2 TÍCH PHÂN NÂNG CAO

Ngun Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng TÍCH PHÂN NÂNG CAO A – LÝ THUYẾT CHUNG Định nghĩa Cho hàm số y = f ( x ) thỏa: + Liên tục đoạn [ a; b] + F ( x ) nguyên hàm f ( x ) đoạn [ a; b] Lúc hiệu số F ( b ) − F ( a ) gọi tích phân từ a đến b kí hiệu b ∫ f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a ) a Chú ý: + a, b gọi cận tích phân b + a = b ∫ f ( x ) dx = a b + a > b ∫ a a f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx b b + Tích phân khơng phụ thuộc biến số, tức ∫ a b f ( x ) dx = ∫ f ( t ) dt = F ( b ) − F ( a ) a Tính chất b + ∫ a c b a c f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx, ( a < c < b ) b b a a + ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx, với k số khác + b b b a a a ∫  f ( x ) + g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx Chú ý: Để tính tích phân từ a đến b, ta tiến hành tìm ngun hàm sau thay cận vào theo cơng thức b ∫ f ( x ) dx = F ( b ) − F ( a ) a 19 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng B – BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM π Câu 1: dx Bằng cách đặt t = tan x, tích phân A biến 3sin x − cos x − đổi thành tích phân sau Xét tích phân A = ∫ A 1 ∫0 t − 4dt B 1 ∫0 t + 4dt C ∫0 t − 2dt D ∫t dt +2 π Câu 2: x Đặt t = tan I = ∫ dx biến đổi thành 2∫ f ( t )dt Hãy xác định f ( t ) : x 0 cos A f ( t ) = − 2t + t Câu 3: Biết ∫ 3e 1+ x dx = B f ( t ) = + 2t + t C f ( t ) = + t D f ( t ) = − t a b b c e + e + c ( a, b, c ∈ ℝ ) Tính T = a + + 3 A T = B T = C T = 10 D T = 5 Câu 4: x − +1 dx = + a ln + b ln , với a , b số nguyên Tính S = a − b x Biết I = ∫ A S = B S = 11 C S = D S = −3 Câu 5: a b ln − c, a , b, c số nguyên dương phân b c số tối giản Tính S = a + b + c Biết I = ∫ x ln ( x + 1) dx = A S = 60 B S = 70 Câu 6: Giả sử tích phân ∫ x.ln ( 2x + 1) 2017 A b + c = 6057 Tính tích phân ∫ D S = 68 b b dx = a + ln Với phân số tối giản Lúc c c B b + c = 6059 6+ Câu 7: C S = 72 C b + c = 6058 D b + c = 6056 −4 x + x − a + b + cπ + Với a , b , c số dx = x4 + ( ) nguyên Khi biểu thức a + b + c có giá trị A 20 B 241 C 196 D 48 π Câu 8: Tích phân x ∫ + cos x dx = aπ + b ln , với a , b số thực Tính 16a − 8b A B e Câu 9: Cho biết tích phân I = ∫ x ( x + ln x ) dx = C D a.e4 + b.e2 + c với a, b, c ước nguyên 4 Tổng a + b + c = ? A 20 B C D Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng ln ∫ Câu 10: Tích phân e2 x +1 + a dx = e + Tính tích a.b x e b A B C D 12 π Câu 11: Biết ∫π − sin x + x + x3 dx = π3 a + 3π + cπ + d với a, b, c, d số nguyên Tính b a +b+c+ d A a + b + c + d = 28 a + b + c + d = 22 B a + b + c + d = 16 C a + b + c + d = 14 Câu 12: Với số nguyên a , b thỏa mãn D ∫ ( x + 1) ln xdx = a + + ln b Tính tổng P = a + b A P = 27 B P = 28 ( C P = 60 D P = 61 ) Câu 13: Biết ∫ e x x + e x dx = a.e4 + b.e2 + c với a, b, c số hữu tỷ Tính S = a + b + c A S = B S = −4 C S = −2 D S = b π  Câu 14: Cho hàm số f ( x ) = a sin x − b cos x thỏa mãn f '   = −2 ∫ adx = Tính tổng a + b 2 a bằng: A B C π  Câu 15: Có giá trị a đoạn  ; 2π  thỏa mãn 4  A B C D a ∫ sin x dx = + 3cos x D a Câu 16: Có số a ∈ ( 0; 20π ) cho ∫ sin x sin xdx = A 20 B 19 C D 10 C D C e D π Câu 17: Nếu ∫ sin n x cos xdx = n 64 A B n +1 Câu 18: Giá trị lim n →+∞ ∫ 1+ e x dx n A −1 B α α sin x π dx J = ∫ dx với α ∈  0;  , khẳng định sai + tan x cosx + sin x  4 0 Câu 19: Cho tích phân I = ∫ 21 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng α cos x dx cosx + sin x A I = ∫ B I − J = ln sin α + cosα C I = ln + tan α D I + J = α Câu 20: Giả sử ∫ x (1 − x ) 2017 (1 − x ) dx = a 2a − b bằng: A 2017 a (1 − x ) − b b + C với a, b số nguyên dương Tính B 2018 C 2019 D 2020 x 2001 dx có giá trị Câu 21: Tích phân I = ∫ (1 + x )1002 A 2002.21001 B b ex Câu 22: Cho tích phân C = ∫ e +3 x a 2001.21001 C 2001.21002 D dx a nghiệm phương trình x +1 2002.21002 = , b số 2 dương b > a Gọi A = ∫ x dx Tìm chữ số hàng đơn vị b cho C = A A B 2 ∫ Câu 23: Biết tích phân − 2 C − x2 a.π + b a, b ∈ ℕ Tính tổng a + b ? dx = x 1+ A B ln D C D -1 a   dx = ln + b ln + c ln Trong a, b, c số nguyên +1  Khi S = a + b − c bằng: Câu 24: Biết rằng:  ∫  x + 2e x B A C D π Câu 25: Trong số đây, số ghi giá trị ∫π − A 2 x −1.cos x a dx = , a, b ∈ ℕ Khi a.b x 1+ b B C D π Câu 26: Trong số đây, số ghi giá trị ∫π − A B Câu 27: Cho 22 ∫ f ( x)dx = Tính I = ∫ f (1 − x)dx x −1.cos x dx + 2x C D Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng A B 10 Câu 28: Giả sử C D 5 0 ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( z ) dz = Tổng ∫ f ( t ) dt + ∫ f ( t )dt A 12 B 5 C D Câu 29: Cho f ( x ), g ( x ) hàm số liên tục đoạn [ 2;6] thỏa mãn ∫ 6 3 f ( x)dx = 3; ∫ f ( x)dx = 7; ∫ g ( x)dx = Hãy tìm mệnh đề KHÔNG A ∫ [3 g ( x) − f ( x)]dx = B ∫ [3 f ( x) − 4]dx = ln e6 ln e C ∫ [2f ( x) − 1]dx = 16 D Câu 30: Cho hàm số f ( x ) = ∫ [4 f ( x) − g ( x)]dx = 16 x ∫ ( 4t − 8t ) dt Gọi m, M giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số f ( x ) đoạn [ 0;6] Tính M − m A 18 B 12 C 16 D ∫ f ' ( x ) dx = giá trị f ( 3) là: Câu 31: Nếu f ( ) = , f ' ( x ) liên tục A B C 10 D Câu 32: Cho f ( x ) g ( x ) hai hàm số liên tục [ −1,1] f ( x ) hàm số chẵn, g ( x ) hàm số lẻ Biết ∫ f ( x ) dx = A ∫ ∫ g ( x ) dx = Mệnh đề sai? f ( x ) dx = 10 B −1 C ∫  f ( x ) + g ( x ) dx = 10 D −1 Câu 33: Nếu hàm f ( x ) CHẴN a ∫ −a Đặt A = ∫ −1 f ( x ) dx = ∫ −1 f ( x ) dx = 2∫ f ( x ) dx Nếu hàm f ( x ) LẺ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx A1 A2 A1 = ∫ f ( x ) dx Đặt t = − x ⇒ dt = −dx −1 ∫  f ( x ) − g ( x ) dx = 10 −1 a Nếu chứng minh sau: 23 ∫ g ( x ) dx = 14 −1 a ∫ f ( x ) dx = −a Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Đổi cận: 1 1 ⇒ A1 = ∫ f ( −t ) ( −dt ) = ∫ f ( −t ) dt = ∫ f ( − x ) dx (Do tích phân xác định khơng phụ thuộc vào biến số tích phân) = ∫ f ( x ) dx (Do f ( x ) hàm chẵn ⇒ f ( − x ) = f ( x ) ) Vậy A = 1 −1 0 ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx = 10 (1) −1 −1 Đặt B = ∫ g ( x ) dx = ∫ g ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx B1 B2 B1 = ∫ g ( x ) dx Đặt t = − x ⇒ dt = − dx −1 Đổi cận: 1 ⇒ B1 = ∫ g ( −t ) ( −dt ) = ∫ g ( −t ) dt = ∫ g ( − x ) dx (Do tích phân xác định khơng phụ thuộc vào biến số tích phân) = − ∫ g ( x ) dx (Do f ( x ) hàm chẵn ⇒ g ( − x ) = − g ( x ) ) 1 −1 0 Vậy B = ∫ g ( x ) dx = −∫ g ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx = (2) Từ (1) (2) Chọn B Câu 34: Cho tích phân ∫ f ( x ) dx = 20 Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx A I = 40 B I = 10 C I = 20 Câu 35: Cho hàm số f ( x ) liên tục đoạn [0; 6] thỏa mãn D I = ∫ f ( x ) dx = 10 ∫ f ( x ) dx = Tính giá trị biểu thức P = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx B P = 16 A P = ` C P = D P = 10 π π 2 0 Câu 36: Cho tích phân I = ∫ cos x f ( sin x ) dx = Tính tích phân K = ∫ sin x f ( cos x ) dx A K = −8 B K = Câu 37: Cho hàm số f ( x ) liên tục đoạn [0; 1] có C K = ∫ 3 − f ( x ) dx = Tính A −1 24 B D K = 16 C 1 ∫ f ( x ) dx D −2 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Câu 38: Cho hai hàm số f ( x ) g ( x ) liên tục đoạn [0; 1], có ∫ f ( x ) dx = ∫ g ( x ) dx = −2 Tính tích phân I = ∫  f ( x ) − 3g ( x )  dx A −10 B 10 C D −2 Câu 39: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) liên tục đoạn [0; 1] f (1) = Biết ∫ f ( x ) dx = , tính tích phân I = ∫ x f ' ( x ) dx A I = C I = B I = −1 Câu 40: Cho biết ∫ −1 D I = −3 f ( x)dx = 15 Tính giá trị P = ∫ [f (5 − 3x) + 7]dx A P = 15 B P = 37 C P = 27 D P = 19 Câu 41: Cho y = f ( x ) hàm số chẵn, có đạo hàm đoạn [ −6;6] Biết ∫ f ( x ) dx = −1 ∫ f ( −2 x ) dx = Tính I = ∫ f ( x ) dx −1 A I = 11 B I = C I = D I = 14 Câu 42: Cho f , g hai hàm liên tục [1;3] thỏa: ∫  f ( x ) + 3g ( x )  dx = 10 3 1 ∫ 2 f ( x ) − g ( x ) dx = Tính ∫  f ( x ) + g ( x ) dx A B C D Câu 43: Cho hàm số f ( x ) = ln x + x + Tính tích phân I = ∫ f ' ( x ) dx ( A I = ln ) B I = ln + C I = ln D I = ln Câu 44: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [1; ln3] thỏa mãn f (1) = e2 , ln ∫ f ' ( x ) dx = − e Tính I = f ( ln 3) A I = − 2e B I = D I = 2e − C I = −9 Câu 45: Cho hai hàm số y = f ( x ) y = g ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [0; 1] thỏa mãn 1 0 ∫ f ' ( x ) g ( x ) dx = , ∫ f ( x ) g ' ( x ) dx = −1 Tính I = ∫  f ( x ) g ( x ) A I = −2 25 B I = C I = / dx D I = Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Câu 46: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục R, thỏa mãn ∫ f ( x ) dx = Tính π I = ∫ ( tan + 1) f ( tan x ) dx A I = C I = B I = −1 π D I = − π 1 1  Câu 47: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục thỏa mãn f ( x ) + f   = 3x với x ∈  ; 2 Tính 2   x f ( x) ∫1 x dx A B C − D − Câu 48: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục R thỏa mãn f ( x ) + f ( − x ) = + cos x Tính π I= ∫π f ( x ) dx − A I = −1 B I = C I = −2 π  Câu 49: Biết hàm số y = f  x +  hàm số chẵn đoạn 2  D I =  π π  − ;  π π  f ( x ) + f  x +  = sin x + cos x Tính I = ∫ f ( x ) dx 2  A I = B I = C I = D I = −1 x Câu 50: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục R, thỏa mãn f ( − x ) + 2018 f ( x ) = e Tính I= ∫ f ( x ) dx −1 A I = e2 − 2019e B I = Câu 51: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn e2 − 2018e C I = D I = e2 − e ∫ ( x + 1) f ' ( x ) dx = 10 f (1) − f ( ) = Tính I = ∫ f ( x ) dx A I = 26 B I = −8 C I = D I = −4 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Câu 52: Cho hàm số f ( x ) thỏa f ( ) = f (1) = Biết ∫ e x  f ( x ) + f ' ( x )  dx = ae + b Tính biểu thức Q = a 2018 +b 2018 A Q = B Q = C Q = Câu 53: Cho hàm số f ( x ) liên tục ( 0; +∞ ) thỏa D Q = x2 ∫ f ( t ) dt = x.cos π x Tính f ( ) A f ( ) = 123 B f ( ) = Câu 54: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ( x) ∫ C f ( ) = D f ( ) = t dt = x.cos π x Tính f ( ) B f ( ) = −1 A f ( ) = C f ( ) = D f ( ) = 12 Câu 55: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [1, 2] thỏa mãn f ( x ) > x ∈ [1, 2] Biết ( ) ∫ f ' ( x ) dx = 10 ∫ f ( x ) dx = ln Tính f ( ) 2 1 A f ( ) = −10 f' x B f ( ) = 20 C f ( ) = 10 D f ( ) = −20 Câu 56: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ −1;1] , thỏa mãn f ( x ) > ∀x ∈ R f ' ( x ) + f ( x ) = Biết f (1) = , tính f ( −1) −2 A f ( −1) = e B f ( −1) = e C f ( −1) = e D f ( −1) = Câu 57: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục R, nhận giá trị dương khoảng ( 0; +∞ ) thỏa f (1) = , f ( x ) = f ' ( x ) 3x + Mệnh đề đúng? A < f ( ) < B < f ( ) < C < f ( ) < D < f ( ) < Câu 58: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục R f ( x ) > x ∈ [0; a] ( a > ) Biết a dx 1+ f ( x) f ( x ) f ( a − x ) = , tính tích phân I = ∫ A I = a B I = 2a C I = a D I = a π  Câu 59: Cho hàm số G ( x ) = ∫ t.cos ( x − t ) dt Tính G '   2 x π  A G '   = −1 2 π  B G '   = 2 x2 π  C G '   = 2 Câu 60: Cho hàm số G ( x ) = ∫ cos t dt ( x > ) Tính G ' ( x ) 27 π  D G '   = 2 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng A G ' ( x ) = x cos x B G ' ( x ) = x.cos x C G ' ( x ) = cos x D G ' ( x ) = cos x − x Câu 61: Tìm giá trị lớn G ( x ) = ∫ ( t + t ) dt đoạn [ −1;1] A C − B D x Câu 62: Cho hàm số G ( x ) = ∫ + t dt Tính G ' ( x ) x A 1+ x 2 B 1+ x Câu 63: Cho hàm số F ( x ) = x ∫ sin t dt C 1+ x D ( x + 1) x + ( x > ) Tính F ' ( x ) A sin x B sin x x C 2sin x x D sin x x f (t ) f ( x) Câu 64: Tính đạo hàm f ( x ) , biết f ( x ) thỏa ∫ t.e dt = e A f ' ( x ) = x B f ' ( x ) = x + C f ' ( x ) = x Câu 65: Cho y = f ( x ) hàm số chẵn, có đạo hàm đoạn [ −6; 6] Biết D f ' ( x ) = 1− x ∫ f ( x ) dx = −1 ∫ f ( −2 x ) dx = Tính ∫ f ( x ) dx −1 A I = 11 B I = C I = a + b.xe x Biết f '(0) = −22 Câu 66: Cho hàm số f ( x ) = (x + 1) D I = 14 ∫ f ( x)dx = Khi tổng a + b bằng? A −146 13 B 26 11 C −26 11 D 146 13 Câu 67: Cho f , g hai hàm liên tục [1;3] thỏa: ∫  f ( x ) + g ( x )  dx = 10 3 1 ∫ 2 f ( x ) − g ( x ) dx = Tính ∫  f ( x ) + g ( x ) dx A B C D Câu 68: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm cấp hai f ′′ ( x ) liên tục đoạn [ 0;1] đồng thời thỏa mãn điều kiện f ( ) = f (1) = 1; f ′ ( ) = 2018 Mệnh đề sau đúng? 28 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Câu 79: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục [ 0;1] thỏa mãn ∫ ( f ' ( x )) dx = ∫ ( x + 1) e x f ( x ) dx = A + e Hướng dẫn giải: e2 − f (1) = Tính B − e ∫ f ( x ) dx = ? D − e C e 1 e2 − 1 = ∫ ( x + 1) e x f ( x ) dx = ∫ f ( x ) d ( x.e x ) = − ∫ x.e x f ' ( x ) dx 0 1 e −1 ⇒ ∫ ( f ' ( x ) ) dx = − ∫ x.e x f ' ( x ) dx = = ∫ x e x dx 0 Ta có: 1 1 ⇒ ∫ ( f ' ( x ) ) dx + ∫ x e dx + ∫ x.e f ' ( x ) dx = ⇒ ∫ ( f ' ( x ) + x.e x ) dx = 2 2x x 0 ⇒ f ' ( x ) = − x.e x ⇒ f ( x ) = e x ( x − 1) ⇒ ∫ f ( x ) dx = − e Chọn B π Câu 80: Cho f ( x ) liên tục ℝ thỏa mãn 0 ∫ f ( tan x ) dx = ∫ x2 f ( x ) x2 + dx = Tính ∫ f ( x ) dx = ? A Hướng dẫn giải: B Đặt tan x = t ⇒ = ∫ f ( t ) C D 1 dt Vậy = ∫ f ( x ) dx t +1 Chọn D Câu 81: Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục khơng âm [1;4] đồng thời thỏa mãn điều kiện x + xf ( x ) =  f ' ( x )  đồng thời f (1) = Tính 2 1186 45 Hướng dẫn giải: A B 2507 90 ∫ f ( x ) dx = ? C 848 45 Ta có: x ( f ( x ) + 1) =  f ' ( x )  ⇒ x f ( x ) + = f ' ( x ) ⇒ ⇒∫ 2 f ( x) +1 d f ( x ) = ∫ xdx ⇒ f ( x ) + = 4 1186 ⇒ C = ⇒ ∫ f ( x ) dx = 45 Chọn đáp án A Vì f (1) = 69 x x +C D f '( x) f ( x) +1 1831 90 = x Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Câu 82: Cho f ( x ) liên tục ℝ thỏa mãn f ( x ) = f (10 − x ) ∫ f ( x ) dx = Tính I = ∫ xf ( x ) dx A 40 Hướng dẫn giải: B 80 C 20 D 60 Ta có: I = ∫ (10 − x ) f (10 − x ) d (10 − x ) 7 3 ⇒ I = ∫ (10 − x ) f ( x ) dx ⇒ I = ∫ 10 f ( x ) dx ⇒ I = 20 Chọn C Câu 83: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục [ 0;1] đồng thời thỏa mãn điều kiện  f ' ( x ) f ( ) = 0, f (1) = ∫  x  dx = Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx = ? e e −1 0 A e−2 e −1 B e −1 e−2 C D ( e − 1)( e − ) Hướng dẫn giải: Theo bất đẳng thức Holder ta có:  f ' ( x )  1  x ≥ dx e dx ∫0 e x ∫0  ∫ f ' ( x ) dx  ⇔ e − ( e − 1) ≥ 0  Đẳng thức xảy khi: f '( x) e x = k e x ⇔ f ' ( x ) = k e x Vì ∫ f ' ( x ) dx = ⇒ k = e − Vậy f ( x ) = ex −1 ex + C e−2 Mà f ( ) = 0, f (1) = f ( x ) = Vậy I = e −1 e −1 e −1 Chọn A Câu 84: Cho biết x ∈ ( 0; +∞ ) x2 ∫ f ( t ) dt = x − x Tính f ( ) = ? B −8 A −2 Hướng dẫn giải: C x2 Ta có ∫ f ( t ) dt = F ( x ) − F ( ) = x − x Vậy x.F ' ( x ) = 3x − 10 x f ( x2 ) = F ' ( x2 ) = Chọn A 70 D x − ⇒ f ( ) = −2 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Câu 85: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục [ 0;1] đồng thời f ( ) = 0, f (1) = ∫  f ' ( x ) + x dx = ln + 2 C ln + 2 ( A ( ( f ( x) 1 ln + ) ∫ Tính tích phân + x2 ) dx bằng? −1 ln + 2 ( ) D ( − 1) ln (1 + ) B ) Hướng dẫn giải: Theo bất đẳng thức Holder ta có: ∫  f ' ( x ) Mặt khác ∫ 1 + x2 ( dx = ln x + + x ∫ f ' ( x ) dx = nên k = ln (1 + )  f ( ) = nên C = Do  f (1) = Vì  ∫ + x dx.∫ 1  dx ≥  ∫ f ' ( x ) dx  = 1+ x 0  ) 10 = ln (1 + ) Vậy đẳng thức xảy f ' ( x ) + x = Vì k 1+ x k ⇔ f '( x) = Vậy f ( x ) = f ( x) ( ln + + x2 ) ( ) ln x + + x + C dx = ln + + x2 ( ) Chọn C π Câu 86: Cho I n = ∫ cos n xdx , n ∈ ℕ , n ≥ Khẳng định sau đúng? A I n = n −1 I n −1 n B I n = n −2 I n −2 n C I n = Hướng dẫn giải Với I = π ;I = π ∫ cos xdx = Đặt u = cosn −1 x ⇒ du = − (n − 1) cosn −2 x sin xdx dv = cos xdx Chọn v = sin x 71 n −1 I n −2 n D I n = 2I n −2 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng π Suy ∫ cos n xdx = cosn −1 x sin x π π + (n − 1) ∫ cosn −2 x sin2 xdx 0 π ( ) π π 0 = (n − 1) ∫ cosn −2 x − cos2 x dx = (n − 1) ∫ cosn −2 x dx − (n − 1) ∫ cosn x dx π Do ∫ cos π n x dx = n −1 cosn−2 x dx ∫ n Chọn C 1 Cnn , n ∈ ℕ * Câu 87: Rút gọn biểu thức: T = Cn0 + Cn1 + Cn2 + + n +1 A T = 2n n +1 B T = n +1 C T = 2n − n +1 D T = 2n+1 − n +1 Hướng dẫn giải Ta có 1 1 1 T = Cn0 + Cn1 + + Cnn Nhận thấy số ; ; ; ; thay đổi ta nghĩ đến n +1 n +1 n +1 x +c biểu thức ∫ x n dx = n +1 Ở ta có lời giải sau: (1 + x ) = Cn0 + xCn1 + x 2Cn2 + x 3Cn3 + + x n Cnn n Khi ta suy ∫ (1 + x ) n dx = ∫ ( Cn0 + xCn1 + x 2Cn2 + x 3Cn3 + + x n Cnn ) dx ⇔  x2 x3 x n +1 n  n +1 =  Cn0 x + Cn1 + Cn3 + + Cn  ( x + 1)  n +1 n +1  ⇔ n+1 − 1 1 = Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn n +1 n +1 Chọn D  π 3π  Câu 88: Nếu a số thỏa mãn điều kiện sau: a ∈  ;  ∫ cos ( x + a )dx = sin a thì: 2  a A a = π B a = π C a = π Hướng dẫn giải: a 2 2 ∫ cos ( x + a )dx ⇔ sin ( x + a ) = sin a ⇔ sin ( a + a ) − sin a = sin a ⇔ cos 72 a a + 2a a a a sin = 2sin cos (1) 2 2 D a = 2π Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng a  π 3π  a  π 3π  Vì a ∈  ;  nên ∈  ;  ⇒ sin > , vậy: 4  2  (1) ⇔ cos a + 2a a a + a2 a = cos ⇔ cos − cos = 2 2  a2 + a  a2 + a =0 = kπ (1) sin   a +a a 2  ⇔ −2 sin =0⇔ ⇔ sin (k, l ∈ ℤ) 2  a2  a2 ( 2) sin =  = lπ 2  π 3π  Vì k ∈ ℤ nên (1) khơng thỏa mãn với a ∈  ;  ,hoặc thay vào đáp án (1) ta thấy 2  không thỏa  π 3π  Đối với (2) Vì a ∈  ;  nên Chọn l=1 lúc a = 2π 2  Chọn D e k Câu 89: Gọi S tập hợp tất số nguyên dương k thỏa mãn điều kiện ∫ ln dx < e − Khi đó: x A S = {1} B S = {2} C S = {1, 2} D S = ∅ Hướng dẫn giải: e k ∫ ln x dx Dùng phương pháp tích phân phần k  u = ln = ln k − ln x ⇒ du = − dx x x   dv = dx ⇒ v = x e ⇒ I = x ln e k k + dx = e ln − ln k + ( e − 1) x ∫1 e e k k Vậy ∫ ln dx < e − ⇔ e ln − ln k + ( e − 1) < e − x e ⇔ e ( ln k − 1) − ln k < −1 ⇔ ( e − 1) ln k < e − ⇔ ln k < ⇔ k < e mà k số nguyên dương nên Chọn k ∈ {1; 2} Chọn C Câu 90: Biết ∫ A 73 15 f ( x )dx = ∫ f ( t )dt = B 14 15 Tính ∫ f ( u )du C − 17 15 D − 16 15 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Hướng dẫn giải: ∫ f ( u )du = f ( u )du + ∫ f ( u )du ∫ Mà 3 f ( u )du = ∫ f ( x )dx = ∫ 0 Nên: ∫ f ( u )du = ∫ f ( t )dt = 5 16 = + ∫ f ( u )du ⇒ ∫ f ( u )du = − = − 3 15 Chọn D Chú ý: tích phân khơng phụ thuộc vào biến số 1 x2 x2 = dx = a I Câu 91: Biết ∫ Tính giá trị ∫0 + e x dx + e− x A I = − a C I = − a B I = − a D I = + a Hướng dẫn giải: Sử dụng phân tích 1 x2 x2 dx + ∫0 + e− x ∫0 + e x dx = ∫0 x dx Hoặc máy tính cầm tay để kiểm tra kết Chọn C π Câu 92: Đặt I n = ∫ sin n xdx Khi đó: A I n +1 < I n B I n +1 > I n C I n +1 ≥ I n Hướng dẫn giải: Khi < x < π < sin x < Do với < x < π π 0 π Ta có: sin n +1 x < sin n x ⇒ I n = ∫ sin n +1 xdx < I n = ∫ sin n xdx , tức là: I n +1 < I n Chọn A 1 Câu 93: Cho I n = ∫ x (1 − x ) dx J n = ∫ x (1 − x ) dx Xét câu: n 74 (1) I n ≤ với n ( n + 1) (2) J n > với n ( n + 1) n D I n +1 = I n Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng (3) I n ≤ J n = với n ( n + 1) A (1) đúng B (1) (2) C Tất sai D (1) (3) Hướng dẫn giải: Chỉ (1) (3) Khẳng định (2) sai π π 2 Ta đặt x = cos t để tính J n = ∫ sin t (1 − cos t ) cos tdx = ∫ sin n +1 t.cos tdt n π = ∫ sin n +1 sin n + td ( sin t ) = 2n + π = ( n + 1) Như khẳng định (2) sai Ngoài ra, để thấy với x ∈ [ 0;1] x ≤ x nên suy với n ta có I n ≤ J n = ( n + 1) Vậy: (1) (3) Chọn D Câu 94: Tìm số nguyên dương k nhỏ nhất, thỏa mãn dx ∫ 2x + k ≥ A k = B k = C k = D k = Hướng dẫn giải: ∀x ∈ ℕ* , ∀x ∈ [ 0;1] , x + k > đó: dx ∫ x + k ≥ , ∀x ∈ ℕ * Suy số nguyên dương k nhỏ thỏa mãn ycbt k=1 Chọn C Câu 95: Cho f ( x ) , g ( x ) hàm liên tục [a; b] b b b a a a 2 (1) Với số thực y, ta có: y ∫ f ( x )dx + y ∫ f ( x ) g ( x )dx + ∫ g ( x )dx ≥ b  (2)  ∫ f ( x ) g ( x )dx  ≤ a  b ∫ a b f ( x )dx ∫ g ( x )dx a Trong hai khẳng định trên: A Chỉ có (1) B Chỉ có (2) C Cả hai khẳng định D Cả hai khẳng định sai Hướng dẫn giải: Với số thực y ta có: ≤  y f ( x ) + g ( x )  75 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng = y f ( x ) + y f ( x ) g ( x ) + g ( x ) từ suy (1) đúng: b b b a a a y ∫ f ( x)dx + y ∫ f ( x ).g ( x )dx + ∫ g ( x)dx ≥ Vì vế trái Bất đẳng thức tam thức bậc hai y, nên theo định thức dấu tam thức bậc hai, Ta có: b b  b ∆ ' =  ∫ f ( x).g ( x)dx  − ∫ f ( x)dx.∫ g ( x)dx ≤ a a  a b b  b ⇔  ∫ f ( x).g ( x)dx  ≤ ∫ f ( x)dx.∫ g ( x)dx ((2) đúng) a a  a Chọn C Câu 96: Cho f ( x ) , g ( x ) hàm liên tục [a; b] f ( x ) ≠ 0, ∀x ∈ [ a; b ] m ≤ g ( x) ≤ M , ∀x ∈ [ a; b ] f ( x) Căn vào giả thiết đó, học sinh lập luận: (1) Ta có bất đẳng thức  g ( x)  g ( x)  − m  M− ≤   f ( x ) , ∀x ∈ [ a; b ] (*)  f ( x )   f ( x)  (2) Biến đổi, (*) trở thành ≤ − g ( x) + ( M + m ) f ( x ) g ( x ) − M m f ( x), ∀x ∈ [ a; b ] (3) suy b b b a a a 2 ∫ g ( x )dx + M mx ∫ f ( x )dx ≤ ( M + m ) ∫ f ( x ) g ( x )dx Lập luận trên: A Đúng hoàn toàn B Sai từ (1) C Sai từ (2) D Sai từ (3) Hướng dẫn giải: Lập luận hoàn toàn Bất đẳng thức sau gọi bất đẳng thức Diza Chọn A Câu 97: Cho hai hàm f ( x ) , g ( x ) đồng biến liên tục [a; b] Với a < b Khi đó, xét khẳng định sau đây: (1) ∀x ∈ [ a; b] Ta có: b ∫ a b (2) ∫ f ( x )dx ≤ f ( b ) a 76 b b a a f ( a )dx ≤ ∫ f ( x )dx ≤ ∫ f ( b )dx Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng (3) Tồn x0 ∈ [ a; b ] cho f ( x0 ) = b f ( x )dx b − a ∫a Các khẳng định khẳng định là: A Chỉ (1) (2) B Chỉ (2) (3) C Chỉ (1) (3) D Cả (1), (2) (3) Hướng dẫn giải: Chỉ (1) (3) Khẳng định (2) sai: Do tính đồng biến nên ∀a ≤ x ≤ b ta có f ( a ) ≤ f ( x ) ≤ f ( b ) , tức là: b b b a a a ∫ f ( a )dx ≤ ∫ f ( x )dx ≤ ∫ f ( b )dx (1) b Suy ra: ( b − a ) f ( a ) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ ( b − a ) f ( b ) a Do f ( x ) liên tục [a;b] nên tồn x0 ∈ [ a; b ] cho: f ( x0 ) = b f ( x )dx Vậy (3) b − a ∫a Chọn C  f ( x ) f ( x ) ≥ g ( x ) Câu 98: Ta định nghĩa: max  f ( x ) , g ( x )  =   g ( x ) g ( x ) ≥ f ( x ) Cho f ( x ) = x g ( x ) = 3x − Như ∫ max [ f ( x ), g ( x) ]dx bằng: A ∫ x dx B 2 ∫ x dx + ∫ ( 3x − )dx C ∫ ( 3x − )dx D 15 Hướng dẫn giải: Hoành độ giao điểm hai đường thẳng x = 1; x = 2 Xét x − ( 3x − ) vẽ Bảng xét dấu để xem đoạn f ( x ) = x g ( x ) = 3x − hàm có Giá trị lớn x x2 − 3x + + − 2 0 Do ∫ max  f ( x ) , g ( x ) dx = ∫ x dx + ∫ ( x − )dx Chọn B 77 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng π Câu 99: Biết π cos x cos x dx = m I = Tính giá trị ∫ + 3− x ∫ + 3x dx −π −π A π − m B π C π + m + m D π − m Hướng dẫn giải: π π π cos x cos x dx + ∫ dx = ∫ cos x.dx = π Sử dụng phân tích: ∫ −x x 1+ 1+ −π −π −π π (sử dụng MTCT để tính ∫π cos x.dx = π ) − π Do đó: I = ∫ −π cos x dx = π − m + 3x Chọn A Câu 100: Cho I = ∫ A < m ≤ dx , với m > Tìm giá trị tham số m để I ≥ 2x + m B m > C 1 ≤m≤ D m > Hướng dẫn giải: Tính tích phân theo tham số m cách đặt t = x + m , sau tìm m từ Bắt phương trình I ≥1 Chọn A m Câu 101: Cho m số dương I = ∫ ( x ln − x ln )dx Tìm m I = 12 A m = B m = C m = D m = Hướng dẫn giải: m x x Tính tích phân theo tham số m ta được: I = ∫ ( ln − ln )dx = ( x − x ) = 4m − m , m 0 sau tìm m từ phương trình I =12 Chọn D x2 Câu 102: Cho F ( x ) = ∫ cos tdt Tính P = F ' ( x ) A F ′ ( x ) = cos ( x ) B F ′ ( x ) = x cos x C F ′ ( x ) = −2 x sin ( x ) D F ′ ( x ) = x cos ( x ) Hướng dẫn giải: Chọn D 78 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Ta có F ′ ( x ) = ( x )′ cos x = x cos ( x ) x Câu 103: Tính đạo hàm hàm số y = ∫ cos tdt ( x > ) A y′ = cos x x B y′ = 2cos x x C y′ = cos x x D y′ = − cos x x Hướng dẫn giải: Chọn A Ta có y ' = ( x )′ cos x= x x cos x Câu 104: Cho hàm số f ( x ) = ∫ 3 ( f ′ ( t ) ) − f ′ ( t ) + 3dt Tính f ' ( x ) A f ' ( x ) = B f ' ( x ) = −1 + C f ' ( x ) = + D f ' ( x ) = −2 Hướng dẫn giải: Chọn C Đạo hàm hai vế ta được: f ′ ( x ) = 3( f ′ ( x )) − f ′ ( x ) + ⇔ ( f ′ ( x)) = 3( f ′ ( x )) − f ′ ( x ) + ( f ′ ( x ) − 1) 3 = ⇔ f ′( x) = 1+ x Câu 105: Tính đạo hàm hàm số y = ∫ sin t dt ( x > ) A y′ = sin x B y′ = sin x x C y′ = cos x x D y′ = sin x x Hướng dẫn giải: Chọn B Ta có y ' = ( x )′ sin ( x ) = sin x x sin x Câu 106: Tính đạo hàm hàm số y = ∫ 3t dt A y′ = 3cos x sin x B y′ = 3sin x Hướng dẫn giải: Chọn C Ta có y ' = ( sin x )′ ( sin x ) = 3sin x cos x 79 C y′ = 3sin x cos x D y′ = 3cos3 x Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng x Câu 107: Cho 3x5 + 96 = ∫ f ( t ) dt Tìm a a A a = −96 B a = −2 C a = D a = 15 Hướng dẫn giải: Chọn B Đạo hàm hai vế ta được: 15x = f ( x ) x x Vậy 3x5 + 96 = ∫ 15t dt = 3t = 3x5 − 3a5 ⇔ −3a5 = 96 ⇔ a = −2 a a x   Câu 108: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục khoảng  − ; +∞  thỏa mãn   Tìm a A 120 B 60 x + − 11 = ∫ f ( t )dt a C 121 D 61 Hướng dẫn giải: Chọn B x x + − 11 = ∫ f ( t )dt ⇒ a x Suy ra, x + − 11 = ∫ a = f ( x) 2x +1 x x 1 1 − dt = ∫ ( 2t + 1) d ( 2t + 1) = ( 2t + 1) = x + − 2a + 2a 2t + a ⇔ x + − 11 = x + − 2a + ⇔ a = 60 Câu 109: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục R thỏa mãn x2 ∫ f ( t )dt = x cos (π x ) Tính f ( 4) A f ( ) = B f ( ) = C f ( ) = D f ( ) = Hướng dẫn giải: Chọn A x2 ∫ f ( t )dt = x cos (π x ) ⇔ ( x )′ f ( x ) = cos (π x ) − π x sin (π x ) ⇔ xf ( x ) = cos π x − π x sin (π x ) 2 Thay x = vào hai vế ta f ( ) = ⇔ f ( ) = Câu 110: Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn f ( x) ∫ t dt = x cos (π x ) Mệnh đề đúng? A f ′ ( ) ( f ( ) ) = 80 B f ′ ( ) ( f ( ) ) = − 2π Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng C f ′ ( ) ( f ( ) ) = −1 D f ′ ( ) ( f ( ) ) = 2π − 2 Hướng dẫn giải: Chọn A f ( x) ∫ Đao hàm hai vế t dt = x cos (π x ) ta được: f ( x ) f ′ ( x ) = cos (π x ) − π x sin (π x ) Thay x = ta f ( ) f ′ ( ) = Câu 111: Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn f ( x) ∫ t dt = x cos (π x ) Tính f ( ) B f ( ) = − 12 A f ( ) = C f ( ) = − D f ( ) = 12 Hướng dẫn giải: Chọn D f ( 4) ∫ f ( 4) t dt = cos (π ) ⇔ t = ⇔ ( f ( ) ) = ⇔ f ( ) = 12 3 x Câu 112: Cho hàm số y = f ( x ) liên tục R thỏa mãn f ( x ) = ∫ 1 − t f ′ ( t ) dt Mệnh đề đúng? A f (1) + f ( ) > f ( 3) B f (1) + f ( ) < f ( 3) C f (1) + f ( ) = f ( 3) D f (1) + f ( ) ≥ f ( 3) Hướng dẫn giải: Chọn B Đạo hàm hai vế ta f ′ ( x ) = − x f ′ ( x ) ⇔ f ′ ( x ) = > 0, ∀x + x2 ⇒ f (1) + f ( ) < f ( 3) + f ( 3) = f ( 3) x Câu 113: Tìm tập nghiệm bất phương trình ∫ A ( −∞; ) B ( −∞; +∞ ) t t +1 dt > C ( −∞; +∞ ) \ {0} Hướng dẫn giải: Chọn C x f ( x) = ∫ t t +1 dt ⇒ f ′ ( x ) = x x +1 =0⇔ x=0 Dựa vào bảng biến thiên f ( x ) ta có: f ( x ) > ⇔ x ≠ 81 D ( 0; +∞ ) Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng Câu 114: Cho hàm số y = f ( x ) nhận giá trị dương có đạo hàm f ′ ( x ) liên tục R thỏa mãn x 2  f ( x )  = ∫ ( f ( t ) ) + ( f ′ ( t ) )  dt + 2018 Mệnh đề đúng?   A f (1) = 2018e C f (1) = 2018 B f (1) = 2018 D f (1) = 2018e Hướng dẫn giải: Chọn D f ( x ) f ′ ( x ) = ( f ( x )) + ( f ′ ( x )) ⇔ ( f ′ ( x ) − f ( x )) = ⇔ f ′ ( x ) = f ( x ) ⇔ 2 f ′( x) =1 f ( x) ⇔ ln f ( x ) = x + C ⇔ f ( x ) = e x +C Thử vào đẳng thức cho suy x x e e = ∫ 2e2C e2t dt + 2018 ⇔ e2C e2 x = e2C e2t + 2018 ⇔ e2C = 2018 ⇔ eC = 2018 2C x 0 Vậy f ( x ) = e x +C = e x eC = 2018e x Suy f (1) = 2018e Câu 115: Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn x3 ∫ f ( t ) dt = e A f (1) = B f (1) = ex Tính f (1) x +1 e 12 e C f (1) = e D f (1) = Hướng dẫn giải: Chọn D Đạo hàm hai vế ta được: 3x f ( x )= e x ( x + 1) − e x ( x + 1) ⇔ f ( x3 ) = ex x ( x + 1) ⇒ f (1) = e 12 Câu 116: Cho hàm số y = f ( x ) nhận giá trị dương có đạo hàm f ′ ( x ) liên tục R thỏa mãn x 2 2  f ( x )  = ∫  ( f ( t ) ) + ( f ′ ( t ) )  dt + 2018 Mệnh đề đúng?   A f (1) = 1009e2 B f (1) = 1009e C f (1) = 1009e D f (1) = 1009e Hướng dẫn giải: Chọn D Đạo hàm hai vế ta được: f ( x ) f ′ ( x ) = ( f ( x ) ) + ( f ′ ( x ) ) ⇔ ( f ′ ( x ) − f ( x ) ) = ⇔ f ′( x) = f ( x) ⇔ f ′( x) = ⇔ ln f ( x ) = x + C ⇔ f ( x ) = k.e2 x k > f ( x) Thử vào đẳng thức cho suy 82 2 Nguyên Hàm-Tích Phân-Ứng Dụng x x 2k 2e4 x = ∫ 8k e4t dt + 2018 ⇔ 2k e4 x = 2k e4t + 2018 ⇔ 2k = 2018 ⇔ k = 1009 0 Vậy f ( x ) = 1009e x ⇒ f (1) = 1009e Câu 117: Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn x3 ∫ f ( t ) dt = x + Tính f (1) B f (1) = A f (1) = C f (1) = Hướng dẫn giải:: Chọn D Đạo hàm hai vế ta được: 3x f ( x3 ) = 83 1 ⇔ f ( x3 ) = ⇒ f (1) = 2x + 3x x + D f (1) = ... A 20 02. 21001 B 20 01 .21 001 C 20 01 .21 0 02 D 20 02. 210 02 Hướng dẫn giải 2 x 20 04 I =∫ dx = ∫ x (1 + x )10 02 1 10 02   x3  + 1 x  dx Đặt t = + ⇒ dt = − dx x x b ex x +1 C = Cho tích phân. .. bằng: A 20 17 a (1 − x ) − b b + C với a, b số nguyên dương Tính B 20 18 C 20 19 D 20 20 x 20 01 dx có giá trị Câu 21 : Tích phân I = ∫ (1 + x )10 02 A 20 02. 21001 B b ex Câu 22 : Cho tích phân C... a 20 01 .21 001 C 20 01 .21 0 02 D dx a nghiệm phương trình x +1 20 02. 210 02 = , b số 2 dương b > a Gọi A = ∫ x dx Tìm chữ số hàng đơn vị b cho C = A A B 2 ∫ Câu 23 : Biết tích phân − 2 C − x2 a.π