778 Phương pháp  Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  , vng góc cắt đường thẳng    M Cách 1: Gọi H hình chiếu vng góc đường thẳng  Khi H  , M H  u Khi đường thẳng d đường thẳng qua M , H Cách 2: Gọi  P  mặt phẳng qua M vng góc với d  Q  mặt phẳng qua M chứa d Khi d  P    Q   Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  cắt hai đường thẳng d1 , d Cách 1: Gọi M  d1  d , M  d  d Suy M , M , M thẳng hàng Từ tìm M , M suy phương trình đường thẳng d Cách 2: Gọi  P  mặt phẳng qua M chứa d1 ;  Q  mặt phẳng qua M chứa d   d  P  Q u     Do vectơ phương d chọn  nP , nQ  Khi  Đường thẳng d nằm mặt phẳng  P  cắt hai đường thẳng d1 , d : Tìm giao điểm A d1   P  , B d   P  Khi d đường thẳng AB  Đường thẳng d song song với  cắt hai đường thẳng d1 , d : Viết phương trình mặt phẳng  P song song với  chứa d1 , mặt phẳng  Q song song với  chứa d Khi d  P    Q   Đường thẳng d đường vng góc chung hai đường thẳng d1 , d chéo nhau:  MN  d1 Cách làm: Gọi M  d1 , N  d Từ điều kiện  , ta tìm M , N Viết phương trình  MN  d đường thẳng MN đường vng góc chung d1 , d Bài tập Bài tập Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P  : x  y  z  0 đường thẳng d : x  y  z 1   Phương trình đường thẳng d  hình chiếu vng góc d 2 mặt phẳng  P  A x y  z 1   B x y z   5 C x y  z 1   5 D x y z   Hướng dẫn giảii Trang 779 Chọn B  x 4  2t  Đường thẳng d có phương trình tham số  y   2t  t     z   t  Lấy điểm M d   P   M   2t ;   2t ;   t   d Thay đổi tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng  P  ta được:  2t   2t   t 0  t 2 Suy M  0; 2;1 Do d   P  M  0; 2;1 Lấy A  4;  2;  1  d Gọi H hình chiếu vng góc A lên mặt phẳng  P   Đường thẳng AH qua A  4;  2;  1 nhận n P   1;1;  1 làm vectơ phương nên AH có  x 4  t1  phương trình  y   t1  t1     z   t  Suy H   t1 ;   t1 ;   t1  Thay tọa độ H vào phương trình mặt phẳng  P   t1   t1   t1  0  t1  MH hình chiếu d  10   H  ; ;   3 3 lên mặt phẳng   10 14  MH  ;  ;      5;7;  3   P , MH qua M  0; 2;1 nhận vectơ phương nên có phương trình x y z   5 Bài tập Cho đường thẳng d1 : x  y 1 z x  y z 3     đường thẳng d : 1 2 Phương trình đường thẳng  qua A  1;0;  , cắt d1 vng góc với d A x y z   2 B x y z   1 1 C x y z   4 D x y z   2 Hướng dẫn giải Chọn C  Gọi I d1   , I   t ,   2t ,  t   AI  t ; 2t  1;  t   vectơ phương   Do u d2  1; 2;  vectơ phương đường thẳng d   d   Suy AI u d2 0  t   2t  1    t   0  3t  0  t 2 Trang 780 x  f f   0 +   16 16 Dựa vào bảng biến thiên ta có: max f  t   f   5    , d bé m 0  n 2 Suy  Do T m  n  Dạng 5: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Phương pháp Ví dụ: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x y  z 2   2 Tính khoảng cách từ M   2;1;  1 tới d Cho đường thẳng    qua điểm Hướng dẫn giải   Ta có A  1;2;    d  AM   3;  1;1 , u  1; 2;   M  x0 ; y0 ; z0  có vectơ phương  u  a; b; c  Khi khoảng cách từ điểm M Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là:    AM ; u  đến    tính cơng thức:   d  M;d       u  M M1; u    d  M1,     u Bài tập Bài tập Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A  1;1;  1 cho trước, nằm mặt phẳng  P  : x  y  z  0 cách điểm M  0; 2;1 khoảng lớn A x  y  z 1   3 1 B x  y  z 1   C x  y  z 1   1 D x  y  z 1   1 1 Hướng dẫn giải Trang 790