Bài 2 tích phân

BÀI 2: TÍCH PHÂN A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN Định nghĩa tích phân Định nghĩa f  x Cho hàm số Chẳng hạn:  a; b liên tục đoạn F  x  x  C , với f  x  3 x hàm hàm số a  b Nếu F  x đoạn  a; b  nguyên hàm hàm số giá trị tích phân hàm số F  b  F  a f  x b Kí hiệu f  x  dx F  x  a đoạn b a f  x gọi  a; b f  x  dx F  x  nguyên nên tích phân F  1  F    13  C    03  C  1 Lưu ý: Giá trị tích phân khơng phụ thuộc vào số C Trong tính tốn, ta thường chọn C 0 F  b   F  a  (1) Công thức (1) cịn gọi cơng thức Newton – Leibnitz; a b gọi cận cận tích phân Ý nghĩa hình học tích phân Giả sử hàm số y  f  x hàm số liên tục đồ thị  a; b không âm đoạn Chẳng hạn: Hàm số Khi đó, tích phân  C f  x  x2  x 1 có f  x   x  1 0 , với x   b f  x  dx a diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y  f  x , trục hoành Ox hai đường thẳng x a, x b, với a  b Diện tích “tam giác cong” giới hạn  C , trục Ox hai đường thẳng x  x 1 S  f  x  dx   x  x  1 dx 1 b S f  x  dx a  x3    x  x    1  1 Trang 412 Lưu ý: Ta gọi hình phẳng “hình thang cong” Tính chất tích phân Cho hàm số f  x g  x hai hàm số liên tục khoảng K, K khoảng, nửa khoảng đoạn a, b, c  K , đó: a a Nếu b a b Nếu f  x f  x  dx 0 f  x liên tục, có   1; 2 thỏa mãn Chẳng hạn: Cho hàm số a có đạo hàm liên tục đoạn  a; b đạo hàm đoạn f   1 8 ta có: b f    Khi b f  x  dx  f  x   f  b   f  a  a a f  x  dx  f  x  1 1  f    f   1  Lưu ý: Từ ta có b f  b   f  a   f  x  dx a b f  a  f  b  f  x  dx a c Tính chất tuyến tính b b b  k f  x   h.g  x   dx k f  x  dx  h.g  x  dx a a a Với k , h   d Tính chất trung cận b c b f  x  dx f  x  dx  f  x  dx a a c , với c   a; b  e Đảo cận tích phân a b f  x  dx  f  x  dx b a b f Nếu f  x  0, x   a; b  b f  x  dx 0 a f  x  0 f  x  dx 0 a Trang 413 b f  x  dx 0 a f  x  0 f  x  g  x  , x   a; b  g Nếu b b f  x  dx g  x  dx a a h Nếu m min f  x   a ;b  M max f  x   a ;b  b m  b  a  f  x  dx M  b  a  a i Tích phân khơng phụ thuộc vào biến, tức ta ln có b b b b f  x  dx f  t  dt f  u  du f  y  dy  a a a a II CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Phương pháp đổi biến số Đổi biến dạng b Bài toán: Giả sử ta cần tính tích phân ta phân tích I f  x  dx a f  x  g  u  x   u  x  , ta thực Lưu ý: Phương pháp đổi biến số phép đổi biến số tích phân giống Phương pháp: đổi biến số nguyên hàm, + Đặt u u  x  , suy thêm bước đổi cận du u  x  dx + Đổi cận: x u a u  a b u  b u b b I f  x  dx  a + Khi G u  g  u  du G  u  u a nguyên hàm u b u a , với g  u Đổi biến dạng Dấu hiệu a  x Cách đặt    x  a sin t ; t    ;   2 Trang 414 x2  a2 x a    t ; \  0  2  sin t ;    x  a tan t; t    ;   2   ax x a.cos 2t ; t   0;   2 a x   a x x a.cos 2t ; t   0;   2 ax    x  a  b  x x a   b  a  sin t ; t   0;   2 Phương pháp tích phân phần a2  x2 Chú ý: Cần phải lựa chọn u dv hợp lí b Bài tốn: Tính tích phân I u  x  v x  dx cho ta dễ dàng tìm v tích a Hướng dẫn giải u u  x     dv  v x dx   Đặt   du u  x  dx  v v  x  phân b b vdu udv a dễ tính a b I  u.v  b a  v.du a Khi (cơng thức tích phân phần) III TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ ĐẶC BIỆT Cho hàm số f  x liên tục a Đặc biệt   a; a  Khi a f  x  dx  f  x   f   x   dx a (1) a + Nếu f  x hàm số lẻ ta có f  x  dx 0 a a + Nếu f  x hàm số chẵn ta có a f  x  dx 2f  x  dx a (1.2) a a f  x dx  f  x  dx 1  b x 2 a (1.1)   b 1 (1.3) b Nếu f  x  a; b liên tục đoạn b f  x  dx f  a  b  x  dx a a  Hệ quả: Hàm số f  x  f  sin x  dx f  cos x  dx  0;1  0 liên tục , đó: Trang 415 b Nếu f  x liên tục đoạn  a; b f  a  b  x  f  x xf  x  dx  a b a b f  x  dx  a Trang 416 B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Tính tích phân cách sử dụng định nghĩa, tính chất Phương pháp giải Sử dụng tính chất tích phân Sử dụng bảng nguyên hàm định nghĩa tích phân để tính tích phân Bài tập Bài tập 1: Biết tích phân I   x  1 dx a  b  c x  x x 1 , với a, b, c   Giá trị biểu thức P a  b  c A P 8 B P 0 C P 2 D P 6 Hướng dẫn giải Chọn B x 1  Ta có x 0, x   1; 2 x 1  x dx  dx  x x 1 x I  nên  1 dx  x  x  x 1   4   Suy a 4, b c  nên P a  b  c 0 Nhân liên hợp x 1  Bài tập 2: Cho hàm số f  1 x f  x thỏa mãn f     x  x  f  x   f với x   Giá trị f  1  A f  1  B C f  1  f  1  D Hướng dẫn giải Chọn C f  x  x  f  x   f  x  0 x   1; 2 Từ (1), suy với Suy f  x hàm không giảm đoạn  1; 2 nên f  x   f  x    f  x   Chia vế hệ thức (1) cho  ta  Lấy tích phân vế đoạn  1; 2 f  x   f    x   1; 2 , x, x   1; 2 (2) hệ thức (2), ta Trang 417 2 f  x   1  dx xdx      f  x    f  x  Do f     x2       1   f  1 f   2 f  1  nên suy f  2 Chú ý đề cho , yêu cầu tính f  1 , ta sử dụng nguyên hàm để tìm số C Tuy nhiên ta dựa vào định nghĩa tích phân để xử lí 1  \  f  x   thỏa mãn Bài tập 3: Cho hàm số xác định f   1, f  1  Khi A   ln15 f   1  f  3 f  x   2 x  B  ln C   ln D   ln15 Hướng dẫn giải Chọn A 0 f  x  dx  f    f   1 Ta có 1 f   1  f    nên suy f  x  dx 1 1  f  x  dx 1 Tương tự ta có f  3  f  1  f  x  dx   f  x  dx f   1  f  3   Vậy Vậy f  x  dx  f  x  dx   ln x  1  ln x  1 f   1  f  3   ln15 Bài tập 4: Cho hàm số A có đạo hàm liên tục đoạn  f  x   dx 7 f  x thỏa mãn f  1 0  0;1 x f  x  dx  B Giá trị I f  x  dx C D Hướng dẫn giải Chọn C Trang 418 ,  f  x   dx 7 Ta có (1) 1 x dx   49 x dx 7  0 (2) 14 x f  x  dx  14 (3) Cộng hai vế (1), (2) (3) suy  f  x   x  dx 0  f  x   x3  0 mà   f  x   x Hay f  x   f  1 0   Do x4  C 7  C 0  C  4 f  x   x4  4 1  x4  f x dx    dx       4 0 Vậy Bài tập 5: Cho f  x , g  x hai hàm số liên tục đoạn hàm số lẻ Biết 1 f  x  dx 5;g  x  dx 7 0 A 12   1;1 B 24 Giá trị f  x hàm số chẵn, A  f  x  dx  g  x  dx 1 C g  x 1 D 10 Hướng dẫn giải Chọn D Vì f  x hàm số chẵn nên f  x  dx 2f  x  dx 2.5 10 1 Vì g  x hàm số lẻ nên g  x  dx 0 1 Vậy A 10 Bài tập 6: Cho xdx  x 1 a  b ln với a, b số hữu tỉ Giá trị a  b Trang 419 A 12  B C D 12 Hướng dẫn giải Chọn D Ta có xdx  x 1 1  x 1  1  1   dx     dx  x   x  1   x  1 2 0    1   ln  x  1    x  1  Vậy a   1  ln 1 ,b   a b  12 2x  dx a ln  b ln 3, 2  x Bài tập 7: Cho với a, b   Giá trị biểu thức a  ab  b x A 11 B 21 C 31 D 41 Hướng dẫn giải 3 2x  x 1  2   x 1 dx  dx    dx  x  x x  x x  x x  x   2 Ta có   x 1 2     dx  ln x  x  2ln x  ln x  x x 1  2 x x    5ln  ln a     a  ab  b 41 b 4 Chọn D Bài tập Biết tích phân x 5x  dx a ln  b ln  c ln 5,  5x  với a, b, c số nguyên Giá trị biểu thức S a  bc bao nhiêu? A S  62 B S 10 C S 20 D S  10 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có 2 5x  5x    dx  dx    dx  x  x  x  x  x  x        1  ln x   ln x   9 ln  ln  26 ln Suy a  26, b 4, c 9 Vậy S a  bc  26  4.9 10 Trang 420  Bài tập 9: Cho cos x  sin x.cos x  dx a  b ln  c ln  3   cos x  sin x.cos x   , với a, b, c số hữu tỉ Giá trị abc B  A C  D  Hướng dẫn giải Chọn C   cos x  sin x.cos x  cos x  sin x.cos x  sin x dx  dx   2  cos x  sin x.cos x  cos x  cos x  sin x.cos x  Ta có 4   2  tan x  tan x  tan x  tan x  dx  d  tan x    tan x   cos x   tan x   4      tan x  tan x   d  tan x     tan x    1  ln  ln   1  ln tan x    Suy a 1, b  2, c 2 nên abc  e x  m, x 0 f  x   2 x  x , x  liên tục  Bài tập 10: Cho hàm số f  x  dx ae  b Biết  1  c  a , b, c    Tổng T a  b  3c B  10 A 15 C  19 D  17 Hướng dẫn giải Chọn C Do hàm số liên tục  nên hàm số liên tục x 0  lim f  x   lim f  x   f     m 0  m  x x  Ta có 1 1 f  x  dx  f  x  dx   f  x  dx I1  I 0 1 1 I1  x  x dx    x  d   x   1 0 I  e x  1 dx  e x  x   f  x  dx I Suy 1  x2   x2  2  1 16 e   I e   22 22 a 1; b 2; c  Suy Trang 421