1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

Bài 2 tích phân

25 1 0
Tài liệu đã được kiểm tra trùng lặp

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 25
Dung lượng 834,77 KB

Nội dung

BÀI 2: TÍCH PHÂN A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM I ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN Định nghĩa tích phân Định nghĩa f  x Cho hàm số Chẳng hạn:  a; b liên tục đoạn F  x  x  C , với f  x  3 x hàm hàm số a  b Nếu F  x đoạn  a; b  nguyên hàm hàm số giá trị tích phân hàm số F  b  F  a f  x b Kí hiệu f  x  dx F  x  a đoạn b a f  x gọi  a; b f  x  dx F  x  nguyên nên tích phân F  1  F    13  C    03  C  1 Lưu ý: Giá trị tích phân khơng phụ thuộc vào số C Trong tính tốn, ta thường chọn C 0 F  b   F  a  (1) Công thức (1) cịn gọi cơng thức Newton – Leibnitz; a b gọi cận cận tích phân Ý nghĩa hình học tích phân Giả sử hàm số y  f  x hàm số liên tục đồ thị  a; b không âm đoạn Chẳng hạn: Hàm số Khi đó, tích phân C f  x  x2  x 1 có f  x   x  1 0 , với x   b f  x  dx a diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y  f  x , trục hoành Ox hai đường thẳng x a, x b, với a  b Diện tích “tam giác cong” giới hạn C , trục Ox hai đường thẳng x  x 1 S  f  x  dx   x  x  1 dx 1 b S f  x  dx a  x3    x  x    1  1 Trang 173 Lưu ý: Ta cịn gọi hình phẳng “hình thang cong” Tính chất tích phân Cho hàm số f  x g  x hai hàm số liên tục khoảng K, K khoảng, nửa khoảng đoạn a, b, c  K , đó: a a Nếu b a b Nếu f  x f  x  dx 0 f  x liên tục, có   1; 2 thỏa mãn Chẳng hạn: Cho hàm số a có đạo hàm liên tục đoạn  a; b đạo hàm đoạn f   1 8 ta có: b f    Khi b f  x  dx  f  x   f  b   f  a  a a f  x  dx  f  x  1 1  f    f   1  Lưu ý: Từ ta có b f  b   f  a   f  x  dx a b f  a  f  b  f  x  dx a c Tính chất tuyến tính b b b  k f  x   h.g  x   dx k f  x  dx  h.g  x  dx a a a Với k , h   d Tính chất trung cận b c b f  x  dx f  x  dx  f  x  dx a a c , với c   a; b  e Đảo cận tích phân a b f  x  dx  f  x  dx b a b f Nếu f  x  0, x   a; b  b f  x  dx 0 a f  x  0 f  x  dx 0 a Trang 174 b f  x  dx 0 a f  x  0 f  x  g  x  , x   a; b  g Nếu b b f  x  dx g  x  dx a a h Nếu m min f  x   a ;b  M max f  x   a ;b  b m  b  a  f  x  dx M  b  a  a i Tích phân khơng phụ thuộc vào biến, tức ta ln có b b b b f  x  dx f  t  dt f  u  du f  y  dy  a a a a II CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Phương pháp đổi biến số Đổi biến dạng b Bài toán: Giả sử ta cần tính tích phân ta phân tích I f  x  dx a f  x   g  u  x   u  x  , ta thực Lưu ý: Phương pháp đổi biến số phép đổi biến số tích phân giống Phương pháp: đổi biến số nguyên hàm, + Đặt u u  x  , suy thêm bước đổi cận du u  x  dx + Đổi cận: x u a u  a b u  b u b b I f  x  dx  a + Khi G u  g  u  du G  u  u a nguyên hàm u b u a , với g  u Đổi biến dạng Dấu hiệu a  x Cách đặt    x  a sin t ; t    ;   2 Trang 175 x2  a2 x a    t ; \  0  2  sin t ;    x  a tan t; t    ;   2   ax x a.cos 2t ; t   0;   2 a x   a x x a.cos 2t ; t   0;   2 ax    x  a  b  x x a   b  a  sin t ; t   0;   2 Phương pháp tích phân phần a2  x2 Chú ý: Cần phải lựa chọn u dv hợp lí b Bài tốn: Tính tích phân I u  x  v x  dx cho ta dễ dàng tìm v tích a Hướng dẫn giải u u  x     dv  v x dx   Đặt   du u  x  dx  v v  x  phân b b vdu udv a dễ tính a b I  u.v  b a  v.du a Khi (cơng thức tích phân phần) III TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ ĐẶC BIỆT Cho hàm số f  x liên tục a Đặc biệt   a; a  Khi a f  x  dx  f  x   f   x   dx a (1) a + Nếu f  x hàm số lẻ ta có f  x  dx 0 a a + Nếu f  x hàm số chẵn ta có a f  x  dx 2f  x  dx a (1.2) a a f  x dx  f  x  dx 1  b x 2 a (1.1)   b 1 (1.3) b Nếu f  x  a; b liên tục đoạn b f  x  dx f  a  b  x  dx a a  Hệ quả: Hàm số f  x  f  sin x  dx f  cos x  dx  0;1  0 liên tục , đó: Trang 176 b Nếu f  x liên tục đoạn  a; b f  a  b  x  f  x xf  x  dx  a b a b f  x  dx  a Trang 177 B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng 1: Tính tích phân cách sử dụng định nghĩa, tính chất Phương pháp giải Sử dụng tính chất tích phân Sử dụng bảng nguyên hàm định nghĩa tích phân để tính tích phân Bài tập Bài tập 1: Biết tích phân dx a  b  c x  x x 1 I   x  1 , với a, b, c   Giá trị biểu thức P a  b  c A P 8 B P 0 f  x Bài tập 2: Cho hàm số f  1 C P 2 thỏa mãn f    D P 6  x  x  f  x   f với x   Giá trị f  1  A f  1  B f  x Bài tập 3: Cho hàm số f   1, f  1  Khi A   ln15 hàm số lẻ Biết Giá trị  0;1 I f  x  dx thỏa mãn f  1 0 C hai hàm số liên tục đoạn f  x  dx 5;g  x  dx 7 2 x  x f  x  dx  f  x , g  x f  x   D   ln15 có đạo hàm liên tục đoạn B A A 12 C   ln 3 f  1  D  f  x   dx 7 Bài tập 5: Cho f   1  f  3 f  x 1  \    thỏa mãn xác định B  ln Bài tập 4: Cho hàm số C f  1  B 24 D   1;1 Giá trị C f  x hàm số chẵn, A  f  x  dx  g  x  dx 1 g  x 1 D 10 Trang 178 , Bài tập 6: Cho xdx  x 1 a  b ln với a, b số hữu tỉ Giá trị a  b A 12  B C D 12 2x  dx a ln  b ln 3, 2  x Bài tập 7: Cho với a, b   Giá trị biểu thức a  ab  b x A 11 B 21 C 31 Bài tập Biết tích phân x D 41 5x  dx a ln  b ln  c ln 5,  5x  với a, b, c số nguyên Giá trị biểu thức S a  bc bao nhiêu? A S  62 B S 10 C S 20  Bài tập 9: Cho cos x  sin x.cos x  dx a  b ln  c ln  3   cos x  sin x.cos x  D S  10  , với a, b, c số hữu tỉ Giá trị abc B  A C  D  e x  m, x 0 f  x   2 x  x , x  liên tục  Bài tập 10: Cho hàm số Biết  f  x  dx ae  b 1  c  a , b, c    Tổng T a  b  3c B  10 A 15 cos x dx m x    C  19  Bài tập 11: Biết A   m cos x dx x    D  17  Giá trị   m B C   m   m D Dạng 2: Tính tích phân phương pháp đổi biến Phương pháp giải Nắm vững phương pháp đổi biến số dạng dạng 2, cụ thể: Đổi biến dạng b Bài tốn: Giả sử ta cần tính I f  x  dx, a ta phân tích f  x  g  u  x   u  x  Trang 179 Bước 1: Đặt u u  x  , suy du u  x  dx Bước 2: Đổi cận x u a u  a B u  b Bước 3: Tính u b  b I f  x  dx  a G  u Với nguyên hàm g  u  g  u  du G  u  u a  u b u a Đổi biến dạng b Bài tốn: Giả sử ta cần tính Bước 1: Đặt x   t  , ta có I f  x  dx a , ta đổi biến sau: dx   t  dt Bước 2: Đổi cận x t a b   Bước 3:  Tính Với  I f    t     t  dt g  t  dt G  t   Gt  nguyên hàm Dấu hiệu a2  x2 x2  a2 a2  x2 ax a x a x ax  x  a  b  x   g  t Cách đặt    x  a sin t , t    ;   2 a    x ,t   ; \  0 sin t  2     x  a tan t , t    ;   2   x a.cos 2t , t   0;   2   x a.cos 2t , t   0;   2   x a   b  a  sin t , t   0;   2 Bài tập mẫu Trang 180  Bài tập 1: Biết sin cos x dx a ln  b ln 3, x  3sin x  với a, b số nguyên Giá trị P 2a  b A B ln Bài tập 2: Biết I  C D dx   ln a  ln b  ln c  x e  3e  c , với a, b, c số nguyên tố x Giá trị P 2a  b  c A P  B P   Bài tập 3: Biết dx 1  sin x  a b c C P 4 D P 3  , với a, b  , c   a, b, c số nguyên tố Giá trị tổng a  b  c A B 12 D  C Bài tập 4: Cho hàm số A y  f  x liên tục  B Bài tập 5: Cho hàm số y  f  x x   0;   I  A  0;  xác định liên tục I  e f  x  ln x dx x I  B  Bài tập 6: Biết Giá trị f  x  dx 8 3sin x  cos x  11 cho e2  e f  ln x  x ln x A dx 2 Giá trị f  x I D b Giá trị c 22 C 3 liên tục  thỏa mãn f  2x I  dx x B x  xf  e x   f  e x  1; 22 D 13  Bài tập 7: Cho hàm số ln  b ln  c ,  b, c    22 B I  xf  x  dx D 64 I 12 C 2sin x  3cos x dx  13 22 A Giá trị C 16 e với tan x f  cos x  dx 2 C D Trang 181 1   x  3  x 1 Bài tập 8: Cho dx  a  b; với a, b số nguyên Giá trị biểu thức a b  b a A 17 B 57 x a  dx  ln   b  x 1 a b   P 2  a  b  D 32 Bài tập 9: Cho C 145 , với a, b số nguyên tố Giá trị biểu thức A 12 B 10 C 18 D 15 Dạng 3: Tính tích phân phương pháp tích phân phần ln x b I  dx   a ln c x Bài tập Cho tích phân với a số thực b c số dương, đồng thời b c phân số tối giản Giá trị biểu thức P 2a  3b  c A P 6 B P 5  Bài tập 2: Biết C P  D P 4 x 1  cos x dx a  b ln 2, A T 4 B T 5 với a, b số hũu tỉ Giá trị T 16a  8b C T 2 D T  Bài tập 3: Cho I xe x dx a.e  b A B với a, b   Giá trị tổng a  b C D Bài tập 4: Cho hàm số f  x f   16 liên tục, có đạo hàm  , f  x  dx 4 Tích phân  x xf   dx A 112 B 12 C 56 D 144  Bài tập Cho ln  sin x  cos x  dx a ln  b ln  c cos x  với a, b, c số hữu tỉ Giá trị abc Trang 182 15 A B Bài tập Biết  x 1 e x x C p q dx me  n, 17 D p m, n, p, q số nguyên dương q phân số tối giản Giá trị T m  n  p  q A T 11 B T 10 C T 7 D T 8 m  ln x 1 dx m Bài tập Tìm số thực m  thỏa mãn B m e A m 2e C m e D m e  e k I k  ln dx, k nguyên dương Ta có I k  e  khi: x Bài tập Đặt A k   1; 2 B k   2;3 C k   4;1 D k   3; 4 x Bài tập Tìm m để e  x  m  dx e B m e A m 0 C m 1 D m  e Dạng 4: Tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối Phương pháp b Bài tốn: Tính tích phân I g  x  dx a ( với g ( x) biểu thức chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối) PP chung: Xét dấu biểu thức dấu giá trị tuyệt đối  a; b Dựa vào dấu để tách tích phân đoạn tương ứng ( sử dụng tính chất để tách) Tính tích phân thành phần b Đặc biệt: Tính tích phân I  f ( x) dx a Cách giải Cách 1:  a; b +) Cho f ( x) 0 tìm nghiệm  a; b , dựa vào dấu f ( x) để tách tích phân đoạn tương +) Xét dấu f ( x ) ứng ( sử dụng tính chất để tách) Trang 183 +) Tính tích phân thành phần Cách 2: a; b  x ; x ; xn +) Cho f ( x ) 0 tìm nghiệm  giả sử nghiệm ( với x1  x2   xn ) x1 Khi x2 x3 b I  f ( x) dx   f ( x ) dx   f ( x ) dx    f ( x ) dx a x1 x1  I  f ( x)dx  a x2 xn x2 x3 f ( x)dx  f ( x)dx   x1 b x2 f ( x)dx xn +) Tính tích phân thành phần Bài tập Bài tập 1: a a S  x  x  dx  , a, b   , b b 1  A 11 B 25  Bài tập 2:   C 100  I   sin 2xdx a a , a  * A 27 phân số tối giản Giá trị a  b D 50 Hỏi a bao nhiêu? B 64 C 125 D x  1 I  dx 4  a ln  b ln 5, x 3: Biết với a , b số nguyên Giá trị S a  b Bài tập A B 11 C D  2 Bài tập 4: Cho tích phân   cos 2xdx ab a  b 2  2 Giá trị a b  a 2  b 2   A a 2   b    C  a 2  b 2   B a 2   b 2 a 2 a 2    b 2 b 2     D Bài tập 5: Tính tích phân I x x - a dx, a  0  1 f (8)  f    2 ta kết I  f (a ) Khi tổng có giá trị bằng: 24 A 91 91 B 24 17 C D 17 Trang 184 Bài tập 7: Cho hàm số y  f  x liên tục  0; 4 f  x  dx 1 f  x  dx 3 ;0 Giá trị f  3x  dx 1 A C B S Bài tập y  y  dy   A 80 a  24 b Giá tị A  B B 83 C 142 a a S  4x2  4x  1dx  , a, b   , b b Bài tập  A D  D 79 phân số tối giản Giá trị a  4b C 35 B  D 2 Bài tập 10 A 72 I    sin xdx A B 3 , biết A 2B Giá trị A  B B C 65  Bài tập 11 Cho tích phân sin x  cos xdx a  b  1 B  A D 35 Giá trị A a  b  D  C Dạng 5: Tính tích phân hàm đặc biệt, hàm ẩn Phương pháp giải a Cho hàm số f  x liên tục Bài tập 1: Tích phân Khi a a f  x  dx  f  x   f   x   dx a (1) Chứng minh a Ta có f  x  dx  f  x  dx  f  x  dx a a I  f  x  dx a x  t  dx  dt I  cos x.ln 1 A  B C D 2x dx 2 x Hướng dẫn giải a Hàm số f  x  cos x.ln 2x  x xác định liên tục đoạn Xét   a; a  Đổi   1;1 biến Mặt khác, với x    1;1   x    1;1 Trang 185 x  t  dx  dt f   x  cos   x  ln Đổi cận x  a  t a; x 0  t 0 Khi a Do hàm số a I f   t    dt  f   t  dt f   x  dx a Vậy Do (1) chứng minh f  x a f  x  dx 0 f  x + Nếu f  x + Nếu Tính (1.2) a a f  x dx  f  x  dx x    b   b 1 a a f   x  dx 3 f  x  dx 1 A I 11 B I 5 C I 2 D I 14 Hướng dẫn giải F  x Gọi (1.3) Chứng minh (1.3): Đặt 1 hàm số chẵn ta có a f  x A  dx 1 bx a hàm số chẵn, liên tục f  x  dx 8 Biết a y  f  x (1.1) f  x  dx 2f  x  dx a 2 x dx 0 2 x   6;6 đoạn hàm số chẵn ta có a 1 Bài tập 2: Cho hàm số lẻ ta có a I  cos x.ln 2x  x hàm số lẻ Chọn C Đặc biệt + Nếu f  x  cos x.ln 2 x 2x  cos x.ln  f  x  2x 2 x   6;6 đoạn (*) nguyên hàm hàm số ta có 3 f   x  dx 3  f  x  dx 3 Đổi biến x  t  dx  dt  Đổi cận x  a  t a; x a  t  a f  x F  x  3 a Khi t f   1 b f  t A   dt    dt t  1 b  bt a a x b f  x A  dx 1 bx a Vậy (**) Suy a Do F    F   6 a Hay a a A  f  x  dx  A  f  x  dx 2a a hay f  x  dx 6 I  f  x  dx  f  x  dx  f  x  dx 14 1 1 Chọn D x 2020 I   x dx e  có giá trị 1 Bài tập 3: Tích phân A I 0 I B 22020 2019 Trang 186 I C 22021 2021 I D 22019 2019 Hướng dẫn giải Áp dụng toán (1.3) cột bên trái cho hàm số f  x   x 2020 b e ta có Ta có 1 x 2021 I  x 2020 dx  1 2021  1 2.22021 22021  I 2021 2021 Chọn C b Nếu f  x liên tục đoạn b  a; b b f  x  dx f  a  b  x  dx a Hệ quả: hàm số điều kiện liên tục   f  sin x  dx  f  cos x  dx 0 với x     0;1 , N   f  x  dx  Giá trị đó: liên tục  thỏa f  x   f   x  2 cos x, a f  x f  x Bài tập 4: Cho hàm số  A N  B N 0 C N 1 D N 2 Hướng dẫn giải   N   f  x  dx   f   x  dx  Ta có      2 N   f  x   f   x   dx  2 cos xdx  Suy    Vậy   N 2 cos xdx 2sin x 2 0 Chọn D Bài tập 5: Cho hàm số mãn f  x liên tục  thỏa f  x   f   x   x   x  , x   Giá trị tích phân G f  x  dx Trang 187 c Nếu f  x liên tục đoạn f  a  b  x  f  x  a; b  G C G D Hướng dẫn giải b b xf  x  dx  a A G 2 G B G f  x  dx f   x  dx Ta có a b f  x  dx  a 0 Suy 2G  f  x   f   x   dx x   x  dx 0 2 G  x   x  dx  20 Vậy Chọn C Bài tập 6: Cho hàm số f  x có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f  1 0, 1 x f  x  dx   d Nếu f  x liên tục đoạn  a; b với x   a; b  a a dx 7 Tích phân f  x  dx A B C D Đặt b f  x  dx 0 f  x  dx 0 Hướng dẫn giải b f  x  0  f  x   u  f  x     dv x dx  du  f  x  dx   x3 v    f  x  0 Ta có x f  x  dx  x3 f  x  1   x f  x  dx   30 Cách 1: Ta có  f  x   1  x f  x  dx 3 x f  x  dx  dx 7 (1) Trang 188 x dx  x7 1   1 49 x dx 7 49 7 (2) 3 x f  x  dx   14 x f  x  dx  14 0 (3) Cộng hai vế (1), (2) (3) suy  f '  x   1 dx  49 x dx  14 x f  x  dx 0 0   f  x   x  dx 0 Do  f  x   x  0   f  x   x f  x   Mà 3  f  x   x  dx 0  dx 0  f  x   x x4  C 7  C 0  C  4 f  1 0   Do f  x   x4  4  x4  f x dx    dx       4 0 Vậy Một số kĩ thuật giải tích phân hàm ẩn Loại 1: Biểu thức tích phân đưa dạng: u ( x ) f '( x ) + u ' ( x) f ( x ) = h ( x ) Cách giải: + Ta có ù' u ( x ) f '( x ) + u '( x ) f ( x ) = é ëu ( x ) f ( x ) û ' u ( x ) f '( x) + u '( x) f ( x) = h ( x ) Û é u ( x) f ( x) ù = h ( x) ë û + Do Suy u ( x ) f ( x) = ò h ( x ) dx Suy f ( x) Loại 2: Biểu thức tích phân đưa dạng: f '( x ) + f ( x ) = h ( x ) Cách giải: Trang 189 Mà x ù' = e x h ( x ) e x Þ e x f '( x ) + e x f ( x ) = e x h ( x ) Û é e f x ( ) ê ú ë û + Nhân hai vế với Suy e x f ( x) = ò e x h ( x ) dx Suy f ( x) Loại 3: Biểu thức tích phân đưa dạng: f '( x ) - f ( x ) = h ( x ) Cách giải: - x ù' = e- x h ( x ) e- x Þ e- x f '( x ) + e- x f ( x ) = e- x h ( x ) Û é e f x ( ) ê ú ë û + Nhân hai vế với Suy e- x f ( x ) = ò e- x h ( x ) dx Suy f ( x) Loại 4: Biểu thức tích phân đưa dạng: f '( x ) + p ( x ) f ( x ) = h ( x ) Cách giải: p( x) dx Þ f '( x ) e ò p( x) dx + p ( x ) e ò p( x) d x f ( x ) = h ( x ) e ò p( x ) d x ' é p( x ) dx ù p( x ) dx ò ú= h ( x ) e ò Û êf ( x ) e ê ú ë û + Nhân hai vế với Suy f ( x ) e ò Suy p( x ) dx p( x ) dx h ( x ) dx f ( x) b Công thức = ò eò b f ( x)dx f (a  b  x)dx a a Bài tập f  x  0; a  thỏa Bài tập 1: Cho số thực a  Giả sử hàm số liên tục dương đoạn a mãn f  x  f  a  x  1 I A 2a Giá trị tích phân I  dx 1 f  x a I B Bài tập 2: Cho hàm số f  x liên tục a I C   1;1 D I a f   x   2019 f  x  e x , x    1;1 Tích phân M  f  x  dx 1 Trang 190 e2  2019 e A e2  e B Bài tập Cho f  x e2  2020 e C D f  x   f   x    cos x hàm số liên tục  thỏa mãn 3 P  Giá trị tích phân  f  x  dx A P 3 B P 4 Bài tập 4: Cho f   1 f  x Tích phân C P 6 f  x   f  x  sin x hàm số liên tục  thỏa mãn với x e f    e  A e  B Bài tập 5: Cho hàm số   f  x e  C  1 D    f   0 tuần hồn với chu kì có đạo hàm liên tục thỏa mãn   ,    f  x   dx  D P 8  f  x  cos xdx   A  f  x C B Bài tập 6: Cho hàm số f  2019  Giá trị D  0;1 , thoả mãn f  x   xf  x  x 2018  0; 4 , thỏa mãn f  x   f  x  e  x x  có đạo hàm liên tục với A C x   0;1 Tính I 2018 2021 I 2019 2021 I f  x  dx Bài tập 7: Cho hàm số với B D f  x I 2019 2020 I 2018 2019 có đạo hàm liên tục x   0; 4 Khẳng định sau đúng? 26 e4 f    f    A C e f    f   e  B e f    f   3e D e f    f   3 Trang 191 Bài tập 8: với x    2018 A 2018e Bài tập 9: f   2018 Cho hàm số f    Giá trị f '  x   2018 f  x  2018 x 2017 e2018 x có đạo hàm , thỏa mãn f  x Cho hàm số f  1 f  x f  1 Giá trị 2018 B 2017e 2018 C 2018e 2018 D 2019e f  x  xf  x  2 xe  x có đạo hàm liên tục , thỏa mãn   B e A e C e D  e  0;1 thỏa mãn f ( x)  f (1  x)   x Tích Bài tập 10: Xét hàm số f ( x ) liên tục đoạn f ( x)dx phân A B C 15 D Bài tập 11: Cho y f  x  1 f  x dx 8  6;6   hàm số chẵn, có đạo hàm đoạn Biết f   2x  dx 3 Giá trị f  x  dx 1 A C  B e D 14 k Bài tập 12: Tìm tất giá trị thực tham số k để  k 1  k 2 A   k 1  k  B  Bài tập 13: Cho a dx ba 1  f  x   c f  x hàm liên tục đoạn  2x  1 dx 4 lim x  k   k  C   0;a  x 1  x  k   k 2 D  f  x  f  a  x  1  f  x   0, x   0;a  thỏa mãn  b , b, c hai số nguyên dương c phân số tối giản Khi b  c có giá trị thuộc khoảng đây? A  11; 22  B  0;9  C  7; 21 D  2017; 2020  Trang 192

Ngày đăng: 25/10/2023, 21:20

w