Phần 3 phương trình đường thẳng

TRƯỜNG THCS & THPT TRÍ ĐỨCNG THCS & THPT TRÍ ĐỨCC ĐỀ CƯƠNG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023 CƯƠNG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023NG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023C KÌ NĂM 2023 BÀI PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG A LÝ THUYẾT Véc-tơ phương đường thẳng     Một véc-tơ a 0 véc-tơ phương đường thẳng     giá véc-tơ a song song trùng với đường thẳng      Nếu có hai véc-tơ khơng phương n1 , n2 có giá vng góc với đường thằng    a  n1 , n2   véc-tơ VTCP đường thẳng   Phương trình đường thẳng    Đường thẳng   qua điểm M ( x0 ; y0 ; z0 ) có VTCP a (a ; b ; c)    x  x0  at   y  y0  bt (t  R )  z  z  ct    Phương trình tham số: a (a ; b ; c) là: x  x0 y  y0 z  z0   b c với abc≠0  Phương trình tắc: a  Lưu ý: Cách xác định véctơ phương đường thẳng     / /  D   a aD   Hai đường thẳng song song:       D   a  a D   Hai đường thẳng vng góc:         / /     a  n    Đường thẳng song song với mặt phẳng :              a  n    Đường thẳng nằm mặt phẳng :              a n    Đường thẳng vng góc với mặt phẳng :     Đường thẳng   qua hai điểm A, B  a  AB        a  n , n   Đường thẳng   giao tuyến hai mặt phẳng     Góc   a  ( x ; y ; z ), a2 ( x2 ; y2 ; z2 ) 1  Góc hai vectơ:    a a x1 x2  y1 y2  z1 z2 cos a1 , a2   2  a1 a2 x1  y12  z12 x22  y22  z22     Góc hai đường thẳng: Δ1 Δ    ( a1 , a2 0) ,với   có VTCP a1 , a2   cos   cos a1 , a2  Góc α tạo Δ1 Δ tính:  Góc đường thẳng mặt phẳng     Cho đường thẳng Δ có VTCP a (a; b ; c) mặt phẳng ( P) có VTPT n=(a' ; b' ; c')  sin   cos( a, n)  Chú ý:  Nếu gọi T TỐN 12 α Khi đó, góc α tạo Δ ( P) tính: o o số đo góc hai vectơ u v ≤α≤180 72 TRƯỜNG THCS & THPT TRÍ ĐỨCNG THCS & THPT TRÍ ĐỨCC ĐỀ CƯƠNG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023 CƯƠNG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023NG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023C KÌ NĂM 2023 o o  Nếu gọi  số đo góc ( Δ1 , Δ )  90 (khi Δ // Δ2 hay 1  o quy ước  0 Khoảng cách AB=| AB|= √( x B−x A )2 +( y B − y A )2 +( z B−z A )2  Khoảng cách hai điểm  a M ( x ; y ; z ) d o o o o  Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng qua A VTCP d     AM o , ad     d (M o ; d )  ad  Hoặc tìm hình chiếu vng góc H M o đường thẳng d  d ( M o , d ) M o H  Hoặc gọi N ( xN ; y N ; z N )  d Tính M o N theo t, (t tham số phương trình đường thẳng d ) Tìm t để M o N nhỏ Khi N≡H Do d ( M o , d ) M o H  Khoảng cách hai đường thẳng chéo d d '     a , a  MN   1   d qua M có VTCP ad d (1 ;  )     a , a  d ' qua N có VTCP ad '  2   Chú ý:  Khoảng cách hai đường thẳng chéo d , d ' khoảng cách d với mặt phẳng ( P) chứa d ' song song với d (hoặc khoảng cách hai mặt phẳng ( P) , (Q ) song song chứa d , d ' )  Nếu MN đoạn vng góc chung d d ' khoảng cách d d ' độ dài đoạn MN  Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt mặt phẳng Vị trí tương đối hai đường thẳng  x  xo'  a ' t '  x  xo  at  '  d1 :  y  yo  bt d :  y  yo  b ' t '    '  z  z  ct z  z  c ' t ' a ,a M ( xo ; yo ; zo )  d1 , N ( x 'o ; y 'o ; z 'o )  d o o    Cho , có VTCP d1 d  Cách 1:  d1  d1  d1  d1 T TOÁN 12   ad k ad   M  d song song với d   ad k ad  M  d  trùng với d       a a  MN 0  ad1 k ad2 cắt d  d1 d2      a a  MN 0 chéo d   d1 d2  73 TRƯỜNG THCS & THPT TRÍ ĐỨCNG THCS & THPT TRÍ ĐỨCC ĐỀ CƯƠNG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023 CƯƠNG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023NG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023C KÌ NĂM 2023  xo  at xo'  a ' t '  '  yo  bt  yo  b ' t '  '  zo  ct zo  c ' t '  Cách 2: Xét hệ phương trình  Hệ vô nghiệm  d d song song chéo  Hệ vô số nghiệm  d trùng với d  Hệ có nghiệm  d cắt d  Chú ý: Chỉ sử dụng cách xác định tọa độ giao điểm hai đường thẳng Vị trí tương đối đường thẳng với mặt phẳng  Cho đường thẳng  Nếu d  Nếu d  Nếu d cắt (d):¿{x=xo+at ¿{y= yo+bt ¿ , M∈d ( P)⇔  ud  n P≠0   ud nP 0 ( P)    M  P song song  ud nP 0 ( P)    M  P chứa mặt phẳng ( P): Ax +By +Cz+D=0 “Phương pháp Hình học”  Ngồi ra, ta xét phương trình A ( x o +at )+B ( y o +bt )+C ( z o +ct )+D=0 (∗) , (ẩn t)  Nếu d cắt ( P) ⇔ (*) có nghiệm  Nếu d // ( P) ⇔ (*) vơ nghiệm  Nếu d⊂(P )⇔(∗) có vơ số nghiệm “Phương pháp Đại số” Hình chiếu – Điểm đối xứng  Hình chiếu H điểm M lên đường thẳng d  Cách 1:  Gọi ( P) mặt phẳng qua M vng góc với đường thẳng d   d  ( P )  n  ud Suy phương trình mặt phẳng ( P) P   Gọi H d  ( P ) Suy H hình chiếu M lên đường thẳng d  Cách 2:  H  d   MH  ud    Điểm H xác định bởi: T TOÁN 12 74 TRƯỜNG THCS & THPT TRÍ ĐỨCNG THCS & THPT TRÍ ĐỨCC ĐỀ CƯƠNG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023 CƯƠNG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023NG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023C KÌ NĂM 2023  Điểm đối xứng M ' điểm M qua đường thẳng d  Cách 1:  Tìm điểm H hình chiếu M d  Xác định điểm M ' cho H trung điểm đoạn thẳng MM '  Cách 2:  Gọi H trung điểm đoạn MM ' Tính tọa độ điểm H theo tọa độ M, M '  H  d   MM '  ud   Khi đó, giải hệ phương trình  ta tìm tọa độ điểm M ' B BÀI TẬP MẪU  VẤN ĐỀ 1: XÁC ĐỊNH VÉC-TƠ CHỈ PHƯỜNG VÀ ĐIỂM THUỘC ĐƯỜNG THẲNG  Phương pháp giải  Dạng 1: Đường thẳng dạng phương trình tham số: Δ:¿{x=xo+at ¿ { y=yo+bt ¿ ¿¿  u  a; b; c   Véc-tơ phương:  Điểm thuộc đường thẳng:  Ứng với giá trị t ta tìm điểm thuộc đường thẳng  Hoặc chọn điểm có tọa độ tổng quát : M  xo  at ; yo  bt; zo  ct  x−x o  Dạng 2: Đường thẳng dạng phương trình tắc: abc≠0 a = y− y o b = z −z o c với  u  a; b; c   Véc-tơ phương:  Điểm thuộc đường thẳng: Cho giá trị x cụ thể, thay vào phương trình ta tìm y, z  Cách chuyển phương trình từ dạng tham số qua phương trình tắc ngược lại  Xác định véc-tơ phương điểm thuộc đường thẳng  Áp dụng cơng thức viết phương trình đường thẳng  x  xo  a t  x  xo y  yo z  zo  y  yo   t   t  a b c  a  z  zo  a t   Từ phương trình tắc:  x xo  at   y  yo  bt  z z  ct o   x  xo  a t  x  xo  at  x  xo y  yo z  zo   y  yo y  y  bt  t      o a a b c  z  z  ct   o  z  zo  a t   Từ phương trình tham số: với a, b, c 0 T TOÁN 12 75 TRƯỜNG THCS & THPT TRÍ ĐỨCNG THCS & THPT TRÍ ĐỨCC ĐỀ CƯƠNG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023 CƯƠNG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023NG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023C KÌ NĂM 2023  Ví dụ mẫu:  Ví dụ 1: Xác định véc-tơ điểm thuộc đường thẳng  x 1  2t  d :  y 3  z 5  3t  b Trong không gian Oxyz , xác định véc-tơ phương điểm thuộc đường thẳng a Cho đường thẳng Xác định x y2 z  d:   d véc-tơ phương đường thẳng 4 5 hai điểm thuộc d C BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM  Mức độ : Nhận biết Câu Trong không gian Oxyz cho đường thẳng không thuộc đường thẳng d ? A Câu  4;  2;1 B   1; 2;  3 B T C  4; 2;  1 d:  1;  2;3 D M   2;1;3 x 8 y  z   2 Khi vectơ phương C d: Q   1;0;    4;  2;  1 D  4; 2;1 x y 2 z    4  qua điểm   3; 4;5   3;  4;   C B D C Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng nào véc-tơ phương đường thẳng d  a3   2;0;3 B a1   2;3;3 C D Trong véc-tơ sau, véc-tơ a1  1;3;5  D  a1  2;3;3 A 0;  1;   Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm   Vectơ a vectơ phương đường thẳng AB ? A Câu  x 1  2t  d :  y 3  z 5  3t  A Câu P  5;  2;  1 x  y 1 z    1 Điểm sau x 1 y  z    , vectơ Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : vtcp đường thẳng d ?     u   1;  3;  u  1;3;  u  1;  3;   u   1;3;   A Câu B Trong không gian Oxyz , đường thẳng A Câu N  2;  1;  3 Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng đường thẳng d có tọa độ là: A Câu d :  a  2;1;0  B  a  2;3;  C  a   2;1;0  D B  2; 2;   a  2;3;  x y z d:   2 Điểm Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng không thuộc d ? TOÁN 12 76 TRƯỜNG THCS & THPT TRÍ ĐỨCNG THCS & THPT TRÍ ĐỨCC A Câu E  2;  2;3  B N  1;0;1 C Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng sau đây? K 1;  1;1  A   Mức độ 2: Thông hiểu Câu ĐỀ CƯƠNG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023 CƯƠNG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023NG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023C KÌ NĂM 2023 B H  1; 2;0  F  3;  4;5   x t   y 1  t  d :  z 2  t C E  1;1;  D M  0; 2;1 Đường thẳng d qua điểm D F  0;1;  x  y 1 z   M 2;1;0   Gọi d đường thẳng qua Cho điểm  đường thẳng M , cắt vng góc với  Vectơ phương d là:     u   3;0;  u  0;3;1 u  2;  1;  u  1;  4;   : A B C D P : x  y  z  0 Câu 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai mặt phẳng    Q  : x  y  z  0 Các điểm A, B phân biệt thuộc giao tuyến hai mặt  P   Q  Khi  AB phương với véctơ sau đây? phẳng     w  3;  2;  v   8;11;  23 k  4;5;  1 u  8;  11;  23 A B C D  VẤN ĐỀ 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG  Phương pháp giải  Dạng 1: Đường thẳng Δ qua điểm M o ( x o ; y o ; z o ) có VTCP u=(a ; b ; c)  Phương trình tham số: Δ:¿{x=xo+at ¿ { y=yo+bt ¿ ¿¿ x−x o  Hoặc phương trình tắc: a = y− y o b ; = z −z o c với abc≠0  Ví dụ mẫu:  Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng: Trong không gian tọa độ Oxyz ,    qua  M 1; 2;  3 a   1;3;5  điểm  có VTCP   a Viết phương trình đường thẳng b Đường thẳng điqua điểm A  1;  2;3 có u  2;  1;    vectơ phương A 2;  1;  M 2;0;  1 Đường thẳng  qua  nhận c Đường thẳng  qua điểm  d   a  4;  6;  u   1; 2;  1 có vectơ phương Phương làm véc-tơ phương có phương trình tham số  trình tắc là: T TOÁN 12 77 TRƯỜNG THCS & THPT TRÍ ĐỨCNG THCS & THPT TRÍ ĐỨCC M 2;0;  1 e Đường thẳng  qua điểm   a  4;  6;  có véc-tơ phương Phương trình tham số  là: ĐỀ CƯƠNG TOÁN 12 HỌC KÌ NĂM 2023 CƯƠNG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023NG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023C KÌ NĂM 2023  u  1;8;  M  2; 4;6  f Điểm vectơ Khi phương trình tham số đường thẳng d  qua M nhận u làm vectơ phương là:  Dạng 2: Đường thẳng d qua hai điểm A, B   a  AB d  Xác định véc-tơ phương  Áp dụng công thức viết phương trình đường thẳng dạng  Ví dụ mẫu:  Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm Trong không gian Oxyz a Viết phương trình đường thẳng A 2;3;  , B 1; 2;    qua b Viết phương trình tham số đường A 1; 2;  1 , B  0;1;0  thẳng qua hai điểm     hai điểm  c Viết phương trình tham số đường d Viết phương trình đường thẳng qua gốc A  2; 2;1 , B  0; 2;5  A 2;1;  tọa độ O điểm  e Trong không gian Oxyz , đường thẳng f Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho thẳng qua hai điểm M  1;0;0 N 0;1; A 2;3;  B 1; 2;    có ,   Phương trình qua hai điểm  hai điểm  phương trình đường thẳng qua hai điểm A B T TOÁN 12 78 TRƯỜNG THCS & THPT TRÍ ĐỨCNG THCS & THPT TRÍ ĐỨCC ĐỀ CƯƠNG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023 CƯƠNG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023NG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023C KÌ NĂM 2023 Oxyz , viết phương g Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho h Trong hệ trục trình tắc đường thẳng  qua hai A  1; 2;  B  3;  2;0  hai điểm , Phương trình A 1; 2;1 B  1;0;  điểm   tắc đường thẳng AB là:  Dạng 3: Đường thẳng Δ qua điểm M o ( x o ; y o ; z o ) song song với đường thẳng d    / / d  a ad   Áp dụng cơng thức phương trình đường thẳng  Ví dụ mẫu:  Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng qua điểm song song với đường thẳng Trong không gian Oxyz a Đường thẳng qua A  1; 2;3 song  x 2  3t  d :  y 5  4t ,  t  R   z   7t  b Viết phương trình đường thẳng qua điểm    M  3; 2;   song song với x2 y  z    đường thẳng (D): song với đường thẳng có phương trình c Đường thẳng qua điểm M  0;1;  1  x 1  t  d :  y   2t  z 2  t  d Viết phương trình đường thẳng qua điểm hồnh M  3; 2;      song song với trục song song với đường thẳng , (t  ) có phương trình T TỐN 12 79 TRƯỜNG THCS & THPT TRÍ ĐỨCNG THCS & THPT TRÍ ĐỨCC ĐỀ CƯƠNG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023 CƯƠNG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023NG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023C KÌ NĂM 2023  Dạng 4: Đường thẳng d qua điểm M o ( x o ; y o ; z o ) d  ( P )   d  ( P )  a d nP   Suy phương trình đường thẳng cần tìm  Chú ý: Giao điểm d ( P) hình chiếu vng góc M ( P)  Ví dụ mẫu:  Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng: Trong khơng gian Oxyz a Viết phương trình đường thẳng điểm M   2; 4;3    qua b Viết phương trình đường thẳng qua vng góc với mặt A  1;  1;0  vuông góc với mặt phẳng (P): x  y  z  0 phẳng (P): x  y  z  19 0 d Viết phương trình đường thẳng qua c Viết phương trình đường thẳng d qua M   1; 2;1 vng góc với (P): x  y  z  0 A  3;5;0  vng góc với  P  : 2x  y  z  0 e Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M  5;  3;  Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M vuông f Trong không gian Oxyz , đường thẳng qua điểm phẳng A  3;  1;  vng góc với mặt  Oxy  có phương trình là? Oyz  góc  T TỐN 12 80 TRƯỜNG THCS & THPT TRÍ ĐỨCNG THCS & THPT TRÍ ĐỨCC ĐỀ CƯƠNG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023 CƯƠNG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023NG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023C KÌ NĂM 2023  Dạng 5: Đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng ( P) (Q)    d : ad  n P  , n Q    Tìm VTCP  Tìm tọa độ điểm M  d cách giải hệ {(P)¿ ¿¿¿ với việc chọn giá trị cho ẩn  Suy phương trình đường thẳng cần tìm  Ví dụ mẫu:  Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng: Trong khơng gian Oxyz a Viết phương trình đường thẳng giao tuyến hai mặt phẳng (P):    x  y  z  0 (Q): x  y  z  0 b Viết phương trình đường thẳng  giao tuyến hai mặt phẳng    : x  y  z  0    : x  y  z  0 Oxyz c Trong không gian với hệ tọa độ , d Trong không gian Oxyz cho đường thẳng cho hai mặt phẳng  Q : 4x  5y   P  : 3x  y  z  0 z  0 Viết phương trình đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng  giao tuyến hai mặt phẳng  Oxy   Q  :  x  y  3z  2018 0  P   Q   Dạng 6: Đường thẳng d qua M ( xo ; yo ; zo ) d  d1 , d  d ; d , d cắt chéo    d  d1 , d  d  VTCP : ad  ad1 , ad2   T TOÁN 12 81