Giáo án đại số lớp 12 chuyên đề 1 bài 5 tiếp tuyến

CHUYÊN ĐỀ BÀI TIẾP TUYẾN Mục tiêu  Kiến thức + Nắm khái niệm đường tiếp tuyến đồ thị hàm số, tiếp xúc hai đồ thị + Hiểu ý nghĩa đạo hàm liên quan đến hệ số góc tiếp tuyến điểm + Biết cách viết phương trình tiếp tuyến đồ thị biết điểm tiếp xúc, biết trước hệ số góc tiếp tuyến qua điểm cho trước  Kĩ + Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm cho trước + Biết cách viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết trước + Biết cách viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số qua điểm cho trước + Giải toán liên quan đến tiếp tuyến đồ thị hàm số TOANMATH.com Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Cho hai hàm số f  x  g  x  có đạo hàm điểm x0 Ta nói hai đường cong  C  :y  f  x   C   : y  g  x  tiếp xúc với điểm M  x ;y0  M tiếp điểm chung chúng (C) ( C  ) có tiếp tuyến chung M Điều kiện tiếp xúc: Hai đường cong (C): y  f  x   C : y  g  x  tiếp xúc với  hệ phương trình f  x   g  x  có nghiệm  f   x   g  x  Nghiệm hệ phương trình hồnh độ tiếp điểm hai đường cong TOANMATH.com Trang SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Điều kiện tiếp xúc hai Khái niệm tiếp tuyến đồ thị hàm số: chung hai đồ thị hàm Hai đường cong số: (C): y  f  x   C   : y  g  x  Cho hai hàm số f  x  tiếp xúc với g  x  có đạo hàm điểm hệ phương trình f  x   g  x  có nghiệm  f   x   g  x  TIẾP TUYẾN x0 Ta nói hai đường cong (C): y  f  x   C : y  g  x  Nghiệm hệ phương tiếp xúc với điểm M  x ;y0  trình hồnh độ tiếp điểm M tiếp điểm hai đường cong chung chúng Hai đường cong có tiếp tuyến chung M II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm cho trước Bài toán 1: Sự tiếp xúc hai đường cong Phương pháp giải Cho hai đường cong (C): y  f  x  Ví dụ: Cho đồ thị hàm số  C  : y  x  3x   C : y  g  x  Điều kiện để hai đường cong Hoành độ tiếp điểm đồ thị (C) với trục Ox tiếp xúc với hệ phương trình x  3x   nghiệm hệ  3x   f  x   g  x  có nghiệm  f   x   g  x  - Nghiệm x  x hệ hoành độ tiếp điểm hai đường cong cho - Hệ có nghiệm hai x  2;x  1   x  1 x  1 Vậy tọa độ tiếp điểm đồ thị (C) với trục hoành A  1;0  đường cong (C)  C   tiếp xúc với nhiêu điểm Ví dụ mẫu TOANMATH.com Trang Ví dụ 1: Đồ thị hàm số y  x  x  tiếp xúc với đường thẳng đây? A y  x  B y  2x  C y  x  D y  2x  Hướng dẫn giải: Áp dụng điều kiện tiếp xúc hai đường cong  C  : y  f  x   C   : y  g  x  hệ phương trình f  x   g  x  có nghiệm    f x  g x      Ta có y  3x   0, x   nên phương án B, C bị loại x  x   x  Xét phương án A y  x  Ta có hệ  x0 3x   Vậy đường thẳng y  x  tiếp xúc với đồ thị hàm số cho Chọn A Ví dụ Tập hợp tất giá trị thực tham số m để đường thẳng y  2x  m tiếp xúc với đồ thị hàm số y  x 1 x 1 A 7; 1 B 1 C 6 D 6; 1 Hướng dẫn giải: Đường thẳng y  2x  m tiếp xúc với đồ thị hàm số y  x 1 hệ phương trình sau có x 1 nghiệm  x   x 1   x  m x   x     x 1  2 x  m   x   2 x  m   m  1    x 1   2  x    x  12  x2  2x   2      x  1  m  Vậy m  1;7 đường thẳng d tiếp xúc với (C) Chọn A Ví dụ 3: Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để đồ thị ( Cm ) hàm số y  x  mx  7mx  3m tiếp xúc với parabol  P  : y  x  x  Tổng giá trị phần tử S A 11 B 331 C D 4 Hướng dẫn giải: Để ( Cm ) tiếp xúc với (P) hệ phương trình sau có nghiệm:  x  mx  7mx  3m  x  x   3 x  8mx  7m  x  TOANMATH.com Trang  x   4m  1 x   7m  1 x  3m   1  3 x   m  1 x  7m     Giải (1), ta có (1)   x  1  x  mx  3m  1  x    x  mx  3m   + Với x  thay vào (2) m   x  mx  3m    3 + Xét hệ    m  1 x  m  1  3 x   m  1 x  7m   • Nếu m  (4) vơ nghiệm • Nếu m  m 1 (4)  x  2m  m 1  m 1   m 1  Thay x  vào (3) ta   4m     3m   2m   2m    2m   m    m  11m  5m     m   (thỏa mãn điều kiện)  m    11  Vậy S  2;  ;1 nên tổng phần tử S 4   Chọn A Ví dụ 4: Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y x3   m   x  mx  tiếp xúc với đường thẳng y  Tổng giá trị phần tử S A 10 B 20 C D 32 Hướng dẫn giải  x3    m   x  mx   1 Xét hệ phương trình   x   m   x  2m     x  m Giải phương trình (2) ta  x  + Với x  m , thay vào (1) ta  m  m3  m2    m  + Với x  , thay vào (1), ta m  TOANMATH.com Trang Vậy tập hợp giá trị tham số thực để đồ thị hàm số cho tiếp xúc với đường thẳng y  2 20  S  0;6;  nên tổng phần tử S 3  Chọn B Ví dụ Biết đồ thị hàm số  C  : y  x  ax  bx  c  a, b, c    , tiếp xúc với trục hoành gốc tọa độ cắt đường thẳng x  điểm có tung độ Tổng a + 2b + 3c A B C D Hướng dẫn giải: Vì (C) tiếp xúc với Ox gốc tọa độ nên x  nghiệm hệ phương trình  x  ax  bx  c  b    c  3 x  ax  b  Mặt khác (C) qua điểm A 1;3 nên a  b  c    a  Vậy a  b  3c  Chọn B Ví dụ Họ parabol  Pm  : y  mx   m  3 x  m   m   tiếp xúc với đường thẳng d cố định m thay đổi Đường thẳng d qua điểm đây? A A 1; 8 B B  0; 2  C C  0;2  D D 1;8 Hướng dẫn giải Ta có: y  mx   m  3 x  m   m  x  x  1  x   y  m  x  1  x  Xét đường thẳng d : y  x  hệ phương trình m  x  12  x   x  ln có nghiệm x  với m   2 m  x  1   Vậy  Pm  tiếp xúc với đường thẳng d : y  x  Đường thẳng d qua điểm B  0; 2  Chọn B Nhận xét: Nếu viết lại hàm số  Pm  theo dạng y  m  ax  b   cx  d  Pm  ln tiếp xúc với đường y  cx  d Bài toán Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  điểm M  x0 ; y0  Phương pháp giải Thực theo bước sau Ví dụ: Hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị hàm số Bước 1: Tính y  f   x  f   x0  y   x  x  điểm M  2;8  Bước 2: Suy phương trình tiếp tuyến cần A –11 B C 11 D –12 TOANMATH.com Trang tìm y  f   x0  x  x0   y0 Hướng dẫn giải Bước 3: Thực yêu cầu lại Ta có y  3 x   y  2   11 tốn Kết luận Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm Chú ý: M  2;8 y  11  x    - Nếu toán cho x0 ta cần tìm Suy hệ số góc tiếp tuyến k  11 y0  f  x0  f   x0  Chọn A - Nếu toán cho y0 ta cần tìm x0 cách giải phương trình f  x   y0 - Giá trị f   x0  hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  điểm M  x0 ; y0  Ví dụ mẫu Ví dụ Tiếp tuyến đường cong  C  : y  x x  điểm M  3;6  có hệ số góc A  11 B C D  11 Hướng dẫn giải Ta có y  x   x x 1 3x   Hệ số góc cần tìm y  3  x 1 3.3  2 1  11 Chọn B Ví dụ Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x  x  điểm M 1;2  A y   x B y  x  C y  3x  D y  x  Hướng dẫn giải: Ta có y  x   y 1  Vậy phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số cho điểm M 1;2  y   x  1   x  Chọn B Ví dụ Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số  C  : y  x điểm có hồnh độ A y  3x  B y  3x  C y  3x  D y  3x Hướng dẫn giải Ta có y  x  y 1  Do x0   y  y 1  TOANMATH.com Trang Vậy phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số cho điểm có hồnh độ y   x  1   y  x  Chọn C Ví dụ Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x  x  điểm có tung độ A y  B y  C y  D y  Hướng dẫn giải Gọi M  x0 ; y0  tiếp điểm Ta có y0   x04  x02   x0   M  0;1 Lại có y  x  x  y    Phương trình tiếp tuyến cần tìm y  Chọn C Ví dụ Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  A y  x  B y  x  2x  giao điểm đồ thị với trục hoành x 3 C y  2 x  D y  x Hướng dẫn giải Giao điểm đồ thị hàm số cho với trục hoành nghiệm phương trình 2x    x   đồ x 3 thị hàm số cắt trục hồnh điểm (2; 0) Ta có y  2  x  3  y     2 Phương trình tiếp tuyến cần tìm y  2  x   hay y  2 x  Chọn C Ví dụ Cho hàm số y   x  3x  có đồ thị (C) Phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục tung A y  x  B y  x  C y  2 x  D y  3 x  Hướng dẫn giải Ta có  C   Oy  A  0; 2  ; y    Phương trình tiếp tuyến A  0; 2  y  3x  Chọn A Ví dụ Gọi đường thẳng y  ax  b phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  2x 1 điểm có x 1 hồnh độ x  Giá trị a  b TOANMATH.com Trang A B –1 C D Hướng dẫn giải Ta có x0   y0  2x 1  Tọa độ tiếp điểm đường thẳng y  ax  b đồ thị hàm số y  x 1  1 M  1;   2 Vì y   x  1 nên y 1  Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  3  x  1   y  x  4  a    ab 1 b    Chọn C    Ví dụ Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  tan   x  điểm có hồnh độ x0  4  A y   x    B y   x    C y   x    D y  6 x    Hướng dẫn giải Ta có y      y    6; x0   y0  1   6 cos2   3x  4  3 Phương trình tiếp tuyến cần tìm y  6 x    Chọn D Ví dụ Gọi M điểm thuộc đồ thị hàm số  C  : y  2x  có tung độ Tiếp tuyến đồ thị (C) x 1 M cắt trục Ox, Oy A, B Diện tích tam giác OAB A 125  ®vdt  B 117  ®vdt  C 121  ®vdt  D 119  ®vdt  Hướng dẫn giải Ta có M  2;5   C  ; y  3  x  1 ; y    3 Phương trình tiếp tuyến M  2;5 d : y  3 x  11 11  11  Khi d cắt Ox, Oy A  ;0  B  0;11  OA  ; OB  11 3  TOANMATH.com Trang 1 11 121 Vậy SOAB  OA.OB  11   ®vdt  2 Chọn C Ví dụ 10 Cho hàm số y  xb  ab  2, a   Biết a b giá trị thỏa mãn tiếp tuyến ax  đồ thị hàm số điểm A 1; 2  song song với đường thẳng d : x  y   Khi giá trị a  3b A B C –1 D –2 Hướng dẫn giải Ta có: y  2  ab  ax    y 1  2  ab  a  2 Do tiếp tuyến song song với đường thẳng d : x  y    y  3 x  nên y 1  3  2  ab a  2  3 Mặt khác A 1; 2  thuộc đồ thị hàm số nên 2  1 b  b  2 a  a2  2  ab  3 a  2  Khi ta có hệ   a    5a  15a  10    a   b  2 a  + Với a   b  1  ab  2 (loại) + Với a   b  ( thỏa mãn điều kiện) Khi ta có hàm số y  y  3  x  2 x 1 x 2  y 1  3 nên phương trình tiếp tuyến y  3x  song song với đường thẳng y  3 x  Vậy a  3b  2 Chọn D Ví dụ 11 Trong tất đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số y   x  x  x  đường thẳng d có hệ số góc lớn Phương trình đường thẳng d A y  x  B y  x  C y  D y  3x  Hướng dẫn giải Ta có y  3 x  x  TOANMATH.com Trang 10 Gọi M  x0 ; y0  thuộc đồ thị hàm số Khi hệ số góc tiếp tuyến M  x0 ; y0  k  3 x02  x0   3  x0  1    kmax   x0  1 hay M  1; 4  Phương trình đường thẳng d y   x  1   y  x  Chọn A Nhận xét: Đối với hàm số bậc ba y  ax  bx  cx  d tiếp tuyến có hệ số góc lớn (nhỏ nhất) tiếp tuyến điểm uốn đồ thị U  x0 ; f  x0   , với x0 nghiệm phương trình y  + Nếu a  hệ số góc k  f   x0  nhỏ + Nếu a  hệ số góc k  f   x0  lớn Ví dụ 12 Cho hàm số y  x  x   m  1 x  m có đồ thị  Cm  Giá trị thực tham số m để tiếp tuyến đồ thị  Cm  điểm có hồnh độ x  song song với đường thẳng y  x  10 A m  B m  C m  D không tồn m Hướng dẫn giải Ta có y  x  x  m   y 1  m  Tiếp tuyến  Cm  điểm có hồnh độ x  có phương trình y   m   x  1  3m   y   m   x  m m   Do tiếp tuyến song song với đường thẳng y  x  10 nên  (vơ lí) 2 m  10 Vậy không tồn m thỏa mãn u cầu tốn Chọn D Ví dụ 13 Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số f  x    x  x  x  điểm M có hoành độ x0 , biết f   x0   6 A y  x  B y  x  C y  x  D y  x  Hướng dẫn giải Ta có f   x   3 x  x  9, f   x   6 x  f   x0   6  6 x0   6  x0   y0  24 y    Phương trình tiếp tuyến M  2;24  y   x    24  y  x  Chọn A Ví dụ 14 Cho hàm số f  x   x  mx  x  Gọi k hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số M có hồnh độ x  Tất giá trị thực tham số m để thỏa mãn k f  1  TOANMATH.com Trang 11 A m  2 B 2  m  C m  D m  Hướng dẫn giải Ta có f   x   3x  2mx   k  f  1   2m Do k f  1    2m  m  1 Để k f  1    m  m  1   2  m  Chọn B Ví dụ 15 Cho hàm số y  x  3mx   m  1 x  , với m tham số thực, có đồ thị (C) Biết m  m0 tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm có hồnh độ x0  1 qua A 1;3 Mệnh đề sau đúng? A 2  m0  1 B 1  m0  C  m0  D  m0  Hướng dẫn giải Gọi B tiếp điểm tiếp tuyến qua A 1;3 m  m0 Ta có y  3x  6mx  m  Với x0  1 y0  m   B  1;2 m  1 y  1  5m  Tiếp tuyến B (C) có phương trình y   5m   x  1  m  Do tiếp tuyến qua A 1;3 nên  5m    m    m  Vậy m0    0;1 Chọn C Ví dụ 16 Cho hàm số y  x2 có đồ thị (C) Gọi M điểm thuộc (C) có khoảng cách từ M đến 2x trục hồnh hai lần khoảng cách từ M đến trục tung, M khơng trùng với gốc tọa độ O có tọa độ nguyên Phương trình tiếp tuyến (C) M A y  8 B y  64 C y  12 D y  9 Hướng dẫn giải:  a2  Giả sử M  a;  điểm thuộc (C)  2a a   a2  2a   a 2a Do d  M; Ox   d  M; Oy  nên 2 a   a  2a   a a    a  2 a  Theo giả thiết M khơng trùng với gốc tọa độ O có tọa độ nguyên nên a   M  4; 8  TOANMATH.com Trang 12 Khi y  4x  x2 2  x   y    Phương trình tiếp tuyến cần tìm y  8 Chọn A x 1 có đồ thị (C) đường thẳng d : y  2 x  m  ( m tham số thực) x 2 Ví dụ 17 Cho hàm số y  Gọi k1 , k2 hệ số góc tiếp tuyến (C) giao điểm d (C) Tích k1 k2 A B C D Hướng dẫn giải Tập xác định D   \ 2 Ta có y   x  2 Xét phương trình hồnh độ giao điểm (C) (d) x 1  2 x  m  ( với x  2 ) x2  x    m  x   2m  1 Để đường thẳng (d) cắt đồ thị hàm số (C) hai điểm phương trình (1) phải có hai nghiệm phân biệt khác –2     m 2    m   m  m  12     m   1  8    m    2m  Vậy (C) cắt (d) hai điểm phân biệt A  x1 ; y1  B  x2 ; y2  , với x1 , x2 nghiệm phương trình (1) m6   x1  x2  Theo định lý Vi-ét ta có   x x   2m  2 Ta có k1.k2   1  x1    x2   m6   2m    2   2   x1 x2   x1  x2    4 Chọn A TOANMATH.com Trang 13 Ví dụ 18 Cho hàm số y  x  mx  m có đồ thị (C) với m tham số thực Gọi A điểm thuộc đồ thị (C) có hồnh độ Giá trị tham số thực m để tiếp tuyến  đồ thị (C) A cắt đường tròn    : x   y  1 A m    tạo thành dây cung có độ dài nhỏ 13 16 B m  13 16 C m   16 13 D m  16 13 Hướng dẫn giải Đường tròn    : x   y  1  có tâm I  0;1 , R  Ta có A 1;1  m  ; y  x  4mx  y 1   m Suy phương trình tiếp tuyến  : y    m  x  1   m 3  Dễ thấy  qua điểm cố định F  ;0  điểm F nằm đường tròn    4  Giả sử  cắt    M, N, Khi MN  R  d  I ;     d  I ;   Do MN nhỏ  d  I ;  lớn  d  I ;    IF    IF      Khi đường thẳng  có vectơ phương u  IF   ; 1 ; u  1;4  m  nên 4    13 u IF      m    m  16 Chọn B Bài tập tự luyện dạng Câu 1: Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để đồ thị hai hàm số  C1  : y  mx  1  2m  x  2mx  C2  : y  3mx  1  m  x  4m  tiếp xúc với Tổng giá trị phần tử S A 11 B C D Câu 2: Gọi S tập tất giá trị thực tham số m để đường thẳng y  x  m tiếp xúc với đồ thị hàm số y  A 2x  Tích giá trị phần tử S x 1 B C –8 D –4 Câu 3: Gọi S tập tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  x   m  1 x  4m  Cm  tiếp xúc với đường thẳng d : y  hai điểm phân biệt Tổng phần tử tập S A 14 B 17 C 15 D Câu 4: Giá trị tham số thực m để đồ thị hàm số y  x  mx  tiếp xúc với đường thẳng d : y  A m  TOANMATH.com B m  C m  1 D m  3 Trang 14 Câu 5: Cho hàm số y  x  3x  3mx   m Có giá trị thực tham số m để đồ thị tiếp xúc với trục hoành? A B C Câu 6: Giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  A m  2 B m  D x2  x 1 tiếp xúc với parabol y  x  m x 1 C m  1 D m  Câu 7: Có giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y   x   m  1 x  5mx  m tiếp xúc với trục hoành? A B C D Câu 8: Tổng tất giá trị thực tham số m để đường thẳng x  y  m tiếp tuyến đường cong y   x  x  A B –4 Câu 9: Cho hàm số y  C –2 D 4 x  x  có đồ thị (C) Tổng tất giá trị thực tham số m để đồ thị (C) tiếp xúc với parabol  P  : y  x  m A B 126 C 34 D –1 Câu 10: Tổng tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y  x   m  3 x   3m   x  2m tiếp xúc với trục hoành A B C –3 D –1 Câu 11: Trong ba đường thẳng d1 : y  x  9, d2 : y  x  29, d3 : y  5 x  có đường thẳng tiếp tuyến đồ thị hàm số  C  : y  x  3x  x  ? A B C D Câu 12: Tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x  x  điểm có hồnh độ -3 có phương trình A y  x  25 B y  30 x  25 Câu 13: Đồ thị (C) hàm số y  C y  x  25 D y  30 x  25 3x  cắt trục tung điểm A Tiếp tuyến (C) điểm A có x 1 phương trình A y  5 x  Câu 14: Cho hàm số y  A y  x  B y  4 x  C y  x  D y  x  x 2 Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ x  x 1 B y  3 x  C y  x  D y  x  Câu 15: Hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị hàm số y  sin x  điểm có hồnh độ A  B C  Câu 16: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  D  x 2 giao điểm với trục hồnh, cắt trục tung x 1 điểm có tung độ TOANMATH.com Trang 15 A –1 B Câu 17: Cho hàm số y  C D –2 x 11 có đồ thị (C) Phương trình tiếp tuyến (C) M có hồnh độ  x0  2 A y    x  2  B y   C y    x  2  D y   x  2   x  2  Câu 18: Cho hàm số y  x  x   C  Tiếp tuyến đồ thị (C) điểm M  2;2  có hệ số góc A 45 B C 24 D Câu 19: Cho hàm số y  x  x có đồ thị hàm số (C) Hệ số góc k tiếp tuyến với đồ thị điểm có tung độ A B Câu 20: Tiếp tuyến đồ thị hàm số y  A –5 C 3x  điểm có hồnh độ x0  có hệ số góc 2x  B –13 Câu 21: Cho đồ thị  H  : y  D –2 C 13 D –1 2x  Phương trình tiếp tuyến đồ thị (H) giao điểm (H) Ox x 3 A y  2 x  B y  2 x  C y  x  D y  x Câu 22: Cho hàm số y   x  , có đồ thị (C) Phương trình tiếp tuyến (C) M có tung độ y0  1 với hoành độ x0      A y  x   B y  x   C y  2  x    D y   x    Câu 23: Cho hàm số y  x 1 Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số giao điểm đồ thị hàm x 2 số với trục hoành A x  y   B x  y   C x  y   D x  y   Câu 24: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số  C  : y  x  x  điểm có hồnh độ A y  x  B y  x  C y  Câu 25: Phương trình đường tiếp tuyến đồ thị hàm số y  A x  y  B x  y  3 D y  x  1  điểm A  ;1  2x 2  C x  y  1 D x  y  Câu 26: Tiếp tuyến với đồ thị hàm số y  x  x  điểm có hồnh độ có phương trình A y  8 x  17 B y  x  16 C y  x  15 D y  x  15 Câu 27: Phương trình đường tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x  x  11x  điểm có tung độ TOANMATH.com Trang 16 A y  x  3; y   x  7; y  x  B y  x  1; y   x  2; y  x  C y  x  3; y   x  7; y  x  D y  x  1; y   x  2; y  x  Câu 28: Cho hàm số y  x  x  có đồ thị (C) Phương trình đường tiếp tuyến (C) giao điểm đồ thị với trục Ox A y  x  y  3 x  12 B y  x  y  3x  12 C y  3 x  y  x  12 D y  x  y  2 x  12 Câu 29: Hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị hàm số y  x  x  x  điểm có hồnh độ -1 A B C –3 D 11 Câu 30: Gọi M giao điểm trục tung với đồ thị hàm số  C  : y  x  x  Tiếp tuyến (C) M có phương trình A y  x  B y   x  C y   x  D y  x  Câu 31: Hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị y  tan x điểm có hồnh độ x  A B C Câu 32: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x  A y  x  B y   x   D 1 điểm có hồnh độ x  1 x C y  x  D y   x  Câu 33: Cho hàm số y  x  x  x  có đồ thị (C) Tiếp tuyến điểm N (C) cắt đồ thị (C) điểm thứ hai M  1; 2  Tọa độ điểm N A  2;7  B 1;2  Câu 34: Gọi d tiếp tuyến hàm số y  C  0;1 D  1;0  x 1 điểm có hồnh độ –3 Khi d tạo với hai trục x 2 tọa độ tam giác có diện tích A 169 (đvdt) B 121 (đvdt) C 25 (đvdt) D 49 (đvdt) x  x  3x  Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm có hồnh độ nghiệm phương trình y  Câu 35: Cho hàm số y  A y  x  11 B y   x  C y  x  D y   x  11 Câu 36: Gọi  Cm  đồ thị hàm số y  x   m  1 x  mx  m  d tiếp tuyến  Cm  điểm có hồnh độ x  1 Giá trị tham số m để d qua điểm A  0;8  A m  B m  C m  D m  Dạng 2: Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f  x  biết hệ số góc TOANMATH.com Trang 17 Bài tốn 1: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết hệ số góc dựa vào quan hệ song song, vng góc, Phương pháp giải Thực theo hai cách sau: Ví dụ: Cho hàm số y  x  3x  Lập phương Cách 1: trình tiếp tuyến đồ thị hàm số cho biết tiếp Bước Xác định hệ số góc k tiếp tuyến tuyến song song với đường thẳng  : y  x  dựa vào giả thiết toán Bước Giải phương trình f   x   k để tìm Hướng dẫn giải Vì tiếp tuyến song song với  : y  x  nên hệ x  x0 hoành độ tiếp điểm số góc tiếp tuyến k  Tính y  f  x0   M  x0 ; y0  Ta có y  x  x Khi phương trình tiếp tuyến cần tìm  x  1 Xét phương trình x  x    x  y  k  x  x0   y0 Điểm M  x0 ; y0  tiếp điểm tiếp tuyến + Với x  1  y  2  M  1; 2  có phương với đồ thị hàm số cho trình tiếp tuyến y   x  1   y  x  Cách 2: + Với x   y   N  3;2  có phương trình Bước Xác định hệ số góc k tiếp tuyến tiếp tuyến y   x  3   y  x  25 dựa vào giả thiết tốn Bước Vì tiếp tuyến có hệ số góc k nên phương trình tiếp tuyến có dạng y  kx  b Dựa vào điều kiện tiếp xúc tiếp tuyến với Vì tiếp tuyến song song với  : y  x  nên hệ số góc tiếp tuyến k  Phương trình tiếp tuyến có dạng  d  : y  9x  b (C) ta tìm giá trị b với b  Lưu ý: Vì  d  : y  x  b tiếp tuyến đồ thị hàm số - Phương trình f   x   k có nghiệm có nhiêu tiếp điểm - Một số trường hợp xác định hệ số góc  x  x   x  b y  x  3x  nên  3 x  x  đường thẳng thường gặp  b  Giải hệ phương trình tìm   b  25 Cho hai đường thẳng Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm y  x  d1 : y  k1 x  b1 ; d2 : y  k2 x  b2 y  x  25 + Trường hợp 1: d1  d2  k1 k2  1 k  k2 + Trường hợp 2: d1 / / d2   b1  b2 + Trường hợp 3: Góc TOANMATH.com Trang 18  d1 ; d2     tan   k1  k2  k1 k Đặc biệt: Nếu góc d : y  kx  b với Ox   0    90  k  tan  Nếu đường thẳng d cắt Ox, Oy hai điểm A, B mà OB  m.OA k  tan   OB m OA + Trường hợp 4: Nếu đường thẳng d qua hai điểm A  x1 ; y1  B  x2 ; y2  k  y1  y x1  x2 Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x  x  có hệ số góc tiếp tuyến A y  x  15 hay y  x  B y  x  15 hay y  x  17 C y  x  hay y  x  17 D y  x  hay y  x  Hướng dẫn giải Ta có y  x  Gọi M  x0 ; y0  tiếp điểm Vì hệ số góc tiếp tuyến nên y  x0    3x02    x0  2 + Với x0  y0  Phương trình tiếp tuyến y   x     x  15 + Với x0  2 y0  1 Phương trình tiếp tuyến y   x     x  17 Chọn B Ví dụ 2: Có tiếp tuyến đồ thị hàm số y  A B 2x 1 song song với đường thẳng  : y  x  ? x 1 C D Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 19 Ta có y   x  1 Do tiếp tuyến song song với đường thẳng  : y  x  nên hệ số góc tiếp tuyến k  Xét phương trình  x  1 x  1   x  2 + Với x  y  Phương trình tiếp tuyến y  x  ( loại trùng với  ) + Với x  2 y  Phương trình tiếp tuyến y  x  Vậy có tiếp tuyến song song với  : y  x  Chọn D Ví dụ 3: Gọi (C) đồ thị hàm số y  x  x Tiếp tuyến (C) vng góc với đường thẳng d : x  y  có phương trình A y  x  B y  x  C y  x  D y  x  Hướng dẫn giải Ta có y  x  Gọi k hệ số góc tiếp tuyến cần tìm  1  Vì tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y   x nên k    1  k    Xét phương trình x    x   y  Phương trình tiếp tuyến cần tìm y   x  1   x  Chọn B Ví dụ 4: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x  3x  song song với trục Ox A y  3, y  1 B y  3, y  2 C x  3, x  1 D y  2, y  1 Hướng dẫn giải Do tiếp tuyến song song với trục Ox nên tiếp tuyến có tiếp điểm điểm cực trị có phương trình y  y0 với y0 giá trị cực trị hàm số cho Ta có y  3x  3; y   x  1 Do hàm số cho hàm bậc ba nên điểm cực trị A 1; 1 , B  1;3 Vậy phương trình đường tiếp tuyến cần tìm y  1; y  Chọn A Ví dụ 5: Tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x  x  12 x  song song với đường thẳng d :12 x  y  có dạng y  ax  b Giá trị a  b A B –23 C –23 –24 D –24 Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang 20 ... A 12 5  ®vdt  B 11 7  ®vdt  C 12 1  ®vdt  D 11 9  ®vdt  Hướng dẫn giải Ta có M  2 ;5? ??   C  ; y  3  x  1? ?? ; y    3 Phương trình tiếp tuyến M  2 ;5? ?? d : y  3 x  11 11  11 ...  B  0 ;11   OA  ; OB  11 3  TOANMATH.com Trang 1 11 12 1 Vậy SOAB  OA.OB  11   ®vdt  2 Chọn C Ví dụ 10 Cho hàm số y  xb  ab  2, a   Biết a b giá trị thỏa mãn tiếp tuyến ax...  x1 ; y1  B  x2 ; y2  k  y1  y x1  x2 Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  x  x  có hệ số góc tiếp tuyến A y  x  15 hay y  x  B y  x  15 hay y  x  17