Phần 2 tích phân

TRƯỜNG THCS & THPT TRÍ ĐỨCNG THCS & THPT TRÍ ĐỨCC ĐỀ CƯƠNG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023 CƯƠNG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023NG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023C KÌ NĂM 2023 BÀI TÍCH PHÂN A LÝ THUYẾT: Định nghĩa tích phân: f  x  Cho hàm số liên tục đoạn  a; b Ta nói hiệu số F  b   F  a   a; b Giả sử F  x  b b a f  x cận trên, f  x f  x tích phân từ a đến b hàm số  f  x  dx F  x  a F  b   F  a   Ký hiệu: nguyên hàm Trong cách ghi này, ta nói: a cận dưới, b là hàm số dấu tích phân Tính chất: a  f  x  dx 0  kf  x  dx k  f  x  dx b b a a b a a b  f  x  dx   f  x  dx   f  x  g  x   dx  f  x  dx  g  x  dx a b (k số) c b c a a b b a  f  x  dx  f  x  dx   f  x  dx f  x  dx 0 f  x  0, x   a; b  Nếu  b a a b b b a a a  f  x  dx  f  t  dt  f  u  du b a f  x  g  x  , x   a; b  Nếu  Đặc biệt: b b a a f  x  dx  g  x  dx   Nếu hàm dấu tích phân y  f  x  Nếu hàm dấu tích phân y  f  x a a a  f  x  dx 2 f  x  dx   a; a  hàm số lẻ hàm số chẵn a f  x  dx 0  a   a; a  Phương pháp tính tích phân: a) Phương pháp tích phân đổi biến: đạo hàm liên tục  a; b  ; f  u  b u b a u a  f  u  x   u x  dx   f  u  du  a; b  thì: u u  x  , v v  x  có b hai hàm có đạo hàm liên tục b u  x  v x  dx u  x  v  x  a  u x  v  x  dx a u  x  u  a  ; u  b   hàm liên tục đoạn  b) Phương pháp tích phân phần: Nếu b hàm a B BÀI TẬP MẪU:  DẠNG 1: TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT  Phương pháp giải  TỔ TOÁN TOÁN 12 86 TRƯỜNG THCS & THPT TRÍ ĐỨCNG THCS & THPT TRÍ ĐỨCC ĐỀ CƯƠNG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023 CƯƠNG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023NG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023C KÌ NĂM 2023  Sử dụng định nghĩa bảng tính chất (mục 2) phần lý thuyết để làm  Ví dụ mẫu b c d f  x  dx 2,  f  x  dx  3,  f  x  dx 5  Ví dụ 1: Cho biết  Hãy tính d I  f  x  dx a b c a b  Ví dụ 2: Cho biết b  f  x  dx 5,  f  x  dx 6 Hãy tính c I  f  x  dx a c a  Ví dụ 3: Cho biết b b b a a a  f  x  dx 11,  g  x  dx  3,  h  x  dx 4 Hãy tính b I   f  x   g  x   2h  x   dx a 10  Ví dụ 4: Cho biết 7  f  x  dx 8,  f  x  dx 1,  f  x  dx 2 I  f  x  dx Hãy tính 1 10  Ví dụ 5: Cho biết  f  x  dx a, P  f  x  dx b ab   f  x  dx  a b  Hãy tính  Ví dụ 6: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm liên tục đoạn  0; 2 f   1, f   5  f  x  dx Hãy tính  Ví dụ 7: Cho hàm số y  f  x có đạo hàm đoạn  1; 4 biết f  1   f  x  dx 6 Hãy tính f   f  x  x ln x e I  f  x  dx  Ví dụ 8: Cho hàm số Hãy tính BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM  TỔ TOÁN TOÁN 12 87 TRƯỜNG THCS & THPT TRÍ ĐỨCNG THCS & THPT TRÍ ĐỨCC Câu Cho f  x , g  x b A C hai hàm số liên tục  Chọn mệnh đề sai mệnh đề sau b b f  x  dx f  y  dy a a B b a a a b f  x  dx 0  f  x  g  x   dx f  x  dx.g  x  dx y  f  x a b C b  f  x   g  x   dx f  x  dx  g  x  dx a D Câu Cho hàm số , sau, khẳng định sai? A ĐỀ CƯƠNG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023 CƯƠNG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023NG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023C KÌ NĂM 2023 y g  x  liên tục a a  a; b  b B a số thực k tùy ý Trong khẳng định b xf  x  dx xf  x  dx a a a b kf  x  dx 0  f  x   g  x   dx f  x  dx  g  x  dx a D b a b f  x  dx  f  x  dx a b b a b a a f  t F t f  t Câu Cho hàm số liên tục K a, b  K , nguyên hàm K Chọn khẳng định sai khẳng định sau b A b F  a   F  b  f  t  dt a B f  t  dt F  t  a b a b b b b   f t d t  f t d t       f x d x  f  t  dt       a   a a C D a F  x f  x F    F  1 Câu Cho nguyên hàm hàm số Khi hiệu số A 1 1 f  x  dx  F  x  dx  F  x  dx  f  x  dx B Câu Cho A  a  b C , 2 Khi Câu Nếu A D bằng: a  b C f  x  dx D a  b C B  D 1 f  x  dx 2 g  x  dx 5  f  x   g  x   dx Câu Cho A  0 f ( x)dx B b  a f  x  dx 3, f  x  dx  1 f ( x)dx a f ( x)dx b 0 , B  C 12 D 1  f  x   g  x   dx 12 g  x  dx 5 f  x  dx Câu Cho A  , B 12 C 22 D 1 1   f  x  dx 2 g  x  dx      f  x   g  x   dx Câu Cho   ,   3 A B C D c f  x  dx 50 Câu 10 Cho a A  30  TỔ TOÁN TOÁN 12 , c a f  x  dx 20 f  x  dx b B Tính b C 70 D 30 88 TRƯỜNG THCS & THPT TRÍ ĐỨCNG THCS & THPT TRÍ ĐỨCC ĐỀ CƯƠNG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023 CƯƠNG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023NG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023C KÌ NĂM 2023 1 f  x  dx 2 g  x  dx 5  f  x   g  x   dx Câu 11 Cho A  , B 12 C  Câu 12 Cho hàm số f  x liên tục  thỏa mãn D 10 f  x dx 7, f  x dx 8, f  x dx 9 3 Giá trị 10 I  f  x  dx A I 5 B I 6 C I 7 D I 8 2  f  x   g  x   dx 1  f  x   g  x   dx  Câu 13 Cho 11 A , 1  B Khi đó, C 1 f  x  dx 2  f  x   g  x   dx  g  x  dx Câu 14 Cho A  , C 10 B 12 16 D f  x  dx D  Câu 15 Cho hàm A  f  x có đạo hàm liên tục B  2;3 đồng thời f   2 C 10 , f  3 5 Tính f  x  dx D Câu 16 Cho hàm số A f  x 1;3 f  3 4 có đạo hàm liên tục đoạn   , C  B 11  f  x  dx 7 Khi f  1 D  11 f  x  dx 2017  1; 4 f   2018  f   1  có đạo hàm đoạn , , Tính ? f   1 1 f   1 3 f   1 2 B C D f  x Câu 17 Cho hàm số f   1  A y  f  x Câu 18 Cho hàm số f  4 trị A 29 có đạo hàm f  x  B  1; 4 , f  1 12 liên tục C 19 f  x  dx 17 Giá D Câu 19 Cho y  f  x , y g  x  hàm số có đạo hàm liên tục  0; 2 g  x  f  x  dx 2  , g  x  f  x  dx 3 I  A I  C D I 1 f  x g  x   1;1 f  x  hàm số chẵn, g  x  hàm Câu 20 Cho , hai hàm số liên tục đoạn số lẻ Biết Tính tích phân B I 6 I  f  x  g  x    dx f  x  dx 5 g  x  dx 7 ;0 Mệnh đề sau sai? A C f  x  dx 10 1 B  f  x   g  x   dx 10 1 1  f  x   g  x   dx 10 g  x  dx 14 1  TỔ TOÁN TOÁN 12 D 1 89 TRƯỜNG THCS & THPT TRÍ ĐỨCNG THCS & THPT TRÍ ĐỨCC ĐỀ CƯƠNG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023 CƯƠNG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023NG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023C KÌ NĂM 2023  DẠNG 2: TÍNH TÍCH PHÂN DỰA VÀO BẢNG NGUYÊN HÀM  Phương pháp giải  Sử dụng định nghĩa: f  x Để tìm F  x b b a a  f  x  dx F  x  F  b   F  a  với F  x nguyên hàm cần đến bảng nguyên hàm sơ cấp nguyên hàm mở rộng hàm số  Ví dụ mẫu I   x  x  dx  Ví dụ 1: Tính I   x  1 dx 1  Ví dụ 2: Tính   2x  I    dx x    Ví dụ 3: Tính 2 2 I   3x   dx x    Ví dụ 4: Tính I   e x  1 dx  Ví dụ 5: Tính  Ví dụ 6: Tính I  x  e  x  dx   Ví dụ 7: Tính I 2  sin x  x  1 dx  TỔ TOÁN TỐN 12 90 TRƯỜNG THCS & THPT TRÍ ĐỨCNG THCS & THPT TRÍ ĐỨCC  Ví dụ 8: Tính  I   3cos x  4sin x  dx ĐỀ CƯƠNG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023 CƯƠNG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023NG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023C KÌ NĂM 2023    I 3 cos  x   dx 3   Ví dụ 9: Tính  Ví dụ 10: Tính  I  sin xdx   Ví dụ 11: Tính I 3 dx sin x cos x  Ví dụ 12: Tính   I   tan x  cot x  dx  Ví dụ 13: Tính biết    f  x  dx 1 I 2  cos x  f  x   dx Hãy tính  Ví dụ 14: Cho   f  x   e 1 f  x  x 1 hàm liên tục đoạn   1;1 f   x   f  x  Hãy tính  dx BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM: Mức độ 1:  TỔ TOÁN TOÁN 12 91 TRƯỜNG THCS & THPT TRÍ ĐỨCNG THCS & THPT TRÍ ĐỨCC ĐỀ CƯƠNG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023 CƯƠNG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023NG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023C KÌ NĂM 2023 Câu 21 Tích phân A 2 xdx Câu 22 Tích phân A có giá trị là: B  3x D C  D C 61 D C I 4 D I=−4  1 dx B  Câu 23 Tích phân C  x  3 dx 61 B A 61 I  (4 x3  3)dx Câu 24 Tính tích phân A I 6 1 I  B I x 2018   x  dx Câu 25 Tính tích phân 1 1 I  I  2018 2019 B 2020 2021 C A dx I  x2 Câu 26 Tính tích phân 4581 I I log 5000 A B C dx I   2x Câu 27 Tính tích phân  ln A B  ln C I 1 1  I  2019 2020 D 2017 2018 I ln D ln I  21 100 log D 1  x dx Câu 28 Tích phân  A  ln B 2ln  C ln D ln e I  dx x  Câu 29 Tích phân bằng: A ln   e  3  ln  e   B x 1 I  dx x Câu 30 Tính tích phân: C ln  e    3e  ln   D   A I 1  ln B I 2 ln I C I 1  ln D e C e D e Câu 31 Tích phân e x dx 1 B e A e   Câu 32 Tính tích phân  TỔ TỐN TỐN 12 sin 3xdx 92 TRƯỜNG THCS & THPT TRÍ ĐỨCNG THCS & THPT TRÍ ĐỨCC 1  A B ĐỀ CƯƠNG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023 CƯƠNG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023NG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023C KÌ NĂM 2023 2  C D Câu 33 Tích phân I e x 1dx 2 B e  e A e  C e  e D e  e B e  e2  C D e 22018  B ln 22018 C ln 2018 D 3x 1 C C x  x 1 D  C C D Câu 34 Tích phân I e x dx A e  2018 I Câu 35 Tích phân x  dx 2018 A  f  x  3x Câu 36 Họ nguyên hàm hàm số x C x A ln  C B ln Câu 37 Tích phân A ln 3 x dx B ln  Câu 38 Tích phân A f  x  cos xdx  Câu 39 Tích phân 1 B  D 21 D   cos   x  dx B  A C  C     I sin   x  dx 4  Câu 40 Tính tích phân  I A B I  f  x  dx 3 Câu 41 Cho A Tính  f  x   1 dx f  x  dx 3 Câu 42 Cho A  Câu 43 Cho Tính tích phân B  f  x  dx 10  TỔ TOÁN TOÁN 12 C D I   f  x   1 dx 2 C D D I 1 ? B 2 C I 0 Kết   f  x   dx bằng: 93 TRƯỜNG THCS & THPT TRÍ ĐỨCNG THCS & THPT TRÍ ĐỨCC A 34 B 36 Câu 44 Cho ĐỀ CƯƠNG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023 CƯƠNG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023NG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023C KÌ NĂM 2023 C 40 f  x  dx 2 1 11 I A D 32 g  x  dx  1 Tính I B I   x  f  x   g  x   dx I D 1 17 I C Mức độ 2:  I tan xdx Câu 45 Tính tích phân A  I 1  C I ln  I 12 D 13 B C D dx x 1 B C D B I 2 I  x  dx Câu 46 Tính tích phân A 13 Câu 47 Kết A  Câu 48 Tích phân A  dx x 1  B   21 C ln D 21 I  2mx  1 dx Câu 49 Đặt A m  ( m tham số thực) Tìm m để I 4 B m  C m 1 D m 2 a  x  5 dx a  Câu 50 Có giá trị thực a để có A B C D Vô số  cos xdx a  b  , với a , b số hữu tỉ Tính T 2a  6b B T  C T  D T 2 Câu 51 Biết A T 3 Câu 52 Biết f ( x)dx  1 f ( x)dx  1 B I 4e  A I 2e  Câu 1 I  4e2 x  f ( x)  dx Tính tích phân  C I 4e D I 2e  1  x   cos x  dx   a  b   c  a, b, c    53 Cho tích phân , Tính a  b  c A  Câu 54 Biết B a   4sin x  dx  b  TỔ TOÁN TOÁN 12  C  c D a , a , b nguyên dương b tối giản Tính a  b  c 94 TRƯỜNG THCS & THPT TRÍ ĐỨCNG THCS & THPT TRÍ ĐỨCC ĐỀ CƯƠNG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023 CƯƠNG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023NG TỐN 12 HỌC KÌ NĂM 2023C KÌ NĂM 2023 A B 16 C 12 3x  x 1 y  f  x   4  x  x 2 Tính tích phân Câu 55 Cho hàm số A B C Câu 56 Cho hàm số A  ln   y  f  x   x  2 x  D 14 f  x  dx D  x 1  x 3 Tính tích phân C  ln Mức độ 3: B  ln f  x  dx D  ln dx a b  a * 3  a, b    Câu 57 Cho x   x  , Tính a  2b A a  2b 7 B a  2b 8 C a  2b  D a  2b 5  Câu 58 Biết tích phân A T  10 x  3x   2x 1 dx  a b với a , b số thực Tính tổng T a  b C T 15 D T 8 B T  m  x  x  dx Câu 59 Xác định số thực dương m để tích phân m 1 B m 2 A có giá trị lớn m  C D m 4 a 2 Câu 60 Cho a số thực thỏa mãn A B  x 1 dx 4 a C Giá trị biểu thức  a D b   ;3  cho Câu 61 Có số thực b thuộc khoảng A B C 4 cos xdx 1 ? D   DẠNG 3: TÍNH TÍCH PHÂN HÀM PHÂN THỨC  Phương pháp giải  Dạng bản: 1 x f  x   Xét hàm phân thức dạng  x dx ln x  C ,  ax  b dx  a ln ax  b  C , P  x Q  x dx  C , x   ax  b  dx  1 C a ax  b Quy tắc chung: Chia tử cho mẫu tìm phần dư đưa dạng P  x S  x R  x   Q  x Q  x với bậc tử S  x Q  x nhỏ bậc mẫu Từ ta xét trường hợp sau: Bậc tử lớn bậc mẫu Minh họa:  TỔ TOÁN TOÁN 12 95