Microsoft Word BÃ�i 5 TIẾP TUYẾN doc TOANMATH com Trang 1 CHUYÊN ĐỀ 1 BÀI 5 TIẾP TUYẾN Mục tiêu Kiến thức + Nắm được khái niệm đường tiếp tuyến của đồ thị hàm số, sự tiếp xúc của hai đồ thị + Hi[.]
CHUYÊN ĐỀ BÀI TIẾP TUYẾN Mục tiêu Kiến thức + Nắm khái niệm đường tiếp tuyến đồ thị hàm số, tiếp xúc hai đồ thị + Hiểu ý nghĩa đạo hàm liên quan đến hệ số góc tiếp tuyến điểm + Biết cách viết phương trình tiếp tuyến đồ thị biết điểm tiếp xúc, biết trước hệ số góc tiếp tuyến qua điểm cho trước Kĩ + Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm cho trước + Biết cách viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết trước + Biết cách viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số qua điểm cho trước + Giải toán liên quan đến tiếp tuyến đồ thị hàm số TOANMATH.com Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Cho hai hàm số f x g x có đạo hàm điểm x0 Ta nói hai đường cong C :y f x C : y g x tiếp xúc với điểm M x ;y0 M tiếp điểm chung chúng (C) ( C ) có tiếp tuyến chung M Điều kiện tiếp xúc: Hai đường cong (C): y f x C : y g x tiếp xúc với hệ phương trình f x g x có nghiệm f x g x Nghiệm hệ phương trình hồnh độ tiếp điểm hai đường cong TOANMATH.com Trang SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA Khái niệm tiếp tuyến Điều kiện tiếp xúc hai chung hai đồ thị hàm đồ thị hàm số: Hai đường cong số: (C): y f x C : y g x Cho hai hàm số f x tiếp xúc với g x có đạo hàm điểm hệ phương trình f x g x có nghiệm f x g x TIẾP TUYẾN x0 Ta nói hai đường cong (C): y f x C : y g x Nghiệm hệ phương tiếp xúc với điểm M x ;y0 trình hồnh độ tiếp điểm M tiếp điểm hai đường cong chung chúng Hai đường cong có tiếp tuyến chung M II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm cho trước Bài toán 1: Sự tiếp xúc hai đường cong Phương pháp giải Cho hai đường cong (C): y f x Ví dụ: Cho đồ thị hàm số C : y x 3x C : y g x Điều kiện để hai đường cong Hoành độ tiếp điểm đồ thị (C) với trục Ox tiếp xúc với hệ phương trình x 3x nghiệm hệ 3x f x g x có nghiệm f x g x - Nghiệm x x hệ hoành độ tiếp điểm hai đường cong cho - Hệ có nghiệm hai x 2;x 1 x 1 x 1 Vậy tọa độ tiếp điểm đồ thị (C) với trục hoành A 1;0 đường cong (C) C tiếp xúc với nhiêu điểm Ví dụ mẫu TOANMATH.com Trang Ví dụ 1: Đồ thị hàm số y x x tiếp xúc với đường thẳng đây? A y x B y 2x C y x D y 2x Hướng dẫn giải: Áp dụng điều kiện tiếp xúc hai đường cong C : y f x C : y g x hệ phương trình f x g x có nghiệm f x g x Ta có y 3x 0, x nên phương án B, C bị loại x x x Xét phương án A y x Ta có hệ x0 3x Vậy đường thẳng y x tiếp xúc với đồ thị hàm số cho Chọn A Ví dụ Tập hợp tất giá trị thực tham số m để đường thẳng y 2x m tiếp xúc với đồ thị hàm số y x 1 x 1 A 7; 1 B 1 C 6 D 6; 1 Hướng dẫn giải: Đường thẳng y 2x m tiếp xúc với đồ thị hàm số y x 1 hệ phương trình sau có x 1 nghiệm x x 1 x m x x x 1 2 x m x 2 x m m 1 x 1 2 x 2 x 2x x 1 x 1 m Vậy m 1;7 đường thẳng d tiếp xúc với (C) Chọn A Ví dụ 3: Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để đồ thị ( Cm ) hàm số y x mx 7mx 3m tiếp xúc với parabol P : y x x Tổng giá trị phần tử S A 11 B 331 C D 4 Hướng dẫn giải: Để ( Cm ) tiếp xúc với (P) hệ phương trình sau có nghiệm: x mx 7mx 3m x x 3 x 8mx 7m x TOANMATH.com Trang x 4m 1 x 7m 1 x 3m 1 3 x m 1 x 7m Giải (1), ta có (1) x 1 x mx 3m 1 x x 4mx 3m + Với x thay vào (2) m x mx 3m 3 m 1 x m 1 + Xét hệ 3 x m 1 x 7m • Nếu m (4) vơ nghiệm • Nếu m m 1 (4) x 2m m 1 m 1 m 1 Thay x vào (3) ta 4m 3m 2m 2m 2m m m 11m 5m m (thỏa mãn điều kiện) m 11 Vậy S 2; ;1 nên tổng phần tử S 4 Chọn A Ví dụ 4: Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y x3 m x mx tiếp xúc với đường thẳng y Tổng giá trị phần tử S A 10 B 20 C D 32 Hướng dẫn giải x3 m x mx 1 Xét hệ phương trình x m x 2m x m Giải phương trình (2) ta x + Với x m , thay vào (1) ta m m3 m2 m + Với x , thay vào (1), ta m TOANMATH.com Trang Vậy tập hợp giá trị tham số thực để đồ thị hàm số cho tiếp xúc với đường thẳng y 2 20 S 0;6; nên tổng phần tử S 3 Chọn B Ví dụ Biết đồ thị hàm số C : y x ax bx c a, b, c , tiếp xúc với trục hoành gốc tọa độ cắt đường thẳng x điểm có tung độ Tổng a + 2b + 3c A B C D Hướng dẫn giải: Vì (C) tiếp xúc với Ox gốc tọa độ nên x nghiệm hệ phương trình x ax bx c b 3 x ax b c Mặt khác (C) qua điểm A 1;3 nên a b c a Vậy a b 3c Chọn B Ví dụ Họ parabol Pm : y mx m 3 x m m tiếp xúc với đường thẳng d cố định m thay đổi Đường thẳng d qua điểm đây? A A 1; 8 B B 0; 2 C C 0;2 D D 1;8 Hướng dẫn giải Ta có: y mx m 3 x m m x x 1 x y m x 1 x Xét đường thẳng d : y x hệ phương trình m x 12 x x ln có nghiệm x với m 2 m x 1 Vậy Pm tiếp xúc với đường thẳng d : y x Đường thẳng d qua điểm B 0; 2 Chọn B Nhận xét: Nếu viết lại hàm số Pm theo dạng y m ax b cx d Pm tiếp xúc với đường y cx d Bài tốn Lập phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y f x điểm M x0 ; y0 Phương pháp giải Thực theo bước sau Ví dụ: Hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị hàm số Bước 1: Tính y f x f x0 y x x điểm M 2;8 Bước 2: Suy phương trình tiếp tuyến cần A –11 B C 11 D –12 TOANMATH.com Trang tìm y f x0 x x0 y0 Hướng dẫn giải Bước 3: Thực yêu cầu cịn lại Ta có y 3 x y 2 11 tốn Kết luận Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm Chú ý: M 2;8 y 11 x - Nếu tốn cho x0 ta cần tìm Suy hệ số góc tiếp tuyến k 11 y0 f x0 f x0 Chọn A - Nếu tốn cho y0 ta cần tìm x0 cách giải phương trình f x y0 - Giá trị f x0 hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số y f x điểm M x0 ; y0 Ví dụ mẫu Ví dụ Tiếp tuyến đường cong C : y x x điểm M 3;6 có hệ số góc A 11 B C D 11 Hướng dẫn giải Ta có y x x x 1 3x Hệ số góc cần tìm y 3 x 1 3.3 2 1 11 Chọn B Ví dụ Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y x x điểm M 1;2 A y x B y x C y 3x D y x Hướng dẫn giải: Ta có y x y 1 Vậy phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số cho điểm M 1;2 y x 1 x Chọn B Ví dụ Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số C : y x điểm có hồnh độ A y 3x B y 3x C y 3x D y 3x Hướng dẫn giải Ta có y x y 1 Do x0 y y 1 TOANMATH.com Trang Vậy phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số cho điểm có hồnh độ y x 1 y x Chọn C Ví dụ Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y x x điểm có tung độ B y A y C y D y Hướng dẫn giải Gọi M x0 ; y0 tiếp điểm Ta có y0 x04 x02 x0 M 0;1 Lại có y x x y Phương trình tiếp tuyến cần tìm y Chọn C Ví dụ Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y B y x A y x 2x giao điểm đồ thị với trục hoành x 3 C y 2 x D y x Hướng dẫn giải Giao điểm đồ thị hàm số cho với trục hồnh nghiệm phương trình 2x x đồ x 3 thị hàm số cắt trục hoành điểm (2; 0) Ta có y 2 x 3 y 2 Phương trình tiếp tuyến cần tìm y 2 x hay y 2 x Chọn C Ví dụ Cho hàm số y x 3x có đồ thị (C) Phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục tung A y x B y x C y 2 x D y 3 x Hướng dẫn giải Ta có C Oy A 0; 2 ; y Phương trình tiếp tuyến A 0; 2 y 3x Chọn A Ví dụ Gọi đường thẳng y ax b phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y 2x 1 điểm có x 1 hoành độ x Giá trị a b TOANMATH.com Trang A B –1 C D Hướng dẫn giải Ta có x0 y0 2x 1 Tọa độ tiếp điểm đường thẳng y ax b đồ thị hàm số y x 1 1 M 1; 2 Vì y x 1 nên y 1 Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y 3 x 1 y x 4 a ab 1 b Chọn C Ví dụ Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y tan x điểm có hồnh độ x0 4 A y x B y x C y x D y 6 x Hướng dẫn giải Ta có y y 6; x0 y0 1 6 cos2 3x 4 3 Phương trình tiếp tuyến cần tìm y 6 x Chọn D Ví dụ Gọi M điểm thuộc đồ thị hàm số C : y 2x có tung độ Tiếp tuyến đồ thị (C) x 1 M cắt trục Ox, Oy A, B Diện tích tam giác OAB A 125 ®vdt B 117 ®vdt C 121 ®vdt D 119 ®vdt Hướng dẫn giải Ta có M 2;5 C ; y 3 x 1 ; y 3 Phương trình tiếp tuyến M 2;5 d : y 3 x 11 11 11 Khi d cắt Ox, Oy A ;0 B 0;11 OA ; OB 11 3 TOANMATH.com Trang 1 11 121 Vậy SOAB OA.OB 11 ®vdt 2 Chọn C Ví dụ 10 Cho hàm số y xb ab 2, a Biết a b giá trị thỏa mãn tiếp tuyến ax đồ thị hàm số điểm A 1; 2 song song với đường thẳng d : x y Khi giá trị a 3b A B C –1 D –2 Hướng dẫn giải Ta có: y 2 ab ax y 1 2 ab a 2 Do tiếp tuyến song song với đường thẳng d : x y y 3 x nên y 1 3 2 ab a 2 3 Mặt khác A 1; 2 thuộc đồ thị hàm số nên 2 1 b b 2 a a2 2 ab 3 a 2 Khi ta có hệ a 5a 15a 10 a b 2 a + Với a b 1 ab 2 (loại) + Với a b ( thỏa mãn điều kiện) Khi ta có hàm số y y 3 x 2 x 1 x 2 y 1 3 nên phương trình tiếp tuyến y 3x song song với đường thẳng y 3 x Vậy a 3b 2 Chọn D Ví dụ 11 Trong tất đường thẳng tiếp xúc với đồ thị hàm số y x x x đường thẳng d có hệ số góc lớn Phương trình đường thẳng d A y x B y x C y D y 3x Hướng dẫn giải Ta có y 3 x x TOANMATH.com Trang 10 ... A 12 5 ®vdt B 11 7 ®vdt C 12 1 ®vdt D 11 9 ®vdt Hướng dẫn giải Ta có M 2 ;5? ?? C ; y 3 x 1? ?? ; y 3 Phương trình tiếp tuyến M 2 ;5? ?? d : y 3 x 11 11 11 ... B 0 ;11 OA ; OB 11 3 TOANMATH.com Trang 1 11 12 1 Vậy SOAB OA.OB 11 ®vdt 2 Chọn C Ví dụ 10 Cho hàm số y xb ab 2, a Biết a b giá trị thỏa mãn tiếp tuyến ax... x1 ; y1 B x2 ; y2 k y1 y x1 x2 Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y x x có hệ số góc tiếp tuyến A y x 15 hay y x B y x 15 hay y x 17