Bài 3 phương trình đường thẳng

BÀI PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG A LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Phương trình đường thẳng Vectơ phương đường thẳng Chú ý:    Cho đường thẳng  Vectơ u 0 gọi vectơ phương + Nếu u vectơ phương   đường thẳng  giá song song trùng với  k u  k 0  vectơ Cho đường thẳng  qua M  x0 ; y0 ; z0  có vectơ phương   + Nếu đường thẳng  qua hai phương u  a; b; c   điểm A, B AB vectơ Phương trình tham số đường thẳng Phương trình tham số đường thẳng  có dạng  x  x0  at   y  y0  bt , t   (1)  z z  ct  phương Cho đường thẳng  có phương trình (1)  + u  a; b; c  vectơ phương  + Với điểm M  M  x0  at ; y0  bt ; z0  ct  t giá trị cụ thể tương ứng với điểm M Phương trình tắc Nếu a, b, c 0 phương trình tắc đường thẳng  có dạng x  x0 y  y0 z  z0   a b c  2 Khoảng cách Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng  Cho đường thẳng  qua M , có vectơ phương u điểm M   Khi để tính khoảng cách từ M đến  ta có cách sau:   MM , u  d M , d  Cách 1: Sử dụng công thức:      u Cách 2: + Lập phương trình mặt phẳng  P  qua M vng góc với  + Tìm giao điểm H  P  với  + Khi độ dài MH khoảng cách cần tìm Trang 334 Cách 3: + Gọi N  d , suy tọa độ N theo tham số t + Tính MN theo t + Tìm giá trị nhỏ tam thức bậc hai Khoảng cách hai đường thẳng chéo  Cho hai đường thẳng chéo  qua M có vectơ phương u  qua M 0 có vectơ  phương u Khi khoảng cách hai đường thẳng   tính theo cách sau:    u , u  M M 0   Cách 1: Sử dụng công thức: d  ,     u, u   Cách 2: Tìm đoạn vng góc chung MN Khi độ dài MN khoảng cách cần tìm Cách 3: Lập phương trình mặt phẳng  P  chứa qua  song song với  Khi khoảng cách cần tìm khoảng cách từ điểm  đến  P  Vị trí tương đối Vị trí tương đối hai đường thẳng Trong khơng gian Oxyz, hai đường thẳng x  x0 y  y0 z  z0   qua M  x0 ; y0 ; z0  có a b c  vectơ phương u1  a; b; c  , d1 : x  x0 y  y0 z  z0   qua M  x0 ; y0 ; z0  có a b c  vectơ phương u2  a; b; c d2 : Để xét vị trí tương đối d1 d , ta sử dụng phương pháp sau: Phương pháp hình học    a1 a2 a3 u1 / / u2      b1 b2 b3 + d1 trùng d    M  d M  d      u1 , u2  0   + d1 / / d        u1 , M 1M  0    a1 a2 a3 u1 || u2      b1 b2 b3   M  d  M  d  Ta dùng phương pháp đại số để xét vị trí tương đối: Dựa vào số nghiệm hệ phương trình đường thẳng Chú ý trường hợp vô nghiệm  + Nếu u1 ; u2 phương d1 //d  + Nếu u1 ; u2 khơng phương d1 ; d chéo Trang 335     u1 , u2  0   d d  + cắt      u1 , u2  M 1M 0    + d1 chéo d   u1 , u2  M 1M 0 Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Trong không gian    : Ax  By  Cz  D 0 Oxyz, có cho mặt phẳng vectơ pháp tuyến  x x0  at   n  A; B; C  đường thẳng d :  y  y0  bt qua  z  z  ct  Phương pháp đại số Xét hệ phương trình  x  x0  at   y  y0  bt   z z0  ct  Ax  By  Cz  D 0   1  2  3  4  M  x0 ; y0 ; z0  có vectơ phương ud  a; b; c  Để xét vị trí tương đối d    ta sử dụng phương Thay (1), (2), (3) vào (4), ta A  x0  at   B  y0  bt   C  z0  ct   D 0  * pháp sau: Phương pháp hình học   ud  n  Nếu  d      M  x0 ; y0 ; z0        ud  n  Nếu  d //     M  x0 ; y0 ; z0           Nếu ud n phương  ud k n với k 0 d          Nếu ud n 0 ; ud n khơng phương d +) Nếu phương trình (*) vơ nghiệm t d //    +) Nếu phương trình (*) có nghiệm t d cắt    +) Nếu phương trình (*) có vơ số nghiệm t d     Chú ý: Để tìm điểm chung đường thẳng d mặt phẳng    ta giải phương trình (*), cắt    sau thay giá trị t vào phương trình tham số d để tìm  x; y; z  Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng mặt cầu  x x0  at  có phương trình là: d :  y  y0  bt , t    z  z  ct   S  :  x  a 2   y  b    z  c  R Trang 336 Để xét vị trí tương đối d    ta sử dụng phương pháp sau: Phương pháp hình học Phương pháp đại số Bước 1: Tìm khoảng cách từ tâm I  S  đến d thay x, y, z từ phương trình tham số d vào Bước 2: phương trình  S , ta phương + Nếu d  I , d   R d khơng cắt  S  trình bậc hai theo t Biện luận số giao điểm + Nếu d  I , d  R d tiếp xúc  S   d   S  theo số nghiệm phương + Nếu d  I , d   R d cắt  S  trình bậc hai theo t Chú ý: Để tìm điểm chung đường thẳng mặt cầu ta giải phương trình bậc hai theo t , sau thay giá trị t vào phương trình tham số d để tìm  x; y; z  Chú ý: Góc hai đường thẳng góc nhọn Góc Góc hai đường thẳng Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1 , d  có vectơ pháp tuyến u1 , u2  Góc d1 d bù với góc u1  u2   u1.u2 Ta có: cos  d1 , d   cos u1 , u2    u1 u2   Góc đường thẳng mặt phẳng Chú ý: Góc đường thẳng mặt phẳng Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng d có vectơ góc nhọn  phương ud mặt phẳng    có vectơ pháp tuyến  n Góc đường thẳng d mặt phẳng    góc đường thẳng d với hình chiếu d    Ta có: sin  d ,       ud n  cos ud , n    ud n   Trang 337 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HĨA Đi qua có vectơ phương   u  Tham số: Phương Chính tắc: Nếu trình đường thẳng ĐƯỜN G THẲN G Hai đường thẳng ; cắt chéo Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Khoảng cách đường thẳng chéo Khoảng cách Đường thẳng mặt phẳng Vị trí tươn g đối Giữa hai đường thẳng Góc đường thẳng mặt phẳng cắt , không phương Đường thẳng mặt cầu khơng cắt tiếp xúc cắt Góc Trang 338  B CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Viết phương trình đường thẳng Phương pháp   Đường thẳng d qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  có vectơ phương a  a1 ; a2 ; a3  có phương  x  x0  a1t  trình tham số  y  y0  a2t  t     z z  a t    Đường thẳng d qua hai điểm A, B: Một vectơ phương d AB  Đường thẳng d qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  song song với đường thẳng  cho trước: Vì d // nên vectơ phương  vectơ phương d  Đường thẳng d qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  vuông góc với mặt phẳng  P  cho trước: Vì d   P  nên vectơ pháp tuyến  P  vectơ phương d Đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng  P  ,  Q  Cách 1: Tìm điểm vectơ phương  Tìm toạ độ điểm A  d cách giải hệ phương trình mặt phẳng  P  ,  Q  với việc chọn giá trị cho ẩn   a  Tìm vectơ phương d :  nP , nQ  Cách 2: Tìm hai điểm A, B thuộc d viết phương trình đường thẳng qua hai điểm  Đường thẳng d qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  vng góc với hai đường thẳng d1 , d : Vì     d  d1 , d  d nên vectơ phương d là: u  ud1 , ud2  Bài tập Bài tập Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A  2;1;  1 , B   2;3;1 C  0;  1;3 Gọi d đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vng góc với mặt phẳng  ABC  Phương trình đường thẳng d A x 1 y  z    1 B x 1 y z   1 C x y z   2 1 D x y z   1 Trang 339 Bài tập Trong không gian Oxyz, cho hai M  1; 2;3 , N  3; 4;5  mặt phẳng  P  : x  y  3z  14 0 Gọi  đường thẳng thay đổi nằm mặt phẳng  P  , điểm H, K hình chiếu vng góc M , N  Biết MH  NK trung điểm HK ln thuộc đường thẳng d cố định, phương trình đường thẳng d  x t  A  y 13  2t  z   t   x t  B  y 13  2t  z   t   x t  C  y 13  2t  z   t   x 1  D  y 13  2t  z   t  2 Bài tập Trong không gian Oxyz Cho điểm E  1;1;1 , mặt cầu  S  : x  y  z 4 mặt phẳng  P  : x  y  z  0 Gọi  đường thẳng qua E , nằm  P  cắt  S  hai điểm A, B cho OAB tam giác Phương trình tham số   x 1  2t  A  y 1  t  z 1  t   x 1  4t  B  y 1  3t  z 1  t   x 1  2t  C  y 1  t  z 1  t   x 1  t  D  y 1  t  z 1  2t  Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng phương pháp tham số hóa Phương pháp  Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  , vng góc cắt đường thẳng    Cách 1: Gọi H hình chiếu vng góc M đường thẳng  Khi H  , M H  u Khi đường thẳng d đường thẳng qua M , H Cách 2: Gọi  P  mặt phẳng qua M vng góc với d  Q  mặt phẳng qua M chứa d Khi d  P    Q   Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  cắt hai đường thẳng d1 , d Cách 1: Gọi M  d1  d , M  d  d Suy M , M , M thẳng hàng Từ tìm M , M suy phương trình đường thẳng d Cách 2: Gọi  P  mặt phẳng qua M chứa d1 ;  Q  mặt phẳng qua M chứa d   Khi d  P    Q  Do vectơ phương d chọn u  nP , nQ   Đường thẳng d nằm mặt phẳng  P  cắt hai đường thẳng d1 , d : Tìm giao điểm A d1   P  , B d   P  Khi d đường thẳng AB Trang 340  Đường thẳng d song song với  cắt hai đường thẳng d1 , d : Viết phương trình mặt phẳng  P song song với  chứa d1 , mặt phẳng  Q song song với  chứa d Khi d  P    Q   Đường thẳng d đường vng góc chung hai đường thẳng d1 , d chéo nhau:  MN  d1 Cách làm: Gọi M  d1 , N  d Từ điều kiện  , ta tìm M , N Viết phương trình  MN  d đường thẳng MN đường vng góc chung d1 , d Bài tập Bài tập Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P  : x  y  z  0 đường thẳng d : x  y  z 1   Phương trình đường thẳng d  hình chiếu vng góc d 2 mặt phẳng  P  A x y  z 1   B x y z   5 C x y  z 1   5 D x y z   Bài tập Cho đường thẳng d1 : x  y 1 z x  y z 3     đường thẳng d : 1 2 Phương trình đường thẳng  qua A  1;0;  , cắt d1 vuông góc với d A x y z   2 B x y z   1 1 C x y z   4 D x y z   2 Bài tập Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P  : 3x  y  z 0 hai đường thẳng d1 : x 1 y  z x y z 4   d :   Đường thẳng vng góc với  P  cắt hai 1 3 1 đường thẳng d1 d có phương trình A x2 y  z   2 B x 5 y z    C x2 y  z    2 D x y z   2 Trang 341 Bài tập Viết phương trình đường thẳng d qua A  1; 2;3 cắt đường thẳng d1 : x y z   1 song song với mặt phẳng  P  : x  y  z  0  x 1  t  A  y 2  t  z 3  t   x 1  t  B  y 2  t  z 3   x 1  t  C  y 2  t  z 3   x 1  t  D  y 2  t  z 3  t  Bài tập Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P  : x  y  z  10 0 , điểm A  1;3;  đường thẳng d : x2 y z    Tìm phương trình đường thẳng  cắt  P  d 1 M N cho A trung điểm MN A x  y 1 z    1 B x  y  z 3   1 C x  y  z 3   4 1 D x  y 1 z    4 1 Bài tập Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A   3;3;  3 thuộc mặt phẳng    : x  y  z  15 0 mặt cầu  S  :  x     y  3   z  5 100 Đường thẳng  qua A, nằm mặt phẳng    cắt  S  M , N Để độ dài MN lớn phương trình đường thẳng  A x 3 y  z 3    x   5t  C  y 3  z   8t  B x 3 y  z 3   16 11  10 D x 3 y  z 3   1 Bài tập Trong khơng gian Oxyz, cho ABC có A  2;3;3 , phương trình đường trung tuyến kẻ từ B d: x y z   , phương trình đường phân giác góc 1 1 x y z   Đường thẳng AB có vectơ phương 1 1    A u  2;1;  1 B u  1;  1;0  C u  0;1;  1 C :  D u  1; 2;1 Trang 342 x y z   hai điểm 1 Bài tập Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  : A  4;  2;  , B  0;0;   Gọi d đường thẳng song song cách  khoảng , gần đường thẳng AB Đường thẳng d cắt mặt phẳng  Oxy  điểm đây?  14  B   ;  ;0   3  A  2;1;0  C  3; 2;0  D  0;0;0  Bài tập Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn đường thẳng 1 : x y 2 z  x y z   ; 2 :   1 1 1 3 : x y  z 1 x y a z b   ; 4 :   1 1 Biết không tồn đường thẳng không gian mà cắt đồng thời bốn đường thẳng Giá trị biểu thức T a  2b A 2 B 3 C D Dạng Góc đường thẳng mặt phẳng Phương pháp Cho đường thẳng Ví dụ: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho x  x0 y  y0 z  z0   mặt phẳng x y z   a b c đường thẳng  : 1    : Ax  By  Cz  D 0    : 3x  y  z  0 Gọi  góc hai mặt phẳng    Tính góc tạo       :    ta có cơng thức: sin   Aa  Bb  Cc A2  B  C a  b  c Chú ý: A, B, C a, b, c không đồng thời mặt phẳng Hướng dẫn giải   có vectơ phương u  2;1;1     có vectơ pháp tuyến n  3; 4;5   Ta có: sin ,     cos n, u       3.2  4.1  5.1 32  42  52 22  12  12    Suy ,    60 Bài tập Trang 343 Bài tập 1: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng  :  P  : x  y  z  0 x 3 y  z 2   mặt phẳng 1 Biết  cắt mặt phẳng  P  A, M thuộc  cho AM 2 Tính khoảng cách từ M tới mặt phẳng  P  A B C D Dạng 4: Góc hai đường thẳng Phương pháp Cho hai đường thẳng:  1  :  2  : Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng x  x0 y  y0 z  z0   a b c x  x0 y  y0 z  z0   a b c Gọi  góc hai đường thẳng  1  1 : x y 2 z    ; 2 2 : x 3 y  z 2   1 4 Tính góc hai đường thẳng  2  Ta có: cos   aa  bb  cc a  b  c a2  b2  c2 Hướng dẫn giải  Vectơ phương 1 u1   2;1;   Vectơ phương  u2  1;1;     u1.u2 cos  1 ,    cos u1 , u2    u1 u2      1.1     2     12  22 12 12         3.3 Vậy góc hai đường thẳng cho 45 Bài tập Bài tập Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng  P : x  d giao tuyến hai mặt phẳng   z.sin   cos  0;  Q  : y  z.cos   sin  0;    0;  Góc  d  trục Oz là:  2 A 30 B 45 C 60 D 90 Trang 344 Bài tập Trong không gian Oxyz, d đường thẳng qua điểm A  1;  1;  , song song với mặt phẳng  P  : x  y  z  0 , đồng thời tạo với đường thẳng  : x 1 y  z   góc lớn 2 Phương trình đường thẳng d A x  y 1 z    4 B x  y 1 z    5 C x 1 y 1 z    3 D x  y 1 z    Bài tập Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d :  P : 2x  x2 y z 2   mặt phẳng 4 y  z  0 Đường thẳng  qua E   2;1;   , song song với  P  có vectơ  phương u  m; n;1 , đồng thời tạo với d góc bé Tính T m  n A T  B T 4 C T 3 D T  Dạng 5: Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Phương pháp Ví dụ: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x y  z 2   2 Tính khoảng cách từ M   2;1;  1 tới d Cho đường thẳng    qua điểm Hướng dẫn giải   Ta có A  1;2;    d  AM   3;  1;1 , u  1; 2;   M  x0 ; y0 ; z0  có vectơ phương  u  a; b; c  Khi khoảng cách từ điểm M Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d là:    AM ; u  đến    tính cơng thức:   d  M;d      u  M M1; u    d  M1,     u Bài tập Bài tập Viết phương trình đường thẳng d qua điểm A  1;1;  1 cho trước, nằm mặt phẳng  P  : x  y  z  0 cách điểm M  0; 2;1 khoảng lớn A x  y  z 1   3 1 B x  y  z 1   C x  y  z 1   1 D x  y  z 1   1 1 Trang 345 Bài tập Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A  2;1;   , B  5;1;1 mặt cầu  S  : x  y  z  y  12 z  0 Xét đường thẳng d qua A tiếp xúc với  S  cho khoảng cách từ B đến d nhỏ Phương trình đường thẳng d  x 2  A  y 1  t  z   2t   x 2  B  y 1  4t  z   t   x 2  2t  C  y 1  2t  z   t   x 2  t  D  y 1  4t  z   t  Dạng 6: Khoảng cách hai đường thẳng chéo Phương pháp Trong không gian Oxyz, cho hai đường Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz, tính khoảng cách thẳng chéo nhau: 1 có vectơ phương hai đường thẳng  u  a; b; c  qua M  x0 ; y0 ; z0  ;  có  vectơ phương u  a; b; c qua M 0  x0; y0; z0   x 1  4t x y 2 z  d1 :   d :  y   2t , t   1  z 2  2t  Hướng dẫn giải Đường thẳng d1 qua điểm M  1;  2;0  có  vectơ phương u1  2;  1;1 Đường thẳng d qua điểm N  1;  1;  có  u vectơ phương  4;  2;  Khi khoảng cách 1  tính   Do u1 phương với u2 M  d nên   d1 //d  u , u  M M 0    công thức d  1 ,        u, u  u1 , MN       Suy d  d1 ; d  d  N ; d1     u Nếu 1 // ( u1 u2 phương    Ta có MN  0;1;  ,  u , MN    3;  4;  M   ) d  1 ,   d  M ,     u1 , MN      Suy u1 Vậy d  d1 ; d     3 2      22 22    1   174 174 Bài tập Trang 346 Bài tập Cho phương trình mặt phẳng  P  : x  y  z  0 , đường thẳng d  : x y z   điểm A  0; 2;1 Viết phương trình đường thẳng d qua A , nằm  P  cho khoảng cách d d  đạt giá trị lớn A x y z   9 B x y 2 z    C x y 2 z    7 D x y 2 z    7 9 Dạng 7: Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Phương pháp  Trong không gian Oxyz, xét đường thẳng    có vectơ phương a  a1 ; a2 ; a3  qua  M  x0 ; y0 ; z0  mặt phẳng    : Ax  By  Cz  D 0 có vectơ pháp tuyến n  A; B; C      cắt     a.n 0  Aa1  Ba2  Ca3 0   a.n 0  Aa1  Ba2  Ca3 0     //       Ax0  By0  Cz0  D 0  M   P    Aa1  Ba2  Ca3 0 a.n 0          Ax0  By0  Cz0  D 0  M   P            a n phương  a1 : a2 : a3  A : B : C Ta biện luận vị trí tương đối dựa vào số nghiệm phương trình đường thẳng    mặt phẳng    Bài tập Bài tập Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x 1 y z    mặt 3 1 phẳng  P  : x  y  z  0 Mệnh đề đúng? A d cắt khơng vng góc với  P  B d song song với  P  C d vuông góc với  P  D d nằm  P  Trang 347 Bài tập Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng có phương trình d: x y z   mặt phẳng  P  : x  my   m  1 z  0 với m tham số thực Tìm 1 1 m cho đường thẳng d song song với mặt phẳng  P  A m 1  m  C   m 2 B m  Bài tập Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d :   : x  D m 2 x y z   mặt phẳng y  z  0 , mệnh đề đúng? A d //    B d     C d cắt    không vuông góc với    D d     Bài tập Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng  P : x  y  hai đường thẳng 1 : z  0,  Q  : x  y  z  0 x y  z 1 x y z   , 2 :   2 1 Đường thẳng  song song với hai mặt phẳng  P  ,  Q  cắt 1 ,  tương ứng H , K Độ dài đoạn HK A 11 B C D 11 Bài tập Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P  :  m2  m   x   m2  1 y   m   z  m2  m  0 chứa đường thẳng  cố định m thay đổi Khoảng cách từ gốc tọa độ đến  là? A B C D Dạng 8: Vị trí tương đối hai đường thẳng Phương pháp Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : x  x0 y  y0 z  z0   qua M  x0 ; y0 ; z0  a b c  x  x0 y  y0 z  z0 u   có vectơ phương  a; b; c  d : qua M  x0; y0; z0  có vectơ a b c  phương u2  a; b; c Để xét vị trí tương đối d1 d , ta sử dụng phương pháp sau: Trang 348 +) +) +) +)    a1 a2 a3 u1 / / u2    d1 trùng d     b1 b2 b3  M  d M  d        u1 , u2  0 u1 / / u2    d1 //d        M  d   u1 , M 1M  0     u1 , u2  0   d1 cắt d        u1 , u2  M 1M 0   d1 chéo d   u1 , u2  M 1M 0  a1 a2 a3     b1 b2 b3  M  d  2 Bài tập Bài tập Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : x  y 1 z  x 3 y 9 z 2     d : m  m 0  Tập hợp giá trị m thỏa mãn d1 //d có số phần tử là: A B C D Bài tập Trong không gian tọa độ Oxyz, xét vị trí tương đối hai đường thẳng 1 : x  y 1 z x y  z 2   , 2 :   2 1 2 A 1 song song với  B 1 chéo với  C 1 cắt  D 1 trùng với  Dạng 9: Vị trí tương đối đường thẳng mặt cầu Phương pháp  x x0  a1t  Cho đường thẳng d :  y  y0  a2t   z  z0  a3t  1  2  3 Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S  : x  y   z   25 đường 2 mặt cầu  S  :  x  a    y  b    z  c  R có tâm I  a; b; c  , bán kính R  x   2t  thẳng d có phương trình  y 2  3t  z   2t  Chứng minh d cắt  S  hai điểm phân biệt Hướng dẫn giải Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm I Mặt cầu  S  có tâm I  0;0;   bán kính R 5 mặt cầu  S  đến đường thẳng d Trang 349   IM a    h d  I , d    a Bước 2: So sánh d  I , d  với bán kính R mặt cầu: Đường thẳng d qua M   2; 2;  3 có vectơ  phương u  2;3;    IM , u    3 Ta có h d  I , d    u Vì h  R nên d cắt mặt cầu  S hai điểm phân biệt  Nếu d  I , d   R d khơng cắt  S   Nếu d  I , d  R d tiếp xúc  S   Nếu d  I , d   R d cắt  S  hai điểm phân biệt M , N MN vng góc với đường kính (bán kính) mặt cầu  S  Phương pháp đại số Thế (1), (2), (3) vào phương trình  S  Ví dụ 2: Trong không gian Oxyz, mặt cầu  S  : x2  y2   z  2 17 cắt trục Oz hai rút gọn đưa phương trình bậc hai theo t  * điểm A, B Tìm độ dài đoạn AB Hướng dẫn giải  Nếu phương trình (*) vơ nghiệm d Gọi M giao điểm  S  với trục Oz khơng cắt  S  Ta có M  Oz nên M  0;0; t   Nếu phương trình (*) có nghiệm Mà M   S  nên 02    t   17 d tiếp xúc  S   Nếu phương trình (*) có hai nghiệm d cắt  S  hai điểm phân biệt M , N  t   17   t   17  t   17    t   17  Chú ý: Để tìm tọa độ M , N ta thay giá trị t vào phương trình đường thẳng d Bài tập  Suy tọa độ giao điểm A 0;0;   17 ,   B 0;0;   17  AB 2 17 Bài tập Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A  0;0;   đường thẳng  có phương trình x 2 y  z 3   Phương trình mặt cầu tâm A , cắt  hai điểm B C cho BC 8 2 2 A  x     y  3   z  1 16 C  x    y  z 25 B x  y   z   25 D x  y   z   16 Trang 350 2 Bài tập Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  S  :  x  1   y 1   z   9 điểm M  1;3;  1 Biết tiếp điểm tiếp tuyến kẻ từ M tới mặt cầu cho thuộc đường trịn  C  có tâm J  a; b; c  Giá trị 2a  b  c A 134 25 B 116 25 C 84 25 D Bài tập Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu  x  1  S 62 25 có phương trình 14 x y z 2   y     z  3    đường thẳng d có phương trình Gọi 3 2 A  x0 ; y0 ; z0  , x0  điểm nằm đường thẳng d cho từ A kẻ ba tiếp tuyến đến mặt cầu  S  có tiếp điểm B, C , D cho ABCD tứ diện Giá trị biểu thức P x0  y0  z0 A B 16 C 12 D Bài tập Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm P, Q, R di động ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz (không trùng với gốc tọa độ O ) cho  PQR  1 1    Biết mặt phẳng 2 OP OQ OR tiếp xúc với mặt cầu  S  cố định Đường thẳng  d  thay đổi qua 1  M  ; ;0  cắt  S  hai điểm A, B phân biệt Diện tích lớn AOB 2  A 15 B C 17 D Dạng 10: Một số toán cực trị Bài tập 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm M   2;  2;1 , A  1; 2;  3 đường thẳng d :  x 1 y  z   Tìm vectơ phương u đường thẳng  qua M , 2 1 vng góc với đường thẳng d đồng thời cách điểm A khoảng bé    A u  2; 2;  1 B u  1;7;  1 C u  1;0;   D u  3; 4;   Trang 351 Bài tập 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu  S có phương trình x  y  z  x  y  z  0 điểm A  5;3;   Một đường thẳng d thay đổi qua A cắt mặt cầu hai điểm phân biệt M , N Tính giá trị nhỏ biểu thức S  AM  AN A S 30 B S 20 C S 5 34  D S  34  Bài tập 3: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A  9;6;11 , B  5;7;  điểm M di động 2 mặt cầu  S  :  x  1   y     z  3 36 Giá trị nhỏ AM  MB A 105 B 26 C 29 D 102 Trang 352