Giáo án Đại số lớp 12 Chuyên đề 1 bài 1 Tính đơn điệu của hàm số

Microsoft Word BÀI 1 TÍNH ÐON ÐI?U C?A HÀM S? doc TOANMATH com Trang 1 CHUYÊN ĐỀ 1 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THN HÀM SỐ BÀI 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Mục tiêu  Kiến thức + Biết, hiểu côn[.]

CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THN HÀM SỐ BÀI TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Mục tiêu  Kiến thức + Biết, hiểu cơng thức, quy tắc tính đạo hàm + Nắm vững tính đơn điệu hàm số + Thấy mối liên hệ biến thiên hàm số thơng qua đạo hàm + Biết quy tắc xét dấu học lớp 10 + Nhận biết mối liên hệ hàm số biết bảng biến thiên hàm số y  f  x  , y  f  u  x   biết bảng biến thiên hàm số y  f  x  , đồ thị hàm số y  f  x  đồ thị hàm số y  f '  x   Kĩ + Biết áp dụng công thức, quy tắc tính đạo hàm vào hàm số + Nhận diện bảng biến thiên, đồ thị hàm số đơn điệu khoảng cụ thể + Vẽ bảng biến thiên, đồ thị hàm số bản, hàm chứa trị tuyệt đối + Vận dụng tính chất hàm số trùng phương, hàm số bậc ba, hàm hữu tỷ vào giải nhanh tốn trắc nghiệm + Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số y  f  x  , y  f  u  x   , y  f  u  x   h  x   biết bảng biến thiên đồ thị hàm số y  f  x  ( y  f   x  ) I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Định nghĩa Cho hàm số f xác định khoảng (đoạn Ví dụ 1: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ nửa khoảng) K Hàm số f gọi đồng biến (tăng) K x1  x2  f  x1   f  x2  Dựa vào đồ thị ta thấy Hàm số đồng biến khoảng  1;0  Hàm số nghịch biến khoảng  0;1 Hàm số f gọi nghịch biến (giảm) K TOANMATH.com Ví dụ 2: Cho hàm số y  f  x  Ta có bảng xét Trang x1  x2  f  x1   f  x2  dấu sau: x  y     Ta thấy Hàm Định lí thuận Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Nếu f   x   0, x  K hàm số đồng biến số đồng biến khoảng 1   ;  ; 1;   3  1  Hàm số nghịch biến khoảng  ;1 3  Ví dụ 3: Cho hàm số g  x   x  x  khoảng K a   Nếu f   x   0, x  K hàm số nghịch biến Hàm số có      5   4.2.6  23  khoảng K  g  x   0, x   Nếu f   x   0, x  K hàm số khơng đổi Chú ý: Định lí thuận dạng “mở rộng”: khoảng K f   x   x  K dấu “=” hữu hạn điểm Định lí đảo K hàm số nghịch biến K Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng K Nếu hàm số f đồng biến khoảng K f   x   0, x  K Nếu hàm số f nghịch biến khoảng K f   x   0, x  K Lưu ý: - Hàm số f  x  đồng biến K đồ thị hàm số đường lên từ trái sang phải, biểu diễn bảng biến thiên dấu mũi tên hướng lên từ trái sang phải - Hàm số f  x  nghịch biến K đồ thị hàm số đường xuống từ trái sang phải, biểu diễn bảng biến thiên dấu mũi tên hướng xuống từ trái sang phải Xét dấu tam thức bậc hai g  x   ax  bx  c TOANMATH.com Trang  a  0 g  x   0, x    g  x   0, x    g  x   0, x    g  x   0, x        a0 ; 0 a0 ; 0 a0 ; 0 a0 0 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HĨA TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Cho hàm số f xác định khoảng (đoạn nửa khoảng) K Hàm số nghịch biến Hàm số đồng biến Định lí thuận Định lí thuận - Nếu f   x   0, x  K hàm số nghịch biến - Nếu f   x   0, x  K hàm số đồng biến khoảng K khoảng K Định lí đảo Định lí đảo - Nếu hàm số f nghịch biến khoảng K - Nếu hàm số f đồng biến khoảng K f   x   0, x  K f   x   0, x  K Định lí thuận “mở rộng” f   x   0, x  K dấu hữu hạn điểm K hàm số đồng biến K Đồ thị - Đồ thị hàm số đường xuống từ trái sang phải Định nghĩa Định lí thuận “mở rộng” f   x   0, x  K dấu hữu hạn điểm K hàm số nghịch biến K Đồ thị - Đồ thị hàm số đường lên từ trái sang phải Định nghĩa Hàm số f gọi nghịch biến K Hàm số f gọi đồng biến K TOANMATH.com Trang x1  x2  f  x1   f  x2  x1  x2  f  x1   f  x2  II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Xét tính đơn điệu hàm số khơng chứa tham số Bài tốn Tìm khoảng đơn điệu hàm số cho công thức y  f  x  Phương pháp giải Thực bước sau: Ví dụ: Hàm số y   Bước Tìm tập xác định D x3  3x  x  đồng biến khoảng đây? Bước Tính đạo hàm y  f   x  Bước Tìm giá trị x mà f   x   giá trị làm cho f   x  không xác định A  5;   B  ;1 C  2;3 D 1;5  Hướng dẫn giải Bước Lập bảng biến thiên xét dấu trực tiếp Tập xác định D   đạo hàm Bước Kết luận tính đơn điệu hàm số Ta có y   x  x  y  f  x  (chọn đáp án) x  Ta có y    x  x     x  x  y y   13    19  Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến khoảng 1;5  Chọn D Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hàm số y  x  x  x  15 Khẳng định khẳng định sai? A Hàm số nghịch biến khoảng  3;1 B Hàm số đồng biến  9; 5  C Hàm số đồng biến  D Hàm số đồng biến  5;   Hướng dẫn giải Tập xác định D   Ta có y  x  x  x  Cho y     x  3 TOANMATH.com Trang x 3  y y      42  10 Từ bảng biến thiên, mệnh đề C sai Chọn C Ví dụ Các khoảng nghịch biến hàm số y   x  x  A  1;  1;   B  ;1 1;   C  1;   0;1 D  ; 1  0;1 Hướng dẫn giải Tập xác định D   Ta có y  4 x3  x x  y     x  1 Bảng biến thiên hàm số y   x  x  sau x y  1 3   0  3   y  4  Dựa vào bảng biến thiên suy hàm số nghịch biến  1;  1;   Chọn A Ví dụ Cho hàm số y  x 1 Mệnh đề đúng? x2 A Hàm số đồng biến  B Hàm số nghịch biến khoảng xác định C Hàm số đồng biến  \ 2 D Hàm số đồng biến khoảng miền xác định Hướng dẫn giải Tập xác định D   \ 2 Ta có y   x  2  0, x  D nên hàm số y  x 1 đồng biến khoảng miền xác định x2 Chọn D TOANMATH.com Trang Ví dụ Hàm số nghịch biến  ? B y  A y   x3  x x2 x 1 C y  x  x D y  x3  x Hướng dẫn giải Tập xác định D   Ta có y   x3  x  y  3 x   0, x   Vậy hàm số y   x3  x nghịch biến  Chọn A Ví dụ Cho hàm y  x  x  Mệnh đề đúng? A Hàm số đồng biến khoảng  5;   B Hàm số đồng biến khoảng  3;   C Hàm số đồng biến khoảng  ;1 D Hàm số nghịch biến khoảng  ;3 Hướng dẫn giải Tập xác định D   ;1  5;   Ta có y  x 3 x  6x   0, x   5;   Vậy hàm số đồng biến khoảng  5;   Chọn A Ví dụ Hàm số y  x  đồng biến khoảng đây? x A  0;   B  2;  C  2;  D  2;   Hướng dẫn giải Tập xác định D   \ 0 Ta có y  x2  x2   y      x  2 x2 x2 Bảng biến thiên x  y  2 0   4     y   Từ bảng biến thiên suy hàm số đồng biến  ; 2   2;   TOANMATH.com Trang Chọn D Ví dụ Cho hàm số f  x   1  x  2019 Khẳng định sau đúng? A Hàm số đồng biến  B Hàm số đồng biến  ;  C Hàm số nghịch biến  ;  D Hàm số nghịch biến  Hướng dẫn giải Tập xác định D   Đạo hàm f   x   2019 1  x  Vì 2019 1  x  2018 2018 2018 1  x   2019 1  x   2 x   , x   nên dấu đạo hàm dấu với   x  x  Ta có f   x      x  1 Ta có bảng biến thiên  x f  x 1  f  x     0   Vậy hàm số đồng biến  ;0  Chọn B Chú ý: Dấu hiệu mở rộng kết luận khoảng đồng biến  ;0  Ví dụ Cho hàm số f  x   x3  x  x  cos x Với hai số thực a, b cho a  b Khẳng định sau đúng? A f  a   f  b  B f  a   f  b  C f  a   f  b  D f  a   f  b  Hướng dẫn giải Tập xác định D   Ta có f   x   3x  x   sin x   3x  x  1    sin x   0, x   Suy f  x  đồng biến  Do a  b  f  a   f  b  TOANMATH.com Trang Chọn C Ví dụ Hàm số y  x  x  đồng biến khoảng đây? B  1;3 A  ; 1 C 1;   D  3;   Hướng dẫn giải Tập xác định D   Ta có y  x  x   x  x  3  y   x    x  x  3 x  x  3 y   x    x  ; y không xác định x  1; x  Ta có bảng biến thiên  x 1 y    y     0 Hàm số đồng biến khoảng  1;1  3;   Chọn D Chú ý: - Vì f  x   - Đạo hàm y  f  x  nên xét tính đơn điệu hàm số y  f  x f  x f  x f  x  để suy kết Bài tốn Xét tính đơn điệu hàm số y  f  x  cho hàm số y  f   x  Phương pháp giải Thực theo ba bước sau: Bước Tìm giá trị x mà f   x   giá trị làm cho f   x  khơng xác định Ví dụ: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm  f   x   x  x  1 Hàm số cho đồng biến khoảng Bước Lập bảng biến thiên xét dấu trực tiếp A 1;   B  ;0  ; 1;   đạo hàm C  0;1 D  ;1 Bước Kết luận tính đơn điệu hàm số Hướng dẫn giải y  f  x  (chọn đáp án) x  Ta có f   x    x  x  1    x  Ta có bảng xét dấu x f  x TOANMATH.com      Trang Vậy hàm số đồng biến khoảng 1;   Chọn A Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hàm số f  x  có đạo hàm f   x    x  1  x  1   x  Hàm số y  f  x  đồng biến khoảng nào, khoảng đây? A  1;1 B 1;  C  ; 1 D  2;   Hướng dẫn giải x  Ta có f   x      x  1 Bảng xét dấu  x 1 f  x      Hàm số f  x  đồng biến khoảng 1;  Chọn B Ví dụ Cho hàm số y  f  x  xác định khoảng  0;3 có tính chất f   x   0, x   0;3 f   x   , x  1;  Tìm khẳng định khẳng định sau A Hàm số f  x  đồng biến khoảng  0;  B Hàm số f  x  không đổi khoảng 1;  C Hàm số f  x  đồng biến khoảng 1;3 D Hàm số f  x  đồng biến khoảng  0;3 Hướng dẫn giải Vì f   x   , x  1;  nên f  x  hàm khoảng 1;  Trên khoảng  0;  , 1;3 ,  0;3 hàm số y  f  x  thỏa f  x   f   x   , x  1;  nên f  x  không đồng biến khoảng Chọn B Bài tốn Xét tính đơn điệu hàm số y  f  x  cho bảng biến thiên đồ thị Phương pháp giải Khi cho bảng biến thiên: - Trên khoảng  a; b  f   x  mang dấu  Ví dụ: Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên sau: (dương) ta kết luận f  x  đồng biến  a; b  TOANMATH.com Trang - Trên khoảng  c; d  f   x  mang dấu  (âm): x ta kết luận f  x  nghịch biến  c; d  y   y Khi cho đồ thị: đồ thị đường lên từ trái sang phải  a; b  0     - Hàm số f  x  đồng biến  a; b  hàm số có 2  1  Hàm số y  f  x  đồng biến khoảng - Hàm số f  x  nghịch biến  a; b  hàm số đây? có đồ thị đường xuống từ trái sang phải A  ;  B  0;   a; b  D  2;   C  2;  - Trong trường hợp: Hàm số f  x  hàm  a; b  (không đổi) Hướng dẫn giải hàm số có đồ thị Dựa vào bảng biến thiên, ta có y  0, x   0;   đường song song trùng với trục Ox  a; b  hàm số đồng biến  0;  Chọn B Ví dụ mẫu Ví dụ Cho hàm số y  f  x  có bảng biến thiên sau x  y y     f  2  Hỏi bảng biến thiên bảng biến thiên hàm số hàm số đây? A y   x3  x  12 x B y  x3  x  12 x C y   x  x  x D y   x  x  Hướng dẫn giải Xét hàm số y   x3  x  12 x y  3 x  12 x  12  3  x    0, x   , thỏa mãn Xét hàm số y  x3  x  12 x y  3x  12 x  12   x    , x   , không thoả mãn Xét hàm số y   x3  x  x TOANMATH.com Trang 10 ... ? ?1; 11? ?? C Hàm số đồng biến  ; ? ?1? ??  ? ?1;   nghịch biến  ? ?1; 1 D Hàm số đồng biến  ; ? ?1? ??  ? ?1;   nghịch biến  ? ?1; 0   0 ;1? ?? Câu 21: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ Hàm số. .. thiên Mệnh đề đúng? TOANMATH.com Trang 14 x  y  ? ?1 0      11  y ? ?1  A Hàm số đồng biến  ; ? ?1? ??  ? ?1;   nghịch biến  ? ?1;    0 ;1? ?? B Hàm số đồng biến  ; ? ?1? ??  ? ?11 ;  ... HĨA TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Cho hàm số f xác định khoảng (đoạn nửa khoảng) K Hàm số nghịch biến Hàm số đồng biến Định lí thuận Định lí thuận - Nếu f   x   0, x  K hàm số nghịch biến - Nếu