Giáo án Đại số lớp 12 Chuyên đề 3 bài 2 Tích phân

Microsoft Word BÃ�i 2 TÃ�CH PHÃ�N doc TOANMATH com Trang 1 CHUYÊN ĐỀ 3 NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG BÀI 2 TÍCH PHÂN Mục tiêu  Kiến thức + Nắm được định nghĩa và các tính chất của tích phân + Nắ[.]

CHUYÊN ĐỀ NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG BÀI 2: TÍCH PHÂN Mục tiêu  Kiến thức + Nắm định nghĩa tính chất tích phân + Nắm vững phương pháp tính nguyên hàm bảng nguyên hàm để áp dụng tính tích phân + Nắm vững tính chất tích phân hàm số chẵn, hàm số lẻ quy tắc đạo hàm hàm số hợp + Nắm vững ý nghĩa vật lí đạo hàm, từ dó giải tốn thực tế sử dụng tích phân  Kĩ + Hiểu rõ định nghĩa tính chất tích phân để vận dụng vào việc tính tích phân + Sử dụng thành thạo bảng nguyên hàm phương pháp tính tích phân + Vận dụng tích phân vào tốn thực tế TOANMATH.com Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM I ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN Định nghĩa tích phân Chẳng hạn: F  x   x  C nguyên Định nghĩa Cho hàm số f  x  liên tục đoạn  a; b  , với a  b Nếu F  x  nguyên hàm hàm số f  x  đoạn  a; b giá trị F  b   F  a  gọi tích phân b   f  x  dx  F  x   F 1  F   0 b Lưu ý: Giá trị tích phân khơng phụ thuộc a vào số C f  x  dx  F  x   F  b   F  a  (1) a  13  C    03  C   hàm số f  x  đoạn  a; b  Kí hiệu hàm hàm số f  x   3x nên tích phân Cơng thức (1) cịn gọi cơng thức Newton – Trong tính tốn, ta thường chọn C  Leibnitz; a b gọi cận cận tích phân Ý nghĩa hình học tích phân Giả sử hàm số y  f  x  hàm số liên tục không âm đoạn  a; b  Khi đó, tích phân b  f  x  dx Chẳng hạn: Hàm số f  x   x  x  có đồ thị  C  f  x    x  1  , với x   a diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y  f  x  , trục hoành Ox hai đường thẳng x  a, x  b, với a  b Diện tích “tam giác cong” giới hạn  C  , trục Ox hai đường thẳng x  1 x  S   f  x  dx  1 b S   f  x  dx a  x3     x2  x     x  x  1 dx 1  1 Lưu ý: Ta cịn gọi hình phẳng “hình thang cong” Tính chất tích phân Cho hàm số f  x  g  x  hai hàm số liên tục khoảng K, K khoảng, nửa khoảng TOANMATH.com Trang đoạn a, b, c  K , đó: a Nếu b  a a  f  x  dx  Chẳng hạn: Cho hàm số f  x  liên tục, có a b Nếu f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  a; b  đạo hàm đoạn  1; 2 thỏa mãn f  1  f    1 ta có: b  Khi b f   x  dx  f  x   f  b   f  a  a a  f   x  dx  f  x  1 1  f    f  1  9 Lưu ý: Từ ta có b f  b   f  a    f   x  dx a b f  a   f  b    f   x  dx a c Tính chất tuyến tính b b b a a a  k f  x   h.g  x  dx  k  f  x  dx  h. g  x  dx Với k , h   d Tính chất trung cận b c b a a c  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx , với c   a; b  e Đảo cận tích phân a  b b f  x  dx    f  x  dx a f Nếu f  x   0, x   a; b b  f  x  dx  a b  f  x  dx  f  x   a g Nếu f  x   g  x  , x   a; b  b b a a  f  x  dx   g  x  dx h Nếu m  f  x  M  max f  x   a ;b  TOANMATH.com  a ;b  Trang b m  b  a    f  x  dx  M  b  a  a i Tích phân khơng phụ thuộc vào biến, tức ta ln có b  a b b b a a a f  x  dx   f  t  dt   f  u  du   f  y  dy  II CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Phương pháp đổi biến số Đổi biến dạng b Bài tốn: Giả sử ta cần tính tích phân I   f  x  dx , a ta phân tích f  x   g  u  x   u  x  ta thực phép đổi biến số Lưu ý: Phương pháp đổi biến số tích phân giống đổi biến số Phương pháp: nguyên hàm, thêm bước + Đặt u  u  x  , suy du  u  x  dx đổi cận + Đổi cận: x a b u u a u b b ub a ua + Khi I   f  x  dx   g  u  du  G  u  u b  ua , với G  u  nguyên hàm g  u  Đổi biến dạng Dấu hiệu Cách đặt a2  x2    x  a sin t ; t    ;   2 x2  a2 x a     ; t   ;  \ 0 sin t  2 a2  x2    x  a tan t; t    ;   2 ax ax   x  a.cos 2t; t   0;   2 ax ax   x  a.cos 2t ; t   0;   2 TOANMATH.com Trang   x  a   b  a  sin t; t   0;   2  x  a  b  x  Phương pháp tích phân phần b Chú ý: Cần phải lựa chọn u dv hợp lí a cho ta dễ dàng tìm v tích phân Bài tốn: Tính tích phân I   u  x  v  x  dx Hướng dẫn giải b  vdu a b u  u  x  du  u   x  dx Đặt   dv  v  x  dx v  v  x  dễ tính  udv a b Khi I   u.v  ba   v.du (cơng thức tích phân a phần) III TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ ĐẶC BIỆT Cho hàm số f  x  liên tục  a; a  Khi Đặc biệt a  a a f  x  dx    f  x   f   x   dx (1) + Nếu f  x  hàm số lẻ ta có a  f  x  dx  (1.1) a + Nếu f  x  hàm số chẵn ta có a  a a f  x dx  f  x  dx  1 bx 0 a a a f  x  dx   f  x  dx (1.2)   b  1 (1.3) Nếu f  x  liên tục đoạn  a; b  b  a b f  x  dx   f  a  b  x  dx a  Hệ quả: Hàm số f  x  liên tục  0;1 , đó:   Nếu f  x  liên tục đoạn  a; b  f  a  b  x   f  x  TOANMATH.com f  sin x  dx   f  cos x  dx b b ab a xf  x  dx  a f  x  dx Trang SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Định nghĩa Cho hàm số f  x  liên tục đoạn  a; b  , với a  b Nếu F  x  nguyên hàm hàm số f  x  đoạn  a; b  giá trị F  b   F  a  gọi tích phân hàm số f  x  đoạn  a; b  b Kí hiệu  f  x  dx  F  x  a b a  F b   F  a  Ý nghĩa hình học tích phân Giả sử hàm số y   f  x  hàm số liên tục không âm đoạn  a; b  Khi đó, tích phân b  f  x  dx a diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y  f  x  , trục hoành hai đường thẳng x  a, x  b  a  b  b S   f  x  dx a Tính chất tích phân Cho hàm số f  x  g  x  hai hàm số liên tục khoảng K, K khoảng, nửa khoảng đoạn a, b, c  K , ta có tính chất sau b  f  x  dx  ; a b  b f   x  dx  f  x   f  b   f  a  ; a a b b b a a a  k f  x   h.g  x   dx  k  f  x  dx  h. g  x  dx , với k , h   b  a c b a c f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx , với c   a; b  ; a  b b f  x  dx    f  x  dx ; a b   f  x  dx  b b a ; f  x   g  x  , x   a; b    f  x  dx   g  x  dx f  x   0, x   a; b    b a a    f  x  dx   f  x   a m  f  x   b  a ;b     m  b  a    f  x  dx  M  b  a  ; M  max f  x  a  a ;b   TOANMATH.com b  a b b b a a a f  x  dx   f  t  dt   f  u  du   f  y  dy  Trang II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tính tích phân cách sử dụng định nghĩa, tính chất Phương pháp giải Ví dụ: Cho hàm số f  x  có đạo hàm đoạn 1; 2 , f 1  f  2  Tích phân I   f   x  dx Sử dụng tính chất tích phân Sử dụng bảng nguyên hàm định nghĩa tích phân để tính tích phân A B C D Hướng dẫn giải 2 1 I   f   x  dx  f  x   f    f 1    Chọn C Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Giá trị  dx A B C D C 1 D Hướng dẫn giải Ta có  dx  x    Chọn A  Ví dụ 2: Giá trị  sin xdx A B  Hướng dẫn giải  Ta có  0  sin xdx   cos x  Chọn B Ví dụ 3: Cho hàm số f  x   x có nguyên hàm F  x  Khẳng định sau đúng? A F    F    16 B F    F    C F    F    D F    F    Hướng dẫn giải TOANMATH.com Trang x4 Ta có  x dx    F  2  F  0 Chọn D Ví dụ 4: Giá trị I   A I  ln  1 dx 2x 1 B I  ln C I  ln  D I  ln  Hướng dẫn giải I   1 dx  ln x  2x 1 2 1  ln  ln1  ln  ln 2 Chọn B Ví dụ 5: Cho 1 0  f  x  dx   g  x  dx  Giá trị I    f  x   g  x  dx A B C D 12 Hướng dẫn giải 1 0 I   f  x  dx  2 g  x  dx  12 Chọn D Ví dụ 6: Cho  f  x  dx   A f  x  dx  Giá trị I   f  x  dx B D 2 C Hướng dẫn giải 5 1 I   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx    1  Chọn A Ví dụ 7: Cho  f  x  dx  2, 1 A I  17 2 1 1  g  x  dx  1 Khi I    x  f  x   3g  x dx B I  17 C I  15 D I  Hướng dẫn giải x2 Ta có I    x  f  x   g  x  dx  1 TOANMATH.com 1 2 1 1   f  x  dx   g  x  dx Trang  17  2.2   1  2 Chọn B  Ví dụ 8: Cho   f  x  dx  Giá trị I    f  x   2sin x  dx bao nhiêu? A I  B I  C I  D I  Hướng dẫn giải    2  0 I    f  x   2sin x  dx   f  x  dx   sin xdx   cos x 0  Chọn D Ví dụ 9: Cho F  x  nguyên hàm hàm số f  x   B I   A I  ln x Giá trị F  e   F 1 x C I  D I  Hướng dẫn giải e e ln x ln x dx   ln xd  ln x   x 1 Ta có F  e   F 1   e 1  Chọn D Ví dụ 10: Tích phân I   A I  ln dx x  3x  2 B I  ln C I  ln D I  ln Hướng dẫn giải Ta có  x     x  1   1  x  3x   x  1 x   x 1 x  2 1 1 dx   dx   ln x   ln x    ln  ln Suy I   x 1 x2 0 Chọn A  Ví dụ 11: Tích phân I   cos3 x sin xdx A I  B I  C I  D I  1 Hướng dẫn giải  1 1  Ta có I    cos3 xd  cos x     cos x      4 4 0 Chọn B TOANMATH.com Trang Ta có  cos x    sin x nên sin xdx  d  cos x  Ví dụ 12: Biết tích phân I    x  1 dx x  x x 1  a  b  c , với a, b, c   Giá trị biểu thức P  a  b  c A P  B P  C P  D P  Hướng dẫn giải Ta có I  x   x  0, x  1; 2 nên 2 x 1  x 1 dx   dx   dx  x  x  x x 1 x x 1 1      Suy a  4, b  c  2 nên P  a  b  c  Chọn B Nhân liên hợp x 1  x Ví dụ 13: Cho hàm số f  x  thỏa mãn f     f   x   x  f  x   với x   Giá trị f 1 A f 1  3 B f 1  2 C f 1   D f 1  Hướng dẫn giải Từ f   x   x  f  x   (1), suy f   x   với x  1; 2 Suy f  x  hàm không giảm đoạn 1; 2 nên f  x   f    , x  1; 2 Chia vế hệ thức (1) cho  f  x   ta f  x  f  x    x, x  1; 2 (2) Lấy tích phân vế đoạn 1; 2 hệ thức (2), ta f  x  1  dx  1  f  x  1 xdx   f  x       Do f      x2  1      f 1 f    1 nên suy f 1   3 Chọn C Chú ý đề cho f   , yêu cầu tính f 1 , ta sử dụng nguyên hàm để tìm số C Tuy nhiên ta dựa vào định nghĩa tích phân để xử lí TOANMATH.com Trang 10 ... 1 2  I2   x  d   x   23   x  2  x2 1 ? ?2 3? ?? 16 I    e x  1 dx   e x  x   e  0  f  x  dx  I Suy 1  I2  e   22 22 Suy a  1; b  2; c   3 Vậy T  a  b  3c... phân b  3x  f  x  dx D  2ax  1 dx A b3  b a  b Câu 22 : Tích phân B b3  b a  b C b  ba  b D 3b  2ab  C D   3x  1 x  3? ?? dx A 12 Câu 23 : Biết B  x? ?2 dx  a  b ln c , với a,... b x  x A 11 B 21 C 31 D 41 Hướng dẫn giải Ta có 3 2x  2x 1 2   2x 1 ? ?2 x2  x dx  ? ?2 x  x dx  ? ?2  x  x  x  x  dx   2x 1 2      dx  ln x  x  ln x  2ln x  1 x x x