Đang tải... (xem toàn văn)
Microsoft Word BÃ�i 2 TÃ�CH PHÃ�N doc TOANMATH com Trang 1 CHUYÊN ĐỀ 3 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG BÀI 2 TÍCH PHÂN Mục tiêu Kiến thức + Nắm được định nghĩa và các tính chất của tích phân + Nắ[.]
CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG BÀI 2: TÍCH PHÂN Mục tiêu Kiến thức + Nắm định nghĩa tính chất tích phân + Nắm vững phương pháp tính nguyên hàm bảng nguyên hàm để áp dụng tính tích phân + Nắm vững tính chất tích phân hàm số chẵn, hàm số lẻ quy tắc đạo hàm hàm số hợp + Nắm vững ý nghĩa vật lí đạo hàm, từ dó giải tốn thực tế sử dụng tích phân Kĩ + Hiểu rõ định nghĩa tính chất tích phân để vận dụng vào việc tính tích phân + Sử dụng thành thạo bảng nguyên hàm phương pháp tính tích phân + Vận dụng tích phân vào tốn thực tế TOANMATH.com Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM I ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN Định nghĩa tích phân Chẳng hạn: F x x C nguyên Định nghĩa Cho hàm số f x liên tục đoạn a; b , với a b Nếu F x nguyên hàm hàm số f x đoạn a; b giá trị F b F a gọi tích phân b f x dx F x F 1 F 0 b Lưu ý: Giá trị tích phân khơng phụ thuộc a vào số C f x dx F x F b F a (1) a 13 C 03 C hàm số f x đoạn a; b Kí hiệu hàm hàm số f x 3x nên tích phân Cơng thức (1) cịn gọi cơng thức Newton – Trong tính tốn, ta thường chọn C Leibnitz; a b gọi cận cận tích phân Ý nghĩa hình học tích phân Giả sử hàm số y f x hàm số liên tục không âm đoạn a; b Khi đó, tích phân b f x dx Chẳng hạn: Hàm số f x x x có đồ thị C f x x 1 , với x a diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y f x , trục hoành Ox hai đường thẳng x a, x b, với a b Diện tích “tam giác cong” giới hạn C , trục Ox hai đường thẳng x 1 x S f x dx 1 b S f x dx a x3 x2 x x x 1 dx 1 1 Lưu ý: Ta cịn gọi hình phẳng “hình thang cong” Tính chất tích phân Cho hàm số f x g x hai hàm số liên tục khoảng K, K khoảng, nửa khoảng TOANMATH.com Trang đoạn a, b, c K , đó: a Nếu b a a f x dx Chẳng hạn: Cho hàm số f x liên tục, có a b Nếu f x có đạo hàm liên tục đoạn a; b đạo hàm đoạn 1; 2 thỏa mãn f 1 f 1 ta có: b Khi b f x dx f x f b f a a a f x dx f x 1 1 f f 1 9 Lưu ý: Từ ta có b f b f a f x dx a b f a f b f x dx a c Tính chất tuyến tính b b b a a a k f x h.g x dx k f x dx h. g x dx Với k , h d Tính chất trung cận b c b a a c f x dx f x dx f x dx , với c a; b e Đảo cận tích phân a b b f x dx f x dx a f Nếu f x 0, x a; b b f x dx a b f x dx f x a g Nếu f x g x , x a; b b b a a f x dx g x dx h Nếu m f x M max f x a ;b TOANMATH.com a ;b Trang b m b a f x dx M b a a i Tích phân khơng phụ thuộc vào biến, tức ta ln có b a b b b a a a f x dx f t dt f u du f y dy II CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Phương pháp đổi biến số Đổi biến dạng b Bài tốn: Giả sử ta cần tính tích phân I f x dx , a ta phân tích f x g u x u x ta thực phép đổi biến số Lưu ý: Phương pháp đổi biến số tích phân giống đổi biến số Phương pháp: nguyên hàm, thêm bước + Đặt u u x , suy du u x dx đổi cận + Đổi cận: x a b u u a u b b ub a ua + Khi I f x dx g u du G u u b ua , với G u nguyên hàm g u Đổi biến dạng Dấu hiệu Cách đặt a2 x2 x a sin t ; t ; 2 x2 a2 x a ; t ; \ 0 sin t 2 a2 x2 x a tan t; t ; 2 ax ax x a.cos 2t; t 0; 2 ax ax x a.cos 2t ; t 0; 2 TOANMATH.com Trang x a b a sin t; t 0; 2 x a b x Phương pháp tích phân phần b Chú ý: Cần phải lựa chọn u dv hợp lí a cho ta dễ dàng tìm v tích phân Bài tốn: Tính tích phân I u x v x dx Hướng dẫn giải b vdu a b u u x du u x dx Đặt dv v x dx v v x dễ tính udv a b Khi I u.v ba v.du (cơng thức tích phân a phần) III TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ ĐẶC BIỆT Cho hàm số f x liên tục a; a Khi Đặc biệt a a a f x dx f x f x dx (1) + Nếu f x hàm số lẻ ta có a f x dx (1.1) a + Nếu f x hàm số chẵn ta có a a a f x dx f x dx 1 bx 0 a a a f x dx f x dx (1.2) b 1 (1.3) Nếu f x liên tục đoạn a; b b a b f x dx f a b x dx a Hệ quả: Hàm số f x liên tục 0;1 , đó: Nếu f x liên tục đoạn a; b f a b x f x TOANMATH.com f sin x dx f cos x dx b b ab a xf x dx a f x dx Trang SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Định nghĩa Cho hàm số f x liên tục đoạn a; b , với a b Nếu F x nguyên hàm hàm số f x đoạn a; b giá trị F b F a gọi tích phân hàm số f x đoạn a; b b Kí hiệu f x dx F x a b a F b F a Ý nghĩa hình học tích phân Giả sử hàm số y f x hàm số liên tục không âm đoạn a; b Khi đó, tích phân b f x dx a diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y f x , trục hoành hai đường thẳng x a, x b a b b S f x dx a Tính chất tích phân Cho hàm số f x g x hai hàm số liên tục khoảng K, K khoảng, nửa khoảng đoạn a, b, c K , ta có tính chất sau b f x dx ; a b b f x dx f x f b f a ; a a b b b a a a k f x h.g x dx k f x dx h. g x dx , với k , h b a c b a c f x dx f x dx f x dx , với c a; b ; a b b f x dx f x dx ; a b f x dx b b a ; f x g x , x a; b f x dx g x dx f x 0, x a; b b a a f x dx f x a m f x b a ;b m b a f x dx M b a ; M max f x a a ;b TOANMATH.com b a b b b a a a f x dx f t dt f u du f y dy Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tính tích phân cách sử dụng định nghĩa, tính chất Phương pháp giải Ví dụ: Cho hàm số f x có đạo hàm đoạn 1; 2 , f 1 f 2 Tích phân I f x dx Sử dụng tính chất tích phân Sử dụng bảng nguyên hàm định nghĩa tích phân để tính tích phân A B C D Hướng dẫn giải 2 1 I f x dx f x f f 1 Chọn C Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Giá trị dx A B C D C 1 D Hướng dẫn giải Ta có dx x Chọn A Ví dụ 2: Giá trị sin xdx A B Hướng dẫn giải Ta có sin xdx cos x Chọn B Ví dụ 3: Cho hàm số f x x có nguyên hàm F x Khẳng định sau đúng? A F F 16 B F F C F F D F F Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang x4 Ta có x dx F 2 F 0 Chọn D Ví dụ 4: Giá trị I A I ln 1 dx 2x 1 B I ln C I ln D I ln Hướng dẫn giải I 1 dx ln x 2x 1 2 1 ln ln1 ln ln 2 Chọn B Ví dụ 5: Cho 1 0 f x dx g x dx Giá trị I f x g x dx A B C D 12 Hướng dẫn giải 1 0 I f x dx 2 g x dx 12 Chọn D Ví dụ 6: Cho f x dx A f x dx Giá trị I f x dx B D 2 C Hướng dẫn giải 5 1 I f x dx f x dx f x dx 1 Chọn A Ví dụ 7: Cho f x dx 2, 1 A I 17 2 1 1 g x dx 1 Khi I x f x 3g x dx B I 17 C I 15 D I Hướng dẫn giải x2 Ta có I x f x g x dx 1 TOANMATH.com 1 2 1 1 f x dx g x dx Trang 17 2.2 1 2 Chọn B Ví dụ 8: Cho f x dx Giá trị I f x sin x dx bao nhiêu? A I B I C I D I Hướng dẫn giải 2 0 I f x sin x dx f x dx sin xdx cos x 0 Chọn D Ví dụ 9: Cho F x nguyên hàm hàm số f x B I A I ln x Giá trị F e F 1 x C I D I Hướng dẫn giải e e ln x ln x dx ln xd ln x x 1 Ta có F e F 1 e 1 Chọn D Ví dụ 10: Tích phân I A I ln dx x 3x 2 B I ln C I ln D I ln Hướng dẫn giải Ta có x x 1 1 x 3x x 1 x x 1 x 2 1 1 dx dx ln x ln x ln ln Suy I x 1 x2 0 Chọn A Ví dụ 11: Tích phân I cos3 x sin xdx A I B I C I D I 1 Hướng dẫn giải 1 1 Ta có I cos3 xd cos x cos x 4 4 0 Chọn B TOANMATH.com Trang Ta có cos x sin x nên sin xdx d cos x Ví dụ 12: Biết tích phân I x 1 dx x x x 1 a b c , với a, b, c Giá trị biểu thức P a b c A P B P C P D P Hướng dẫn giải Ta có I x x 0, x 1; 2 nên 2 1 x 1 x dx dx dx x x x x 1 x x 1 1 Suy a 4, b c 2 nên P a b c Chọn B Nhân liên hợp x 1 x Ví dụ 13: Cho hàm số f x thỏa mãn f f x x f x với x Giá trị f 1 A f 1 3 B f 1 2 C f 1 D f 1 Hướng dẫn giải Từ f x x f x (1), suy f x với x 1; 2 Suy f x hàm không giảm đoạn 1; 2 nên f x f , x 1; 2 Chia vế hệ thức (1) cho f x ta f x f x x, x 1; 2 (2) Lấy tích phân vế đoạn 1; 2 hệ thức (2), ta f x 1 dx 1 f x 1 xdx f x Do f x2 1 f 1 f 1 nên suy f 1 3 Chọn C Chú ý đề cho f , yêu cầu tính f 1 , ta sử dụng nguyên hàm để tìm số C Tuy nhiên ta dựa vào định nghĩa tích phân để xử lí TOANMATH.com Trang 10 ... 1 2 I2 x d x 23 x 2 x2 1 ? ?2 3? ?? 16 I e x 1 dx e x x e 0 f x dx I Suy 1 I2 e 22 22 Suy a 1; b 2; c 3 Vậy T a b 3c... phân b 3x f x dx D 2ax 1 dx B b b a b A b3 b a b Câu 22 : Tích phân C b ba b D 3b 2ab C D 3x 1 x 3? ?? dx A 12 Câu 23 : Biết B x? ?2 dx a b ln c , với a, b,... 2a 3b c A 12 B Câu 35 : Cho A a 2b D 64 dx a b a a, b * Giá trị a 2b bao nhiêu? 3 x x 1 Câu 36 : Biết C 1 B a 2b C a 2b 1 D a 2b x2 1 dx n ln 2,